Đề đa ks giáo viên toán huyện tam dương 2015 2016

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN THCS
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi này gồm 01 trang

Giáo viên không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay!
Bài 1 (1,5 điểm). Giải bất phương trình và phương trình sau:
4x + 7
1
3x 2
2x
<
2
− 3
= 2
a)
.
b)
.
2x −1
x −1 x −1 x + x +1



Bài 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức P = 

x

 x+2

a) Rút gọn P.
b) Tìm x biết P − x = 11 .
Bài 3 (1,5 điểm). Cho bài toán: Tìm x, y biết

+

1
x −2

−

1 

÷.( x − 4)

4− x

2 x + 1 x + 2 y − 1 3x + 2 y
=
=
3
7
5x

Một học sinh trình bày lời giải như sau:
ĐK: x ≠ 0 .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x + 1 x + 2 y − 1 3x + 2 y (2 x + 1) + ( x + 2 y − 1) − (3x + 2 y )
0
=
=
=
=
=0
3
7
5x
3 + 7 + 5x
10 + 5 x
1

 x = − 2
2 x + 1 = 0
1
3
⇔
⇒
. Vậy x = − và y =
2
4
x + 2 y −1 = 0
y = 3

4

a) Thầy (cô) có nhận xét gì về bài làm trên của học sinh ?

b) Nếu có thiếu sót, thầy (cô) hãy hướng dẫn học sinh trình bày lời đầy đủ ?
Bài 4 (1,5 điểm).
a) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB có CA = a (cm) , CB = b(cm) , với a > 0, b > 0 .
Gọi I là trung điểm của AB . Tính độ dài đoạn IC theo a, b .
b) Tìm các giá trị nguyên của x, y thỏa mãn yx − y + 2 x − 2 = 0 .
Bài 5 (2,0 điểm). Cho ∆ABC có các góc đều nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ) , hai
đường cao BE , CF cắt nhau tại H . Tia AO cắt đường tròn (O ) tại D .
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC , tia AM cắt HO tại G . Chứng minh rằng G là
trọng tâm của ∆ABC .
Bài 6 (2,0 điểm).
2

a) Cho các số a, b, c > 0 thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức Q =

2

2

2b+ c - a 2c + a - b 2a +b - c
=
=
.
a
b
c

(3a − 2b)(3b − 2c )(3c − 2a )

(3a − c)(3b − a )(3c − b)
b) Cho đa thức f ( x ) có các hệ số đều là các số nguyên. Biết rằng f (1). f (2) = 2015 .
Chứng minh rằng: Phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm nguyên.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!.

/>

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

Bài

1

HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN THCS
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN

Nội dung trình bày chính

Câu a. ĐK: x ≠ 0,5
Ta có:
4x + 7
4x + 7
9
<2⇔
−2<0⇔
<0
2x −1
2x − 1
2x − 1

1
⇔ 2x −1 < 0 ⇔ x <
2
Câu b. ĐK: x ≠ 1 .
1
3x 2
2x
x 2 + x + 1 3x 2
2 x( x − 1)
− 3
= 2
⇔
− 3
=
3
x −1 x −1 x + x +1
x −1
x −1
x3 − 1
⇒ x 2 + x + 1 − 3x 2 = 2 x 2 − 2 x ⇔ 4 x 2 − 3x − 1 = 0
(*)
x = 1
Giải phương trình (*) ta được: 
 x = −1

4
−1
Kết hợp với ĐK ta có x =
là nghiệm của phương trình.
4

Điểm
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

Câu a.

2

ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4.


x
1
1
P=
+
+
 .( x − 4)
x
+
2
x
−

2
(
x
+
2)(
x
−
2)




x ( x − 2)
1.( x + 2)
1
P=
+
+
 .( x − 4)
 ( x + 2)( x − 2) ( x − 2)( x + 2) ( x + 2)( x − 2) 
 x − 2 x + x + 2 + 1
P=
 .( x − 4)
(
x
+
2)(
x
−
2)



x− x +3
P=
.( x − 4)
( x − 4)

P = x− x +3

0,25

0,25
0,25

0,25

Câu b.

P − x = 11
⇔ ( x − x + 3) − x = 11
⇔ x − 2 x +1= 9
⇔ ( x − 1) 2 = 9
 x −1 = 3
 x =4
⇔
⇔
⇒ x = 16
 x − 1 = −3  x = −2(l )
3

Câu a.

/>
0,25

0,25


Bài làm của HS có 2 lỗi:
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không đúng, ở chỗ mẫu là dấu
“-” thì HS viết là dấu “+”.
- Không xét đủ 2 trường hợp.
Câu b. Hướng dẫn HS thực hiện lời giải theo các bước:
Bước 1: Tìm ĐK: x ≠ 0
Bước 2. Xét TH1: 3x + 2y = 0.
−1

 x = 2
2 x + 1 = 0
2x +1 x + 2 y −1
=
=0⇔
⇔
Ta có
3
7
 x + 2 y −1  y = 3

4
Bước 3. Xét TH: 3 x + 2 y ≠ 0

0.25
0,25

0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x + 1 x + 2 y − 1 (2 x + 1) + ( x + 2 y − 1) 3 x + 2 y 3 x + 2 y
=
=
=
=
3
7
3+7
10
5x
5 x = 10
x = 2
x = 2



⇒  2x + 1 x + 2 y −1 ⇔ 5 2 y +1 ⇔ 
16
=
y=
 3 =



7
7
3
3

1
3
16
Vậy x = − và y = hoặc x = 2 và y =
2
4
3

Câu a. Ta có: IA =

0,5

a+b
2

Xét 2 trường hợp:

a + b 2a
<
= a = AC nên I nằm giữa A và C
2
2
a −b
Do đó IC = AC – AI =
2

a + b 2a
>
= a = AC nên C nằm giữa A và I
+) Nếu a < b thì AI =
2
2
b−a
Do đó IC = AI – AC =
2
2
2
Câu b. Ta có yx - y + 2x2 - 2 = 0 ⇔ x 2 ( y + 2) = y 2 + 2

+) Nếu a > b thì AI =
4

+) Nếu y = -2 không thỏa mãn.
2
+) Nếu y ≠ −2 , ta có x =

y2 + 2
6
= y−2+
y+2
y+2

0,5

0,25

0,25

Để x, y nguyên thì 6 chia hết cho y + 2 mà y + 2 > 0 nên
y + 2 ∈ { 1, 2,3, 6} ⇒ y ∈ { −1;0;1; 4}

Với y = -1 thì x2 = 3 (loại)
Với y = 0 thì x2 = 1 hay x ∈ {1; -1}
Với y = 1 thì x2 = 1 hay x ∈ {1; -1}
Với y = 4 thì x2 = 3 (loại)

/>
0,25
0,25


A

E
F

5

G

O

H
B

C

M
D

Hình vẽ
Câu a.
Ta có A· CD = 900 ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒ DC ⊥ AC mà HE
⊥ AC nên BH//DC (1)
Chứng minh tương tự có CH//BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành
Câu b.
Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD.
Do đó AM, HO trung tuyến của ∆AHD ⇒ G trọng tâm của ∆AHD ⇒
Xét tam giác ABC có: M trung điểm của BC và
tâm của ∆ABC .

GM 1
=
AM 3

GM 1
= suy ra G là trọng
AM 3

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

0,25

Câu a.
Áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau có:

2b+ c - a 2c + a - b 2a +b - c 2b+ c - a + 2c + a - b + 2a +b - c 2(a +b+ c)
=
=
=
=
=2
a
b
c
a +b+ c
a +b+ c

6

0,5

Suy ra:
2b+ c - a = 2a
3a - 2b = c
3a - c = 2b



2c + a - b = 2b ⇔ 3b - 2c = a và 3b - a = 2c
2a +b - c = 2c

3c - 2a = b
3c - b = 2a



1
Thay vào biểu thức ta được Q =
8

Câu b.
Giả sử f ( x) có nghiệm nguyên x = a
Khi đó f ( x) = ( x − a ).g ( x) , trong đó g ( x) là đa thức có các hệ số nguyên.
Ta có: f (1). f (2) = (1 − a )(2 − a) g (1) g (2) = 2015 (*)
Do 1 − a,2 − a là hai số nguyên liên tiếp và g (1); g (2) là các số nguyên nên
f (1). f (2) = (1 − a )(2 − a ) g (1) g (2) chẵn mà 2015 là số lẻ nên (*) vô lí
Vậy phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm nguyên.

0,25
0,25

0,25
0,25

0,5

Ghi chú:
+) Bài làm theo cách khác nếu đúng, GK căn cứ theo bài làm cho điểm phù hợp theo thang
điểm của từng câu.
+) Bài 4a, bài 5 nếu GV không vẽ hình không chấm phần đó.

/>