Bài giảng thiên văn học

BÀI GIẢNG THIÊN VĂN HỌC

MỤC LỤC
MỤC LỤC.....................................................................................................1
LỜI GIỚI THIỆU..........................................................................................5
Chương 1.......................................................................................................6
LƯỢC SỬ THIÊN VĂN HỌC.....................................................................6
1. Đại cương về thiên văn học...................................................................6
2. Tổng quan về cấu trúc vũ trụ.................................................................8
Chương 2.....................................................................................................14
TRÁI ĐẤT..................................................................................................14
1. Hệ tọa độ địa lý ..................................................................................14
2. Kích thước và hình dạng Trái Đất.......................................................15
3. Chuyển động quay quanh Mặt Trời của Trái Đất ...............................16
4. Tiến động và chương động của trục quay Trái Đất.............................17
Chương 3.....................................................................................................19
QUY LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC THIÊN THỂ..........................19
1.Phương trình chuyển động của bài toán hai vật...................................19
2. Nhiễu loạn chuyển động......................................................................23
3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và các trạm vũ trụ........................24
Chương 4 ....................................................................................................25
THIÊN CẦU - NHẬT ĐỘNG.....................................................................25
1. Thiên cầu.............................................................................................25
2. Hệ toạ độ chân trời..............................................................................26
3. Các hệ toạ độ xích đạo........................................................................27


4. Hệ toạ độ hoàng đạo và hệ toạ độ thiên hà..........................................28
5. Nhật động với toạ độ địa lý và toạ độ thiên thể...................................29
4. Biến thiên toạ độ của các thiên thể do nhật động ...............................31
Chương 5.....................................................................................................32

BỐN MÙA, THỜI GIAN VÀ LỊCH..........................................................32
1. Hoàng đạo và hoàng đới......................................................................32
2. Vị trí của MT trên thiên cầu. Các mùa................................................33
3. Lịch.....................................................................................................35
Chương 6.....................................................................................................37
LƯỢNG GIÁC CẦU...................................................................................37
1. Các công thức cơ bản của tam giác cầu...............................................37
2. Ứng dụng.............................................................................................39
3. Khúc xạ ánh sáng. Hoàng hôn và bình minh.......................................40
Chương 7 ....................................................................................................42
MỘT SỐ PHÉP ĐO THIÊN VĂN CƠ BẢN..............................................42
1. Xác định thời gian kinh độ và vỹ độ địa lý.........................................42
2 . Đo đồng thời kinh độ và vỹ độ . Đo độ phương.................................42
3. Xác định khoảng cách và kích thước thiên thể ..................................43
Chương 8 ....................................................................................................44
TUẦN TRĂNG. NHẬT, NGUYỆT THỰC. THỦY TRIỀU......................44
1. Tuần trăng............................................................................................44
2. Nhật, Nguyệt thực.

......................................................................45

2.1. Hiện tượng nhật thực và nguyệt thực...............................................45
3. Triều Trái Đất......................................................................................46
Chương 9 ....................................................................................................48


PHƯƠNG PHÁP THIÊN VĂN VẬT LÝ...................................................48
1. Bức xạ vũ trụ ......................................................................................48
2. Các thiết bị kỹ thuật nghiên cứu thiên văn .........................................51
Sinh viên đọc thêm để tìm hiểu từ các tài liệu đã được giới thiệu. ........51

Các nội dung cần chú ý trong chương này:.............................................51
Chủ yếu ở mục 1......................................................................................51
Chương 10...................................................................................................52
VẬT LÝ CÁC THIÊN THỂ TRONG HỆ MẶT TRỜI..............................52
1. Khái quát về các thiên thể trong Hệ Mặt Trời....................................52
2. Trái Đất................................................................................................52
3. Mặt Trăng............................................................................................55
4. Các hành tinh nhóm Trái Đất..............................................................57
5. Các hành tinh thuộc nhóm Mộc Tinh..................................................59
6. Các tiểu hành tinh. Thiên thạch. Sao chổi. Sao băng .........................60
Chương 11...................................................................................................62
MẶT TRỜI................................................................................................62
1. Cấu tạo các lớp của Mặt trời và các số liệu chung .............................62
2. Các quá trình bên trong Mặt Trời .......................................................63
3. Hoạt động của khí quyển Mặt Trời.....................................................65
4. Mối quan hệ giữa hoạt động của Mặt Trời và Trái Đất ....................67
Chương 12...................................................................................................69
CÁC SAO...................................................................................................69
1. Xác định các đại lượng đặc trưng........................................................69
2. Cấp sao................................................................................................69
3. Phân loại quang phổ sao......................................................................71


4. Các sao biến quang .............................................................................73
5. Các hành tinh của sao..........................................................................74
6 . Sự tiến hóa và lụi tàn của sao ..........................................................75
Chương 13 ..................................................................................................79
THIÊN HÀ.........................................................................................79
1. Thiên hà của chúng ta..........................................................................79
2. Vật chất khuếch tán giữa các sao ......................................................80

3. Các thiên hà. Các quasar

.........................................................81

Chương 14 ..................................................................................................83
SỰ TIẾN HÓA CỦA VŨ TRỤ...................................................................83
1. Các tham số vũ trụ ..............................................................................83
2. Vật chất tối .......................................................................................84
Khi nghiên cứu chuyển động của thiên thể quay quanh Mặt Trời cho
thấy các thiên thể càng ở xa thì càng chuyển động chậm, quỹ đạo càng
dài, điều đó hoàn toàn phù hợp với các quy luật cơ học đã biết.............84
3. Các giả thuyết về sự hình thành vũ trụ ...............................................85
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................86


LỜI GIỚI THIỆU
Môn Thiên văn học theo chương trình giảng dạy cho chuyên ngành
vật lý của các trường đại học sư phạm với tài liệu chính là cuốn “Giáo trình
thiên văn”[1] của các tác giả Phạm Viết Trinh và Nguyễn Đình Noãn, đã
được Hội đồng thẩm định sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo giới thiệu làm
sách dùng chung cho các trường. Tuy nhiên, Giáo trình thiên văn này được
biên soạn từ những năm 70 của thế kỷ trước nên cần phải bổ sung nhất là
các nội dung liên quan đến vật lý thiên văn. Năm 2008, các tác giả trên và
cộng sự đã giới thiệu thêm cuốn Giáo trình Vật lý thiên văn theo hướng
mong muốn bổ sung thêm những kiến thức hiện đại giúp cho sinh viên
ngành sư phạm vật lý tích lũy kiến thức để chuẩn bị cho việc giảng dạy ở
chương trình Vật lý lớp 12.
Theo chương trình đào tạo của trường đại học Tây Nguyên, học phần
Thiên văn học được bố trí vào học kỳ 6, dùng cho các lớp sư phạm vật lý.
Cuốn Bài giảng Thiên văn học này được biên soạn theo các yêu cầu để sinh

viên nắm được những vấn đề chính cần tiếp cận các giáo trình Thiên văn và
Vật lý thiên văn, nhất là những kiến thức mới về thiên văn và vũ trụ, trong
khi thời lượng trên lớp rất hạn chế sẽ không tránh khỏi những khiếm
khuyết.
Học phần này rất được sự quan tâm tìm hiểu của nhiều đối tượng
nghiên cứu khác nhau, tác giả rất mong muốn được sự góp ý phê bình của
người đọc.
Xin chân thành cám ơn.
NGƯỜI BIÊN SOẠN
Tạ Lý

5


Chương 1
LƯỢC SỬ THIÊN VĂN HỌC
1. Đại cương về thiên văn học
Thiên văn học là ngành khoa học nghiên cứu về chuyển động của các thiên
thể, bản chất và sự tiến hóa trong vũ trụ.
Thiên văn học phát triển rất sớm từ khoảng 3000 năm trước, xuất phát từ
đời sống vật chất và tinh thần của con người.
Ngày nay Thiên văn học là một ngành quan trọng liên quan mật thiết đến sự
phát triển nhận thức của con người đối với vũ trụ.
Sau đây chúng ta nói đến một số bước phát triển ban đầu của Thiên văn học
1.1. Thiên văn học thời cổ đại
Cư dân các nền văn minh cổ đại đã thu được những kinh nghiệm về thay đổi
khí hậu, thời tiết gắn liền với chuyển động của Mặt Trời, Mặt Trăng và các vì
sao. Người Ai Cập, Trung Quốc, Hy Lạp đã biết cách xác định thời gian các mùa
liên quan đến con nước và có những lý giải về nguồn gốc vũ trụ, đã xây dựng
được các lịch dựa vào sự thay đổi của mặt trăng và các mùa trong năm. Từ thời

này, thiên văn học với các hiểu biết sơ khai đã có sự liên quan tự nhiên với các
quan điểm tôn giáo khác nhau. Một nét chung là, họ đều xem các ngôi sao, chòm
sao, Mặt Trăng, Mặt Trời có các ảnh hưởng thần bí đến đời sống con người.
Hy Lạp cổ đại có thể xem là một cái nôi của thiên văn học. Một số triết gia
thời này đã đưa ra một số quan điểm giải thích thế giới tự nhiên, đáng lưu ý là:
Anaxagoras (499 ÷ 429 trước Công nguyên, vt = tr.CN) đã cho rằng Trái
Đất có dạng hình cầu khi quan sát các nguyệt thực.
Democritus (460 ÷ 370 tr.CN) cho rằng giải Ngân Hà được tạo bởi các ngôi
sao ở xa. Heraclides (388 ÷ 325 trCN) cho rằng nhật động của các thiên thể là kết
quả sự quay của Trái Đất.
Aristotle (384 ÷ 322 trCN) xem vũ trụ được tạo bởi 4 nguyên tố là đất,
nước, không khí và lửa, còn Trái Đất là trung tâm bất động của vũ trụ, các thiên
thể chuyển động tròn quanh nó với tốc độ không đổi.
Hiparachus (194 ÷ 120 trCN) xem Mặt Trời là trung tâm vũ trụ, mỗi ngôi
sao cũng là một mặt trời khác. Ông đã phát hiện ra khoảng cách giữa Trái Đất và
Mặt Trời thay đổi trong năm.
Người Trung Quốc từ thời Nhà Chu (Thế kỷ 11 trCN) đã xây dựng bản đồ
sao với 28 chòm (nhị thập bát tú) quanh khu vực hoàng đới và xây dựng lịch mặt
trăng (âm lịch).

6


1.2. Mô hình địa tâm
Từ thế kỷ thứ 2CN, người ta đã biết vị trí và đặc điểm chuyển động của các
hành tinh với độ chính xác đáng kể. Claudius Ptolemy (100 ÷ 170CN) đã phác
thảo ra mô hình địa tâm về vũ trụ vào năm 125.
Nhìn lên vòm trời (thiên cầu) ta thấy Mặt Trời quay đều theo một chiều nhất
định vào ban ngày và Mặt Trăng cùng các vì sao cũng quay theo chiều đó vào
ban đêm. Hiện tượng quay đều quanh một trục xuyên qua chỗ ta đứng và quay

một vòng trong một ngày đêm gọi là nhật động.
Trên cơ sở quan sát thời ấy, có thể tóm tắt như sau:
- Bầu trời quay xung quanh Trái Đất (viết tắt = TĐ) với chu kỳ 24h (nhật
động).
- Mặt Trời, Mặt Trăng bên cạnh nhật động còn chuyển động đối với các sao
theo chiều ngược với nhật động có chu kỳ tương ứng là 365 ngày và 27 ngày.
- Các hành tinh cũng chuyển động với các sao theo chiều ngược với nhật
động nhưng cũng có các thời kỳ chúng chuyển động theo chiều ngược lại.
- Hai hành tinh Thủy và Kim dao động xung quanh Mặt Trời (viết tắt = MT)
với ly giác tương ứng là 280 và 480 (xem hình 4, Giáo trình thiên văn[1]).
Ptolemy đã đưa ra mô hình vũ trụ địa tâm như sau:
- TĐ là trung tâm của vũ trụ.
- Vũ trụ bị giới hạn bởi một mặt cầu chứa các ngôi sao cố định. Mặt cầu này
quay quanh một trục xuyên tâm TĐ.
- MT, Mặt Trăng chuyển động trên các quỹ đạo tròn với tốc độ không đổi,
nhưng với chu kỳ lớn hơn chu kỳ nhật động.
- Các hành tinh chuyển động với tốc độ không đổi trên các quỹ đạo tròn nhỏ
(gọi là vòng ngoại luân). Tâm của ngoại luân chuyển động trên các quỹ đạo tròn
(vòng chính đạo) xung quanh TĐ.
- Các thiên thể quay quanh TĐ theo thứ tự xa dần: Mặt Trăng, Thủy, Kim,
MT, Hỏa, Mộc, Thổ Tinh.
Mô hình này giải thích được các quan sát thiên văn thời đó và tồn tại đến
thế kỷ XVI do phù hợp với quan điểm của Thiên chúa giáo.
1.3. Mô hình nhật tâm
Mô hình này đã có từ thời cổ đại và đến năm 1543 Copernicus xuất bản
cuốn “Sự quay của thiên cầu “có nội dung là:
- MT nằm tĩnh tại ở trung tâm vũ trụ.
- Các hành tinh chuyển động xung quanh MT trên các quỹ đạo tròn cùng
chiều.
- TĐ chuyển động quanh MT và tự quay quanh trục của nó.

7


- Mặt Trăng (vt = Tr) chuyển động tròn quanh TĐ.
- Các hành tinh khác có khoảng cách xa MT theo thứ tự là: Thủy, Kim, TĐ,
Hỏa, Mộc, Thổ.
- Các sao ở rất xa và cố định trên vòm trời (xem hình 5, trong [1]).
Mô hình này cho phép giải thích các đặc điểm chuyển động của các thiên
thể trong hệ MT đúng đắn trên cơ sở đó xác định được chu kỳ chuyển động và
khoảng cách của các hành tinh tới MT.
Jocdano Bruno đã ủng hộ mô hình này và tin rằng mỗi sao là một MT có
các hành tinh quay xung quanh và sự sống không chỉ có riêng ở trên TĐ.
Johaner Keppler (1571÷1630) và Galileo Galilei(1564÷1642) đã đưa ra các
biểu thức toán học và quan sát thực nghiệm công nhận mô hình này.
2. Tổng quan về cấu trúc vũ trụ
2.1. Các đại lượng đo đạc trong thiên văn
2.1.1. Khoảng cách
- Đơn vị thiên văn: Khoảng cách trung bình từ TĐ đến MT tức là độ dài bán
trục lớn quỹ đạo elip TĐ, (vt là 1 đ.v.t.v.hay 1A.U).
1A.U = 149.597.870 km ≈ 150 triệu km = 1,5813.10-5 n.a.s.
- Năm ánh sáng (n.a.s) là quãng đường ánh sáng đi được trong một năm.
1n.a.s(1L.Y) = 9,4606.1012 km = 63240 đ.v.t.v.
- Parsec là khoảng cách tương ứng với thị sai năm bằng 1”.
1 pc = 3,0857.1013 km = 206265 đ.v.t.v = 3,2616 n.a.s.
2.1.2. Thị sai (Parallax)
Là sự thay đổi vị trí của một vật so với nền cố định rất xa khi nhìn từ 2 vị
trí khác nhau do người quan sát chuyển động. Vật càng xa thì tốc độ thay đổi
hướng nhìn nó (còn gọi là tốc độ dịch chuyển biểu kiến của vật) càng nhỏ. Có thể
tính được khoảng cách đến vật quan sát ở rất xa nhờ góc thị sai là góc nhìn có
đỉnh ở vật quan sát còn 2 cạnh lấy theo hướng nhìn từ 2 điểm quan sát khác

nhau.
- Thị sai năm (annual parallax) của một ngôi sao là góc nhìn π từ ngôi sao
đến bán kính quỹ đạo TĐ.
Trong một năm từ TĐ thấy sao dịch chuyển trên nền trời vẽ thành 1 hình
elip gọi là elip thị sai.
Thị sai năm của các sao rất nhỏ cỡ dưới 1 giây cung. Phương pháp đo này
cho ta xác định được khoảng cách tới các sao gần TĐ cỡ 150 n.a.s.
- Thị sai ngày (diurnal parallax) còn gọi là thị sai chân trời (hay xích đạo) là
góc nhìn P từ một thiên thể trong hệ MT tới bán kính TĐ.
8


Khi thiên thể nhìn trên đường chân trời ở xích đạo cho góc P lớn nhất so với
các thời điểm khác trong ngày.
Ngoài 2 đại lượng đo trên, các đại lượng quang về độ sáng, độ trưng, cấp
sao v..v..sẽ đề cập tới ở các phần sau.
2.2. Quan sát bầu trời
Mắt thường từ TĐ quan sát được 5776 ngôi sao trên vòm trời (thiên cầu) có
bản đồ chi tiết và đặt tên từ thế kỷ 17. Nhờ kính thiên văn đến trước thế kỷ 20 đã
thấy hơn 7000 ngôi sao nằm trong 88 chòm sao có các ký hiệu khác nhau. Sao gần
TĐ nhất là Proxima thuộc chòm sao Bán Nhân Mã (Centaurus) cách TĐ 4,22 n.a.s
và đã quan sát thấy thiên thể xa nhất cách ta 13,4 tỷ n.a.s.
Từ xưa, việc đặt tên cho các chòm sao theo tưởng tượng về hình dáng hoặc
gắn nó với các nhân vật thần thoại (các chòm Gấu Lớn, Gấu Nhỏ, Thiên Hậu,
Tráng Sỹ, v..v..).
Từ TĐ quan sát thiên cầu tưởng tượng có trục quay cắt qua 2 điểm gọi là
thiên cực. Thiên cực bắc được quy ước là khi nhìn về nó thì chiều các sao quay
ngược chiều kim đồng hồ, tay phải chỉ phương đông, tay trái chỉ phương tây, các
thiên thể mọc đằng đông và lặn đằng tây. Có một ngôi sao nhỏ nằm ở chòm Gấu
Nhỏ cách thiên cực bắc 10 gọi là sao Bắc cực có thể nhìn thấy vào ban đêm khi xác

định được chòm sao Thiên Hậu hoặc Gấu Lớn (xem hình 3, trong [1]).
2.3. Tổng quan về vũ trụ
Ngày nay, người ta đã biết rằng TĐ là 1 trong 8 hành tinh trong hệ MT và
MT chỉ là một ngôi sao sáng bình thường trong vô số các ngôi sao phân bố không
đồng đều trên bầu trời. TĐ quay quanh MT với vận tốc khoảng 30 km/s với một
vòng quay hết một năm.
Hệ MT lại nằm trong dải Ngân Hà còn gọi là Thiên hà của chúng ta. Hệ MT
cũng quay quanh tâm của Ngân Hà với vận tốc khoảng 230 ÷ 250 km/s và từ khi
sinh ra mới quay được vài chục vòng. Ngân Hà có chừng hơn 100 tỷ ngôi sao và
ngoài nó lại có vô số thiên hà khác được nhìn thấy dưới dạng các vết sáng nhòe
yếu trước kia gọi là các tinh vân. Hiện nay, người ta thấy rằng Ngân Hà đang di
chuyển về phía thiên hà Andromede (Tinh vân Tiên Nữ) với vận tốc 90km/s và
thiên hà này lại hướng tới một tâm điểm khác gọi là Cụm thiên hà địa phương với
vận tốc 45km/s. Cả Cụm này lại chuyển động về một tâm hút lớn (chứa hàng chục
ngàn thiên hà khác) với vận tốc 600km/s, bản chất vấn đề còn đang tiếp tục nghiên
cứu. Tìm hiểu thêm có thể xem trong [5] và [6].
Như vậy, vật chất trong vũ trụ luôn vận động và biến đổi không ngừng, còn
rất nhiều vấn đề phía trước mà Thiên văn học phải nghiên cứu.
9


2.4. Keppler và các định luật chuyển động của các hành tinh
J.Keppler (1571-1630) đã xác định quỹ đạo các hành tinh chuyển động tròn
theo hệ Copernic với quan điểm của thuyết địa tâm. Các công trình này của ông đã
được Tycho Brahe quan tâm giúp đỡ nghiên cứu.
J.Keppler là người đầu tiên áp dụng các phương pháp toán học để nghiên cứu
thiên văn học và biểu diễn các định luật của tự nhiên bằng toán học.
Copernic đã xác định khoảng cách từ TĐ đến Thủy Tinh và Kim Tinh theo
phương pháp sau:
Từ TĐ xác định được góc α giữa hành tinh P ở ly giác cực đại của nó với

mặt trời S khi cho rằng hành tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn. Khoảng cách R
sẽ là R= SE.sin α (vì góc SEP=900).
Đối với các hành tinh bên ngoài TĐ việc xác định phức tạp hơn.
Các kết quả đo được cho thấy quỹ đạo của
E
Hỏa Tinh là elip.
α P

S R

Năm 1609, Keppler đã công bố 2 định luật:
- Các hành tinh chuyển động trên quỹ đạo elip,
MT nằm tại một tiêu điểm.

H1.1. Tính quỹ đạoHT

- Bán kính vectơ của mỗi hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong
những khoảng thời gian như nhau.
Năm 1619 ông công bố định luật thứ ba:
- Bình phương chu kỳ quay của các hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục
lớn quỹ đạo chuyển động của chúng.
Ta sẽ chứng minh các định luật này ở chương sau. Ở đây cần lưu ý đến đặc
điểm của elip,(xem hình 8,9 trong [1]).
Phần dưới đây nhắc lại vài công thức về ellip (H1.2):
p
Nếu gọi 2 tiêu điểm là F1và F2 có MT
v

a

b
F2

O

ϕ
F1

c

nằm ở F1, O là tâm elip thì trên đường
nối OF1 kéo dài cắt elip ở C là cận điểm
và OF2 kéo dài cắt elip tại V là viễn điểm.

H1.2.Quỹ đạo ellip của MT

Ta có VC = 2a là trục lớn, trục nhỏ vuông góc với VC và đi qua điểm giữa O
gọi b = bán trục nhỏ.
Tâm sai e = F1F2/VC = OF1 /VC =

2
2
a −b .
a

Trong hình học giải tích, độ lệch tâm càng lớn thì cho elip càng dẹt (0 < e <
1) và khi e > 1 cho hình hypecbol, e = 1 cho hình tròn.
10

Biểu thức toán học của 3 định luật trên là:
P
T12 T22
2 dϕ
R=
, r . = ct , 3 = 3 = K (hằng số).
1 + e.cosϕ
a1
a2
dt

trong đó F1P = p và ϕ là góc cận điểm hợp giữa bán kính véc tơ của hành
tinh với F1C.
T1,T2 và a1,a2 lần lượt là chu kỳ quay và bán trục lớn của 2 hành tinh.
2.5. Galile với chiếc kính thiên văn đầu tiên
Năm 1610, Galile đã chế tạo chiếc kính thiên văn đầu tiên và quan sát bầu
trời mở đầu cho vật lý thực nghiệm dùng kính viễn vọng. Các kết quả thu được là:
- Trên Tr có các dãy núi và miệng núi lửa.
- Mộc Tinh có 4 vệ tinh quay quanh nó.
- MT có các vết đen, quan sát các vết đen này suy ra chu kỳ quay của MT.
- Kim Tinh có các pha giống Tr rõ ràng quay quanh MT chứ không phải TĐ.
- Có vô số sao trong dải Ngân Hà. Kết quả này phù hợp với quan điểm của
Brunô cho rằng sao là một MT và vũ trụ là vô hạn.
Ông đã đi đến một kết luận quan trọng là chuyển động của các thiên thể cũng
giống như các chuyển động của vật thể trên mặt đất.
2.6. Newton và định luật vạn vật hấp dẫn
Các định luật Kepple và các kết quả quan sát của Galilê đã loại bỏ thuyết địa
tâm, nhưng vấn đề lực gì giữ các hành tinh quay quanh MT phải đến 50 năm sau
mới được Newton lý giải.
Newton cho rằng, lực giữ Tr chuyển động quanh TĐ về cơ bản giống như

lực hấp dẫn trên TĐ. Ông giả thiết rằng gia tốc gây bởi TĐ tác dụng lên Tr tỷ lệ
nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách TĐ-Tr bằng 60
lần đường kính TĐ nên gia tốc trọng trường trên Tr là:
g' = g/602 = 9,81/3600 = 0,0027 m/s2.
Theo công thức Huygens thì gia tốc hướng tâm của Tr là :
g' = ω2R = (2π/T)2R với chu kỳ quay của Tr quanh TĐ là T = 27,3 ngày và
R = 60R0 = 384.000km thì g, = 0,0027m/s2.
Sự phù hợp giữa 2 phương pháp tính gia tốc này chứng tỏ lực giữ Tr chuyển
động quay quanh TĐ là lực hấp dẫn của TĐ tác dụng lên Tr. Nếu có một vệ tinh
nào chuyển động quay quanh TĐ thì lực hướng tâm tác dụng lên nó cũng phải là
lực hấp dẫn. Nếu vì một lý do nào đó, vận tốc của vệ tinh giảm đi thì nó phải rơi
về TĐ như trường hợp vật ném theo phương nằm ngang. Suy rộng ra, quan điểm
về lực hấp dẫn của ông có thể áp dụng cho các hành tinh trong hệ MT.
Các hành tinh đều bị MT hút và ngược lại.
Định luật phát biểu:
11


Lực hấp dẫn giữa hai vật thể tỷ lệ với tích khối lượng và tỷ lệ nghịch với
bình phương khoảng cách giữa chúng.
Ta biết biểu thức toán học của định luật là: F = G.m1.m2/r2.
Kiểm định định luật này từ định luật 3 Kepple khi vật chuyển động tròn ta
có:
T2 = K.r3 và vận tốc của chuyển động hướng tâm là v = 2πr/T nên có:
v2 = 4π2r2/K.r3 = 4π2/K.r
Lực hướng tâm F = m.v2/r = 4π2m/K.r2 ∼ m/r2.
Mặt khác theo định luật 3 Newton, lực do vật thể có khối lượng m tác dụng
lên vật có khối lượng M thì cùng độ lớn nên: F = GMm/r2 với K = 4π2/GM.
G là hằng số hấp dẫn xác định bằng thực nghiệm (G ≈ 6,67.10-11Nm2/kg2).
Ba định luật động lực học và định luật này của Newton là cơ sở vật lý quan

trọng để khảo sát chuyển động của các thiên thể. Nhờ các định luật này người ta
đã tiên đoán được các hiện tượng nhật thực, nguyệt thực, phát hiện Hải Vương
Tinh. Tiếp đó, người ta tính toán quỹ đạo cho các con tàu vũ trụ, vệ tinh nhân tạo
v..v..
Dưới đây ta xét một số kết quả ứng dụng.
2.7. Xác định khối lượng hành tinh
Có nhiều cách xác định khối lượng TĐ, đơn giản nhất là phương pháp cân.
2.7.1. Tính khối lượng Trái Đất
Xem [1] trên hình 10 ta suy ra công thức sau:
GMm1R-2 + GMm2R-2 = GMm1R-2 + Gm1md-2.
Ta có d = khoảng cách từ tâm quả cầu với m = 6 tấn đặt trên mặt đất cách
quả cân m1với d = 0,57m quả cân m2 = 0,6mg và tính được
M ≈ 5,98.1024 kg và ρ ≈ 5,5g/cm3.
Khối lượng M của TĐ còn có thể suy từ việc đo gia tốc trọng trường.
Ta có: F = mg = GMmR-2 suy ra M = gR2/G.
2.7.2. Đo khối lượng các thiên thể
Có thể dựa vào định luật 3 Keppler:
Với a là bán trục lớn, T là chu kỳ, M là khối lượng TĐ,
a0 là bán trục lớn, T0 là chu kỳ, M0 là khối lượng MT thì
a3T-2 = GM/(4π2) & a03T0-2 = GM0/(4π2), suy ra a3T02.M = a03T2.M0. Đo đạc
cho M0/M ≈ 330.000.
Nếu tính tương tự với Mộc Tinh thì M0/Mm≈ 1050.

12


Các nội dung cần chú ý trong chương này:
-Dựa vào [1]so sánh các nội dung khác biệt về nhiệm vụ môn học, tổng quan
vũ trụ…
-Tự tìm hiểu các bài tập trong [2]khi tính khoảng cách tới các thiên thể bằng

các đơn vị đo thiên văn (parsec, góc thị sai năm…).

13


Chương 2
TRÁI ĐẤT
1. Hệ tọa độ địa lý
1.1. Tọa độ và đo đạc
Trong hệ MT, quỹ đạo chuyển động của TĐ nằm ngoài quỹ đạo của Thủy
Tinh và Kim Tinh. Các quan sát từ vệ tinh cho thấy TĐ có dạng hình cầu, các
thiên thể khác của hệ MT cũng có dạng như vậy, ngoại trừ các tiểu hành tinh và
các vệ tinh của các hành tinh.
1.1.1. Hệ tọa độ địa lý
TĐ tự quay quanh một trục xuyên qua khối tâm. Trục này tưởng tượng cắt
mặt đất ở địa cực bắc CB và địa cực nam CN. Mặt phẳng vuông góc với trục quay
này qua khối tâm cắt mặt đất một vòng tròn là đường xích đạo. Các vòng tròn nhỏ
song song với đường xích đạo là các vĩ tuyến. Các vòng tròn lớn đi qua C BCN là
các kinh tuyến. Nửa vòng kinh tuyến đi qua Đài quan sát thiên văn hoàng gia Anh
ở Greenwich quy ước là kinh tuyến gốc. (Xem hình trong [1]).
Tọa độ của một điểm A nào đó trên TĐ được xác định bởi 2 góc là
độ kinh λ và độ vỹ ϕ, -1800 ≤ λ ≤ 1800 , -900 ≤ ϕ ≤ 900.
Thí dụ, Hà Nội có λ = 105052', ϕ = 210.
Tại một điểm A trên mặt đất cần chú ý có ba loại độ vỹ. Nếu dùng một dây
dọi thì trục của nó sẽ đi qua tâm O khi xem TĐ là tròn.
Kinh
A

ϕ
O

tuyến gốc

A

O ϕ

ϕ1 ϕ2

O 1 O2

B

B

H2.1.Xác định tọa độ địa lý

Góc AOB = ϕ là độ vỹ địa tâm. Vì TĐ hình phỏng cầu nên dây dọi thực đi
qua O1 cho góc AO1B = ϕ1 là độ vỹ thiên văn.
Do TĐ quay và phân bố không đều về mật độ do đó đường AO 1 thực là bán
kính hình cầu nên góc AO2B = ϕ2 là độ vỹ trắc địa. Ba loại độ vỹ này khác nhau và
không trùng với đường thẳng góc với mặt tiếp tuyến AO 2 của hình phỏng cầu, cách
xác định theo thiên văn, toán giải tích hay đo đạc trắc địa.
1.1.2. Đo đạc
Đo lường khoảng cách gần ở trên mặt đất dùng phương pháp tam giác
lượng. Khi đo bằng cách chiếu nhiều đường gấp khúc cho kết quả khá chính xác.
Với khoảng cách hơn 10 km do bề mặt TĐ cong lên phải sử dụng tam giác cầu
(xem mục 12 trong [1]).
14

2. Kích thước và hình dạng Trái Đất
Ta có thể xác định bán kính TĐ đơn giản khi xem bề mặt TĐ là hình cầu tâm
O. Hai điểm A,B trên bề mặt TĐ lệch nhau một góc ϕ. Khi đó độ dài cung AB là
L = R (rad) .L = Rϕ(độ).π/1800 suy ra R = 1800L/π.ϕ0.
Kết quả thực hiện dễ dàng hơn nếu A, B cùng kinh tuyến và biết được độ vỹ
của chúng.
Từ thế kỷ thứ 2 (tr CN) Erathostenes ở Hy lạp đã đưa ra phương pháp đo
này, có thể diễn tả như sau: Tại Cyene (Aswan-Ai cập) giữa trưa (21-6) ánh sáng
chiếu trên đỉnh đầu thì ở cảng Alexandra cách đó 800 km ánh sáng chiếu lệch 7 02,
dùng công thức trên cho R = 6366 km khá gần với kết quả hiện nay.
Theo kết quả được công nhận năm 1964 của Hội Thiên văn quốc tế thì bán
kính ở xích đạo là a = 6378,16km, ở địa cực là b = 6346,78km, còn độ dẹt là e = 1b/a = 1/298,25.
Kết quả đo độ vỹ trắc địa và độ vỹ thiên văn cho thấy:
Độ vỹ địa tâm < độ vỹ thiên văn.
Đo độ dài cung kinh tuyến 1 0 ở vỹ độ và ở địa cực không như nhau
(110,6km <111,7km) chứng tỏ độ cong của mặt đất ở vùng xích đạo lớn hơn vùng
cực.
2.1. Chuyển động tự quay của Trái Đất
Một minh chứng rõ nét nhất là ở mọi nơi trên TĐ đều có ngày và đêm. Sau
đây ta xét chuyển động này từ thực nghiệm.
2.1.1. Đo gia tốc trọng trường
Các kết quả đo gia tốc này bằng con lắc vật lý, con lắc toán học cho thấy g
tăng dần từ xích đạo về địa cực theo độ vỹ. Tính theo m/s 2(độ vỹ ) có g =9,78
(ϕ=00); 9,787(ϕ=200); 9,802(ϕ=400); 9,810(ϕ=450); 9,819(ϕ=600); 9,831(ϕ=800);
9,832(ϕ=900).
Nếu tính theo công thức g = GM/R2 thì độ tăng còn nhanh hơn. Giải thích
hiện tượng này phải kể đến gia tốc quán tính ly tâm do TĐ tự quay:
A = ω2R.cosϕ (ϕ đúng bằng độ vỹ ). Chỉ có thành phần a 1 = a.cosϕ ngược
chiều với


g ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường nên kết quả đo là:

g' = g - a.cosϕ = g - ω2R.cos2ϕ.
Thực tế ở các điểm đo trên mặt đất còn có sai lệch do ảnh hưởng của cấu trúc
lớp vỏ.
2.1.2. Con lắc Fu-cô (Foucault)
Năm 1851, Fu-cô làm thí nghiệm với con lắc để kiểm định sự quay của TĐ.
Với con lắc có chiều dài 67 m, quả nặng 28kg, Fu-cô thấy rằng mặt phẳng dao
15


động của con lắc quay với vận tốc góc ω =150.sinϕ so với mặt đất. Nếu thí nghiệm
ở xích đạo có ϕ = 0 thì ω = 0, mặt phẳng dao động của con lắc nằm yên so với mặt
đất, còn ở địa cực ϕ = 900 thì ω =150/h = 3600/24h vận tốc quay của con lắc Fu-cô
đúng bằng vận tốc quay của TĐ.
2.1.3. Sự lệch về phía đông của vật rơi tự do
Các vật càng ở cao trên mặt đất thì vận tốc dài trong chuyển động quay
quanh trục TĐ càng lớn. Do đó, khi rơi tự do xuống một khoảng h thì vật bị lệch
về phía đông một đoạn x tính theo công thức:
x=

2πh 2h
cos ϕ . Để xây dựng công thức này thực tế khi đo trọng lực trong
T
g

Động lực học thì ở hệ tọa độ TĐ khác với hệ tọa độ trong phòng thí nghiệm do còn
có lực Coriolis.

Khi đó kết quả tính được là : x =

1 2πh 2h
cos ϕ .
3 T
g

Hiện tượng lệch về phía đông còn ảnh hưởng đến đường bay của viên đạn,
xói mòn phía bên phải bờ sông ở nửa bán cầu bắc v..v..
Việc phóng vệ tinh nhân tạo theo hướng đông sẽ thuận lợi hơn.
Lực Coriolis còn ảnh hưởng đến khí quyển và các dòng hải lưu trên đại
dương.
3. Chuyển động quay quanh Mặt Trời của Trái Đất
3.1. Hiện tượng thị sai
Mặt phẳng quỹ đạo của TĐ cắt thiên cầu theo một đường gọi là hoàng đạo.
MT chiếu thẳng góc tới TĐ thì một năm có 2 ngày cho bóng vật chiếu thẳng đứng.
Ở trên, ta đã nói đến thị sai năm, các sao trên đỉnh đầu thì quỹ đạo gần tròn, các
sao càng xa thì bán kính lớn của elip thị sai càng nhỏ.
Hiện tượng chứng tỏ TĐ chuyển động quanh MT.
3.2. Hiện tượng tinh sai
Khi quan sát sao S bằng kính thiên văn, ánh sáng từ S chiếu tới vật kính ở O
rồi tới thị kính K sau khoảng thời gian ∆t đo được độ dài OK = l = c∆t. Thực tế,
sau khoảng thời gian này, kính đã di chuyển từ K đến K1 đoạn KK1 = v. ∆t.
Để thu được ảnh của sao S thì ống kính phải hướng theo K 0O (trang 4041,GTTV):
KoK = KK1 = v.∆t tức là vị trí S1 của ảnh nghiêng với vị trí thực S một góc
σ gọi là tinh sai. Ta có: sinσ/ KK1 = sinα/OK hay sinσ = sinα.v/c. Do góc rất
nhỏ nên sinσ = σ và đổi rad ra giây có: σ = 206265”.(29,8/299792).sinα =
20”50.sinα
16

Dịch chuyển K theo mặt phẳng hoàng đạo và sau một năm ngôi sao nằm ở
hoàng cực quay một vòng tròn bán kính góc nhìn là 20”50 có tâm là vị trí thực của
sao.
Lưu ý rằng thị sai năm phụ thuộc khoảng cách đến sao, còn tinh sai phụ
thuộc kích thước quỹ đạo chuyển động của TĐ nên elip tinh sai có trị số bằng nhau
và có góc nhìn bán trục lớn bằng 20”50.
4. Tiến động và chương động của trục quay Trái Đất
4.1. Tiến động
→

TĐ chuyển động quanh MT với mômen quỹ đạo L , chuyển động tự quay với
→
→
mômen riêng →
S . Nếu TĐ tròn và mật độ vật chất là đều thì L ≡ S .
Thực tế TĐ hình phỏng cầu, lực hấp dẫn MT và TĐ tạo lên ở 2 khối dư sẽ

→

→

cho tổng hợp lực F + F ≠ 0 và có xu hướng hướng lên trên (xem hình ở [1]). Nói
1
2
→
một cách khác là giống con quay cơ học, nó làm thay vì →
xích
lại
gần

L lại quay
S
→

quanh L với góc mở 23027' với chu kỳ quay 25785 năm ≈ 26000 năm, gọi là năm
Platon. Kết quả dẫn tới trục TĐ không hướng cố định trong không gian, hoàng cực
→

(trùng phương L ) và cách bắc cực 23027'. Vì thế sau 13000 năm nữa, ngôi sao chỉ
hướng bắc sẽ là sao Vega (Chức Nữ).
4.2. Chương động
Là những dao động ngắn và nhỏ “lắc lư" của trục quay TĐ làm thay đổi độ
nghiêng của trục quay khoảng 9 ’2” gọi là hằng số chương động (xem hình 22 trong
[1]). Chương động lồng vào tiến động làm trục quay của TĐ chuyển động hình sin
với chu kỳ 18,6 năm.
Nguyên nhân của 2 chuyển động này là do lực hấp dẫn giữa TĐ với Tr và
MT.
Mặt trăng thay đổi vị trí của nó trên quỹ đạo chuyển động, lúc ở trên, lúc ở
dưới hoàng đạo tạo ra dao động của cực bắc khoảng 9’2” quanh vị trí trung bình.
4.3. Chuyển động Chandler
Đó là sự di chuyển cực TĐ xung quanh vị trí trung bình, khi đó cực bắc vẽ
lên một quỹ đạo phức tạp gọi là polhodie (pôlôđi) có bán kính khoảng 10 - 12m so
với vị trí trung bình của cực theo chu kỳ 14 tháng. Góc lệch đo được tối đa không
vượt quá 0,3 - 0,4” so với cực trung bình.
Thực ra có 2 loại chu kỳ dao động:
- Chu kỳ 14 tháng (430 ngày) phụ thuộc khối lượng vật chất trong lòng trái
đất phân bố không đều (có biên độ dao động cỡ 0,15” = 4,5m).
17

- Chu kỳ 12 tháng (350 ngày) phụ thuộc sự thay đổi khí áp, băng tuyết và
tùy thuộc mùa. Biên độ dao động khoảng 0,1”.
Hiện tượng dịch chuyển này làm các cực thay đổi trong phạm vi nhỏ.
Các nội dung cần chú ý trong chương này:
-Phát hiện các nội dung bổ sung so với [1]trên cơ sở đó giải các bài tập
liên quan trong cuốn bài tập thiên văn [2]..

18


Chương 3
QUY LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC THIÊN THỂ
1.Phương trình chuyển động của bài toán hai vật
1.1. Bài toán hai vật
Các hành tinh chuyển động quanh MT tuân theo 3 định luật Kepple được gọi
là chuyển động không nhiễu loạn. Từ định luật vạn vật hấp dẫn và 3 định luật cơ
bản của Động lực học có thể suy ra 3 định luật Kepple từ lý thuyết khi xem bài
toán chuyển động của hành tinh và MT là bài toán 2 vật. Bài toán chuyển động này
có thể xem là chuyển động của 2 chất điểm vì khoảng cách giữa chúng rất lớn so
với kích thước. Phương trình chuyển động được xây dựng như sau:
Khảo sát chuyển động của 2 vật thể M 0 (khối lượng m0) và M (khối lượng m)
đặt cách nhau một khoảng r. Hai vật hấp dẫn lẫn nhau.
Xét trong hệ tọa độ tuyệt đối OXYZ thì phương trình chuyển động của
M0(X0,Y0,Z0)là:
2
X − X0 d 2 Y 0
Y − Y 0 d 2 Z0
Z − Z0
d X0
=

Gm
=
Gm
; 2
; 2 = Gm 3 .
2
3
3
dt
dt
dt
r
r
r

Và của M(X,Y,Z) là:
2
2
2
d X
Xo − X d Y = G Yo − Y d Z = G
Zo − Z
=
G
m
m
mo
;
;
.

o
o
2
2
2
3
3
3
dt
dt
dt
r
r
r

Với r = (X − X o)2 + (Y − Y o)2 + (Z − Z o)2 .
Thực tế để bài toán đơn giản hơn, ta xét trong hệ tọa độ tương đối với gốc đặt
tại M0(X0,Y0,Z0 ) và các trục M0x, M0y, M0z tương ứng song song với các trục OX,
OY, OZ. Ta có: x = X – X0, y = Y – Y0, z = Z – Z0 và r2 = x2 + y2 + z2.
Phương trình chuyển động tương đối của M với M0 sẽ là :
d2x
x
x d2y
y
y
(
)
=
−
G

m
+
m
=
−
K
; 2 = −G ( m 0 + m ) 3 = − K 3 ;
0
2
3
3
dt
r
r dt
r
r
d2z
z
z
= −G ( m 0 + m ) 3 = − K 3 . Dưới dạng vectơ ta có:
2
dt
r
r
d2 r
r
r
= −G ( m 0 + m ) 3 = −K 3 , với K = G(m0+m).
2
dt

r
r

Hệ 3 phương trình vi phân bậc 2 này mô tả chuyển động tương đối của vật
thể M trong trường hấp dẫn của M0.
Giải bài toán động lực học này ta có thể xác định được dạng biểu thức toán
học của 3 định luật Keppler.
1.2. Ba định luật Keppler
Dùng các định luật bảo toàn cơ học, ta có thể suy ra các biểu thức toán học
của ba định luật Keppler.
19


1.2.1. Định luật 2 của Keppler
Dưới tác dụng của lực hấp dẫn giữa MT (có khối lượng M) và hành tinh (có
khối lượng m), thế năng hấp dẫn là: U = −G

Mm
.
r
1
2

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì E = m v2 − G

Mm
= const. (1).
r

→

Mặt khác chuyển động là xuyên tâm nên L = m  r × v  = m r 2 ω = const.


→

→

→

Sau một khoảng thời gian dt hành tinh quay một góc dϕ quét một diện tích
dS .Ta có :dS =
Vậy

1 2
dS 1 2 dϕ 1 2
= r
= r ω.
r dϕ →
2
dt 2 dt 2

dS
L
=
= const (đ.p.c.m).
dt 2m

1.2.2. Định luật 1 Keppler
Xét bài toán trong hệ tọa độ cực có x = rcosϕ; y = r sinϕ, v2 = vr2+vϕ2 vậy

( ) ( )

dr
dϕ
+ r2
v =
dt
dt
2

2

2

do đó động năng của chuyển động là:

( ) ( )

( ) ( )

2
m  dr 2 2 dϕ 2  m  dr 2
1
L 
2
+r
+
K = mv =

=


.
2  dt
2  dt
2
dt 
mr 

Thay vào (1) ta có:

( ) ( )
( )

2
m  dr 2
L  GMm
+
=E

2  dt
r
mr 
2
2
GMm 
L
E +
−
.Vậy:
m

r  mr

±

dr
=
dt

dt =

( )

2
GMm 
L
E +
−
m
r  mr
dr

( )

2
GMm 
L
E +
−
m
r  mr

(chú ý rằng

2

2

( ) ( )

( )

2
2
 dr 2
GMm 
L  2
dr
+
E
+


=
→
=

r 
mr  m 
dt
 dt

→

→ chuyển động theo 1chiều thì:
dϕ =

L
m r2

dr

( )

2
GMm 
L
E +
−
m
r  mr

2

dϕ
L
L
dϕ
=
= r2
→

và quy ước chọn góc ϕ > 0) do đó:
dt m r 2
m
dt

20


L
- d 
r

dϕ =
2mE +

()

. Lấy tích phân hai vế, ta có:

2

2GM m2 L
−
r
r

1
−
2

2

GMm 2 2
GMm 2 2
2GMm 2 L  L  
ϕ =−2mE +(
) −(
) +
−  
L
L
r.L
r  




→ ϕ = −∫

(

2

(

Vậy

L GM m 2
−
r

L

)

2

 GM m 2 
L GM m 2
2mE + 
 − −
r
L
 r 

GM m2
A = 2mE +
L
2

(

d

ϕ = −∫

)

)

2

 L GM m2 
−
 và
L 
r

đặt θ = 

2

.
dθ

A −θ
2

2

= arc cos

θ
+ ϕ0.
A

Chọn ϕ0 = 0
L GM m2
−
r
L

ϕ = arccos

(

GM m 2
cosϕ 2mE +
L

(

(
)

GM m
2mE +
L

L
GM m 2
= cosϕ 2mE +
r
L

)

2

2

+

=

2

)

2

hay cos ϕ =

L GM m2
→
−
r
L

GM m2
→
L

21

L GM m 2
−
r
L

(

GM m2
2mE +
L

)

2

→

L 
.d 
r 


r=

L
L
GM m 2
 GM m2
 L
+ cosϕ ... 

2
 L
 GM m

L2

GMm 2

=

2
1 + cosϕ . 2mE +  GMm
 L








2

2 
 L  
.
2 
 GMm  


L2
GMm 2
=
.
2EL2
1 + cosϕ .

+1
G 2M 2m3

Vậy r =

2
p
L
, trong đó p =
và e =
1 + e.cosϕ
GM m2

2E L2
2

2

G M m

3

+1

Đó là phương trình đường conic trong tọa độ cực, cho thấy:
- Khi e < 1 (năng lượng E < 0) quỹ đạo chuyển động của thiên thể là
đường elip (nếu e = 0 sẽ cho quỹ đạo tròn).
- Khi e = 1(E = 0) quỹ đạo là đường parabol.
- Khi e > 1 (E > 0) quỹ đạo là đường hypecbol.
Các hành tinh chuyển động quay xung quanh MT (trừ Thủy Tinh) đều có

quỹ đạo gần tròn tức là tâm sai rất bé.
TĐ và Tr cùng chuyển động quay quanh MT với khối tâm chung có tâm
sai e = 0,017. Các vệ tinh chuyển động quay quanh hành tinh cũng có quỹ đạo
gần tròn.
Hầu hết các sao chổi có quỹ đạo quay quanh MT là elip dẹt, một số trường
hợp do nhiễu loạn, có quỹ đạo hypecbol bay ra khỏi hệ MT.
1.2.3. Định luật 3 Keppler
Khi khảo sát 2 định luật trên ta có dS/dt = L/2m, mặt khác biết diện tích elip
là S = πab và chu kỳ là T ta có dS/dt = πab/T.
Vậy (L/2m)2 = (πab)2/T2 suy ra (L/m)2 = (2πab/T)2 = pGM = GM.b2/a.
(vì p = a(1 - e2) = b2/a và M = m + mo).
Kết quả cho: T2(m+mo)/a3 = 4π2/G = const.
Với 2 hành tinh khối lượng m 1, m2 chuyển động quay quanh MT(khối
lượng M), theo công thức tổng quát của định luật 3, ta có: T 12(M+m1)/a13 =
4π2/G = T22(M+m2)/a23, suy ra:
T12(M+m1) / T22(M+m2) = a13/a23.
Do m1, m2 << M nên T12/T22 = a13/a23.

22


Công thức này cho ta xác định được khối lượng các thiên thể khi biết chu
kỳ và bán trục lớn của quỹ đạo chuyển động.
2. Nhiễu loạn chuyển động
Bài toán 2 vật mới chỉ kể đến sự tương tác của 2 vật thể có khối lượng.
Thực tế, có nhiều vật thể trong một không gian tương tác lẫn nhau, do đó quy
luật chuyển động của nhiều vật phức tạp hơn nhiều.
Xét một hành tinh a trong hệ MT, rõ ràng nó không chỉ chịu lực hấp dẫn
với MT mà còn tham gia vào quá trình tương tác với các hành tinh khác. Khi đó
phương trình chuyển động là:

⋅⋅

ma

→

ra

=− G

Mm a →
Gm b ⋅ m a → trong đó → → → là véc tơ
r
−
rab
r ab = r a − r b
∑
aM
3
b≠a
raM
rab3

hướng từ b sang a.
⋅⋅

Ta có phương trình chuyển động là:
⋅⋅

Với MT thì:

→

rM

=− G

→

ra

=− G

Gm b → (1).
M →
r
−
∑ 3 rab
aM
3
b≠a r
raM
ab

→
→
ma →
Gm b → (2) với →
=
−

r
−
r
r
r
r
∑
aM
a
M
aM
bM
3
3
b≠a r
raM
bM

Trừ (1) cho (2), ta được:
⋅⋅

→

raM

→ 
 →
M + ma →
rbM 
 rab

=− G
raM − ∑ Gmb  3 +
3
3  (3) là biểu thức cho ta xác
b≠a
raM
rbM 
r
 ab


định lực tác dụng lên một hành tinh nào đó.
Xét 2 số hạng vế phải của (3) ta thấy:
Số hạng thứ nhất đóng vai trò chủ yếu do M >> m a , hơn nữa khoảng cách
→

giữa các hành tinh rất nhỏ so với r aM .
Khi tính toán gần đúng số hạng thứ hai đóng vai trò nhiễu loạn chỉ bổ sung
cho kết quả gần đúng hơn.
Từ (3) cho ta 2 nhận xét sau:
- Vế phải của (3) có tổng M + ma thể hiện đúng với định luật 3 Keppler:
a3/T2 = G(M+ma) /4π2.
- Năm 1781, Hershell phát hiện ra Thiên Vương Tinh, sau đó Le Verier trên
cơ sở tính toán nhiễu loạn của quỹ đạo chuyển động Thiên Vương Tinh chỉ ra vị
trí có thể có của hành tinh mới. Năm 1846 Galê (Đức) đã phát hiện ra Hải Vương
Tinh, và năm 1900 người ta đã phát hiện ra 8 vệ tinh của nó. Đến năm 1930 mới
phát hiện ra Diêm Vương Tinh do nó nhiễu loạn không đáng kể lên Hải Vương
Tinh, hơn nữa khoảng cách ở xa và khối lượng nhỏ.
23

Người ta còn phát hiện ra khoảng cách từ TĐ đến các hành tinh và MT tuân
theo quy luật sau (sẽ được đề cập đến ở chương 10):
Thủy
0+4=

Kim
3+4=

TĐ
10

Hỏa
-12+4= 28

Mộc
52

Thổ
100

TV
196

HV
388

DV
772

3,9
7,3
10
15,2
27,7
52
95,4
192
301
398
Ở đây quy ước 1 đ.v.t.v = 10.
3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và các trạm vũ trụ
Để có chuyển động tròn quanh TĐ thì ght = ghd tức là v2/R = GM/r2 suy ra
v2 = GM/(R+h) và tính được vI = 7,91km/s là tốc độ vũ trụ cấp 1.
Vệ tinh bắn ra khỏi TĐ khi tốc độ tối thiểu phải có để sao cho E = 0, khi đó
nó chuyển động theo quỹ đạo parabol:
vì E =

mv 2
Mm
2GM
−G
= 0 suy ra v 2 =
→ v II =
2
r
r

2GM
= 11,2km/s .

r

Để thoát không còn là vệ tinh của TĐ, trạm vũ trụ phải có vận tốc ban đầu
lớn hơn 11,2km/s cho đến khi vượt khỏi vòng cầu tác dụng của TĐ và chưa đi
vào vòng cầu tác dụng của thiên thể khác.
Một vật khối lượng m so với vật khối lượng m 1 thì hình cầu tác dụng là
khoảng không gian bao quanh nó thỏa mãn điều kiện (∆g/g) < (∆g1/g1) trong đó
∆g, ∆g1 là gia tốc nhiễu loạn do m, m 1 gây ra; r là khoảng cách giữa m và m 1. Do
2

5
đó, ta suy ra bán kính tác dụng là ρ = r m  với ρĐT = 930000km, ρĐtr =
m 
 1

66000km.
Trạm vũ trụ muốn thoát khỏi ảnh hưởng của TĐ hướng về MT thì khi ở độ
cao h, vận tốc ban đầu phải thoả mãn điều kiện: vo2 =

2GM 2E
+
(suy từ phần trên
R+h m

với R+h = r). Để tiến tới khoảng cách r =ρ (bán kính hình cầu tác dụng của TĐ)
thì vận tốc nhật tâm của trạm vũ trụ cần đạt vận tốc quay tính theo công thức
vx =
2

2GM 2E

 1
1
+
−  với ρ >> R+h.
. Do đó, v02 − v2x = 2GM
ρ
m
R +h ρ

Ta có v02 − v2x ≈ v2p =

2GM
→ v 0 = v2p + v2x .
R

Biết vận tốc quay của TĐ là 29,8km/s thì để đạt tới quỹ đạo parabol (E = 0)
tối thiểu vp = vđ 2 = 42,1km/s.Nếu trạm muốn thoát khỏi hệ MT thì v =
42,1km/s, khi đó có 2 khả năng xảy ra là:
- vx = vp với vxmin = vp - vđ = 12,3km/s;
24


bắn ngược hướng thì vmax = vp+ vđ = 71,9km/s.
Kết quả cho v 0min = v2p + v2xmin = 16,6km/s và v 0max = v2p + v2xmax = 72,8km/s.
Vận tốc vũ trụ cấp 3 là vIII = 16,6km/s.
Muốn bắn trạm vũ trụ thoát khỏi hệ mặt trời phải chọn hướng và đạt được
vận tốc hơn 16,6 km/s.
Các nội dung cần chú ý trong chương này:
-Dựa vào [1] và các học phần cơ học đã biết để so sánh các cách giải bài
toán Keppler khác nhau…

-Tự tìm hiểu các bài tập về chuyển động của các thiên thể và vệ tinh trong
[2].
Chương 4
THIÊN CẦU - NHẬT ĐỘNG
1. Thiên cầu
1.1. Các khái niệm cơ bản về thiên cầu
Để xác định vị trí các thiên thể, người ta giả định chúng được gắn lên một
thiên cầu (selestial sphere) có bán kính rất lớn với tâm là mắt người quan sát, tức
là chọn TĐ là tâm của Thiên cầu.
Ta cảm thấy các thiên thể và cả thiên cầu đều luôn chuyển động là do TĐ
quay quanh một trục trên cùng một quỹ đạo, đồng thời chính thiên thể đang quan
sát cũng quay. Đó là chuyển động biểu kiến của thiên thể, và của cả thiên cầu.
Trong một ngày đêm, thiên cầu cùng các thiên thể chuyển động biểu kiến
quanh một trục nối hai thiên cực (chính là trục TĐ nối giữa hai cực Bắc - Nam).
Chuyển động này gọi là nhật động (diurnal monition ) và quỹ đạo chuyển động
của các thiên thể sẽ vẽ lên các vòng nhật động.
Thiên cực hay các cực vũ trụ (celestial pole) là sự quy chiếu của các cực địa
lý TĐ lên thiên cầu và ở đúng các vị trí phía trên các cực địa lý.
Do hiện tượng tiến động của TĐ thiên cực di chuyển tuế sai một vòng mất
25.785 năm.
Trục vũ trụ là đường nối các cực vũ trụ và đi qua tâm thiên cầu.
Trục vũ trụ PP, có P là thiên cực bắc
x
P
E
ϕ

N

Z

S

vuông góc với mặt phẳng có chứa xích đạo
trời(vòng tròn XWX,E nghiêng trên hình).

X

’

W
Z,

’’//

P

Xích đạo trời là sự quy chiếu của xích đạo

TĐ lên thiên cầu, do đó nó vuông góc với trục

25