SKKN Phương pháp giải bài tập điện : Mạch cầu.

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi giải các bài toán về mạch điện một chiều , một số học sinh thiếu tự tin về các bài
toán mạch điện có dạng mạch cầu, đặc biệt khi trên các nhánh hoặc đường chéo của
mạch cầu có mắc Vôn kế , Ămpe kế. Vấn đề nhất thiết cần phải biết vai trò của các
nhánh, của đường chéo trong mạch cầu. Từ đó mới có thể tìm lời cách giải phù hợp
cho từng bài toán một cách hợp lý.
Khi gặp phải một số bài toán được vẽ dưới dạng thiếu tường minh, hoặc được mắc
giới dạng đặc biệt. Để có thể giải bài toán bằng cách áp dụng được cách tính thông
thường (chương trình Vật Lý THCS), nhất thiết phải phân tích vai trò của thiết bị
trong đoạn mạch đó, do đó công việc trước tiên, đòi hỏi chúng ta phải đi phân tích
mạch điện, xác định vai trò của các phần tử trong mạch. Nếu thấy chưa đủ chúng ta
cần phải đi bước tiếp theo, chuyển đổi mạch điện đó thành mạch điện tương đương
dưới dạng tường minh sao cho dễ nhìn, dễ phân tích, nhận thấy vai trò của các phần tử
trong mạch.
Trong thực tế, hầu hết học sinh đều gặp phải khó khăn khi giải các bài toán có dạng
mạch cầu, đặc biệt là có một số trường hợp do vai trò của các cạnh của mạch cầu, hay
đường chéo của mạch cầu mắc dưới dạng thiếu tường minh, đòi hỏi phải chuyển đổi
tương đương mạch điện đã cho sang một mạch điện khác, mạch điện mới này có hoàn
toàn tương đương với mạch điện trước chuyển đổi không. Có thể thay thế được mạch
trước đó hay không , đòi hỏi các em phải nắm vững được các dạng mạch cầu.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy phân môn toán điện một chiều ở khối THCS tôi
rút ra một số khinh nghiệm về phương pháp giải các dạng bài toán dạng mạch cầu.
Gọi tắt là một số “phương pháp giải bài bài tập điện, mạch cầu” .
Phương pháp giải bài tập điện : Mạch cầu.
Nếu được trang bị phương pháp giải toán này, học sinh sẽ tự tin và có thể phần nào
giải quyết những khó khăn khi gặp những bài có mạch cầu trong chương trình THCS.
Đồng thời giúp các em mở rộng kiến thức cơ bản, kỹ năng phân tích, thúc đẩy tính
sáng tạo, tự tin giải quyết các bài toán về mạch điện một chiều .Với phương pháp này
tôi đã dạy cho các em, đặc biệt những học sinh có năng khiếu và ham thích môm Vật
Lý. Hiệu quả thu được rất tốt, có nhiều học sinh đã đạt được các kết quả cao trong
các kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS.

Đề tài có lý luận ngắn gọn dễ nhớ, đặc biệt đi sâu vào phần ứng dựng, phần mạch
điện có tính thực tế hơn, những bài toán thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi.
Dù bản thân đã cố gắng, song phương pháp này cũng chưa thể đáp ứng được hết tất
cả các dạng bài toán trong chương trình THCS và chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất
mong được nhiều ý kiến đóng góp của quý độc giả.
Xin chân thành cảm ơn.

1


NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI;
Nội dung đề tài được trình bài gồm các phần chinh như sau:
Phần I : Lý do chọn đề tài
Phần II : Cơ sở lý luận các phương pháp giải toán mạch cầu
Phần III : Áp dụng.
Phần IV: Lời kết.

NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài đi sâu nghiên cứu một số dạng toán về mạch điện thường gặp và nêu phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng, có ví dụ cụ thể.
Đề tài mang tính thực tiển cao, đáp ứng được yêu cầu của người dạy và người học.

2


MẠCH CẦU.
Mạch điện được vẽ như hình 1, được gọi là mạch cầu. Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là
các cạnh của mạch cầu, điện trở R5 gọi là đường chéo của mạch cầu.
Người ta phân mạch cầu thành hai
R1

R2
loại: Mạch cầu cân bằng và mạch cầu
M
không cân bằng.
A
B
R5
R3
R4
I. MẠCH CẦU CÂN BẰNG.
N
Tính chất của mạch cầu cân bằng:
H1
a) Về cường độ dòng điện.
- Theo hàng ngang, các dòng điện bằng nhau.
I1 = I2 ;
I3 = I4
(1)
- Theo cột dọc, các dòng điện tỉ lệ nghịch với điện trở của chúng.
I 1 R3
=
I 3 R1

I 2 R4
=
I 4 R2

:

(2)

b) Xét về huêụ điện thế.
- Theo cột dọc, các hiệu điện thế bằng nhau.
U1 = U3 ; U2 = U4
(3)
- Theo hàng ngang, các hiệu điện thế tỉ lệ thuận với điện trở.
U1 U 2
=
R1 R2

;

U3 U4
=
.
R3 R4

(4)

c) Xét về điện trở,
Từ (1) và (2) hoặc từ (3) và (4) ta có công thức cầu cân bằng
R1 R3
=
R2 R4

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
cho R1 = R3 = 2Ω, R2 = R4 = 8Ω, Ω
R5 = 5Ω, UAB = 12V.
Tìm I1, I2, I3, I4 , I5 và dòng điện
mạch chính I.

Lời giải:
Xét thấy

(5)
R1

+A

R2

-B

R5
R3

R4

Đây là bài toán mạch cầu.
R1 R3
=
R2 R4

Cầu cân bằng , do đó dòng qua R5, I5 = 0; ta có thể bỏ qua điện trở này, vậy mạch điện
bây giờ chỉ còn hai nhánh mắc song song với nhau.
Nhánh thứ nhất gồm R1 mắc nói tiếp với R2
Nhánh thứ hai gồm R3 mắc nối tiếp với R4.
3


Ta có thể vẽ lại mạch điện như hình sau:

Nhìn vào hình vẽ ta có thể tính điện trở tương đương của đoạn mạch như
R2 sau.
R1

( R1 + R2 ) ( R3 + R4 )

Rtđ = R + R + R + R = 5Ω,
1
2
3
4
Do đó dòng điện điện mạch chính sẽ bằng,
U AB

R5

+A

-B

12V

R3
I = R = 5Ω = 2,5 A
AB
Mặt khác do điện trở hai nhánh tương đương
Nhau nên dòng điện qua các điện trở đều bằng nhau và bằng 1,25 A.
Khi gặp bài toán mạch cầu cân bằng, ta luon nhớ hai điều:
- Dòng điện qua đường chéo bằng (0).
-

R

R

3
1
Điện trở R1, R2, R3, R4. thỏa mãn : R = R
=
4

Ví dụ 2. Cho một mạch điện như hình vẽ.
R4 = 3 Ω ;Biết rằng : R1 : R2 : R3 = 1: 2 : 3;
I1 = 1A, U4 = 1V, I5 = 0.
+A
Tìm R1, R2, R3, R4, R5, RAB

R2

R1

-B

R5
R13

R4

Lời giải: Gọi I1, I2, I3, I4 , I5 là dòng điện
Qua các điện trở tương ứng.

Do mạch cầu cân bằng. I5 = 0. Từ điều kiện bài toán
Ta có.

R4

Hình

R1 R4
R4 R2
=
=
=2
hay
R2 R4
R3 R1
I 1 R3
=
=3
(1)
I 3 R1

I1 + I3 = 1

(2)
3
4

1
4

Từ (1) và (2) ta có I1 = A ; I3 = A
U

U

4
4
R4 = I = I = 4Ω .
4
3

R
R4
2
= 2Ω ;
R2 = 3 = Ω ;
2
3
3
( R1 + R2 )( R3 + R4 )
RAB = R + R + R + R = 1,5Ω
1
2
3
4

R3 =

R2 = 2R1 =

3
Ω
4

II. MẠCH CẦU KHÔNG CÂN BẰNG.
1/. Mạch cầu có một điện trở cạnh bằng không. Có nghĩa là một trong bốn điện
trở bằng không, khi gặp bài toán này chúng ta nên vẽ lại sơ đồ mạch điện.

4


Ví dụ 1. Cho bài toán như hình vẽ H1. Trong đó UAB 2V. R1 = R2 =1,5 Ω ; R4= 2 Ω ; R5
= 3 Ω , Ămpe kế có điện trở không đáng kể. Tìm các dòng điện đi qua các diện trở và
Ămpe kế.
Lời giải: Gọi IA, I2, I3, I4 , I5 là dòng điện
Qua các điện trở tương ứng.
Trong đó điện trở Ămpe kế không đáng kể
Hay RA = 0 , do đó ta có mạch điện như
sau

C

A

R2

A

R5

B

R4
D

H1

R3

U
4
R2 mắc rẽ nên I2 = R = 3 A
2

D

R
R35

R4

Điện trở tương đương nhánh ANB.

A
R3 .R5
+
R
RANB = R + R
4 = 1+2 = 3 Ω
3

5
U
2
R AN
2
Vậy I4 = R = 3 A ; I5 = R I 4 = 9 A ;
ANB
5
4
4 2 14
I3 = I4 – I5 = A ; I1 = I2 + I5 = + = A
9
9 9 9

B

R2
H2

; I = I2 + I4 =

4 2
+ = 2A
3 3

Như vậy, trường hợp mạch cầu có các điện trở là cạnh mạch cầu lần lượt bằng (0),
cách giải đều tương tự, tuy nhiên, cần lưu ý sơ đồ hình 2 chỉ có tác dụng giúp ta đễ
nhìn, dễ phân tích mạch điện, để tính toán mà không thể thay thể được sơ đồ hình 1,
bởi vì tác dụng của cạch mạch cầu AC vẫn tồn tại I1 =

14
A.
9

2/. Trường hợp mạch cầu có điện trở đường chéo bằng (0),
Ví dụ 1. Cho mạch điện như hình vẽ.
Trong đó điện trở Ămpe kế RA = 0,
R1
C
R1= R3 = 2 Ω ; R2 = 1,5 Ω ; R4 = 3 Ω ,
UAB = 1V.Tìm các cường độ dòng điện
A
A
qua các điện trở và chỉ số của Ămpe kế,
R3
cực dương của Ămpe kế mắc vào đâu.
D
- Phân tích mạch điện, ta thấy rằng:
RA = 0, nên ta chập hai điểm D, C lại
H1
Với nhau, khi đó mạch có sơ đồ như sau.
R1 mắc rẽ với R3, mắc nối tiếp,
R1
R2 mắc rẽ với R4
- Lời giải:
A
R1 .R3
2
=
−

1
Ω
Điện trở tương đương RAC = R + R 2
1
3
R2 .R4
1,5.3
=
= 1Ω
R2 + R4 1,5 + 3
Điện trở tương đương R
CB =

R3

C
D

R2

B

R4

R2
B
R4
H2

5

Hay RAB = RAC + RCB = 1 + 1 = 2 Ω .
R

1 3

1

1

1 1 1
4
I2 = I R + R = 2 . 4,5 = 3 A ;
I4 = I – I 2 = − = A .
2 3 6
2
4
Vì I2 > I1 nên dòng điện chạy từ D đến C, nên cực dương của Ămpe kế mắc ở điểm
D. Chỉ số của Ăm pe kế .

I3 = I1 =

I 1
= A;
2 4

U

AB

Nên I = R = 2 A .
AB

IA = I2 – I1 =

1 1 1
− =
A.
3 4 12

3/. Mạch cầu có hai điện trở bằng không(o).
Ví dụ. Cho mạch điện như hình vẽ:
R2
C
RA1 = RA2 = 0; R2 = 2 Ω ; R3 = 3 Ω ; R5 = 6 Ω
UAB = 2V. Tìm chỉ số của các Ăm pe kế,
A
R5
- Phân tích bài toán: Vì R của hai
B
R2
Ăm pe kế đều bằng (0).
H1
A2
D
Nên ta chập điểm A với điểm C
Điểm D với điểm B
Như vậy ta có sơ đồ tương đương
Nhờ sơ đồ này ta tìm được I ; I2 ; I3 và I5. Sau đó ta dùng sơ đồ gốc tìm chỉ số của các
Ăm pe kế,

- Lời giải.
R2
Từ các phân tích trên , ta có sơ đồ tương đương.
Trong đó:
R3
U
U
2
I2 = R = 1( A) ; I3 = R = 3( A) ;
2
3

DBB

AC

U 1
I5 = R = 3 ( A)
5

R5

Vậy. I = I2 + I3 + I5 = 2.A
1
3

Chỉ số của Ăm pe kế A1 chỉ . IA1 = I2 + I5 = 1+ =

4
A

3

Chỉ số của Ăm pe kế A2 chỉ. IA2 = I2 + I5 = 1A
( Lưu ý đến việc xã định chiều dòng điện)
Ví dụ 2. Cho mạch điện như hình vẽ.
Biết RA1 = RA2 = 0. R5 = 1 Ω ; R2 = 3 Ω ; R4 = 6 Ω ; UAB = U = 2V.
- Phân Tích. Do RA1 = RA2 =0 nên ta chập A,C,D với nhau, bỏ qua R5, ta có sơ đồ
tương đương như sau.
A1

A

C

R2
R2
R5

B

ACD

R4
A2

D

B
R44

H1

H2

6


Vì có 2 điểm C,D cùng điện thế nên I5 = 0. Ta suy ra:
U

2

I2 = R = 3 A
2
I = I2 + I4 = 1A
Trở về sơ đồ gốc ta có:
IA1 = I2 =

U

2
A
3

:

1

I4 = R = 3 A
4

;

1
A
3

IA2 = I4 =

4/. Mạch cầu có 3 điện trở bằng (0).
Ví dụ 1. Cho bài toán như hình vẽ .
Biết R2 = 1 Ω ; R4 = 2 Ω .
C
A1
RA1 = RA2 = RA3 = 0; A5 chỉ 0,1A.
R2
B
A
Hỏi chỉ số : A2 : A1
A3
R4
- Phân tích bài toán. Thực ra các
H12
Ăm pe kế có điện trở không đáng kể
A2
D
Chứ không phải băng 0 tuyệt đối, do đó
Có hai trường hợp xẩy ra.
Tuy nhiên dòng qua R2 ; R4 và dòng mạch chính chung cho cả hai trường hợp.
- Bài giải. Ta chia bài toán ra hai trường hợp:

R4 = 3 Ω ;
CD

C

A1

R2

A

A3
A2

A1

B

A

A3

R4
A2

D
H1

R2

B

R4

D
H2

Dòng điện qua R2. và R4.
U

1

U

1

I2 = R = 1 ( A)
;
I4 = R = 2 ( A)
2
4
Dòng điện qua mạch chính.
I = I2 + I4 = 1 + 0,5 = 1,5A
a) Nếu dòng qua A3 chạy từ C đến D ta có.
IA1 = IA3 + I R2 = 1,1A
IA2 = IR5 – IA3 = 0,5 – 0,1 = 0,4.
b) Nếu dòng qua A3 chạy từ D đến C ta có.
IA1 = IR2 – IA3 = 0,9A
Ia2 = I4 + IA3 = 0,5A .
III.MẠCH CẦU TỔNG QUÁT.

Để giải bài toán này người ta thường đưa ra ba phương pháp.
7


- Phương pháp điện thế nút.
- Phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là dòng điện.
- Phương pháp chuyển mạch điện sao, tam giác.
Trong các phương pháp trên, phương pháp điện thế nút là phương pháp ưu việt
nhất, vì trong một mạch có rất nhiều dòng điện, rất nhiều điện trở nhưng số điểm nút
thường ít hơn, hơn nữa các điện thế nút thường dẫn đến phương trình bậc nhất, phù
hơp với chương trình toán THCS.
Ví dụ 1. Cho mạch điện như hình vẽ.
Biết R1 = R2 = 1 Ω ; R3 = 2 Ω ;
R4 = 3 Ω ; R5 = 4 Ω ; UAB = 5,7V.
Tìm cường độ dòng điện qua các diện
Trở và điện trở tương đương của mạch cầu?

R1

R2

M

1

B

A
R5
R3

R4
N

Lời giải gợi ý.
1) Phương pháp điện thế nút.
Ta đặt hai ẩn số là U1 và U3 khi đó :
U5 = UMN = UNA + UAM = -U3 + U1.

U 1 U 1 − U 2 5,7 − U 1
+
=
4
1
Ở nút M ta có: I1 + I5 = I2 ⇒ 1
U 3 5,7 − U 3 U 1 − U 3
=
+
Ở nút N ta có: I3 = I4 + I5 ⇒
2
3
4
Từ (1) ⇒ 9U1 – U3 = 22,8
Từ (2) ⇒ - 3U1 + 13U3 = 22,8

(1).
(2)
(3)
(4).

Từ (3) và (4) ta suy ra các hiệu điện thế và các dòng điện.
U1 = 2,8V; U2 = 2,9V; U3 = 2,4V; U4 = 3,3V; U5 = 0,4V.
U

1
I1 = R = 2,8 A
1

;

U3

I3 = R = 1,2 A
;
3
I = I1 + I3 = 4(A)
Điện trở tương đương của mạch cầu sẽ là:
Rtđ =

U

2
I2 = R = 2,9 A .
2

U

4
I4 = R = 1,1A
4

U AB 5,7
=
= 1,425Ω
I
4

2) Phương pháp đặt hệ phương trình có ẩn số là dòng điện.
UAB = U1 + U2 = R1I! + R2I2 = I1 + I2 =5,7
(vì R1 = R2 = 1)
⇒ I2 = 5,7 – I1
(5)
Từ nút M ta có: I5 = I2 – I1 = (5,7 – I1) – I1.
⇒ I5 = 5,7 – 2I1
(6)
⇒
UAM = U1 = U3 + U5
I1 = 2I3 + 4I5
8


I 1 − 4 I 5 I 1 − 4(5,7 − 2 I 1)
=
2
2
9 I − 22,8
Hay I3 = 1
2

I3 =

(7)

Từ nút N ta cũng có:
I4 = I3 – I5 =

9 I 1 − 22,8
13I 1 − 34,2
− 5,7 − 2 I 1 =
.
2
2

(8)

Cuối cùng ta có. UANB = U3 + U4 = 2I3 + 3I4 .

13I 2 − 34,2
) = 5,7
2
Khử mẫu số. 57I1 – 45,6 – 102,6 = 11,4 ⇒ I1 = 2,8(A).

= 9I1 – 22,8 + 3 (

Từ (5); (6); (7); (8) thay I1 vào ta được:
I2 = 2,9(A)
;
I3 = 1,2(A)
I4 = 1,1(A)
;

I5 = o,1(A)
I = I1 + I3 = 2,8 + 1,2 = 4(A)
RTĐ =

U 5,7
−
= 1,425Ω
I
4

3) Phương pháp chuyển mạch điện.
Ta chuyển đổi mạch điện từ hình tam giác thành hình sao như sau.
Lưu ý: (Chỉ trình bày cách giải mà không trình bày các chuyển đổi mạch)
R1
A

B

R5
R3

R1

R2

M

M

A

R4
N

O

R3

y

B

z
N

H1

x

H2

4.1
1
= Ω.
4 + 3 +1 2
3.1 2
= Ω
y=
8
8

12
z = Ω.
8
1 3
RAMO = R1 + x = 1 + = Ω .
2 2
12 7
RANO = R3 + z = 2 + = .
8 2
1
2 2 20
Nên ⇒ R = 3 + 7 = 21 ⇒ RAO = 1,03
AO

Ta biết : x =

9


Rtđ = RAO + y = 1,05 +
5,7

I = 1,425 = 4( A)
U AO

⇒

3
= 1,425Ω .
8

UAO = I.RAO = 4. 1,05 = 4,2A.

4,2

=
= 2,8 A ⇒ I3 = I – I1 = 1,2A
I1 = R
1,5
AMO
Trở về với sơ đồ gốc :
U3 = I3.R3 = 1,2 . 2 = 2,4V
U4 = U – U3 = 5,7 – 2,4 = 3,3V.
U4

3,3

⇒ I5 = I3 – I4 = 1,2 – 1,1 = 0,1A
I4 = R = 3 = 1,1A
4
I2 = I5 + I1 = 0,1 + 2,8 = 2,9A.
Lưu ý: Trước khi lựa chọn phương pháp, cần đọc kỹ đề bài toán, để chọn phương
pháp giải hay, gắn gọn, nếu chọn không phù hợp bài giải trở nên phức tạp, dài dòng.

IV. VẬN DỤNG.
Bài toán1. Cho mạch điện như hình vẽ. Biết R1 = R2 = R3 = 40 Ω, R4 = 340 Ω, Ampe
kế là lý tưởng và chỉ 0,5A.
1) Tìm cường độ dòng điện qua các điện trở và qua mạch chính
2) Tính U
3) Giữ nguyên vị trí các điện trở, hoán vị trí Ampe kế và nguồn U thì Ampe kế chỉ

bao nhiêu?
a) Phân tích bài toán; Để thấy được vai trò của từng phần tử trong mạch điện ta vẽ lại
sơ đồ như hình 2;

A
A

+

U-

R4

B
R3

R1

A
C

C
R4

A

R2
R3

R1

R2

B

D

D

Hình 1

Hình 2

- Ampe kế lý tưởng, có nghĩa điện trở của ampe kê có thể bỏ qua RA = 0, mạch cầu có
một điện trở cạnh bằng (O). điều kiện này cho phép chúng ta sử dụng khái niệm các
điểm chung thế để vẽ lại sơ đồ mạch điện hình 3,( điểm A và C có cùng điện thế).
- Ampe kế chỉ dòng điện chạy qua R2,R4, Ngĩa là IA = I2 + I4
b) Hướng dẫn giải bài toán:
10


R4

- Chuyển đổi mạch điện:
Vẽ lại mạch [(R1//R2) nt R3 ] // R4;

+A

R
Ta có R123 = 1 + R1 = 60
2

I3
R4 340 17
3I
=
=
=
⇒ I4 = 3
I 4 R123 60
3
17

Có (R1//R2) nt R3 và R1 = R2 ⇒ I1 = I 2 =

R1

B-

D

R3

R2
I3
2

Hình 3

IA = I2 + I4
⇒ I3 =

17
23

⇒ I1 = I 2 =

b) U = U 4 = I 4 .R4 =

I 3 17
=
≈ 0,369
2 46

⇒ I4 =

3I 3 3
=
17 23

1020
23

b) Đổi chỗ U với A
Vẽ lại sơ đồ mạch điện [(R1//R3) nt R2 ] // R4
Ta thấy R2 và R3 đổi vai trò cho nhau, còn vai trò R1 và R4 không đổi nên
IA = I3 + I4 = 0,5 A
C
Bài toán 2.Cho mạch điện như hình vẽ:
V
R1
Trong đó R2 = R4 = 4Ω,R3 = 3Ω.

B
A
R2
R1=8Ω, RV vô cùng lớn.
+
R3
R
4
Tìm chỉ số của vôn kế. Biết UAB= 12V
a) Phân tích bài toán.
D
Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy mạch cầu
Khuyết 1 điện trở cạnh AC,
Vôn kế mắc song song với R3,R2, ( chỉ số vôn kế UADC), vì vôn kế có điện trở vô
cùng lớn, do đó ta bỏ qua vôn kế và chuyển đổi sơ đồ trên thành một sơ đồ tương
đương mới,
R1
R2
Với sơ đồ mới, ta dễ
C
R3
nhận thấy vai trò của từng
+A
BD
phần tử trong mạch điện.
R4
- Mạch gồm 2 phần AD mắc
nối tiếp với DB.
b) Hướng dẫn cách giải:
Gọi dòng điện chạy qua R2,R1, là I1,2, chỉ số vôn kế là UV..

- Xét điện trở tương đương của đoạn mạch rẽ DB:
( R1 + R2 ) × R4

RDB = ( R + R ) + R = 3Ω ; Mặt khác điện trở đoạn DA, RDA = R3 = 3Ω.
1
2
4
Vì điệu điện thế 2 đầu mạch điện 12V không đổi, do đó UAD = UDB = 6V.
Dòng điện chạy qua nhánh DCB( có R2,R1 mắc nối tiếp). I
11


U DB

6

6V

I1,2 = R + R = 4 + 8 = 12Ω = 0,5 A . ⇒ U R 2 = I1,2 × R2 = 0,5 ×4 = 2V .
2
1
Chỉ số của vôn kế: UV = UAD + UDC = 6 + 2 = 8V
(Bất kỳ điện trở nào ghép nối tiếp với Vôn kế đều được xem là đây nối của Vôn kế.)
R1

R2

C

Bài toán 3. Cho mạch điện như hình vẽ:

Trong đó: R1= 8Ω,R2= 4Ω,R3= 6Ω.R4= 4Ω,
V
BHiệu điện thế hai đầu doạn mạch UAB = 12V. + A
R4
Điện trở vôn kế vô cung lớn, điện trở dây nôi
K
R3
Và khóa K không đáng kể.
1.Khi khóa K mở vôn kế chỉ bao nhiêu?
2.Khi khóa k đóng vôn kế chỉ bao nhiêu?
a) Phân tich bài toán: Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy mạch cầu có K mở vai trò của R4
không có tác dụng gì trong mạch điện. Diện trở R3 mắc nối tiếp với vôn kế chỉ đóng
vai trò giây nối vì điện trở của vôn kế vô cùng lớn.
R1
+A
R2
Bb) Hướng dẫn cách giải.
Câu 1. K mở mạch điện lúc này có dạng:
- Dòng điện mạch chính:
U AB

12V

12V

I = R + R = 8 + 4 = 12Ω = 1A
1
2
- Chỉ số vôn kế: Uv = I.R1 = 1.8 =8V
Câu 2. K đóng, vì điện trở vôn kế vô

cùng lớn nên mạch điện lúc này có dạng: + A
- Bỏ qua vôn kế ta tính được điện trở
Tương đương Rtđ của các nhánh rẽ và
Cường độ qua các nhánh đó
- gọi I1,2 là dòng chạy qua R1,R2 :
U AB

12

U AB

12

V
R1

R2

C

BR3

V

R4

D

12V

I1,2 = R + R = 8 + 4 = 12Ω = 1A ,
1
2
Tương tự gọi I3,4 là dòng điện chạy qua R3,R4:
I3,4 = R + R = 6 + 4 = 1, 2 A .
3
4
- Chỉ số của vôn kế: UV = UCD = UDA+UAC= -R3.I3,4 + R1.I1,2= 0,8V.
1.3. Khi vôn kế có điện trở mạch cầu đầy đủ.
- Nó có vai trò như 1 điện trở.
- Chỉ số Vôn kế là U= Iv.Rv.
Bài toán 4:

12


Cho mạch điện như hình vẽ: Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch UAB = 70V các
điện trở
R1 = 10 Ω , R2 = 60 Ω , R3 = 30 Ω và biến trở Rx.
1. Điều chỉnh biến trở Rx = 20 Ω . Tính số chỉ
của vôn kế và ampe kế khi:
a. Khóa K mở.
b. Khóa K đóng.
2. Đóng khóa K, Rx bằng bao nhiêu để
vônkế và ampe kế đều chỉ số không?
3. Đóng khóa K, ampe kế chỉ 0,5A.
Tính giá trị của biến trở Rx khi đó.Cho rằng điện
trở của vôn kế là vô cùng lớn và điện trở của
ampe kế là không đáng kể.
Hướng dẫn cách giải;

Câu 1: a, Khi K mở IA = 0, Vôn kế có điện trở vô cùng lớn. Mạch cầu không có
đường chéo, do đó, ta có sơ đồ thu gọn (R1 nt R2) // (R3 nt Rx)
Ta có : I1 = I2 = I12 = U/(R1+ R2)= 1 (A)
I3 = Ix = I3x = U/(R3+ Rx)= 1,4 (A)
Vôn kế đo hiệu điện thế giữa hai điểm C và D mà UAD = UAC + UCD
⇒ UCD = UAD - UAC
⇒ UCD = UAD - UAC
⇒ UCD = I1.R1 – I2.R2 = 1.10 -1,4.30 = -32 V
⇒ UDC = 32 V.
b, Khi khóa K đóng, đường chéo mạch cầu chung điện thế, điểm C được nối tắt với
điểm D nên vôn kế chỉ số không.
Mạch điện trở thành: (R1 // R2) nt (R3 // Rx)
Điện trở tương đương

R .R

R .R

10.30
60.20
1
3
2
x
+
Rtđ = R + R + R + R =
= 22,5 Ω
10 + 30 60 + 20
1
3

2
x
U

70

I = R = 22,5 = 3,11 A
tñ
 UAC = I. RCD = 3,11.7,5 = 23,32 V
U CD

⇒

U

23,32

AC
I1= R = 10 = 2,332( A)
1

70 − 23,32

= 0,76( A)
I2= R =
60
2
⇒ dòng điện chạy theo chiều từ C đến D qua ampe kế và có độ
⇒

Ta có I1 > I2
lớn:
IA = 2,332 – 0,76 = 1,55 (A).
Câu 2:
Khóa K đóng mà dòng điện không đi qua ampe kế  Mạch cầu cân bằng :

13


R1 R3
=
R2 R x

⇒

Rx =

R2 .R3
60.30
= 180Ω
=
R1
10

Câu 3: Đóng khóa K mạch trở thành:

(R1 // R2) nt (R3 // Rx)

R1 .R3
R2 .R x

60.R x
60.R x
10.30
Điện trở tương đương: Rtđ = R + R + R + R = 10 + 30 + 60 + R = 7,5 + 60 + R ( Ω )
1
3
2
x
x
x
70
U
Dòng điện qua mạch chính: I = R = 7,5 + 60 Rx (A)
td
60 + R x

Hiệu điện thế giữa hai đầu AC :
70
525
60
R
x
UAC =I.RAC = 7,5 +
.7,5 = 7,5 + 60R x
60 + R x
60 + R x

(V)

Cường độ dòng điện qua điện trở R1:

525
U AC
I1 = R = 7,5 + 60R x
1
60 + R x

52,5
52,5(60 + R x )
3150 + 52,5 R x
1
. = 7,5 + 60R x = 7,5(60 + R ) + 60 R = 450 + 67,5R (A)
10
x
x
x
60 + R x
525
Hiệu điện thế giữa hai đầu CB : UCB =UAB – UAC =70 - 7,5 + 60R x
(V)
60 + R x
525
U CB
1
Dòng điện qua điện trở R2: I2 = R = (70 - 7,5 + 60R x ).
60
2
60 + R x
7
8,75
−

8,75(60 + R x )
7 525 + 8,75 R x
7
= 6 7,5 + 60 R x = 6 − 7,5(60 + R ) + 60 R = 6 − 450 + 67,5R (A)
x
x
x
60 + R x

* Trường hợp dòng điện có cường độ 0,5A qua ampe kế theo chiều từ C đến D (hình
vẽ):
3150 + 52,5 R x 7 525 + 8,75 Rx
= −
+ 0,5
450 + 67,5 R x 6 450 + 67,5 Rx
3150 + 52,5 R x 10 525 + 8,75 R x
⇒
= 6 − 450 + 67,5R ⇒ 6(3150 +52,5Rx) = 10(450+67,5Rx) –
450 + 67,5 R x
x
6(525+8,75Rx) ⇒ 307,5.Rx =17550 ⇒ Rx =57,1 ( Ω )

Ta có : I1 = I2 + IA ⇒

* Trường hợp dòng điện có cường độ 0,5A qua ampe kế theo chiều từ D đến C:

3150 + 52,5 R x 7 525 + 8,75 Rx
= −
- 0,5
450 + 67,5 R x 6 450 + 67,5 Rx

3150 + 52,5 R x 4 525 + 8,75 R x
⇒
⇒ 6(3150 +52,5Rx) = 4(450+67,5Rx) –
= −
450 + 67,5 R x 6 450 + 67,5 R x
6(525+8,75Rx) ⇒ -97,5.Rx =20250 ⇒ Rx = -207,7 ( Ω )

Ta có : I1 = I2 + IA

⇒

14


Ta thấy Rx < 0 (Loại)
Kết luận:
Biến trở có giá trị Rx =57,1 ( Ω ) thì dòng điện qua ampe kế có cường độ 0,5 (A).
Bài toán 5. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó U = 24V luôn không đổi,
R1 = 12 Ω ,
+ U R2 = 9 Ω , R3 là biến trở, R4 = 6 Ω . Điện trở của ampe
kế và các dây dẫn không đáng kể.
R1
a) Cho R3 = 6 Ω . Tìm cường độ dòng điện qua
A
các điện trở R1, R3 và số chỉ của ampe kế.
b) Thay ampe kế bằng vôn kế có điện trở vô
R3
cùng lớn. Tìm R3 để số chỉ vôn kế là 16V.
Nếu di chuyển con chạy để R3 tăng lên thì số
R4

R2
chỉ của vôn kế thay đổi như thế nào?
a)Phân tích: Ampe kế do dòng R1 + R2, mặt khác
( Đề thi năm 2013-2014)
ampe kế có điện trở không đáng kể, nê ta có thể
vẽ lại sơ đồ như sau:
từ H.1 Ta tính cường độ dòng điện qua các điện trở và qua ampe kế :
R3 .R4

6.6

R34 = R + R = 6 + 6 = 3 ( Ω )
3
4
R234 = R2 + R34 = 9 + 3 = 12 ( Ω )
U

24

I2 = R = 12 = 2 A
234

U
I I
1

U34 = I2.R34 = 2.3 = 6 (V)
U3 6
I3 = R = 6 = 1 (A)
3

U 24
I1 = R = 12 = 2 (A)
1

R1

I2

H.1
I4

R2

R4

U
R1

Ia = I1 + I3 = 2 + 1 = 3 (A)
b)Khi thay ampe kế bằng vôn kế
Ta chú ý vôn kế đo UV = U3 + U4
vì vôn kế có điện trở vô cùng lớn nên ta có
thể vẽ lại sơ đồ như sau: H3
Tìm R3 để số chỉ vôn kế là 16V . Gọi R3 = x
[(R1 nt R3)//R2 ] nt R4
U1 = U - UV = 24 - 16 = 8 (V)

R3

I3

V
R3

H.2

R2

R4

R1

R3
R4
R2

H3
15


U

8

2

1
I1 = R = 12 = 3 A
1

I1
R
I1
R2
I
9
9
= 2 ⇒
=
⇒ 1 =
=
I 2 R13
I 2 + I 1 R1 + R3 + R2
I 12 + x + 9 21 + x
21 + x
21 + x 2
⋅ I1 =
⋅ = I4
suy ra I =
9
9
3

Ta có UV = U3 + U4 = I3.R3 + I4.R4 = I1.R3 + I4.R4
2
3

21 + x 2
2 x 4(21 + x) 10 x + 84
⋅ ⋅6 =

+
=
= 16
9
3
3
9
9
⇒ 10x + 84 = 144 suy ra x = 6 ( Ω ).

= ⋅x+

Vậy để số chỉ của vôn kế là 16V thì R3 = 6 Ω
* Khi R3 tăng thì điện trở của mạch tăng
⇒ I = I4 =

U
: giảm
Rtd

⇒ U4 = I.R4 :giảm

⇒ U2 = U – U4 : tăng ⇒ I2 =
⇒ U1 = I1.R1 : giảm

U2
: tăng ⇒ I1 = I – I2 : giảm
R2

⇒

UV = U – U 1 : tăng.
Vậy số chỉ của vôn kế tăng khi R3 tăng.
Bài toán 6: Cho mạch điện như hình vẽ:
Vôn kế có điện trở vô cùng lớn,
R1 = R2 =3Ω, R3 = 3Ω, R4 = 9Ω
+A
- Tính chỉ số vôn kế ?
- Cực dương của V ở đâu?
Biết UAB = 12V.

R1

M

R2
-B

V

R3

R4
N

a) Phân tích bài toán, Vì điện trở vôn kế vô cùng lớn, nên ta xem đoạn mạch cầu
khuyết đường chéo, nên gồm hai nhánh R1 nối tiếp R2 mắc rẽ với R3 nối tiếp R4.
b) Giải bài toán: Gọi dòng điện qua nhánh R12 là I12, dòng qua nhánh R34 là I34.
U

12

AB
I12 = R + R = 6 = 2 A
1
2

U AB

12

I34 = R + R = 3 + 9 = 1A
3
Gọi U1, U3, là hiệu điện thế hai đầu R1 và R3.
UMN = VM – VN = (VM – VA) + (VA – VN)
= – (VA – VM) + (VA – VN) = – U1 + U3
Nên chỉ số vôn kế chính là UMN.
UMN = – U1 + U3 = – I12.R1 + I34.R3 = – (2.3) + (1.3) = – 3V
Như vậy điện thế tại điểm N cao hơn điểm M, do đó cực dương của vôn kế phải mắc
vào điểm N, còn cực âm mắc vào điểm M. Và chỉ số vôn kế là 3V.
4

16


Bài toán 7. Cho bài toán như hình vẽ.
Trong đó R1 = 5 Ω , R2 = R3 = 1 Ω ,
R4 = R5 = 3 Ω . Biết cường độ chạy
Trong mạch chính là 3,45A.
Hãy tính UAB; UMN.

R1
A

R2

M

R5

B

R4
R2
Hướng đẫn cách giải.
N
Đây là một mạch cầu không cân
bằng, do dó ta có thể dùng một trong
ba phương pháp: Phương pháp đặt điện thế nút, hoặc phương pháp đặt hệ phương
trình có ẩn số là dòng điện, hoặc phương pháp chuyển mạch ?
Ở đay ta dùng phương pháp thứ hai. Chọn I1 là ẩn số.
Ta có các phương trình dòng
I4 + I1 = I ⇒ I4 = I – I1
(1).
I2 + I3 = I
(2)
Nếu quy ước chiều dòng điện đi từ N đến M ta có:
I5.R5 = I1.R1 – I4.R4
= I1(R1 + R4) – IR4 = 8I1 – 3I.
(3)

I5 =

8
I1 − I
3

(4)

I3 = I2 + I5 =

11
I1 − I
3

(5)

11
I1
3

(6)

Do đó
Tại các nút M có:
Do đó.

I2 = I – I3 = 2I -

Như vậy tất cả các dòng đều được quy theo I1.
Vậy:

U = I1R1 + I3R3 = I4R4 + I2R2
Thay I1, I2, I3, I4 và R1 , R2 , R3 , R4 vào ta được.
U=

26 I 1
20 I 1
− I = 5I −
.
3
3

(7)

Thay I = 3,45 vào ta được.
I1 =

9I
= 1,35 A
3

Thay vào (7) và (3) ta được :

UAB = 8,25V

;

UNM = 0,45V

17

V. BÀI TÂP THAM KHẢO
Bài tập 1.
Cho mạch như hình vẽ .
U=12V ; R2=3Ω ; R1=1,5R4 ; R3=6Ω
Điện trở các dây nối không đáng kể, điện trở Vôn kế vô cùng
lớn.
a/ Biết vôn kế chỉ 2V. Tính cường độ dòng điện mạch chính,
cường độ dòng điện qua các điện trở R2 và R3.
b/ Giá trị của các điện trở R1 và R4
Bàitập 2: Cho mạch điện như hình vẽ:
R1 = R2; R3 = 3R2.
Hiệu điện thế toàn mạch U không đổi. Điện trở ampe kế
không đổi.
Khi K mở R4 tiêu thụ công suất cực đại. Ampe kế chỉ 1A.
a) Xác định số chỉ của ampe kế khi K đóng.
b) Với U = 150V, hãy xác định công suất tiêu thụ trên R4
khi K mở và khi K đóng.
Bài tập 3: Cho mạch điện như hình vẽ (hình 1).
Biết :
UAB = 30V
R1 = R2 = R3 = R4 = 10 Ω
R5 = R6 = 5 Ω
a) Điện trở của Ampe kế không đáng kể.
Tìm điện trở toàn mạch, số chỉ của Ampe kế và
dòng điện qua các điện trở khi K đóng.
b) Ngắt khoá K, thay Ampe kế bằng một Vôn kế có điện trở vô cùng lớn.
Hãy xác định dòng điện qua các điện trở, dòng điện qua mạch chính và số chỉ của
Vôn kế
Bài tập 4: Trong mạch điện hình vẽ 4.

Cho biết các đèn Đ1 : 6V - 6W; Đ2 : 12V - 6W; Đ3 : 1,5W.
Khi mắc hai điểm A, B vào một hiệu điện thế U
thì các đèn sáng bình thường. Hãy xác định:
A
1. Hiệu điện thế định mức của các đèn Đ3, Đ4, Đ5.
2. Công suất tiêu thụ của cả mạch,
biết tỉ số công suất định mức hai đèn cuối cùng là 5/3.

Đ2

Đ1
Đ4

Đ3

B
Đ5

Hình vẽ 4

18


Bài tập 5.
Cho đoạn mạch điện như hình bên. Ampe kế và dây nối có điện
R1
trỏ khơng đáng kể. Với R1 = 30 Ω ; R2 = R3 = R4 = 20 Ω .
UMN khơng đổi. Biết Ampekế chỉ 0,6A.
M
R2

a. Tìm điện trở tương đương của đoạn mạch.
b. Tìm cường độ dòng điện qua các điện trở.
R3
c. Bỏ R4 thì cường độ dòng điện qua Ampekế là bao nhiêu?

Bài tập 6 .Cho mạch điện như sơ đồ (hình 2)
Trong đó R1 = 15 Ω ; R2 = 30 Ω ; R3 = 45 Ω ; Hiệu điện
thế giữa hai đầu đoạn mạch AB luôn luôn được duy trì
75V.
a) Ampekế chỉ số 0. Điện trở R4 có giá trò bằng
bao nhiêu ?
A+
b) R4 = 10 Ω thì số chỉ của ampekế bằng bao
nhiêu ?
c) Nếu thay ampekế bằng vôn kế khi R4 = 30 Ω thì
vôn kế có số chỉ là bao nhiêu.

Bài tập 7 :
Cho mạch điện như hình vẽ : Biết UAB = 12V khơng đổi,
vơn kế có điện trở rất lớn, R1 = 30Ω,
R2 = 50Ω, R3 = 45Ω,
R4 là một biến trở đủ lớn.
A
a)Chứng tỏ rằng khi vơn kế chỉ 0V thì.
R3
R1
=
R2
R4

R1

R3

A

N

R4

(Hình 1)

R2

C

A

B+

R4

D
(Hình 2)

R1

R2
V
B

R3

R

Tính R4 khi vơn kế chỉ 3V.

Thay vơn kế bằng ampe kế có điện trở khơng đáng kể, tính R 4 để số chỉ của ampe
kế là 80mA

19


PHẦN III. KẾT LUẬN
Với chương trình Vật Lý THCS, mạch cầu là một mạch đặc biệt và có phương pháp
giải đặcc biệt, khi mới tiếp xúc các em học sinh thường ngại, cho đó là loại toán khó.
Tuy nhiên, khi phân tích các dạng toán mạch cầu ta thấy những bài toán trở nên đơn
giản, khi một trong các cạnh mạch cầu, hay đường chéo mạch cầu bị khuyết. Đây là
loại toán thường thấy trong các đề thi học sinh giỏi. Khi một mạch cầu đầy đủ ta có
có các phương pháp giải có thể áp dụng cho mọi bài toán. Do đó khi được trang bị
phương pháp giải toán mạch cầu. Các em tự tin hơn trong việc giải toán vật lý phần
điện một chiều ở THCS. Cùng với kiến thức Vật ký các em được học thì việc trang bị
cho các em, các phương pháp giải toán mạch cầu, thức sự cần thiết nó hoàn thiện hơn,
đầy đủ hơn. Tự tin khi học vật lý.
Bởi với các phương pháp đó sẽ gúp các em :
Nâng cao kỷ năng sáng tạo, kỷ năng phân tích, tự tin khi giải toán về mạch điện.
Với các phương pháp trên, các em không những không còn lúng túng khi giải, mà
giải được hầu hết các bài toán, đặc biệt là toán nâng cao trong chương trình THCS.
Khi áp dụng các kinh nghiện này giảng dạy cho các em . Hiệu quả thật bất ngờ, từ
việc các em rất ngại học và giải toán Vật Lý. Các em trở nên yêu môn Vật Lý và ham

thích giải toán Vật Lý hơn. Đặc biệt qua các kỳ thi học sinh gỏi kết quả thu được rất
tốt.
Tháng 3 năm 2015

Trần Đức Viện

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Đổi mới phương pháp giảng dạy và giải bài tập vật lý THCS
Tác giả: Mai Lê - Nuyễn Xuân Khoái.
2/ 200 Bài tập vật lý chọ lọc
Tác giả : Vũ thanh Khiết – Lê thị Oanh –Nguyễn PHúc Thuần
3/ Vật lý nâng cao.
Tác giã: Nguyễn Cảnh Hoè – Lê thanh Hoạch.
4/ Bài Tập Vật lý chon lọc.
Tác giã: Vũ thanh Khiết – Nguyễn Đức HIệp.
5/ Để học tốt Vật Lý.
Tác giã : Phan Hoài Văn – Trương Hoàng Lượng.
6/ 400 Bài tập Vật lý .
Tác giã :Trương thọ Lương – Phan Hoàng Văn.

21