Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN PHƯƠNG HOA

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mở đầu

1

Chương 1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN

4

1.1. CÁC ĐỊNH LÝ FARKAS THUẦN NHẤT VÀ KHÔNG THUẦN

1.2.

NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN KHÁC . . . . . . . . .

6

Chương 2. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI KHÔNG GIẢ THIẾT
ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY

9

2.1.

CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . .

9

2.2.

CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU KHI KHÔNG
GIẢ THIẾT ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY . . . . . . . . . .

Chương 3.

19

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHI GIẢ THIẾT ĐIỀU

KIỆN CHÍNH QUY

30

3.1. CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY MANGASARIAN - FROMOVITZ CẤP MỘT VÀ CẤP HAI . . . . . . . . . . . . .

30

3.2. CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI . . .

34

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




ii

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




1

Mở đầu

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho các bài toán quy hoạch toán học
được phát triển từ những giai đoạn sớm nhất của toán học và có nhiều ứng
dụng trong kinh tế, kỹ thuật.
Để dẫn các điều kiện cần tối ưu người ta thường sử dụng một công cụ
hữu hiệu là các định lý tách các tập lồi không tương giao hoặc các định
lý luân phiên (Theorems of the alternative) về sự tương thích của một hệ
tuyến tính thuần nhất hoặc không thuần nhất. Các định lý luân phiên nổi
tiếng là các định lý của J.Farkas, P. Gordan, T. S. Motzkin,...(xem [5]).
Trong bài tổng quan [6], G. Still và M. Streng đã trình bày các điều kiện
cần và đủ tối ưu cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một, cấp hai
và cực tiểu cô lập của các bài toán quy hoạch phi tuyến trơn với các ràng
buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều. Giữa
các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối ưu thường có một sự sai khác (a
gap), trong đó các điều kiện đủ mạnh hơn các điều kiện cần. Khi giả thiết

các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp hai thì
sẽ không có sự sai khác giữa các điều kiện cần và các điều kiện đủ nữa.
Luận văn tập trung trình bày các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực
tiểu địa phương chặt cấp một và cấp hai ở các dạng gốc và đối ngẫu cho
bài toán quy hoạch phi tuyến trơn có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




2

đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều khi giả thiết hoặc không giả
thiết các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp hai.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày một số định lý luân phiên bao gồm các định lý
Farkas thuần nhất và không thuần nhất, định lý luân phiên ổn định và
định lý luân phiên đặc trưng cho tính bị chặn của tập nhân tử Kuhn Tucker. Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho cực tiểu địa phương và
các điều kiện đủ cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp
hai dưới dạng gốc và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch toán học trơn có
hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong các không gian hữu
hạn chiều khi không giả thiết điều kiện chính quy. Chương 3 trình bày các
điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp
hai dưới dạng gốc và đối ngẫu khi có điều kiện chính quy. Kết quả chỉ ra
rằng với các điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz cấp một và cấp
hai sẽ không có sự sai khác giữa các điều kiện cần và các điều kiện đủ tối
ưu cấp một và cấp hai tương ứng, tức là ta nhận được các điều kiện đặc
trưng cho cực tiểu địa phương chặt cấp một và cấp hai.

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS
Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản
luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, Phòng đào tạo
sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các
thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




3

trong lớp cao học toán K2 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Trần Phương Hoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




4

Chương 1
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN
Chương này trình bày một cách vắn tắt các định lý luân phiên sẽ sử

dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu gốc và điều kiện tối ưu đối ngẫu
tương đương. Ta bắt đầu với định lý Farkas nổi tiếng ở dạng thuần nhất và
dạng không thuần nhất. Định lý Farkas thuần nhất ứng dụng trong chứng
minh các điều kiện tối ưu cấp một và dạng không thuần nhất để chứng
minh các điều kiện tối ưu cấp hai. Các kết quả chương một được lấy trong
[4] − [6].
1.1.

CÁC ĐỊNH LÝ FARKAS THUẦN NHẤT VÀ KHÔNG
THUẦN NHẤT

Trước hết ta nhắc lại định lý Farkas thuần nhất trong [5].
Định lý 1.1 ([5])
Cho ak1 , bk2 , ck3 ∈ Rn , k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 với K1 , K2 , K3 là các
tập chỉ số hữu hạn. Giả sử K1 = ∅. Khi đó, một và chỉ một trong hai khả
năng (i) hoặc (ii) đúng:
(i) Tồn tại ξ ∈ Rn thoả mãn
ξ t ak1 < 0,

k 1 ∈ K1 ,

ξ t bk2 ≤ 0,

k 2 ∈ K2 ,

ξ t ck3 = 0,

k 3 ∈ K3 ,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

5

trong đó ξ t là chuyển vị của vectơ ξ.
(ii) Tồn tại các số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1 không đồng thời bằng 0, µk2 ≥ 0,
k2 ∈ K2 và λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 sao cho
µk1 ak1 +
k1 ∈K1

µk2 bk2 +
k2 ∈K2

λk3 ck3 = 0.
k3 ∈K3

Định lý sau đây cho ta một tổng quát hoá của định lý Farkas không
thuần nhất.
Định lý 1.2
Giả sử ak1 , bk2 , ck3 ∈ Rn , k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 với K1 , K2 , K3 là các
tập chỉ số hữu hạn; αk1 , βk2 , γk3 ∈ R, k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 . Khi đó,
một và chỉ một trong hai khả năng (i) hoặc (ii) đúng:
(i) Tồn tại ξ ∈ Rn thoả mãn
ξ t ak1 < αk1 ,

k 1 ∈ K1 ,

ξ t bk2 ≤ βk2 ,

k 2 ∈ K2 ,

ξ t ck3 = γk3 ,

k 3 ∈ K3 .

(ii) Tồn tại các số µk1 ≥ 0, k1 ∈ K1 , µ0 ≥ 0, không đồng thời bằng 0,
µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2 và λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 sao cho
µk1 ak1 +
k1 ∈K1

µk2 bk2 +
k2 ∈K2

µk1 αk1 +
k1 ∈K1

λk3 ck3 = 0,
k3 ∈K3

λk3 γk3 = −µ0 ≤ 0.

µk2 βk2 +
k2 ∈K2

k3 ∈K3

Chứng minh
Đưa thêm một biến mới ξn+1 , điều kiện (i) có thể viết tương đương như

sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




6

(i’) Tồn tại một nghiệm (ξ, ξn+1 ) của hệ:




−ξn+1 < 0,






ξ t ak1 − ξn+1 αk1 < 0, k1 ∈ K1 ,



ξ t bk2 − ξn+1 βk2 ≤ 0,







ξ t ck3 − ξn+1 γk3 = 0,

k2 ∈ K2 ,
k3 ∈ K3 .

Lưu ý rằng tập chỉ số K1 tương ứng với các bất đẳng thức chặt khác
rỗng. Từ định lý 1.1 ta suy ra:
(ii’) Tồn tại các số µk1 , k1 ∈ K1 , µ0 ≥ 0, không đồng thời bằng 0, µk2 ≥
0, k2 ∈ K2 và λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 sao cho






 
ck3
bk2
ak1
0
 = 0.
+
+
λk3 
µk2 
µk1 
µ0   +
−1
−γk3

−βk2
−αk1
k3 ∈K3
k2 ∈K2
k1 ∈K1
Đẳng thức này tương đương với (ii).
1.2.

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LUÂN PHIÊN KHÁC

Để đề cập điều kiện tối ưu mạnh ta cần một dạng khác của định lý luân
phiên. Định lý đó được gọi là định lý luân phiên ổn định.
Định lý 1.3
Cho bk2 , ck3 ∈ Rn , k2 ∈ K2 , k3 ∈ K3 với K2 , K3 là các tập chỉ số hữu
hạn. Khi đó, các điều kiện (i) và (ii) sau tương đương:
(i) Không tồn tại vectơ ξ ∈ Rn , ξ = 0 thoả mãn
ξ t bk2 ≤ 0, k2 ∈ K2 ,
ξ t ck3 = 0, k3 ∈ K3 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




7

(ii) Với nón
D=

λk3 ck3 µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2 , λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 ,

µk2 bk2 +
k2 ∈K2

k3 ∈K3

ta có 0 ∈ int D.
Chứng minh
Điều kiện (i) tương đương với: với bất kỳ d ∈ Rn cố định, không tồn tại
ξ ∈ Rn thoả mãn




−ξ t d < 0,




ξ t bk2 ≤ 0, k2 ∈ K2 ,





ξ t ck = 0, k3 ∈ K3 .
3

Theo định lý 1.1, điều này tương đương với: với bất kỳ d ∈ Rn cố định,
tồn tại các số µ0 > 0, µk2 ≥ 0, k2 ∈ K2 , λk3 ∈ R, k3 ∈ K3 sao cho
−µ0 d +

µk2 bk2 +
k2 ∈K2

λk3 ck3 = 0.
k3 ∈K3

Chia hai vế cho µ0 , ta được d ∈ D. Vì d là tuỳ ý, nên điều này tương
đương với D = Rn , hoặc D là một nón với điều kiện 0 ∈ int D.
Dạng sau đây của định lý luân phiên thích hợp để đặc trưng cho tính
bị chặn của tập các nhân tử Kuhn - Tucker.
Định lý 1.4 ([4])
Cho a0 , ak1 , ck3 ∈ Rn , k1 ∈ K1 , k3 ∈ K3 với K1 , K3 là các tập chỉ số hữu
hạn thoả mãn |K1 | + |K3 | ≥ 1, trong đó |K1 | ký hiệu số phần tử của K1 ,
|K3 | ký hiệu số phần tử của K3 . Đặt
Q=

(µ, λ), µ ∈ R|K1 | , µ ≥ 0, λ ∈ R|K3 | a0 +

µk1 ak1 +

k1 ∈K1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

λk3 ck3 = 0 .

k3 ∈K3

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....