Điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá
trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, ngày 13 tháng 9 năm 2009
Tác giả
Phạm Thị Diệu Thùy
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, ngày 13 tháng 9 năm 2009
Tác giả
Phạm Thị Diệu Thùy
ii
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclid n-chiều
C[a, b] không gian các hàm liên tục trên [a, b]
C
⊕
[a, b] tập các độ đo Radon dương trên C[a, b]
W

1,1
([a, b]; R
n
) không gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [a, b] → R
n
L
1
[a, b] không gian các hàm khả tích trên [a, b]
F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
domF tập xác định của F
gphF đồ thị của F
x chuẩn của véc tơ x
B hình cầu đơn vị đóng
B
ρ
(x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ
Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski
N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯x

N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x
∂f(x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x
∂
∞
f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x
ˆ
∂f(x) dưới vi phân Fréchet của f tại x
x
Ω
−→ ¯x x → ¯x, x ∈ Ω
x

f
−→ ¯x x → ¯x, f(x) → f(¯x)
α ↓ ¯α α → ¯α, α  ¯α
x
k
W
1,1
−−→ x hội tụ trong W
1,1
([a, b]; R
n
)
x
k
L
1
−→ x hội tụ trong L
1
[a, b]
h.k.n. hầu khắp nơi
iii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Nón pháp tuyến và dưới vi phân 4
1.1. Nón pháp tuyến qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Dưới vi phân qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Điều kiện cần tối ưu 22
2.1. Điều khiển tối ưu một mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Điều khiển tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . 25

Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 38
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xét bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu có ràng trạng thái
(V OP ) Min
x∈W
1,1
([a,b],R
n
)
g(x(a), x(b))
với ràng buộc ˙x(t) ∈ F(t, x(t)) h.k.n. t ∈ [a, b],
(x(a), x(b)) ∈ C,
h(t, x(t)) ≤ 0 ∀t ∈ [a, b],
ở đó g : R
n
× R
n
→ R
m
là một hàm đã cho, F : [a, b] × R
n
⇒ R
n
là
một ánh xạ đa trị, C tập đóng trong R
n
× R

n
và W
1,1
([a, b], R
n
) không
gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [a, b] → R
n
với chuẩn x
1,1
:=
|x(a)| +

b
a
| ˙x(t)|dt, | · | kí hiệu chuẩn Euclid trong R
n
.
Như chúng ta đã biết rằng một trong những vấn đề nghiên cứu
quan trọng trong Lý thuyết điều khiển tối ưu được quan tâm nghiên
cứu sâu sắc là các điều kiện cần tối ưu. Đã có nhiều ấn phẩm khoa học
được xuất bản trong sự phát triển nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu
cho các bài toán điều khiển tối ưu (xem, chẳng hạn, [3-24] và các tài
liệu tham khảo đã được trích dẫn trong đó); tuy nhiên trong số đó có
rất ít các nghiên cứu cho lớp các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu
[3, 8, 9, 24].
Với bài toán tối ưu một mục tiêu (hàm mục tiêu là hàm số), Ioffe
[5] đã đưa ra các điều kiện cần dạng Euler-Lagrange và Hamilton cho
bài toán điều khiển tối ưu không có ràng buộc trạng thái. Trong bài báo
này [5, p. 2878], Ioffe đã đưa ra ba bài toán mở mà hai trong ba bài

toán đó có thể phát biểu như sau: kết luận về các điều kiện cần điều
khiển tối ưu của Định lý 1 (Theorem 1) trong [5] có còn đúng hay không
2
nếu ta thay tính dưới Lipschitz khả tích (integrable sub-Lipschitzness) bởi
tính dưới Lipschitz (sub-Lipschitzness) hoặc tính giả Lipschitz (pseudo-
Lipschitzness)?
Với bài toán tối ưu đa mục tiêu (hàm mục tiêu là hàm vector),
Zhu [24] lần đầu tiên thiết lập được các điều kiện cần tối ưu cho các bài
toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu với nón thứ tự thỏa mãn một số điều
kiện chính quy thích hợp. Trên cơ sở phân tích lược đồ chứng minh của
Ioffe trong [5], Bellaassali và Jourani [3] đã mở rộng các kết quả tương
ứng trong bài báo vừa nhắc đến ở trên của Zhu dưới các điều kiện chính
quy nhẹ hơn đặt trên nón thứ tự. Gần đây, Kien, Wong và Yao [8, 9]
đã đưa ra các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán điều khiển tối ưu
đa mục tiêu với ràng buộc trạng thái; các kết quả này mở rộng các kết
quả tương ứng trong [3, 24]. Lưu ý rằng các kết về các điều kiện cần tối
ưu đã đạt được trong các bài báo vừa nêu ở trên luôn đòi hỏi giả thiết
về tính dưới Lipschitz khả tích của F và các điều kiện chính quy thích
hợp trên nón thứ tự (dưới các điều kiện chính quy đó thì nón thứ tự
thường là lồi và nhọn). Trong [16], Mordukhovich [16, Definition 5.55]
đã đề xuất một quan hệ thứ tự tối ưu tổng quát mà nó không đòi hỏi
phải lồi, đóng, nhọn hay có phần trong khác rỗng. Một câu hỏi tự nhiên
nảy sinh rằng: có thể thiết lập được hay không các điều kiện cần tối ưu
cho bài toán đều khiển tối ưu đa mục tiêu (VOP) với thứ tự tổng quát
đã được đề xuất bởi Mordukhovich ?
Đề tài “Điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối
ưu đa mục tiêu” nhằm mục đích tìm hiểu lý thuyết điều khiển tối ưu
và tìm hiểu câu trả lời cho hai câu hỏi vừa nêu ở trên.
3
2. Mục đích nghiên cứu

Đưa ra các điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu đa
mục tiêu có ràng buộc trạng thái.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tính các bài toán điều khiển tối ưu, tối ưu đa mục tiêu,
bao hàm thức vi phân, điều kiện cần tối ưu, các phép tính dưới vi phân
và nguyên lý cực đại.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Điều khiển tối ưu, tối ưu đa mục tiêu, bao hàm thức vi phân và
các nguyên lí biến phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích không trơn, giải
tích biến phân và lý thuyết tối ưu.
6. Giả thiết khoa học (hay những đóng góp mới)
Nếu giải đáp được các câu hỏi đã nêu trong Mục 1 thì đây sẽ là
đóng góp giúp ta có hiểu biết mới về điều khiển tối ưu đa mục tiêu.
Chương 1
Nón pháp tuyến và dưới vi phân
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản
nhất về nón pháp tuyến và dưới vi phân giới hạn. Nguyên lý biến phân
Ekeland và một số kết quả về các dạng biểu diễn của nón pháp tuyến
trong không gian hữu hạn chiều, biểu diễn nón pháp tuyến qua dưới vi
phân của hàm khoảng cách hay quy tắc tổng của dưới vi phân được sử
dụng để thiết lập điều kiện cần tối ưu trong Chương 2 cũng được nhắc
lại với chứng minh chi tiết.
1.1. Nón pháp tuyến qua giới hạn
Trong luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu của giải
tích biến phân, đạo hàm suy rộng và lý thuyết tối ưu. Chi tiết đọc giả có
thể tham khảo bộ sách của Mordukhovich [15, 16] và Vinter [20]. Một
không gian Banach bất kì X với chuẩn  ·  ta xét không gian đối ngẫu
của nó X

∗
với tôpô yếu
∗
được kí hiệu bởi w
∗
. Như thường lệ, B
X
và B
X
∗
kí hiệu tương ứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X
và không gian đối ngẫu của nó. Kí hiệu A
∗
toán tử liên hợp của toán tử
tuyến tính liên tục A. Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ được kí hiệu bởi
B
ρ
(x).
5
Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và cone Ω kí hiệu tương ứng
là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón lồi sinh của Ω. Ta nhắc lại rằng
Ω ∈ X là đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω nếu có một lân cận U của ¯x sao
cho Ω ∩ clU là tập đóng.
Cho F : X ⇒ X
∗
ánh xạ đa trị giữa một không gian Banach X
và không gian đối ngẫu X
∗
của nó. Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa
Painlevé - Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X

∗
tại ¯x được xác định bởi
Lim sup
x→¯x
F (x) := {x
∗
∈ X
∗
: ∃ x
k
→ ¯x, x
∗
k
w
∗
−→ x
∗
, x
∗
k
∈ F(x
k
), ∀k ∈ N}.
(1.1)
Định nghĩa 1.1. (Nón pháp tuyến) Cho Ω là tập con khác rỗng trong
không gian Banach X, ¯x ∈ Ω và ε  0.
(i) Tập các ε - véctơ pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x được xác định bởi

N
ε

(¯x; Ω) :=

x
∗
∈ X
∗
: lim sup
x
Ω
→¯x
x
∗
, x − ¯x
 x − ¯x 
 ε

, (1.2)
ở đó x
Ω
−→ ¯x nghĩa là x → ¯x và x ∈ Ω. Khi ε = 0, ta có

N(¯x; Ω) :=

N
0
(¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x.
(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của
Ω tại ¯x là tập
N(¯x; Ω) := Lim sup
x

Ω
→¯x
ε↓0

N
ε
(x; Ω) (1.3)
hay
N(¯x; Ω) :=

x
∗
∈ X
∗
: ∃ε
k
→ 0, x
k
Ω
→ ¯x, x
∗
k
w
∗
→ x
∗
, x
∗
k
∈


N
ε
k
(x
k
; Ω) ∀k

,
ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của ¯x và X là
không gian Asplund.
6
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai dạng biểu diễn tương đương
khác của nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều
X = R
n
(trong trường hợp này X
∗
= X = R
n
) mà chúng hữu ích trong
việc thiết lập điều kiện cần tối ưu ở Chương 2. Do tất cả các chuẩn
trong không gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn
chuẩn Euclid
x =

x
2
1
+ + x

2
n
, x ∈ R
n
.
Cho một tập không rỗng Ω ⊂ R
n
. Khoảng cách được xác định bởi
d
Ω
(x) = dist(x; Ω) := inf
u∈Ω
x − u , x ∈ R
và hình chiếu Euclid của x trên Ω
Π(x; Ω) := {¯x ∈ Ω| x − ¯x = dist(x; Ω)} .
Nếu Ω là đóng thì tập Π(x; Ω) luôn khác rỗng đối với mỗi x ∈ R
n
.
Định lý 1.1. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều)
[15, Theorem 1.6] Cho Ω ⊂ R
n
tập đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω. Khi đó
các khẳng định sau là đúng:
N(¯x; Ω) = Lim sup
x→¯x

N(x; Ω); (1.4)
N(¯x; Ω) = Lim sup
x→¯x
[cone (x − Π (x; Ω))] . (1.5)

Chứng minh. Bao hàm thức “⊃” trong (1.4) là hiển nhiên. Để chứng
minh bao hàm thức “⊂”, ta lấy tùy ý x
∗
∈ N(¯x; Ω). Từ Định nghĩa 1.1
ta suy ra rằng có dãy ε
k
↓ 0, x
k
→ ¯x và x
∗
k
→ x
∗
sao cho x
k
∈ Ω và
x
∗
k
∈
ˆ
N
ε
k
(x
k
; Ω) với mọi k ∈ N. Lấy X = X
∗
= R
n

và Ω là tập đóng địa
phương của ¯x, cho mỗi k = 1, 2, ta xét x
k
+ αx
∗
k
với α > 0 và chọn
ω
k
∈ Π(x
k
+ αx
∗
k
; Ω) từ hình chiếu Euclid. Do cách chọn ω
k
ta có bất
đẳng thức
x
k
+ αx
∗
k
− ω
k

2
 α
2
x

∗
k

2
7
và vì chuẩn là Euclidean nên
x
k
+ αx
∗
k
− ω
k

2
= x
k
− ω
k

2
+ 2αx
∗
k
, x
k
− ω
k
 + α
2

x
∗
k

2
.
Suy ra rằng với mỗi α > 0 ta có
x
k
− ω
k

2
 2αx
∗
k
, ω
k
− x
k
. (1.6)
Sử dụng sự hội tụ của ω
k
→ x
k
khi α ↓ 0 và theo định nghĩa của ε−
véctơ pháp tuyến x
∗
k
∈


N
ε
k
(x
k
; Ω) ta tìm được một dãy số dương α = α
k
theo đó mà
x
∗
k
, ω
k
− x
k
  2ε
k
ω
k
− x
k
 ∀k ∈ N.
Điều này và (1.6) cho ta
x
k
− ω
k
  4α
k

ε
k
,
và do đó ω
k
→ ¯x khi k → ∞. Hơn nữa, đặt
ω
∗
k
:= x
∗
k
+
1
α
k
(x
k
− ω
k
),
ta có ω
∗
k
− x
∗
k
 ≤ 4ε
k
và ω

∗
k
→ x
∗
khi k → ∞. Ta khẳng định rằng
ω
∗
k
∈

N(ω
k
; Ω), ∀k. Thật vậy, với mỗi x cố định thuộc Ω ta có
0  x
k
+ α
k
x
∗
k
− x
2
− x
k
+ α
k
x
∗
k
− ω

k

2
= α
k
x
∗
k
+ x
k
− x, α
k
x
∗
k
+ x
k
− ω
k
 + α
k
x
∗
k
+ x
k
− x, ω
k
− x
− α

k
x
∗
k
+ x
k
− ω
k
, x − ω
k
 − α
k
x
∗
k
+ x
k
− ω
k
, α
k
x
∗
k
+ x
k
− x
= −2α
k
ω

∗
k
, x − ω
k
 + x − ω
k

2
do chuẩn ở đây là chuẩn Euclid. Do đó
ω
∗
k
, x − ω
k
 
1
2α
k
x − ω
k

2
, ∀x ∈ Ω
mà điều này hiển nhiên suy ra rằng ω
∗
k
∈

N(ω
k

; Ω). Vì vậy, ta đạt được
biểu diễn (1.4) của nón pháp tuyến qua giới hạn.
8
Để chứng minh khẳng định (1.5), ta chỉ cần chứng tỏ rằng
Lim sup
x→¯x

N(x; Ω) = Lim sup
x→¯x
[cone(x − Π(x; Ω))].
Trước tiên ta khẳng định rằng
Lim sup
x→¯x

N(x; Ω) ⊂ Lim sup
x→¯x
[cone(x − Π(x; Ω))], ∀x ∈ Ω. (1.7)
Lấy tùy ý x ∈ Ω và x
∗
∈

N(x; Ω). Đặt x
k
:= x +
1
k
x
∗
và chọn ω
k

∈
Π(x
k
; Ω) cho mỗi k ∈ N. Điều sau cùng này rõ ràng tương đương với
0  x
k
− ν
2
− x
k
− ω
k

2
= x
k
− ν, x
k
− ω
k
 + x
k
− ν, ω
k
− ν − x
k
− ω
k
, ν − ω
k


− x
k
− ω
k
, x
k
− ν
= −2 x
k
− ω
k
, ν − ω
k
 + ν − ω
k

2
, ∀ν ∈ Ω.
Do đó ω
k
∈ Π(x
k
, Ω) khi và chỉ khi
x
k
− ω
k
, ν − ω
k

 
1
2
ν − ω
k

2
, ∀ν ∈ Ω.
Lấy ν = x và sử dụng định nghĩa của x
k
ta có
x − ω
k

2
+
1
k
x
∗
, x − ω
k
 
1
2
x − ω
k

2
.

Từ bất đẳng thức sau cùng này và x
∗
∈

N(x; Ω) ta suy ra rằng
kx − ω
k
 
2 x
∗
, ω
k
− x
x − ω
→ 0 khi k → ∞,
và do đó
k(x
k
− ω
k
) = x
∗
+ k(x − ω
k
) → x
∗
khi k → ∞.
Vì vậy ta có (1.7) và suy ra bao hàm thức “⊂” trong (1.5) bởi việc sử
dụng giới hạn trên Painlevé - Kuratowski khi x → x
∗

và sử dụng (1.4).
Ta còn phải chứng minh bao hàm thức “⊃” trong (1.5). Đặt
Π
−1
(x; Ω) := {z ∈ X|x ∈ Π(z; Ω)}.
9
Điều này và định nghĩa của

N(x; Ω) suy ra rằng
cone

Π
−1
(x; Ω) − x

⊂

N(x; Ω), ∀x ∈ Ω,
và do đó suy ra bao hàm thức “⊃” trong (1.5) bởi việc sử dụng giới hạn
trên Painlevé - Kuratowski khi x
Ω
−→ ¯x và sử dụng (1.4). Định lý được
chứng minh.
1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland
Nguyên lý Ekeland là một công cụ để thiết lập các định lý ánh xạ
mở, định lý hàm ẩn, định lý hàm ngược trong giải tích không trơn và
giải tích biến phân.
Định lý 1.2. (Nguyên lý biến phân Ekeland) [2, Định lý 2.1.1] Cho
(X, d) là một không gian metric đủ, f : X → R ∪ {+∞} là hàm số nửa
liên tục dưới, bị chặn trong X. Khi đó, nếu ¯x thoả mãn

f(¯x)  inf
x∈X
f(x) + ε (1.8)
với ε > 0 và nếu λ > 0 là số thực cho trước thì tồn tại ˆx ∈ X sao cho:
(i) f(ˆx)  f(¯x);
(ii) d(ˆx, ¯x)  λ;
(iii) f (ˆx) < f (x) +
ε
λ
d (x, ˆx) , ∀x ∈ X\{ˆx}.
Chứng minh. Với mỗi α > 0, ta định nghĩa quan hệ “
α
” trong tích
X × R như sau
(x
1
, y
1
) 
α
(x
2
, y
2
) ⇐⇒ y
2
− y
1
+ αd(x
1

, x
2
)  0 (1.9)
Quan hệ “
α
” có tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu, và do đó nó
là một qua hệ thứ tự. Thật vậy, tính phản xạ được suy ra trực tiếp từ
10
(x, y) 
α
(x, y) với mọi (x, y) ∈ X × R. Để kiểm tra tính phản xứng, ta
giả sử rằng (x
1
, y
1
) 
α
(x
2
, y
2
) và (x
2
, y
2
) ≤
α
(x
1
, y

1
). Do (2.2)
(x
1
, y
1
) 
α
(x
2
, y
2
) ⇐⇒ d(x
1
, x
2
) 
y
1
− y
2
α
.
Theo giả thiết ta có
d(x
1
, x
2
) 
y

1
− y
2
α
và d(x
2
, x
1
) 
y
2
− y
1
α
. (1.10)
Suy ra 2d(x
1
, x
2
)  0. Vì thế x
1
= x
2
, và từ (2.3) ta có y
1
 y
2
và
y
2

 y
1
. Do đó (x
1
, y
1
) = (x
2
, y
2
), và tính phản xứng được thỏa mãn. Ta
còn phải kiểm tra tính bắc cầu của “
α
”. Giả sử rằng (x
1
, y
1
) 
α
(x
2
, y
2
)
và (x
2
, y
2
) 
α

(x
3
, y
3
).
Khi đó
d(x
1
, x
2
) 
y
1
− y
2
α
và d(x
2
, x
3
) 
y
2
− y
3
α
.
Suy ra
d(x
1

, x
2
) + d(x
2
, x
3
) 
y
1
− y
3
α
.
Do d(x
1
, x
3
)  d(x
1
,
2
) + d(x
2
, x
3
), nên ta có
d(x
1
, x
3

) 
y
1
− y
3
α
.
Từ đó suy ra (x
1
, y
1
) 
α
(x
3
, y
3
), và tính bắc cầu được suy ra. Do đó, “

α
” là một quan hệ thứ tự trong X × R.
Bây giờ ta chỉ ra rằng với mỗi (x
1
, y
1
) ∈ X × R, ta có
Ω :=

(x, y) ∈ X × R : (x
1

, y
1
) 
α
(x, y)

là tập đóng. Thật vậy, giả sử dãy

(x
k
, y
k
)

⊂ X × R thỏa mãn
(x
1
, y
1
) 
α
(x
k
, y
k
) (k = 2, 3, 4, )
và x
k
→ x, y
k

→ y. Do d(x
1
, x
k
) 
y
1
−y
k
α
với mọi k ∈ N, nên ta có
d(x
1
, x) 
y
1
−y
α
tức là (x
1
, y
1
) 
α
(x, y). Vậy (x, y) ∈ Ω, hay Ω là tập
đóng.
11
Lấy M ⊂ X × R là tập đóng sao cho tồn tại γ > 0 để y  γ
với mọi (x, y) ∈ M. Ta khẳng định rằng với mỗi (x
1

, y
1
) ∈ M tồn tại
(¯x, ¯y) ∈ M sao cho (x
1
, y
1
) 
α
(¯x, ¯y) và (¯x, ¯y) là một phần tử cực đại
trong M theo thứ tự ” 
α
” (tức là, nếu (x, y) ∈ M và (¯x, ¯y) 
α
(x, y)
thì (x, y) = (¯x, ¯y)). Bắt đầu từ (x
1
, y
1
) ∈ M ta xây dựng dãy

(x
k
, y
k
)

như sau: giả sử (x
k
, y

k
) đã được xác định. Đặt
M
k
=

(x, y) ∈ M : (x
k
, y
k
) 
α
(x, y)

.
Rõ ràng, M
k
là tập đóng. Mặt khác, vì (x
k
, y
k
) ∈ M
k
nên M
k
= ∅.
Đặt
γ
k
= inf


y : ∃x ∈ X, (x, y) ∈ M
k

.
Hiển nhiên, γ
k
 γ và γ
k
 y
k
. Chọn (x
k+1
, y
k+1
) ∈ M
k
sao cho
y
k+1

γ
k
+ y
k
2
(1.11)
(điều này luôn thực hiện được bởi vì nếu γ
k
= y

k
thì đặt (x
k+1
, y
k+1
) =
(x
k
, y
k
). Giả sử γ
k
< y
k
, do γ
k
<
γ
k
+y
k
2
, tồn tại (x, y) ∈ M sao cho
γ
k
 y <
γ
k
+y
k

2
. Đặt (x
k+1
, y
k+1
) = (x, y) ta thấy rằng (1.9) nghiệm
đúng). Quan sát rằng nếu (x, y) ∈ M
k+1
thì
(x
k
, y
k
) 
α
(x
k+1
, y
k+1
) 
α
(x, y),
và do đó (x, y) ∈ M
k
. Điều này suy ra rằng dãy

M
k

là các tập đóng

lồng nhau: M
k+1
⊂ M
k
với mọi k ∈ N. Đặt
d((x, y), (x

, y

)) = d(x, x

) + |y − y

| .
Từ (1.9) ta suy ra rằng
y
k+1
− γ
k+1
 y
k+1
− γ
k

1
2
y
k
− γ
k


1
2


y
k
− γ
k


.
Vì y
k+1
− γ
k+1
 0, từ đó suy ra


y
k+1
− γ
k+1


  2
−k


y

1
− γ
1


 2
−k


y
1
− γ


.
12
Do đó, với mỗi k ∈ N, ta có γ
k
 γ
k+1
 y
k+1
và


y
k+1
− γ
k+1




1
2


y
k
− γ
k


 2
−k


y
1
− γ


.
Rõ ràng, (x, y) ∈ M
k+1
ta có


y
k+1
− y






y
k+1
− γ
k+1


 2
−k


y
1
− γ


.
Vì (x
k+1
) 
α
(x, y) nên
0  d(x
k+1
, x) 
y

k+1
− y
α
.
Do đó
0  d(x
k+1
, x) 
y
k+1
− y
α

2
−k
α


y
1
− γ


.
Từ đó suy ra
diamM
k+1
:= sup

d((x, y), (x


, y

)) : (x, y) ∈ M
k+1
, (x

, y

) ∈ M
k+1

→ 0
khi k → 0. Vậy

M
k

là dãy các tập đóng lồng nhau, có đường kính
giảm tới 0. Vì X ×R là không gian metric đủ, nên tồn tại duy nhất phần
tử (¯x, ¯y) ∈ X × R thỏa mãn:
∞

k=1
M
k
= {(¯x, ¯y)} .
Do (¯x, ¯y) ∈ M
1
, ta có (¯x, ¯y) ∈ M và (x

1
, y
1
) 
α
(¯x, ¯y). Giả sử (x, y) ∈ M
thỏa mãn
(¯x, ¯y) 
α
(x, y). (1.12)
Do (2.5) và do (¯x, ¯y) ∈ M
k
với mọi k ∈ N, ta có
(x
k
, y
k
) 
α
(¯x, ¯y) 
α
(x, y).
Vậy (x, y) ∈ M
k
với mọi k ∈ N. Từ đó suy ra (x, y) = (¯x, ¯y). Nghĩa là
(¯x, ¯y) là phần tử cực đại trong M, và khẳng định trên được chứng minh.
13
Đặt
M := epif = {(x, y) ∈ X × R : f(x)  y}.
Do hàm số f là nửa liên tục dưới, M là tập đóng trong X × R. Thật vậy,

ta sẽ chứng minh rằng Ω := (X × R)\M là tập mở. Giả sử (¯x, ¯y) ∈ Ω.
Do (¯x, ¯y) /∈ M, ta có f(¯x) > ¯y. Lấy ε ∈

0,
f(¯x)−¯y
2

. Vì f là nửa liên tục
dưới tại ¯x, tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho
f(x)  f(¯x) − ε ∀x ∈ U.
Đặt V = (¯y−ε, ¯y+ε) và xét tập W := U ×V . Dễ thấy với mọi (x, y) ∈ W
ta có f(x)  f(¯x) − ε. Nếu (x, y) ∈ M thì y  f(x)  f(¯x) − ε. Do
y ∈ V, y < ¯y + ε. Vì thế ¯y + ε > y  f(¯x) − ε. Suy ra ε >
f(¯x)−¯y
2
,
mâu thuẫn với cách chọn ε. Vậy (x, y) /∈ M, hay W ⊂ Ω và Ω là lân
cận mở của (¯x, ¯y). Như vậy, ta chứng minh được M là tập đóng. Ta có
(¯x, f(¯x)) ∈ M. Đặt (x
1
, y
1
) = (¯x, f(¯x)). Do Khẳng định 2 nên tồn tại
(ˆx, ˆy) sao cho
(x
1
, y
1
) 
α

(ˆx, ˆy) (1.13)
và (ˆx, ˆy) là phần tử cực đại trong M theo thứ tự “
α
”. Đặt α =
ε
λ
. Do
(2.6),
ˆy − y
1
+ αd(¯x, ˆx)  0,
hay
ˆy − f(¯x) + αd(¯x, ˆx)  0. (1.14)
Giả sử ˆy > f(ˆx). Khi đó d(ˆx, ˆx) <
ˆy−f(ˆx)
2
.
Suy ra (ˆx, ˆy) 
α
(ˆx, f(ˆx)) và (ˆx, ˆy) = (ˆx, f(ˆx)), đồng thời chứng tỏ (ˆx, ˆy)
không thể là phần tử cực đại, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy
ˆy = f(ˆx). (1.15)
Thay (2.8) vào (2.7), ta có
f(ˆx) − f(¯x) + αd(¯x, ˆx)  0. (1.16)
14
Suy ra f(ˆx) − f(¯x)  0, tức là tính chất (i) trong kết luận của định lý
nghiệm đúng. Do đó
f(¯x)  inf
x∈X
f(x) + ε  f(ˆx) + ε.

Từ (2.9) ta có
αd(¯x, ˆx)  f(¯x) − f(ˆx)  ε.
Do đó
d(¯x, ˆx) 
ε
α
= ε
λ
ε
.
Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng. Để kiểm tra tính chất (iii) ta lấy tùy ý
x ∈ X\ {ˆx}. Nếu f(x) = +∞ thì bất đẳng thức chặt trong (iii) là đúng.
Giả sử f(x) ∈ R. Vì (x, f(x)) ∈ M, (x, f(x)) = (ˆx, f(ˆx)) và (ˆx, f(ˆx)) là
phần tử cực đại trong M, nên bất đẳng thức (ˆx, f(ˆx)) 
α
(x, f(x)) là
sai. Do đó
f(x) − f(ˆx) + αd(x, ˆx) > 0.
hay
f(x) − f(ˆx) +
ε
λ
d(x, ˆx) > 0.
Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng. Định lý được chứng minh.
1.3. Dưới vi phân qua giới hạn
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian Banach và f : X →
¯
R hàm nhận
giá trị trong tập số thực suy rộng, hữu hạn tại ¯x. Với mỗi ε  0, đặt
ˆ

∂
ε
f(¯x) :=

x
∗
∈ X
∗
: lim inf
x→¯x
f(x) − f(¯x) − x
∗
, x − ¯x
x − ¯x
 −ε

. (1.17)
Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các ε− dưới
gradient Fréchet của f tại ¯x, còn bản thân tập hợp đó được gọi là ε−
dưới gradient Fréchet của f tại ¯x.
15
Tập hợp
ˆ
∂f(¯x) :=
ˆ
∂
0
f(¯x)
được gọi là dưới vi phân Fréchet dưới (thường gọi là dưới vi phân Fréchet)
của f tại ¯x. Rõ ràng,

ˆ
∂f(¯x) ⊂
ˆ
∂
ε
f(¯x) với mọi ε  0.
Định nghĩa 1.3. Tập hợp
∂f(¯x) := Limsup
x
f
−→¯x
ε↓0
ˆ
∂
ε
f(x) (1.18)
được gọi là dưới vi phân qua giới hạn hay dưới vi phân Mordukhovich.
Ta nhận thấy rằng x
∗
∈ ∂f(¯x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy
x
k
f
−→ ¯x, ε
k
↓ 0, và x
∗
k
∈
ˆ

∂f
ε
k
f(x
k
) sao cho x
∗
k
ω
∗
−→ x
∗
. Hiển nhiên ta có
ˆ
∂f(¯x) ⊂ ∂f(¯x).
Tập hợp
∂
∞
f(¯x) := Limsup
x
f
−→¯x
ε,λ↓0
λ
ˆ
∂
ε
f(x) (1.19)
được gọi là dưới vi phân qua giới hạn suy biến (thường gọi tắt là dưới vi
phân suy biến) của f tại ¯x. Như vậy x

∗
∈ ∂
∞
f(¯x) khi và chỉ khi tồn tại
các dãy x
k
f
−→ ¯x, ε
k
↓ 0, λ
k
↓ 0, và x
∗
k
∈ λ
k
ˆ
∂f
ε
k
f(x
k
) sao cho x
∗
k
ω
∗
−→ x
∗
. Ta

có thể chứng minh được rằng ∂
∞
f(¯x) = {0} nếu hàm f là Lipschitz địa
phương tại ¯x.
Hàm f : X →
¯
R hữu hạn tại ¯x ∈ X được gọi là chính quy dưới tại
¯x nếu
∂f(¯x) =
ˆ
∂f(¯x).
Cho một hàm giá trị thực suy rộng f : X →
¯
R. Ta kí hiệu tập xác
định và trên đồ thị của f bởi
domf = {x ∈ X | |f(x)| < ∞} , epif =

(x, µ) ∈ X ×
¯
R | µ  f(x)

.
16
Ta có thể chứng minh được rằng
∂f(¯x) = {x
∗
∈ X
∗
|(x
∗

, −1) ∈ N((¯x, f(¯x)); epif)} ,
∂
∞
f(¯x) = {x
∗
∈ X
∗
|(x
∗
, 0) ∈ N((¯x, f(¯x)); epif)} .
Định lý sau đây cho ta một biểu diễn khác của nón pháp tuyến
Mordukhovich qua dưới vi phân của hàm khoảng cách.
Định lý 1.3. (Nón pháp tuyến qua dưới vi phân của hàm khoảng
cách) [15, Theorem 1.97] Cho Ω là tập khác rỗng và đóng trong không
gian Banach X. Khi đó
N(¯x; Ω) =

λ>0
λ∂d
Ω
(¯x) với mọi ¯x ∈ Ω. (1.20)
Chứng minh. Lấy x
∗
∈ N(¯x; Ω). Từ định nghĩa của nón pháp tuyến qua
giới hạn suy ra tồn tại các dãy x
k
→ ¯x và x
∗
k
ω

∗
−→ ¯x
∗
với x
∗
k
∈

N
ε
k
(x
k
; Ω),
k ∈ N. Vì {x
k
} bị chặn nên tồn tại một dãy bị chặn λ
k
> 0 sao cho
x
∗
k

λ
k
≤ 1+ε
k
. Từ [15, Proposition 1.95] ta suy ra rằng x
∗
k

∈ λ
k
ˆ
∂
4ε
k
d
Ω
(x
k
).
Do đó, x
∗
∈ λ∂d
Ω
(x) với số λ > 0 nào đó, và ta có bao hàm thức “⊂”
trong (1.20) với Ω là một tập hợp tùy ý.
Tiếp theo ta chứng minh bao hàm thức ngược lại trong (1.20) khi
Ω là tập đóng. Lấy tùy ý x
∗
∈ ∂d
Ω
(¯x). Khi đó tồn tại dãy x
k
→ ¯x và
x
∗
k
ω
∗

−→ ¯x
∗
với x
∗
k
∈
ˆ
∂
4ε
k
d
Ω
(x
k
). Bởi [15, Proposition 1.95], ta có
ˆ
∂
4ε
k
d
Ω
(x
k
) ⊂ {x
∗
∈

N
ε
(¯x; Ω) | x

∗
 ≤ 1 + ε}.
Nếu dãy {x
k
} có dãy con thuộc Ω thì bởi cho qua giới hạn trong bao
hàm thức trên ta có x
∗
∈ N(¯x; Ω) và kết thúc chứng minh. Giả sử rằng
x
k
/∈ Ω với mọi k ∈ N. Khi đó tồn tại η
k
↓ 0 với
x
∗
k
, x − x − x
k
 ≤ 2ε
k
x − x
k
 ∀x ∈ B
η
k
(x
k
) ∩ Ω, k ∈ N.
17
Chọn ρ

k
↓ 0 với ρ
k
< min{η
2
k
,
1
k
d
Ω
(x
k
)} và lấy ν
k
↓ 1 sao cho (ν
k
−
1)d
Ω
(x
k
) < ρ
2
k
. Khi đó lấy cố định ˜x
k
∈ Ω thỏa mãn ˜x
k
−x

k
 ≤ ν
k
d
Ω
(x
k
)
và quan sát rằng
x
∗
k
, u ≤ d
Ω
(x
k
+ u) − ν
−1
k
x
k
− ˜x
k
 + ε
k
u
≤ d
Ω
(˜x
k

+ u) + (1 − ν
−1
k
)x
k
− ˜x
k
 + 2ε
k
u
nếu u ≤ η
k
. Suy ra
x
∗
k
, x
k
− ˜x
k
 ≤ (1 − ν
−1
k
)x
k
− ˜x
k
 + 2ε
k
x

k
− ˜x
k

với mọi x ∈ Ω ∩ B
η
k
(˜x
k
), và do đó
0 ≤ ϕ
k
(x) := −x
∗
k
, x
k
− ˜x
k
 + 2ε
k
x
k
− ˜x
k
 + γ
2
, x ∈ Ω ∩ B
η
k

(˜x
k
)
ở đó γ
2
:= (1 − ν
−1
k
)x
k
− ˜x
k
. Điều này suy ra rằng
γ
2
≤ ϕ
k
(˜x
k
) ≤ inf
x∈Ω∩B
η
k
(˜x
k
)
ϕ
k
(x) + γ
2

với mỗi k ∈ N, và do đó chúng ta có thể áp dụng nguyên lý biến phân
Ekeland [Định lý 1.2] cho hàm liên tục ϕ
k
trong không gian metric đủ
Ω ∩ B
η
k
(˜x
k
). Khi đó tồn tại ˆx
k
∈ Ω ∩ B
η
k
(˜x
k
) sao cho ˆx
k
− ˜x
k
 ≤ γ
k
và
−x
∗
k
, ˆx
k
− ˜x
k

+2ε
k
ˆx
k
− ˜x
k
 ≤ −x
∗
k
, x
k
− ˜x
k
+2ε
k
x
k
− ˜x
k
+γx− ˆx
k
.
Đặt r
k
:= ρ
k
− γ
k
. Vì γ
2

≤ ν
k
(1 − ν
−1
k
)d
Ω
(x
k
) ≤ ρ
2
nên
x − ˆx
k
 ≤ r
k
=⇒ x − ˜x
k
 ≤ x − ˆx
k
 + γ
k
≤ ρ
k
≤ η
k
.
Điều này suy ra rằng
x
∗

k
, x − ˆx
k
 ≤ (2ε
k
+ γ
k
)x − ˆx
k
, x ∈ Ω ∩ B
r
k
(ˆx
k
),
và do đó, x
∗
k
∈

N
2ε
k
+γ
k
(ˆx; Ω) với mọi k ∈ N. Cho qua giới hạn khi k → ∞,
ta có x
∗
∈ N(¯x; Ω). Định lý được chứng minh.
18

Cho không gian Banach X. Tập Ω ⊂ X là compắc pháp tuyến
theo dãy (SNC) tại ¯x nếu với mọi dãy ε
k
↓ 0, x
k
Ω
−→ ¯x và x
∗
k
∈

N
ε
k
(x
k
, Ω)
có
[x
∗
k
ω
∗
−→ 0] ⇒ [x
∗
k
 → 0] khi k → 0,
ở đó ε
k
có thể bỏ qua nếu X là không gian Asplund và Ω là đóng địa

phương quanh ¯x.
Một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là SNC tại (¯x, ¯y) ∈ gphF nếu đồ
thị của nó có thuộc tính đó. Ánh xạ đa trị F là compắc pháp tuyến một
phần theo dãy (PSNC) tại (¯x, ¯y) nếu với mọi dãy (ε
k
, x
k
, y
k
, x
∗
k
, y
∗
k
) ∈
[0, ∞) × (gphF ) × X
∗
× Y
∗
thoả mãn
ε
k
↓ 0, (x
k
, y
k
) → (¯x, ¯y), (x
∗
k

, −y
∗
k
) ∈

N
ε
k
((x
k
, y
k
); gphF ), x
∗
k
ω
∗
−→ 0
và y
∗
k
 → 0, ta có x
∗
k
 → 0 khi k → ∞.
Cho ϕ : X →
¯
R hữu hạn tại ¯x. ϕ được gọi là epi-compact pháp
tuyến theo dãy (SNEC) tại (¯x, ϕ(¯x)) nếu trên đồ thị của nó là SNC tại
(¯x, ϕ(¯x)).

Ta có quy tắc tổng sau đây cho dưới vi phân Mordukhovich.
Định lý 1.4. (Quy tắc tính tổng cho dưới vi phân) [15, Theo-
rem 3.36] Cho X là một không gian Asplund, f
i
: X →
¯
R, i = 1, 2, , n
là các hàm nửa liên tục dưới trong một lân cận của ¯x và có ít nhất một
hàm số là SNEC tại ¯x. Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn
[x
∗
i
∈ ∂
∞
f
i
(¯x) , i = 1, , n, x
∗
1
+ + x
∗
n
= 0] =⇒ x
∗
1
= = x
∗
n
= 0.
(1.21)

Khi đó ta có các bao hàm thức
∂(f
1
+ + f
n
)(¯x) ⊂ ∂f
1
(¯x) + + ∂f
n
(¯x), (1.22)
∂
∞
(f
1
+ + f
n
)(¯x) ⊂ ∂
∞
f
1
(¯x) + + ∂
∞
f
n
(¯x). (1.23)
19
Hơn nữa, nếu tất cả f
i
là chính quy dưới tại ¯x thì tổng f
1

+ + f
n
cũng
chính quy dưới tại điểm đó, và bao hàm thức trong (1.21) trở thành đẳng
thức.
Chứng minh. Trước tiên chúng ta xét trường hợp cho hai hàm f
1
, f
2
và
chứng minh bao hàm thức (1.22). Với điều kiện xác định chúng ta giả sử
rằng f
1
là SNEC tại ¯x. Lấy x
∗
∈ ∂(f
1
+ f
2
)(¯x). Bởi biểu diễn (1.18) ta có
thể tìm được các dãy x
k
→ ¯x và x
∗
k
ω
∗
−→ ¯x
∗
thỏa mãn f

i
(x
k
) → f
i
(¯x), i =
1, 2 và x
∗
k
∈
ˆ
∂(f
1
+ f
2
)(x
k
), k = 1, 2 Chọn một dãy tùy ý ε
k
↓ 0 khi
k → ∞ và sử dụng (1.17) tại x
k
với ε = 0, chúng ta tìm được một lân
cận U
k
của x
k
ở đó
(f
1

+ f
2
)(x) − (f
1
+ f
2
)(x
k
) − x
∗
k
, x − x
k
 + ε
k
x − x
k
  0 ∀x ∈ U
k
.
(1.24)
Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng f
1
và f
2
là nửa liên tục
dưới trên X. Do đó các tập
Ω
1k
:= {(x, µ) ∈ X × R|f

1
(x) − f
1
(x
k
)  µ} (1.25)
và
Ω
2k
:= {(x, µ) | f
2
(x) − f
2
(x
k
) − x
∗
k
, x − x
k
 + ε
k
x − x
k
  −µ}
(1.26)
là đóng. Từ (1.24) và cách xây dựng các tập trong (1.25) và (1.26), chúng
ta thấy rằng (x
k
, 0) là một điểm cực trị địa phương của hệ {Ω

1k
, Ω
2k
}
với mỗi k = 1, 2, Thật vậy, có thể dễ dàng kiểm tra rằng
(x
k
, 0) ∈ Ω
1k
∩ Ω
2k
và Ω
1k
∩ [Ω
2k
− (0, ν)] ∩ [U
k
× R] = ∅
với mọi ν > 0 và k = 1, 2, Áp dụng nguyên lý cực trị trong không gian
Asplund [15, Theorem 2.20] ta suy ra rằng tồn tại (x
ik
, µ
ik
) ∈ (epif
i
) ∩
B
ε
k
(x

k
, f
i
(x
k
)), i = 1, 2, (˜x
∗
k
, α
k
) ∈ X
∗
×R và (˜y
∗
k
, β
k
) ∈ X
∗
×R thỏa mãn
1
2
− ε
k
 ˜x
∗
k
 + |α
k
| 

1
2
+ ε
k
,
1
2
− ε
k
 ˜y
∗
k
 + |β
k
| 
1
2
+ ε
k
, (1.27)
20
(˜x
∗
k
, α
k
) ∈

N((x
1k

, µ
1k
− f
1
(x
k
)); Ω
1k
), (1.28)
(˜y
∗
k
, β
k
) ∈

N((x
2k
, −µ
2k
+ f
2
(x
k
) + x
∗
k
, x
2k
− x

k
 − ε
k
x
2k
− x
k
); Ω
2k
),
(1.29)
(˜x
∗
k
, α
k
) + (˜y
∗
k
, β
k
)  ε
k
. (1.30)
Suy ra (x
ik
, µ
ik
)
epi f

i
−−−→ (¯x, f
i
(¯x)) khi k → ∞ với i = 1, 2. Do X là không
gian Asplund và các dãy {(˜x
∗
k
, α
k
)} và {(˜y
∗
k
, β
k
)} là bị chặn, chúng ta có
thể giả sử khi k → ∞ rằng
(˜x
∗
k
, α
k
)
ω
∗
−→ (˜x
∗
, α), (˜y
∗
k
, β

k
)
ω
∗
−→ (˜y
∗
, β). (1.31)
Từ (1.23), (1.28), (1.31) và từ cách xây dựng nón pháp tuyến trong (1.3)
ta suy ra rằng với α  0,
(˜x
∗
, α) ∈ N((¯x, f
1
(¯x)); epif
1
). (1.32)
Mặt khác, sử dụng (1.26), (1.29) cùng với định nghĩa của nón pháp tuyến
Fréchet ta thu được
lim sup
(x,µ)
epi f
2
−−−→(x
2k
,µ
2k
)
˜y
∗
k

, x − x
2k
 − β
k
(µ − µ
2k
− x
∗
k
, x − x
2k
 + ε
k
x − x
2k
)
x − x
2k
 + |µ − µ
2k
| + |x
∗
k
, x − x
2k
| + ε
k
x − x
2k


 0.
Điều này suy ra rằng
(β
k
x
∗
k
+ ˜y
∗
k
, −β
k
) ∈

N
˜ε
k
((x
2k
, µ
2k
) ; epi f
2
) (1.33)
với ˜ε
k
:= ε
k
(1 + x
∗

k
 + ε
k
+ |β
k
|), k = 1, 2 Cho qua giới hạn trong
(1.33) khi k → ∞ ta có, bởi (1.30), (βx
∗
+ ˜y
∗
, −β) ∈ N((¯x, f
2
(¯x)); epi f
2
),
ở đó ˜y
∗
= −˜x
∗
và β = −α. Do đó, chúng ta thu được bao hàm thức
(−αx
∗
− ˜x
∗
, α) ∈ N((¯x, f
2
(¯x)); epi f
2
). (1.34)
Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng α = 0. Thật vậy, nếu α = 0 thì

từ (1.32) và (1.34) suy ra (˜x
∗
, 0) ∈ N((¯x, f
1
(¯x)); epi f
1
) và (−˜x
∗
, 0) ∈
21
N((¯x, f
2
(¯x)); epi f
2
), và do đó ˜x
∗
= 0. Suy ra (˜x
∗
k
, α
k
)
ω
∗
−→ (0, 0) khi
k → ∞ bởi (1.31). Vì (˜x
∗
k
, α
k

) ∈

N((x
1,k
, µ
1,k
); epi f
1
) và f
1
là SNEC tại
¯x nên ta có thể khẳng định rằng (˜x
∗
k
, α
k
) → (0, 0) đối tôpô chuẩn trong
X
∗
× R khi k → ∞. Điều này mâu thuẫn với (1.27). Do đó α = 0. Từ
(1.32) và (1.34) ta có

˜x
∗
|α|
, −1

∈ N ((¯x, f
1
(¯x)); epi f

1
) ,

x
∗
−
˜x
∗
|α|
, −1

∈ N ((¯x, f
2
(¯x)); epi f
2
) . (1.35)
Đặt x
∗
1
:=
˜x
∗
|α|
, x
∗
2
:= x
∗
−
˜x

∗
|α|
. Ta suy ra từ (1.35) rằng x
∗
∈ ∂f
1
(˜x) +
∂f
2
(˜x), mà điều này chứng minh (1.22) cho trường hợp n = 2. Để chứng
minh bao hàm thức (1.23) với dưới vi phân suy biến khi n = 2, chúng
ta sử dụng lập luận tương tự như trên và (1.18) với ε = 0. Khi n > 2
chúng ta chứng minh bao hàm thức (1.22) và (1.23) bởi phép quy nạp,
ở đó giả thiết chính quy (1.21) tại bước hiện thời được xác định bởi việc
sử dụng (1.23) ở bước trước đó.
Ta còn phải chứng minh rằng đẳng thức xảy ra dưới giả thiết tính
chính quy của các hàm được xét. Rõ ràng
ˆ
∂(f
1
+ + f
n
)(¯x) ⊃
ˆ
∂f
1
(¯x) + +
ˆ
∂f
n

(¯x) (1.36)
luôn đúng với dưới vi phân Fréchet của các hàm f
i
bất kỳ. Điều này dễ
dàng có được từ biểu diễn (1.17) khi ε = 0. Nếu tất cả f
i
là chính quy
dưới tại ¯x thì (1.22) và (1.36) đảm bảo rằng tổng f
1
+ + f
n
cũng là
chính quy dưới tại điểm này và bao hàm thức trong (1.22) trở thành
đẳng thức. Định lý được chứng minh.