Phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ BÌNH

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ
TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM NGỌC ANH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Mục lục

i

Lời cảm ơn

iii

Mở đầu

1

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

3

1.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Tập lồi và hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan . . . .

12

1.3.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều kiện Lipschitz

20

2.1

Phương pháp hàm phạt điểm trong [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 Phương pháp xấp xỉ trong không Lipschitz

33

3.1

Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Một số kết quả tính toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (M V I)
4.1

41

Thuật toán kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.1.1

41

Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




ii
4.1.2
4.2

4.3

Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Thuật toán mới và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2.2

Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) . . . . . . . . . . .

51

Kết luận

55

Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn

56

Tài liệu tham khảo

57

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




iii

Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và chỉ
bảo tận tình của thầy giáo TS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn
thông). Thầy luôn động viên và hướng dẫn tận tình cho tôi trong thời gian học tập,
nghiên cứu và làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên
đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa cao học này.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan
hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,
cùng các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 2 (2008 - 2010) đã mang đến
cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Xin cảm ơn các bạn học viên cao học toán khóa 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, động
viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và
hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9-2010
Người viết luận văn

Dương Thị Bình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

1

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giải
các bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, lí
thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, · · · .
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vào
năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bài
toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng.
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng
của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities
and their application" của D.Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]
và trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free
boundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984.
Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh và
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong các hướng nghiên cứu
quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp
giải. Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện được. Vì vậy các
nhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm của
bài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được. Do đó
người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó.
Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điều
này giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong
đó có bài toán bất đẳng thức biến phân. Vì vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biến
phân đa trị cũng có những bước phát triển mới. Nhiều phương pháp đã được đề xuất

để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




2
chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, · · · .
Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biến
phân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interior
proximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational
inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] và một kết quả mới về
thuật toán điểm gần kề mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. [6]
Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương. Chương 1
nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz và ánh
xạ đa trị đơn điệu. Phần tiếp theo, phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị,
các bài toán liên quan và một số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm
của bài toán này. Chương 2 gồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phương
pháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bài
toán (M V I) giả đơn điệu Lipschitz và chứng minh sự hội tụ của thuật toán. Chương
3 đề xuất thuật toán giải bài toán (M V I) không có điều kiện Lipschitz. Chương này
đưa ra thuật toán xấp xỉ, trong đó có sự kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuật
đường tìm kiếm. Cuối chương trình bày một số kết quả tính toán cụ thể minh họa cho
thuật toán ở chương 2 và chương 3. Chương 4 trình bày phương pháp mới để giải bài
toán (M V I) và các kết quả tính toán để minh họa thuật toán đã đề xuất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

3

Chương 1
Bài toán bất đẳng thức biến phân
đa trị
1.1

Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Euclid n chiều Rn . Mỗi
phần tử x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn là một véc tơ cột của Rn . Với hai véc tơ bất kì
x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn )T ∈ Rn thì
n

x, y =

xi yi
i=1

được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y.
Chuẩn Euclid (hay độ dài) của véc tơ x ∈ Rn , kí hiệu ||x|| được xác định bởi
||x|| =

x, x .

¯ = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} là tập số thực mở rộng.
Ta gọi R
Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi như: Tập

lồi, hàm lồi, dưới vi phân, · · · .

1.1.1

Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.1. [10] Một tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu
∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

Định nghĩa 1.2. [10] Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian
đóng được gọi là tập lồi đa diện hay là khúc lồi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




4
Định nghĩa 1.3. [10] Một tập C ⊆ Rn được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(a) λC ⊆ C,

∀λ > 0

(b) C + C ⊆ C
Tập C ⊆ Rn dưới đây luôn giả thiết là một tập lồi (nếu không giải thích gì thêm).

Định nghĩa 1.4. Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là NC (x),
được xác định bởi công thức
NC (x) := {w ∈ Rn |

w, y − x ≤ 0,

∀y ∈ C}.

¯ Khi đó, miền hữu hiệu của f , kí hiệu là
Định nghĩa 1.5. Cho ánh xạ f : C → R.
domf , được xác định bởi
domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.
Hàm f được gọi là chính thường nếu
domf = ∅,

f (x) > −∞,

∀x ∈ C

Định nghĩa 1.6. [10] Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, hàm f được gọi là
(i) lồi trên C nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
(ii) lồi chặt trên C nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
(iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

5
Định lí 1.1. [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi trên tập lồi C. Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta
có
f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x .
(ii) Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi C thì với mọi x, y ∈ C và x = y, ta có
f (y) − f (x) > ∇f (x), y − x .
(iii) Nếu f lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi trên tập lồi C thì
f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x + β||y − x||2 ,

1.1.2

∀x, y ∈ C.

Dưới vi phân

¯ là hàm lồi trên C ⊆ Rn . Ta có định nghĩa dưới vi phân của hàm
Giả sử f : C → R
lồi như sau.
Định nghĩa 1.7. Véc tơ w ∈ Rn được gọi là dưới gradient của f tại x0 ∈ C nếu
w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ),

∀x ∈ C.

Tập tất cả các dưới gradient của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 ,
kí hiệu ∂f (x0 ), tức là
∂f (x0 ) := {w ∈ Rn :

w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ),

∀x ∈ C}.

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Ví dụ 1.1. Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn . Xét hàm chỉ trên tập
C
δC (x) :=

0
nếu x ∈ C,
+∞ nếu x ∈
/ C.

Khi đó
∂δC (x0 ) = NC (x0 ), ∀x0 ∈ C.
Thật vậy, nếu x0 ∈ C thì δC (x0 ) = 0 và
∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : δC (x) ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C}.
Hay
∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : 0 ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C} = NC (x0 ).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✷


6
Ví dụ 1.2. (Hàm lồi thuần nhất dương) [10]
Cho f : Rn → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là: Một hàm lồi f : Rn → R

thỏa mãn
f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn .
Khi đó
∂f (x0 ) = {w ∈ Rn | w, x0 = f (x0 ), w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C}.
Chứng minh. Nếu w ∈ ∂f (x0 ) thì
w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C.

(1.1)

Thay x = 2x0 vào (1.1), ta có
w, x0 ≤ f (2x0 ) − f (x0 ) = f (x0 ).

(1.2)

Còn nếu thay x = 0 vào (1.1), ta được
− w, x0 ≤ −f (x0 ).

(1.3)

Kết hợp (1.2) và (1.3), suy ra
w, x0 = f (x0 ).
Hơn nữa
w, x − x0 = w, x − w, x0
= w, x − f (x0 ).
Do đó
w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C.
Ngược lại, nếu x0 ∈ Rn thỏa mãn
w, x0 = f (x0 ) và

w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C

thì
w, x − x0 = w, x − w, x0
≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....