Sự tương tự giữa số và hàm và ứng dụng trong Toán sơ cấp

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
▲➊ ❚❍➚ ▼■◆❍ ◆●❯❨➏❚

❚➊◆ ✣➋ ❚⑨■
❙Ü ❚×❒◆● ❚Ü ●■Ú❆ ❙➮ ❱⑨ ❍⑨▼
❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ❚❘❖◆● ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P
❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P
▼❶ ❙➮✿ ✻✵✳✹✻✳✹✵

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍⑨ ❍❯❨ ❑❍❖⑩■

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈æ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✲ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍⑨ ❍❯❨ ❑❍❖⑩■
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✶✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✈➺ tr÷î❝ ❤ë✐ ✤ç♥❣ ❝❤➜♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❤å♣ t↕✐✿

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✲ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
◆❣➔② ✳✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✵

❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ t↕✐
❚❍× ❱■➏◆ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





ỹ t tr ừ số ồ t tr ỳ
ữ rt ợ ừ sỹ tữỡ tỹ ỳ số tự ỳ số ồ
tự õ sỹ tữỡ tỹ rt ợ ự t t õ ừ
số ữớ t tỷ t t t tr tự
ỵ rt tự ữủ ự rt ỡ ỹ
ỵ s ứ ỵ s tự t õ tt số
ỵ ố ũ ừ rt q ừ tt
ử ừ t sỹ tữỡ tỹ ỳ số
tự tr trữớ số ự ử t ự ử ỵ s tr
ự tự t tỏ ỳ tữỡ tỹ số ồ ừ ỵ s q
ừ õ ử sỹ tữỡ tỹ õ t ởt số t tự số
ồ tữỡ ự ỗ tớ t sỹ rở ừ ỵ s
ở ỗ ữỡ
ữỡ r ỵ s ởt số q ừ ỵ s
ử ỵ s t ởt số t tự
ữỡ ởt số t q tữỡ tỹ ừ số ồ ỵ s ữ
tt ởt số q ừ tt t q tữỡ tỹ ừ số
ồ ỵ t ữỡ

ữỡ r ỵ s rở ử ỵ s
rở ự tự
ữủ t ữợ sỹ ữợ t t ừ
tớ ữợ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




❝→❝ t❤➢❝ ♠➢❝ ❝õ❛ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ ✤÷ñ❝ ❜➔② tä
❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❤➛②✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❙ð ◆ë✐ ✈ö✱ ❙ð ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦ ❚✉②➯♥ ◗✉❛♥❣✱ tr÷í♥❣
❚❍P❚ ❚➙♥ ❚r➔♦✱ ❚ê ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ❚❍P❚ ❚➙♥ ❚r➔♦ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❝❤♦ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ ❣û✐ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ♣❤á♥❣ ✤➔♦ t↕♦ s❛✉ ✤↕✐ ❤å❝ ❚r÷í♥❣
✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❍å❝✱ ✣↕✐ ❍å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❚❤➛② ❝æ ✤➣ t❤❛♠
❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✵✽ ✲ ✷✵✶✵✱ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✈➲ ❝æ♥❣ ❧❛♦
❞↕② ❞é tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❣✐→♦ ❞ö❝✱ ✤➔♦ t↕♦ ❝õ❛ ◆❤➔ tr÷í♥❣✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠✱ t↕♦ ✤✐➲✉
❦✐➺♥✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❝ê ✈ô ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✾ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✶✵

❚→❝ ❣✐↔
▲➯ ❚❤à ▼✐♥❤ ◆❣✉②➺t

✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ✣à♥❤ ❧þ ▼❛s♦♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥â

✸
✺

✻

✶✳✶✳ ✣à♥❤ ❧þ ▼❛s♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷✳ ▼ët sè ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ▼❛s♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✸✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ▼❛s♦♥ ✈➔ ✤➲ ①✉➜t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲
✤❛ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❙ü t÷ì♥❣ tü sè ❤å❝ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ▼❛s♦♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
❣✐↔ t❤✉②➳t ❛❜❝ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sè ❤å❝
✷✸
✷✳✶✳ ●✐↔ t❤✉②➳t ❛❜❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✷✳✷✳ ▼ët sè ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ❣✐↔ t❤✉②➳t ❛❜❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✷✳✸✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❣✐↔ t❤✉②➳t ❛❜❝ ✤➲ ①✉➜t ❝→❝ ❜➔✐ t➟♣ sè ❤å❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ✣à♥❤ ❧þ ▼❛❙♦♥ ♠ð rë♥❣

✹✸

✸✳✶✳ ❇➟❝ ❝õ❛ ♠ët ♣❤➙♥ t❤ù❝ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✸✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ▼❛s♦♥ ♠ð rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻
✸✳✸✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ▼❛s♦♥ ♠ð rë♥❣ ✈➔♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✹✾

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



✺✸
✺✹


ữỡ
ỵ s ự ử ừ õ
ỵ s
rữợ t t t ró ỳ t ủ số t ủ tự
õ ỳ t t rt ố ỵ sỹ tữỡ tỹ ỳ t
r tứ số tố tự t q tt K trữớ õ
số t ộ tự f (x) K[x] õ t t
f (x) = p1 1 p2 2 ...pnn ,

tr õ pi (x) = (x ai ), ai K.
ữ õ t õ r tr sỹ t t q t r tứ
số tố ừ tự tữỡ ự ợ tứ số tố
ừ số õ số t ừ tự õ trỏ tữỡ
tỹ ữ số ữợ tố ừ số
s ởt t q q ỳ
ừ tự ợ số t ừ t tự õ

ỵ s

sỷ P tự ởt ợ số ự tố ũ
tứ tọ

P + Q = R.
õ t n0 (f ) số t ừ tự f t t õ

max{degP, degQ, degR} n0 (P.Q.R) 1.

ự ỵ ứ tt P + Q = R t s r
P
Q
+ = 1.
R R

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✣➸ t✐➺♥ ❧ñ✐ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ t❛ ✤➦t f =

f + g = 0 ✈➔ t❤❛② f = −g t❛ ✤÷ñ❝

Q
P
✈➔ g = . ❑❤✐ ✤â✱ f + g = 1 ♥➯♥
R
R

f
Q
g
f
=− =− .
f
P
g
g

●✐↔ sû t❛ ❝â sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➔♠ ❤ú✉ t➾ t❤❡♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
P =m

(z − ai )αi ; Q = n

(z − bt )βt ; R = l

(z − cj )γj .

❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ t➼❝❤ t❛ ✤÷ñ❝
P
=m

P

αi
z − ai

Q
=n
Q

βt
z − bt

R
=l
R

γj
.
z − cj

❚❛ ❧↕✐ ❝â
f
P
R
=
− ,
f
P
R

❚÷ì♥❣ tü ❝❤♦
g
Q
R
=
− .
g
Q
R

❉♦ ✤â
Q
=−
P

m
n

αi
−l
z − ai
βt
−l
z − bt

γj
z − cj
.
γj
z − cj

❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉
D(z) =

(z − ai )

(z − bt )

(z − cj ).

❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ D(z) = n0 (P QR) ✈➔
D(z)
D(z)
D(z)
= n0 (P QR) − 1 =
=
.
z − ai
z − bt
z − cj
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



1.1


tỷ số số D(t) t ữủ
i

j
m
l
Q
z ai
z cj D(z)
=
.
.
j
t
P
D(z)
l
n
z bt
z cj

1.2

t tỷ õ tờ ừ tự õ
Q
n0 (P QR) 1. ữ
t số ừ tự õ ọ ỡ
P
n0 (P QR) 1.
P Q tố ũ tứ t õ
g
f
Q.(D. ) = P.(D. ).

g
f

õ t õ P Q õ ọ ỡ n0 (P QR) 1.
õ R = P + Q R ụ õ ổ ữủt q n0 (P QR) 1.

max{degP, degQ, degR} n0 (P QR) 1.

ự

ởt số q ừ ỵ s
ỷ ử ỵ s t õ ự ỡ ừ ỵ
rt tự

ỵ ố ũ ừ rt tự
ợ n 3 ổ tỗ t tự P, Q, R số số ự
tố ũ tọ ữỡ tr

P n + Qn = Rn .

ự
sỷ tự P, Q, R tọ ữỡ tr tr ó r số
t ừ tự P n Qn Rn ổ ữủt q
degP + degQ + degR. ử ỵ s t õ
max{degP n , degQn , degRn } n0 (P n Qn Rn ) 1.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

max{n.degP, n.degQ, n.degR} n0 (P.Q.R) 1
max{n.degP, n.degQ, n.degR} degP + degQ + degR 1,
n.degP degP + degQ + degR 1
n.degQ degP + degQ + degR 1
n.degR degP + degQ + degR 1.

ở tứ t ữủ
n(degP + degQ + degR) 3(degP + degQ + degR) 3.

ổ ỵ ợ n 3 ự

q ừ ỵ s

ổ tỗ t tự P tố ũ tứ ổ
ởt tọ

P 2008 + Q2009 = R2010 .

ự
ử ỵ tr t õ
max{degP 2008 , degQ2009 , degR2010 } n0 (P 2008 .Q2009 .R2010 ) 1
max{2008degP, 2009degQ, 2010degR} degP + degQ + degR 1
2008degP degP + degQ + degR 1
2009degQ degP + degQ + degR 1
2010degR degP + degQ + degR 1
2008degP + 2009degQ + 2010degR 3(degP + degQ + degR) 3
2005degP + 2006degQ + 2007degR 3.

ổ ỵ

ự

ỵ rt rở tự

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




ổ tỗ t tự P tố ũ tứ ổ ởt t


P m + Qn = R k ,
ợ

1
1
1
+ + < 1.
n m k
ử ỵ s t õ

ự

max{degP m , degQn , degRk } n0 (P m .Qn .Rk ) 1,
max{mdegP, ndegQ, kdegR} degP + degQ + degR 1,
mdegP degP + degQ + degR 1,
1
degP

.
m degP + degQ + degR 1

ữỡ tỹ
degQ
1

,
n degP + degQ + degR 1
1
degR

.
k
degP + degQ + degR 1
ở tứ ừ t tự tr t ữủ
1
1 1
degP + degQ + degR
+ +
> 1.
m n k
degP + degQ + degR 1

t ợ tt ữủ ự

ỵ rt

sỷ P, Q tự P 2 = Q3 . õ t õ

1
deg(P 2 Q3 ) deg(Q) + 1,
2

1
deg(P 2 Q3 ) deg(P ) + 1.
3

ự

t R = P 2 Q3 R + Q3 = P 2 .
ử ỵ s
max{degR, degQ3 , degP 2 } n0 (P 2 RQ3 ) 1

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....