Tài liệu Phân hoá của vành đa thức theo các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã docx

Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp
và ứng dụng trong lý thuyết mã
PGS.TS Nguyễn Bình, KS. Đặng Hoài Bắc
Khoa Kỹ thuật điện tử 1
Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhng đã tỏ ra có nhiều u điểm thoả mãn đ-
ợc yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một
cách phân hoạch mới trên vành đa thức chẵn Z
2
[x]/x
2n
+1 (ký hiệu là Z
2n
) đó là phân hoạch
theo lớp các phần tử liên hợp và từ đây xây dựng mã XCB cụ thể trên phân hoạch này.
1. Phân hoạch của vành đa thức Z
2n
theo các phần tử liên hợp
1.1 Các thặng d bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng.
Định nghĩa 1.1: Đa thức f(x) đợc gọi là thặng d bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z
2n
nếu
tồn tại đa thức g(x) sau:
g
2
(x)

f(x) mod x
2n+1
(1.1)
Nh vậy g(x) Z

2n
và đợc gọi là căn bậc 2 (Square root - Sqr) của f(x).
Nếu g(x) =
)x(f
đợc gọi là căn bậc 2 chính của f(x).
Chẳng hạn nếu: f(x)= 1+ x
2
+ x
4
thì căn bậc 2 chính của nó là:
)x(f
= 1+ x + x
2
Bổ đề 1.1:Đa thức f(x) nằm trong tập các thặng d bậc 2 Q
2n
( f(x)


Q
2n
) khi và chỉ khi f(x)
chứa các đơn thức có số mũ chẵn.
Số các thặng d bậc 2 trong Z
2n
đợc xác định nh sau:
Q
2n
=

=

n
0i
i
n
C
=
1 2 3 ( 1)

n n
n n n n n
C C C C C

+ + + + +
= 2
n
(1.2)
Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z
2n
với n=3

ta có vành Z
6
( n = 3)
Tập các thặng d bậc hai Q
2n
trong vành Z
6
đợc xác định theo bổ đề 2.1 nh sau:
Q
6

={0, 1, x
2
, x
4
, 1+x
2
, 1+x
4
, x
2
+x
4
, 1+x
2
+x
4
} ( có tất cả 2
3
- tức 2
n
-

phần tử)
Bổ đề 1.2: Các căn bậc 2 của một thặng d bậc 2 đợc xác định theo công thức sau:
sqr[f(x)] = g(x) = (1+x
n
)
)x(fx
Ut
t

+








(1.3)
Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2, , n-1}
Do vậy lực lợng của U sẽ bằng:U = 2
n
-1
Ví dụ 1.2: Trong tập Q
6
ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x
2
áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có
sqr(x
2
) = (1+x
3
)
xx
Ut
t
+

(với
)x(f
=x)
+ khi U= {0, 1, 2} sqr(x
2
) = (1+x
3
)( 1+x+x
2
) + x = 1+x
2
+x
3
+x
4
+x
5

+ Tơng tự ta có: khi U = {0,1} sqr(x
2
) = (1+x
3
)( 1+x) + x = 1+x
3

+x
4
Cứ nh vậy ta sẽ tìm đợc toàn bộ 2
2n
phần tử liên hợp của vành Z
6
.
Nhận xét:
- Trong vành Z
2n
có 2
n
thặng d bậc 2, mỗi thặng d bậc 2 có 2
n
căn bậc 2, vậy có tất cả 2
2n
căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z
2n
.
- Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng d bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate
Elements ) tơng ứng với thặng d đó ký hiệu là CEs.
1.2 Phân hoạch vành Z
2
[x]/ x
2n
+1 theo các phần tử liên hợp
Để khảo sát sự phân hoạch theo các CE trên vành Z
2
[x]/x
2n

+1, ta sẽ khảo sát trên vành
cụ thể Z
6
(n=3). Tập các QR trong vành Z
6
là: Q
6
={0, 1, x
2
, x
4
, 1+x
2
, 1+x
4
, x
2
+x
4
, 1+x
2
+x
4
}
Học viện Công nghệ BCVT
Sqr(1)
Sqr(x
2
+x
4

)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(0)
Sqr(x
4
)Sqr(x
2
)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Vành Z
6
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
Hình 1. Phân hoạch vành Z
6
theo lớp các phần tử liên hợp
Ta thấy rằng, đối với phép cộng

các CEs ở hình 1 sẽ thoả mãn bảng 1 nh sau:

Sqr(1) Sqr(x
2

) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1)
Sqr(0) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(x
2

+x
4
) Sqr(1)
Sqr(x
2
)
Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
)
Sqrh(x
4
)
Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2

+x
4
) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
4
)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(x
2
) Sqr(1) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
4

) Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
4
)
Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2

+x
4
) Sqr(x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
4

) Sqr(x
2
) Sqr(1) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(0)
Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Bảng 1. Phép cộng modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z
6
Ta kiểm tra một phép cộng modulo trong bảng trên chẳng hạn: Sqr(1)+Sqr(x
4
) = Sqr(1+x

4
)
Ta có: 1+x+x
4
sqr(1)x
5
Sqr(x
4
)
1+x+x
4

x
5
= 1+x+x
4
+x
5
Sqr(1+x
4
) ( thoả mãn)
Kiểm tra với các tổng khác trong bảng 1, chúng ta thấy chúng đều thỏa mãn do vậy rõ
ràng là lớp các phần tử liên hợp tạo nên một nhóm Aben cộng tính.
+ Đối với phép nhân, lớp các phần tử liên hợp trong vành Z
6
cũng thoả mãn bảng sau:

Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x

4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1)
Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x

4
) Sqr(0)
Sqr(x
2
)
Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqrh(x
4
)
Sqr(x
4
) Sqr(0) Sqr(x
2
) Sqr(1+x

4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x

2
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(x
2
+x

4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1+x

2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(0)
Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) 0
Bảng 2. Phép nhân modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z
6
Ta kiểm tra các kết quả trong bảng trên, chẳng hạn nh:
Sqr(1+x
2
)x Sqr(x
4
) = Sqr(1+x
4
) (lu ý Sqr(1+x
4
) = Sqr((1+x
2
) x x
4
))
Xét: (x
3
+x
4

) Sqr(1+x
2
) và (1+x
2
+x
3
) Sqr(1+x+x
2
)
Ta có: (x
3
+x
4
)x(1+x
2
+x
3
) = (x
3
+x
4
+x
6
+x
5
+x
6
+x
7
)mod(x

6
+1) = x+x
3
+x
4
+x
5
Sqr(1+x
4
)
Một cách tơng tự nh trên ta có thể kiểm tra toàn bộ các phép nhân giữa các cặp các
phần tử liên hợp nh trong bảng 2.
Từ kết quả ở bảng 2 ta thấy rằng, các phần tử liên hợp trong vành Z
6
tạo nên một
nhóm theo phép nhân với phần tử đơn vị là Sqr(1), nhng lu ý sẽ có trờng hợp hai phần tử khác
0 nhng khi thực hiện phép nhân theo mod (x
6
+1), ta lại nhận đợc kết quả lại bằng 0.
Ta có thể lấy ví dụ :
(x+x
3
) Sqr(1+x
2
) (1+x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2

+x
4
)
Khi thực hiện phép nhân: (x+x
3
) x (1+x
2
+x
4
) = (x+x
3
+x
3
+x
5
+x
5
+x
7
) mod (x
6
+1) = x+x = 0.
Vậy, các phần tử liên hợp của các thặng d bậc 2 trong vành Z
6
tạo nên một nửa nhóm nhân.
Học viện Công nghệ BCVT
Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Nhận xét:
- Lớp các CE của các thặng d bậc 2 trong vành Z
6

là một nhóm đầy đủ đối với phép cộng và
nửa nhóm đối với phép nhân.
- Lớp các CE trong vành Z
6
thoả mãn các tiên đề về vành, chúng tạo nên một vành. Điều
này cũng đúng cho các phần tử liên hợp của mọi vành đa thức Z
2n
với các n khác nhau.
2. Xây dựng mã XCB theo các phân tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt
2.1 Xây dựng mã theo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z
10
theo phân hoạch chuẩn
Theo kết quả phần trên ta thấy lớp các phần tử liên hợp trên Z
2n
luôn có cấu trúc của
một vành đại số, dựa vào cấu trúc đại số này ta hoàn toàn có thể xây dựng đợc mã XCB.
Trong vành
1x]x[Z
n
2
+
luôn tồn tại


=
=
1n
0i
i
0

x)x(e
đợc gọi là luỹ đẳng nuốt. Tơng
tự nh vậy, trong vành Z
2n
, ta cũng xác định đợc một lũy đẳng nuốt là
)x(e
2
0
với :


=
=
1n
0i
i22
0
x)x(e
(2.1)
Phép nhân một đa thức bất kỳ với luỹ đẳng nuốt giúp ta kiểm tra đợc tính chẵn lẻ.
Luỹ đẳng nuốt có những tính chất đặc biệt để xây dựng mã XCB.
Trong vành
1x]x[Z
10
2
+
, tức vành Z
2n
với n = 5 ta thấy rằng có tất cả 32 (2
n

) thặng
d bậc 2 mỗi thặng d bậc 2 có tất cả 32 (2
n
) phần tử liên hợp. Các thặng d bậc 2 trong vành là
các đa thức bao gồm các đơn thức có số mũ chẵn đợc xác định nhờ bổ đề 1.1.
Q
10

= {0, 1, x
2
, x
4
, x
6
, x
8
, 1+x
2
, 1+x
4
, 1+x
6
, 1+x
8
, x
2
+x
4
, x
2

+x
6
, x
2
+x
8
, x
4
+x
6
, x
4
+x
8
, x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
,
1+x
2
+x
6
, 1+x
2
+x

8
, 1+x
4
+x
6
, 1+x
4
+x
8
, 1+x
6
+x
8
, x
2
+x
4
+x
6
, x
2
+x
4
+x
8
, x
2
+x
6
+x

8
, x
4
+x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
+x
6
,
1+x
2
+x
4
+x
8
, 1+x
2
+x
6
+x
8
, 1+x
4
+x
6

+x
8
, x
2
+x
4
+x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
}
Các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
)=1+x
2
+x
4
+x
6
+x

8

Ta xác định CEs của luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
)=1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
trong tập Q
10
trên theo biểu thức:
Sqr(e
0
(x
2
)) = (1+x
n
)

Ut
t
x
+
2
0
( )e x
(2.2)
Toàn bộ các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt đợc thể hiện ở bảng bên trái, bảng bên
phải thể hiện phân hoạch của các luỹ đẳng nuốt trong vành Z
10
theo phân hoạch chuẩn (phân
hoạch trong đó các phần tử trong một lớp dịch vòng theo các trởng lớp kề) .
qr(e
0
(x
2
)) =
{1+x+x
2
+x
3
+x
4
,+x
2
+x
3
+x

4
+x
6
,1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
,
1+x
3
+x
4
+x
6
+x
7
, x+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
, x+x
3

+x
4
+x
5
+x
7
,
x+x
3
+x
5
+x
7
+x
9
, x+x
4
+x
5
+x
7
+x
8
, x
2
+x
3
+x
4
+x

5
+x
6
,
x
2
+x
4
+x
5
+x
6
+x
8
, x
2
+x
5
+x
6
+x
8
+x
9
, x
3
+x
4
+x
5

+x
6
+x
7
,
x
3
+x
5
+x
6
+x
7
+x
9
, 1+x
3
+x
6
+x
7
+x
9
, x
4
+x
5
+x
6
+x

7
+x
8
,
1+x
4
+x
6
+x
7
+x
8
, 1+x+x
4
+x
7
+x
8
, x
5
+x
6
+x
7
+x
8
+x
9
,
x+x

5
+x
7
+x
8
+x
9
, x+x
2
+x
5
+x
8
+x
9
, 1+x
6
+x
7
+x
8
+x
9
,
1+x
2
+x
6
+x
8

+x
9
, 1+x
2
+x
3
+x
6
+x
9
, 1+x
2
+x
7
+x
8
+x
9
,
1+x+x
3
+x
7
+x
9
, 1+x+x
3
+x
4
+x

7
, 1+x+x
2
+x
8
+x
9
,
1+x+x
2
+x
4
+x
8
, x+x
2
+x
4
+x
5
+x
8
, 1+x+x
2
+x
3
+x
9
,
x+x

2
+x
3
+x
5
+x
9
, x
2
+x
3
+x
5
+x
6
+x
9
}
N
0
C
1
C
2
C
3
C
3
1
(01234) (02346) (03467) (02468)

2
(12345) (13457) (14578) (13579)
3
(23456) (24568) (25689)
Phân 4 (34567) (35679) (36790)
hoạch 5 (45678) (46780) (47801)
6 (56789) (57891) (58912)
7 (67890) (68902) (69023)
8 (78901) (79013) (70134)
9 (89012) (80124) (81245)
10 (90123) (91235) (92356)
Bảng 3. Phân hoạch chuẩn của các CE trên vành Z
10
Bổ đề 2.1:Tập tất cả các phần tử liên hợp với luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
) sẽ tạo ra các mã xyclic
cục bộ với các giá trị sau: (n, k, d
0
) = ( 2
n
- 1, n, 2
n-1
)
Đây là mã tối u thoả mãn giới hạn Griesmer nghĩa là độ dài từ mã n thoả mãn:
1
0
0
2

k
i
i
d
n

=





(2.2)
Nhận xét:
Học viện Công nghệ BCVT
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
- Để trực giao hóa hệ tổng kiểm tra
n
x1)x(b)x(a +=+
, ta có thể chọn trớc giá trị của n
dấu thông tin. Để thuận tiện, bắt đầu từ đây khi lập mã ta sẽ chọn
0xxx
1n21nn
====
+

).
- Từ toàn bộ các lớp kề, ta có thể xây dựng mã (31, 5) với
16d
0

=
.
Sau đây, ta sẽ xây dựng mã xyclic cục bộ cụ thể từ các lớp kề C
1
, C
2
và C
3
trong bảng 3.1.
Các phần tử (5 6 7 8 9) không cần phát vì theo giả định chúng đều bằng 0, nhng để nhận biết
chúng khi giải mã phải thêm 0 vào, do đó mã xyclic cục bộ này có chiều dài là 29. Mã này
chính là mã (29, 5) với
0
d 14
=
đây mã gần tối u (29, 5, 14) với sơ đồ lập mã nh sau:
Hình 2. Sơ đồ mã hoá mã (29,5) theo các lớp kề C
1
, C
2
, C
3
Ta có thể phát bất kỳ từ mã C
1
hoặc C
2
hoặc C
3
tuỳ theo chọn bit. Sau 5 nhịp dịch vòng xác
định đợc 5 dấu thông tin từ x

0
đến x
4
. Sau đây là sơ đồ giải mã.
Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện ở hình 3. Tại xung clock thứ nhất, đầu ra
của thiết bị giải mã M là x
0
. Tại xung clock thứ hai, đầu ra của M là x. Tại xung clock thứ ba,
đầu ra cuả M là x
2
. Tại xung clock thứ t, đầu ra là x
3
. Tại xung clock thứ 5, đầu ra là x
4
. Ng-
ỡng chính của thiết bị giải mã ngỡng M sẽ là 8. Bộ mã có khả năng sửa đợc 6 bit sai.
Lu đồ thuật toán mô phỏng cách lập, giải mã trên đợc thể hiện ở trang tiếp theo.
Học viện Công nghệ BCVT
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
00000
+ + + +

C
1
+
+
++
C
2
C
3
+
1
3
C
2
3
C
3
3
C
4
3
C
5
3
C
6
3
C
7
3

C
8
3
C
9
3
C
10
3
C
1
2
C
2
2
C
3
2
C
4
2
C
5
2
C
6
2
C
7
2

C
8
2
C
9
2
C
10
2
C
1
1
C
2
1
C
3
1
C
4
1
C
5
1
C
6
1
C
7
1

C
8
1
C
9
1
C
10
1
C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M=8
OUTPUT
Hình 3. Bộ giải mã mã XCB (29,5) theo phân hoạch chuẩn
Lĩnh vực Công nghệ thông tin

2.2 Xây dựng mã theo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z
10

theo phân hoạch cực đại
Trong vành
1x]x[Z
10
2
+
, nhóm nhân với phần tử sinh là phần tử nguyên thuỷ a(x)
= 1+x+x
2
đợc xác định nh sau:
)012(xx1)x(a
2
++=
A= {a
i
(x),
1, 30
} = {(012), (024)), (01356), (048), (1245689), (6), (678), (068),
(12679), (046), (0124578), (2), (234), (246), (23578), (026), (0134678), (8), (089), (028),
(13489), (268), (0234679), (4), (456), (468), (04579), (248), (0235689),(0)}
Sau đây chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng mã xyclic cục bộ cụ thể trên một phân
hoạch cực đại theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt trên vành Z
10
.
Với
32,5n =
phần tử của luỹ đẳng
)x(e
2
0

đợc phân hoạch theo hai lớp kề nh sau:
}30,1b,b{}29,0i),x(a)x(e{B
ii
01
====

B
1
= {(01234), (02346), (01478), (34567), (35679), (01347), (06789), (02689), (03467), (01239),
(12359), (03679), (23456), (24568), (02369), (56789), (15789), (23569), (01289), (01248), (25689),
(12345), (13457), (12589), (45678), (04678), (12458), (01789), (01374), (14578)}.
)}13579(),02468{(B
2
=
Ta sẽ sử dụng lớp kề B
1
để tạo mã xyclic cục bộ (29, 5) phần tử (5 6 7 8 9) = 0 vì theo giả
thiết x
5
=x
6
=x
7
=x
8
=x
9
=0
Lu đồ thuật toán và kết quả chơng trình mô phỏng
lập mã , giải mã mã (29, 5) theo phân hoạch chuẩn bằng Visual C

++
Lu đồ thuật toán:
Học viện Công nghệ BCVT
Begin
Đa thức thông tin
có hợp lệ không?
End
Y
N
Mã hoá và truyền (Send):
- Chọn tr ởng lớp kề của C
1
, C
2
, C
3
- Dịch vòng
- Cộng modulo 2 theo 3.1. Phát từ mã
Tạo nhiễu (Noise)
Nhiễu có hợp lệ không
Nhập đa thức thông tin
N
Hiển thị từ mã
Nhận thông tin (Receive)
Receive = Send XOR Noise
Giải mã:
J số tổng kiểm tra đã biết
Y
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
Kết quả mô phỏng:

Cách mã hóa mã 29,5 theo phân hoạch cực đại:
Giả sử ta có đa thức thông tin là I = {1 0 1 0 0}
Bằng cách thay lần lợt đa thức thông tin vào các đa thức trong nhóm nhân xyclic ở trên, và
cộng modul 2 kết quả ta sẽ đợc toàn bộ từ mã tơng ứng với đa thức thông tin đó.Ví dụ, đa
thức đầu tiên của nhóm nhân là a = (1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
), thay tơng ứng đa thức thông tin ở
trên vào ta đợc bit đầu tiên của từ mã là:
(1 + x
2
) = 1

1 = 0. Thực hiện với tất cả các bit còn lại ta đợc toàn bộ từ mã xyclic theo
phân hoạch cực đại tơng ứng với đa thức thông tin trên là:
0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
Hệ tổng kiểm tra trực giao với
5
x1+
đợc xây dựng từ
1
B
là:
221
1
bbS
+=

132
2
bbS
+=
303
3
bbS
+=
94
4
bbS +=
125
5
bbS
+=
236
6
bbS
+=
218
7
bbS +=
1110
8
bbS +=
1815
9
bbS
+=
2817

10
bbS
+=
2419
11
bbS
+=
2720
12
bbS +=
167
13
bbS
+=
2625
14
bbS
+=
Đối với hệ tổng kiểm tra trực giao này, ta có thể chọn
0xxxxx
98765
=====
.
Trong trờng hợp này, ta có mã xyclic
)5,29(
với
14d
0
=
.

Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện trong hình 4.
Học viện Công nghệ BCVT
b
30
b
29
b
28
b
27
b
26
b
25
b
24
b
23
b
22
b
21
b
20
b
19
b
18
b
17

b
16
b
15
b
14
b
13
b
12
b
11
b
10
b
9
b
8
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2

b
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M=8
Hình 4. Bộ giải mã mã (29,5) theo phân hoạch cực đại
Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Giá trị của b
16
bằng zero, giá trị này không đợc truyền đi, nhng nó đợc thêm vào trong
quá trình giải mã.
Tại xung nhịp clock đầu tiên, đầu ra của thiết bị giải mã ngỡng M là x
0
. Tại xung
clock thứ 22, đầu ra của M là x
1
. Tại xung clock thứ 43, đầu ra của M là x
2

. Tại xung clock
thứ 64, đầu ra của M là x
3
. Tại xung clock thứ 85, đầu ra của M là x
4
.Đây là xung nhịp clock
cuối cùng của quá trình giải mã. Ngỡng chính của M sẽ là 8. Bộ mã sửa đợc 6 bit sai.
Với thuật toán tơng tự ta xây dựng chơng trình mô phỏng bằng MATLAB và có đợc
kết quả nh sau:
3. Kết luận
Ta thấy rằng việc xây dựng các mã theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt có
nhiều u điểm nổi bật nh:
- Các mã tạo ra đều là mã gần tối u thoả mãn các giới hạn Griesmes.
- Khả năng tạo ra các bộ mã có cùng tham số là rất lớn. Điển hình nh mã (29,5) chúng
ta tạo ra có tới hơn 5400 khả năng.
- Các sơ đồ mã hoá và giải mã đều khá đơn giản chỉ cần các bộ cộng modulo 2 và nhân
đa thức thông thờng.
- Dựa vào phơng pháp phân hoạch theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt ta có thể
xây dựng mã trên mọi vành chẵn Z
2n
, điều mà trớc nay cha đợc đề cập đến.
Kết quả của bài báo nếu đợc hoàn thiện về phần cứng có thể đợc sử dụng trong việc
truyền tin trong các mạng Lan, Wan với những đặc tính truyền dẫn và sửa sai tốt, linh hoạt
trong việc thay đổi bộ mã.
Học viện Công nghệ BCVT
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh.
"Application of symmetric characteristic of cosets for improving error - correcting
ability of local cyclic codes". Science conference. Electronics - Informatics Institute.

Hanoi, 1988.
[2] Vũ Việt: Phân hoạch vành đa thức. Chuyên đề tiến sĩ, 2001
[3] Nguyen Binh. Tran Duc Su, Pham Viet Trung.
"Decomposition of polynomial ring according to the classes of conjugate elements".
ATC - 26. Hanoi, 10.2001.
[4] Nguyen Binh, Vu Viet, Pham Viet Trung.
"Decomposition of polynomial ring and coding with random clock". CAFEO 2000.
Hanoi, 22-24 Nov, 2000.
Học viện Công nghệ BCVT