Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==========

NGUYỄN VĂN HIỆP

TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
TỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Chuyên ngành: Phuơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




1

Mục Lục
Lời cảm ơn
Lời nói đầu......................................................................................................................... 3
Chương 1. Nhìn chung về bài toán giải phương trình. ....................................................... 4
1.1 Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện .................................................. 4
1.2 Bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện ............................................................... 4
1.3 Đẳng thức ............................................................................................................... 5
1.3.1 Định nghĩa .......................................................................................................... 6

1.3.2 Ví dụ .................................................................................................................. 6
1.4 Phương trình.............................................................................................................. 6
1.4.1 Phương trình và nghiệm của phương trình. ......................................................... 6
1.4.2 Ví dụ ................................................................................................................ 10
1.4.3 Giải phương trình, đường lối chung để giải một phương trình ......................... 10
1.4.4 Phương trình hệ quả, phương trình tương đương ............................................ 16
1.4.5 Phương trình có tham số ................................................................................... 16
Chương 2. Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình ..................................... 16
2.1 Cái nhìn tổng quan ................................................................................................. 19
2.1.1 Một kết luận khác thường ................................................................................. 44
2.1.2 Một kết luận quan trọng.................................................................................... 45
2.1.3 Vẽ hình trong lời giải bài toán dựng hình bằng phương phapsboons bước …….18
2.2 Ví dụ ...................................................................................................................... 18
Kết luận ........................................................................................................................... 43
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................... 44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




2

LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Minh Hà. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy về công tác giảng dạy cùng với sự hướng
dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học và hoàn thành luận văn.
Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự giảng dạy
nhiệt tình của các Thầy, Cô công tác tại trường Đại Học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên,
Khoa Công Nghệ Thông Tin – Đại Học Thái Nguyên, Trường Đại Học Sư Phạm – Đại

Học Thái Nguyên, Viện Toán Học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy,
Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường THPT Lục Ngạn số 4, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Bố Hạ, đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học cao
học và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình, đã giúp đỡ rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Thái nguyên ngày 6 tháng 11 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Văn Hiệp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




3

LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán dựng hình là một trong ba bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện cơ bản
của chương trình toán phổ thông: bài toán giải phương trình, bài toán quỹ tích, bài toán
dựng hình. Dạy cho học sinh hiểu được bản chất logic của bài toán dựng hình là một vấn
đề tương đối khó, bởi những lí do sau:
+ Tìm kiếm bằng công cụ hoàn toàn mới (compa và thước kẻ), đối tượng cần tìm
mới và đa dạng (điểm, tam giác, đường tròn ... ).
+ Học sinh phổ thông được học qúa ít về dựng hình (thời lượng quá ít, cụ thể các em
được học khoảng từ 2 đến 3 tiết về bài toán dựng hình).
Làm thế nào để các em học sinh phổ thông có thể hiểu được bản chất logic của bài
toán dựng hình? Làm thế nào để các em học sinh phổ thông có thể giải bài toán dựng hình
một cách đơn giản?

Câu trả lời mà tôi tìm thấy là:
“Lấy sự vững vàng trong bài toán giải phương trình để khắc phục sự non nớt trong
bài toán dựng hình”.
Bởi những gì đã phân tích ở trên, tôi chọn cho luận văn của mình đề tài
Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình
Luận văn này bao gồm hai chương:
Chương 1. Nhìn chung về bài toán giải phương trình
Tôi đưa ra các cách giải của hai bài toán: bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn
điều kiện và bài toán tìm kiếm đối tượng thỏa mãn điều kiện.
Tôi giới thiệu với học sinh một cách tổng quan về bài toán giải phương trình.
Chương 2. Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình
Tôi phân tích cho học sinh thấy rõ sự đồng nhất về mặt logic giữa bài toán giải
phương trình và bài toán dựng hình, đồng thời cũng phân tích để học sinh thấy được những
khác biệt cụ thể giữa bài toán giải phương trình (tìm giá trị của ẩn sao cho phương trình trở
thành đẳng thức đúng) và bài toán dựng hình (tìm bằng thước và compa hình (H) thoả mãn
những ràng buộc nào đó). Tiếp theo là một số ví dụ về bài toán dựng hình, có lời giải, kèm
theo nhận xét nhằm làm sáng tỏ hơn về mối liên hệ giữa bài toán giải phương trình và bài
toán dựng hình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




4

CHƯƠNG I

NHÌN CHUNG VỀ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện

Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện, về hình thức nó được phát biểu
như sau:
Cho đối tượng A( ) chứng minh rằng đối tựơng B().
Về phương diện logic, bài toán chứng minh đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có hai
phương pháp giải, được mô hình hoá như sau.
Phương pháp 1, chứng minh trực tiếp*.
A( )  B().

Phương pháp 2, chứng minh phản chứng.
B()  A( ).

Hai phương pháp giải bài toán chứng minh đối tượng thoả mãn điều kiện khá đơn
giản, tương đối dễ hiểu đối với học sinh.
1.2. Bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện
Bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện được phát biểu như sau:
Tìm tất cả các đối tượng A( ).
Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải, được mô hình hoá
như sau.
Phương pháp 1, biến đổi hệ quả và thử lại*.
Bước 1, biến đổi hệ quả*. A( )  A  T.
Bước 2, thử lại*. A  T  A( ).
Phương pháp 2, biến đổi tương đương*. A( )  A  T.
Chú ý.
Về phương diện lôgic, phương pháp biến đổi tương đương cũng chính là phương
pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán tìm kiếm đối tượng
cụ thể, sử dụng phương pháp nào trong hai phương pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi
hỏi người giải toán phải có kĩ năng.
Phương pháp 3, đoán nhận và khẳng định*.
Bước 1, đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng T  A( ) .
Bước 2, khẳng định*. A  T  A( ). A  T  A( ).

Chú ý.
Nếu sử dụng phương pháp đoán nhận và khẳng định thì ta phải có thao tác đoán
nhận tập hợp T trước khi tiến hành thao tác định khẳng: chứng minh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




5

A  T  A( ).

Như vậy, phương pháp đoạn nhận và khẳng định không tự nhiên bằng phương pháp
biến đổi hệ quả và thử lại.
Vì lí do trên, phương pháp đoán nhận và khẳng định ít được sử dụng hơn phương
pháp biến đổi hệ quả và thử lại.
Kí hiệu A( ) biểu thị đối tượng A có tính chất .
Cùng với kí hiệu A( ), ta còn dùng kí hiệu A( ) để biểu thị đối tượng A không có
tính chất .
Các kí hiệu A( ) và A( ) có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này.
Trong bài toán 2, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm
được”. Nói một cách chính xác, tìm tập hợp A A( ) .
Trong các bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện của chương trình toán phổ
thông, ba bài toán sau được coi là điển hình.
1) Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện thứ nhất, giải phương trình.
Tìm giá trị của ẩn sao cho khi thay giá trị đó vào vị trí của ẩn, phương trình trở thành
đẳng thức đúng.
2) Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện thứ hai, quỹ tích.
Tìm hình (H) gồm tất cả các điểm A( ).

3) Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện thứ ba, dựng hình.
Tìm (bằng thước và compa) hình A( ).
1.3. Đẳng thức
1.3.1. Định nghĩa.
Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng được gọi là đẳng thức.
Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của đẳng thức.
1.3.2. Ví dụ.
1 = 1 (đẳng thức đúng).
1 = 2 (đẳng thức sai).
2x + 1 = 5 (vì giá trị của x chưa cụ thể nên ta chưa thể nói đẳng thức này là
đúng hay là sai).
3x2 +xy3 = 5zy +z4 (vì giá trị của x, y, z chưa cụ thể nên ta chưa thể nói đẳng
thức này là đúng hay là sai).
Nên chú ý rằng việc kiểm tra tính đúng, sai của một đẳng thức nói chung không đơn
giản.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




6

1.4. Phương trình.
1.4.1. Phương trình và nghiệm của phương trình.
Hai biểu thức có chứa các số chưa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi một dấu bằng
được gọi là phương trình.
Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của phương trình.
Những giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành đẳng thức đúng được gọi là
nghiệm của phương trình.

1.4.2. Ví dụ.
1 = 1 (phương trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm).
1 = 2 (phương trình vô nghiệm).
2x + 1 = 5 (phương trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x = 2; phương trình ẩn (x,
y) có vô số nghiệm dạng (2, y); ...).
3x2 +xy3 = 5zy +z4 (phương trình ẩn (x, y, z); phương trình ẩn (x, y, z, t); ... ).
Trừ một vài loại phương trình được học trong chương trình toán phổ thông, nhìn
chung việc tìm các nghiệm của một phương trình không hề đơn giản.
1.4.3. Giải phương trình, đường lối chung để giải một phương trình.
Giải phương trình tức là tìm hết các nghiệm của phương trình đó.
Như vậy bài toán giải phương trình là một trong các bài toán tìm đối tượng thoả mãn
điều kiện. Do đó, về phương diện logic nó chỉ có thể được giải bởi một trong ba phương
pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại; biến đổi tương đương; đoán nhận và khẳng định.
Các ví dụ dưới đây là sự cụ thể hoá ba phương pháp giải.
Ví dụ 1.1, biến đổi hệ quả và thử lại.
Giải phương trình sau.
x 1  x  3.

Lời giải.
Bước 1, biến đổi hệ quả.
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình, theo định nghĩa nghiệm của phương trình, ta
thấy:
x 0  1  x 0  3 là đẳng thức đúng
 x 0  1  x 02  6x 0  9 là đẳng thức đúng

 x 20  7x 0  10  0 là đẳng thức đúng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

7

 (x 0  2)(x 0  5)  0 là đẳng thức đúng

 x  2  0 lµ ®¼ng thøc ®óng
  0
 x 0  5  0 lµ ®¼ng thøc ®óng
 x 0  2 lµ ®¼ng thøc ®óng
 
 x 0  5 lµ ®¼ng thøc ®óng.

Bước 2, thử lại.
Vì 2  1  1  1  2  3 nên 2 không phải là nghiệm của phương trình.
Vì 5 1  2  5  3 nên 5 là nghiệm của phương trình.
Kết luận.
Phương trình có nghiệm là 5.
Ví dụ 1.2, biến đổi tương đương.
Giải phương trình sau.
x  1   x(x  3).

Lời giải.
Cách 1.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phương trình
 x 0 1  x 0 (x 0  3) là đẳng thức đúng

x 0 1  x 0 (x 0  3)


x 1  0
 0
 
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
(x 0  1)  x 0 (x 0  3)

x 0 1  0
x 2  2x 1  0
0
 0

 x 0  1

lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 2  4x  1  0
0
 0


 x 0  1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




8

 x  1  2
 0


 x 0  1  2

x  1
 0
 
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
 x 0  2  3



 x 0  2  3

x 0  1
x  1 2
 0

  x 0  2  3 lµ tuyÓn ba ®¼ng thøc ®óng.

 x  2  3
 0

Kết luận.
Phương trình có nghiệm là 1  2.;  2  3;  2  3.
Cách 2.
Trường hợp 1. x 0  1  0.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phương trình
 x 0 1  x 0 (x 0  3) là đẳng thức đúng
 x 2  2x 0  1  0 là đẳng thức đúng

0

x  1  2
0
 
là tuyển hai đẳng thức đúng
 x 0  1  2
Kết hợp với điều kiện x 0  1  0, ta thấy:

x0 là nghiệm của phương trình
 x 0  1  2 là đẳng thức đúng.
Trường hợp 2. x 0  1  0.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phương trình
  (x 0 1)  x 0 (x 0  3) là đẳng thức đúng
 x 2  4x 0  1  0 là đẳng thức đúng
0

 x  2  3
0
 
là tuyển hai đẳng thức đúng
 x 0  2  3
Kết hợp với điều kiện x 0  1  0, ta thấy:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

9

x0 là nghiệm của phương trình

 x  2  3
0
 
là tuyển hai đẳng thức đúng
 x 0  2  3

Kết luận.
Kết hợp cả hai trường hơp, ta thấy phương trình có ba nghiệm là 1  2,
2  3,  2  3.

Ví dụ 1.3, đoán nhận và khẳng định.
Giải phương trình sau.
x 4  60 

28
.
x 3

Lời giải.
Bước 1, đoán nhận.
Dễ thấy, 4 và – 4 là nghiệm của phương trình.
Bước 2, khẳng định.
Khi x  4, ta thấy x4  60  4 4  60  4 

28
28


.
43 x 3

Khi x  4, ta thấy x4  60  4 4  60  4 

28
28

.
43 x 3

Tóm lại, x  4 không phải là nghiệm của phương trình.
Kết luận.
Phương trình có hai nghiệm, 4 và – 4.
Ví dụ 1.4, đoạn nhận và khẳng định.





5

x  1  1  4 2  x.

Lời giải.
Vì các số dưới căn bậc chẵn phải nhận giá trị không âm nên 1 < x < 2.
Vì 1 < x < 2 nên 4 2  x  1   x  1  1 .
5

Kết luận.
Phương trình vô nghiệm.
Chú ý.
Vì phương trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bước đoán nhận mà chỉ
có bước khẳng định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....