Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC






HOÀNG THỊ HIỀN






HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI VÀ SÁNG TẠO
BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC”




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2012


2





ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC




HOÀNG THỊ HIỀN




HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI VÀ SÁNG TẠO

BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC”


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN


CHUYÊN NGÀNH :LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số:601410


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lƣơng




HÀ NỘI – 2012


5
MỤC LỤC


Trang
Lời cảm……………………………………………………………………

Danh mục viết tắt………………………………………………………….
ii
Mục lục……………………………………………………………………

iii
MỞ ĐẦU………………………………………………………………….
1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……………………….
5
1.1. Hướng dẫn học sinh giải toán………………………………………
5
1.1.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học…………………………
5
1.1.2. Cách dạy bài tập toán học………………………………………….
6
1.1.3. Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn……………………
9
1.1.4. Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề…………………………
12
1.1.5. Phương pháp dạy học theo dự án…………………………………
14
1.1.6. Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu……
18
1.2. Sáng tạo bài toán mới……………………………………………….
20
1.2.1. Một số khái niệm về sáng tạo……………………………………
20
1.2.2. Khái niệm và ví dụ về bài toán mới……………………………….
22
1.2.3. Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới………………………
23
1.3. Thực tiễn việc dạy học Toán hiện nay……………………………….
24
Kết luận chương 1…………………………………………………………

27
Chƣơng 2: HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI
TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC” ……………………
28
2.1. Một số kiến thức liên quan…………………………………………
28
2.1.1. Đẳng thức của các hàm số lượng giác đối với các góc trong tam
giác ….
28
2.1.2. Một số phương pháp xây dựng đẳng thức lượng giác……………
32
2.1.3. Xây dựng đẳng thức lượng giác trong tam giác từ đẳng thức lượng
giác
42
2.2. Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới…………………………
44
2.2.1. Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác
đối với những góc trong tam giác…………………………………………
44
2.2.2. Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác……….
50
2.2.3. Xây dựng một số bài toán lượng giác khác từ đẳng thức lượng giác
50


6
2.3. Hướng dẫn học sinh giải toán………………………………………
62
2.3.1. Giải một số bài toán dùng đẳng thức lượng giác trong tam giác…

62
2.3.2. Giải một số bài toán lượng giác dùng các đẳng thức lượng giác…
71
Kết luận chương 2…………………………………………………………
77
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM………………………………
78
3.1. Mục đích thực nghiệm……………………………………………….
78
3.2. Nội dung thực nghiệm……………………………………………….
78
3.3. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………
90
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm…………………………………………….
90
3.3.2. Thời gian thực nghiệm……………………………………………
91
3.3.3. Phương pháp thực nghiệm…………………………………………
91
3.4. Đánh gía thực nghiệm……………………………………………….
91
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………………………………………
92
1.Kết luận…………………………………………………………………
92
2.Khuyến nghị…………………………………………………………….
93
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………
94
PHỤ LỤC………………………………………………………………

95


















4

TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN





HS Học sinh
HTTCDH Hình thức tổ chức dạy học
GV Giáo viên

PPDH Phương pháp dạy học
THPT Trung học phổ thông

















7
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Trung ƣơng 8 (Khóa IX) của Đảng xác định: “Cùng với giáo
dục đào tạo, nghiên cứu khoa học là quốc sách hàng đầu”. Công cuộc công
nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc đặt ra những yêu cầu mới về nguồn lao động
chất lƣợng cao, trong đó có đội ngũ giáo viên ở các cấp học, bậc học, từ giáo dục
phổ thông đến giáo dục đại học, sau đại học.
Môn Toán là một trong những môn học rất quan trọng trong trƣơng trình
giáo dục THPT. Mục đích của việc đổi mới phƣơng pháp dạy và học nói chung,
môn toán trƣờng THPT nói riêng là khuyến kích tính tích cực, chủ động, khắc

phục thói quen học tập thụ động của học sinh. Nói cách khác, học sinh đƣợc học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo. Đổi mới
phƣơng pháp dạy và học môn toán góp phần trực tiếp nâng cao chất lƣợng giáo
dục nói chung, giáo dục trung học phổ thông nói riêng.
Ở trƣờng THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó
giải toán là đặc trƣng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh. Trong
quãng đời đi học đến THPT, chắc chắn mỗi học sinh đã từng giải rất nhiều bài
toán. Khi đứng trƣớc những bài toán khó, nhiều học sinh thƣờng tự đặt cho mình
những câu hỏi, nhƣ ai đã sáng tạo ra bài toán này, phƣơng hƣớng giải bài toán
này ra sao, mình có thể giải đƣợc bài toán này không, mình có sáng tạo đƣợc bài
toán mới không Đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo trong giải toán và
sáng tạo bài toán mới. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc
trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh, giáo viên cần hƣớng dẫn cho học sinh
biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ,
tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán
mới từ những kiến thức liên quan. Các bài toán là sản phẩm sáng tạo của một cá
nhân hay một tập thể, nó xuất phát từ những ý tƣởng ban đầu hoặc từ một hay


8
nhiều bài toán trƣớc đó. Việc học sinh có thói quen lật đi lật lại vấn đề, tƣ duy
mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp họ thu đƣợc những điều quan trọng hơn lời
giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các
chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích đƣợc vì sao giải nhƣ vậy và cao hơn
là trả lời câu hỏi vì sao ngƣời ta sáng tạo ra bài toán.
Tuy nhiên, trong thực tế không nhiều giáo viên và học sinh làm đƣợc điều
đó. Nhiều GV dạy toán hiện nay chƣa có thói quen khai thác một bài toán thành
một chuỗi bài toán liên quan, chƣa quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới.
Trong giải toán, giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài
toán mà chƣa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó nhƣ thế nào và đâu

mới là cái gốc của bài toán. Điều đó làm cho học sinh khó tìm đƣợc mối liên hệ
giữa các kiến thức đã học. Vì vậy, khi bắt đầu giải một bài toán mới, học sinh
không biết phải bắt đầu tƣ đâu, cần vận dụng kiến thức nào, từ đâu có bài toán
này, nội dung bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp
Trong quá trình dạy toán và bồi dƣỡng học sinh giỏi toán tôi thấy rằng, việc
tìm tòi mở rộng càc bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải
khác nhau cho một bài toán để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một
phƣơng pháp khoa học và hiệu quả. Quá trình này bắt đầu từ càc bài toán đơn
giản đến bài tập khó, sáng tạo ra bài toán mới từ những kiến thức cơ bản là bƣớc
đi phù hợp để rèn luyện năng lực tƣ duy cho HS. Một điều chắc chắn rằng việc
tìm tòi, mở rộng các bài toán sẽ tăng hứng thú học tập và óc sáng tạo của học
sinh. Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học khi phân tích, định hƣớng giải các
bài toán khác. Hơn nữa, phƣơng pháp này cũng giúp học sinh củng cố lòng tin
vào khả năng học toán của mình. Làm đƣợc nhƣ vậy, giáo viên đã nhen nhóm
lên trong các em học sinh một tình yêu toán học và phần nào minh hoạ cho ý
tƣởng dạy toán là dạy cho học sinh biết sáng tạo.


9
Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Hƣớng dẫn học
sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phƣơng trình lƣợng giác
xây dựng từ đẳng thức lƣợng giác”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Thứ nhất, chỉ ra các phƣơng pháp hƣớng dẫn học sinh giải bài tập toán học
nói chung và áp dụng vào hƣớng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phƣơng trình
lƣợng giác đƣợc xây dựng từ đẳng thức lƣợng giác.
Thứ hai, chỉ ra phƣơng pháp hƣớng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới nói
chung và áp dụng vào hƣớng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phƣơng trình
lƣợng giác xây dựng từ đẳng thức lƣợng giác.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài tập trung nghiên cứu phƣơng pháp hƣớng dẫn học sinh giải và sáng
tạo bài toán về nội dung phƣơng trình lƣợng giác chứa đẳng thức lƣợng giác.
4. Giả thuyết nghiên cứu của đề tài
Nếu vận dụng một số phƣơng pháp dạy học tích cực để hƣớng dẫn học
sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phƣơng trình lƣợng giác xây
dựng từ đẳng thức lƣợng giác” sẽ kích thích tƣ duy sáng tạo và sự say mê tìm tòi
khám phá của học sinh.
5. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Phƣơng pháp hƣớng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội
dung phƣơng trình lƣợng giác chứa đẳng thức lƣợng giác.
5.2. Khách thể nghiên cứu:
Vận dụng một số phƣơng pháp dạy học tích cực để hƣớng dẫn học sinh
giải và sáng tạo bài toán mới.


10
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về: Khái niệm và vị trí chức năng của bài tập
toán học, phƣơng pháp dạy học toán, khái niệm về sáng tạo và sáng tạo bài toán
mới.
- Nghiên cứu các tài liệu toán học về nội dung lƣợng giác, phƣơng trình
lƣợng giác.
+ Phƣơng pháp thực nghiệm, hỏi ý kiến chuyên gia…
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, luận văn gồm có ba chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài
Chƣơng 2. Hƣớng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “
Phƣơng trình lƣợng giác xây dựng từ đẳng thức lƣợng giác”

Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm















11
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Hƣớng dẫn học sinh giải toán
1.1.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học
Dạy toán ở trƣờng phổ thông là dạy hoạt động toán học cho học sinh,
trong đó giải toán có một vị trí quan trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều
mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng:
- Chức năng dạy học:
+ Bài tập nhằm hình thành, rèn luyện và củng cố kỹ năng, kỹ xảo những vấn
đề lý thuyết đã học (khái niệm, định lý, quy tắc…). Qua đó học sinh hiểu sâu
hơn và biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ
thể trong thực tiễn, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
+ Bài tập có khi là một định lý, trong đó có những định lý không đƣa vào

lý thuyết. Do đó qua việc giải bài tập học sinh mở rộng đƣợc tầm hiểu biết của
mình.
- Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà bồi dƣỡng, hình thành
những phẩm chất của ngƣời lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập giúp phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh
nhƣ tƣ duy phê phán, tƣơng đối thoại, tƣ duy sáng tạo và kỹ năng tƣ duy để giải
quyết vấn đề, rèn luyện những thao tác trí tuệ.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập giúp đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,
đấnh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Giải toán nói chung và việc giải một bài toán nói riêng một cách đích thực
không phải chỉ là ghi nhớ cách tìm ra đáp số cho những bài toán có sẵn. Giải
toán đích thực là ứng dụng toán để giải quyết các vấn đề của cuộc sống.
Những yêu cầu chủ yếu đối với lời giải bài tập


12
Để phát huy đƣợc tác dụng của bài tập toán học, chúng ta cần đạt đƣợc các
yêu cầu chủ yếu sau:
- Lời giải không có sai lầm. Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập
thƣờng do ba nguyên nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả
thiết hay kết luận của định lý.
+ Sai sót về phƣơng pháp suy luận.
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
Do đó giáo viên cần:
+ Tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại lời giải
+ Đƣa cho học sinh một lời giải sai của một bài toán và yêu cầu học sinh
thảo luận tìm nguyên nhân và giải lại cho đúng.
+ Tìm ra nhiều lời giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất. Đây là yêu
cầu cao đối với học sinh. Giáo viên nên khuyến khích học sinh, giúp đỡ, tạo điều

kiện để các em phát huy đƣợc khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề
Nhƣ vậy quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi
khó khăn hoặc một con đƣờng vƣợt qua trở ngại. Đó chính là quá trình đạt tới
một mục đích mà thoạt nhìn thì dƣờng nhƣ không thể đạt đƣợc ngay. Giải toán là
khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con ngƣời. Vì vậy giải toán có
thể xem nhƣ một trong những biểu hiện đặc trƣng nhất trong hoạt đông của con
ngƣời.
1.1.2. Cách dạy bài tập toán học
1.1.2.1. Cách dạy bài tập toán theo quan điểm kiến tạo
Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì để giải một bài tập toán học
thƣờng trải qua các khâu: Tìm hiểu bài toán- Dự đoán cách giải- Kiểm nghiệm-
Củng cố.


13
Trƣớc một bài tập toán, sau khi giáo viên nêu vấn đề, giáo viên cho học
sinh thảo luận để tìm hiểu bài toán. GV hƣớng dẫn cho HS phƣơng pháp phân
tích đề bài để hiểu rõ nội dung, phân biệt đƣợc cái đã cho, cái phải tìm, điều kiện
cho trƣớc có đủ để xác định ẩn hay không. Tiếp đó, giáo viên gợi ý để học sinh
đề xuất các phán đoán để xây dựng chƣơng trình giải bài tập đó. Đây là bƣớc
giáo viên tổ chức cho học sinh trao đổi, thảo luận, đánh giá về các phấn đoán đã
đƣa ra, lựa chọn phán đoán, phƣơng pháp giải thích hợp. Trong giai đoạn này,
ngƣời giáo viên cho yêu cầu đại diện học sinh hoặc nhóm học sinh lên trình bày
quan điểm, đƣờng lối giải của nhóm mình, các học sinh khác lắng nghe, theo dõi,
so sánh đối chiếu với lời giải của mình, bổ sung hoặc bác bỏ nếu thấy cần thiết.
Tiếp theo giáo viên tổ chức và điều khiển cho học sinh trong lớp trao đổi
để kiểm nghiệm lời giải bài toán bằng các lập luận lôgic, khoa học. Giáo viên có
thể gợi ý học sinh bằng cách đặt ra các câu hỏi nhƣ:
- Các em có thể kiểm tra lại kết quả không?
- Các em có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán đó không?

- Các em có thể tìm đƣợc một lời giải khác không?
- Các em có thể sử dụng một kết quả hay một phƣơng pháp đó cho một lớp
các bài toán khác không?
- Từ lời giải bài toán này các em có thể phân loại đƣợc các dạng toán tổng
quát không?
Đây là bƣớc rất quan trọng, mục đích của việc kiểm nghiệm lời giải để
xem xét xem mức độ đạt đƣợc về tri thức, kỹ năng, thái độ của học sinh sau khi
học lý thuyết vận dụng vào làm bài tập. Từ bƣớc này cũng chuẩn bị cho học
ssinh có tâm thế tốt giúp việc tổ chức dạy học những phần kiến thức tiếp theo
đƣợc tốt. Sau khi kiểm nghiệm lời giải và chọn đƣợc cách giải thích hợp giáo
viên tiếp tục cho học sinh củng cố kiến thức cần phải biết, những điều lƣu ý quan
trọng khi giải xong bài tập này. Do vậy, dạy ở giai đoạn này giáo viên có thể tiến


14
hành sử dụng các bài kiểm tra ngắn để thu thập các thông tin phản hồi từ phía
học sinh một cách chính xác.
1.1.2.2. Quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Giải một bài toán theo bốn bƣớc của Polya là giải một bài toán theo quy
trình chuẩn. Vì vậy, với một bài toán lƣợng giác việc chọn hƣớng biến đổi nhƣ
thế nào để đƣa về bài toán đơn giản hơn là điều quan trọng.
Thực tiễn đã chứng minh, một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết
một vấn đề lớn, nhƣng ngay cả trong một bài toán cũng có ít nhiều phát minh.
Giải một bài toán không chỉ là một hoạt động đơn thuần là tìm ra đáp án, mà
những vấn đề do bài toán đặt ra sẽ khơi gợi trí tò mò và buộc ngƣời giải nó phải
sáng tạo, và nếu tự mình giải đƣợc bài toán đó thì ngƣời giải toán cùng niềm vui
thắng lợi sẽ nhận thức đƣợc sự quyến rũ của sáng tạo. Những cảm xúc nhƣ vậy
đến một mức độ nào đó có thể kích thích sự ham thích công việc trí óc và mãi
mãi để lại dấu vết trong cá tính ngƣời làm toán.
Khi học sinh đã có sự đam mê đối với toán học, GV sẽ hƣớng dẫn học

sinh phƣơng pháp học tập hiệu quả. Theo Polya, để học sinh tự tìm đƣợc lời giải
bài toán, ngƣời thầy cần hƣớng dẫn học sinh cách giải bài tập theo bốn bƣớc sau
đây:
Bƣớc 1: Hiểu rõ bài toán
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện ? Có thể thoả mãn điều kiện hay không ? Điều
kiện có đủ để xác định ẩn hay không, hay chƣa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn ?
- Vẽ hình (nếu có), sử dụng kí hiệu hợp lý.
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể biểu diễn các
phần đó thành công thức không ?
Bƣớc 2 : Xây dựng chƣơng trình giải
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chƣa ? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng hơi khác ?


15
- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không ? Một định lý có thể
dùng đƣợc không ?
- Xét kỹ cái chƣa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn
hay có ẩn tƣơng tự.
- Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi có thể sử dụng
nó hay không ? Có thể sử dụng kết quả cuả nó hay không ? Có cần phải đƣa
thêm một số yêu tố phụ thì mới sử dụng nó đƣợc nó không ?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?
- Nếu bạn chƣa giải đƣợc bài toán đề ra hãy thử giải một bài toán có liên
quan mà dễ hơn không ?
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chƣa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu
của bài toán chƣa ?
Bƣớc 3 : Thực hiện chƣơng trình giải
- Khi thực hiện chƣơng trình giải hãy kiểm tra từng bƣớc bạn đã thấy rõ
ràng là mỗi bƣớc đều đúng chƣa ? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không ?

- Bạn có thể kiểm tra tính đúng sai của kết quả này không ?
Bƣớc 4 : Khảo sát lời giải đã tìm đƣợc
- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả ? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình
giải bài toán không ? Có thể tìm đƣợc kết quả một cách khác không ? Có thể
thấy trực tiếp kết quả không ?
- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phƣơng pháp đó cho một bài nào khác
không ?
Nhƣ vậy theo tƣ tƣởng Polya, ngƣời thầy hƣớng dẫn học sinh vận dụng nhƣ
thế nào vào việc giải toán cho linh hoạt và sáng tạo là một điều rất quan trọng.
1.1.3. Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn
1.1.3.1. Hoạt động của giáo viên trong dạy học khám phá có hướng dẫn
- Xác định mục đích


16
+ Vấn đề học tập chứa nội dung kiến thức mới là gì?
+ Tại sao lựa chọn vấn đề này mà không lựa chọn vấn đề khác trong bài giảng?
+ Vấn đề đƣợc lựa chọn liệu khả năng học sinh có khám phá đƣợc không?
Giáo viên định hƣớng các hoạt động tƣ duy đặc trƣng cần thiết ở học sinh là
gì trong quá trình giải quyết vấn đề, hoạt động phân tích, tổng hợp, so
sánh…Định hƣớng tƣ duy cho học sinh chính là ƣu việt của phƣơng pháp dạy
học khám phá có hƣớng dẫn so với các PPDH khác.
- Vấn đề học tập
Trong nội dung của bài giảng có chứa đựng nhiều vấn đề học tập, trong đó
có vấn đề trọng tâm là cơ sở để nhận thức các vấn đề khác. Dạy học khám phá có
hƣớng dẫn thƣờng đƣợc vận dụng để học sinh giải quyết các vấn đề nhỏ, từ đó
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Vì vậy, lựa chọn vấn đề
là yếu tố quan trọng để đảm bảo thành công PPDH này.
Khi lựa chọn vấn đề học tập cần chú ý một số nội dung sau:
+ Vấn đề trọng tâm chứa đựng thông tin mới.

+ Vấn đề thƣờng đƣa ra dƣới dạng câu hỏi hoặc bài tập nhỏ.
+ Vấn đề học tập phải vừa sức với học sinh và tƣơng ứng với thời gian làm
việc.
Trong thực tế, để dạy học khám phá có hƣớng dẫn có tính năng rộng rãi
thì vấn đề đƣa ra thƣờng ngắn gọn và thờì gian học sinh làm việc từ 5 đến 10
phút. Chúng ta sẽ áp dụng những tiết học có nội dung ngắn gọn và sử dụng quỹ
thời gian kiểm tra và củng cố bài. Nếu vấn đề học tập có vấn đề bao trùm nội
dung tiết học và học sinh đã có thói quen tích cực hợp tác theo nhóm thì giáo
viên tổ chức cho học sinh khám phá theo trình tự bốn bƣớc của Polya.
- Phân nhóm học sinh
Trong quá trình giáo viên phân nhóm học sinh cần lƣu ý một số điều kiện sau
đây:


17
+ Sự phân nhóm đảm bảo cho các thành viên đối thoại và giáo viên di
chuyển thuận lợi để bao quát lớp và đối thoại với trò.
+ Số lƣợng học sinh mỗi nhóm tuỳ theo nội dung của vấn đề, đồng thời
đảm bảo sự hợp tác tích cực giữa các thành viên trong nhóm.
+ Chú ý khả năng nhận thức của học sinh trong mỗi nhóm để đảm bảo sự
hợp tác mang lại hiệu quả.
- Kết quả khám phá
Dạy học khám phá phải đạt đƣợc mục đích là hình thành các tri thức khoa
học cho học sinh dƣới sự chỉ đạo của giáo viên:
+ Giáo viên tổ chức hợp tác giữa các nhóm về nội dung kiến thức của vấn
đề.
+ Giáo viên đối thoại với từng học sinh đển mỗi thành viên tự đánh giá, tự
điều chỉnh rút ra tri thức khoa học.
+ Nội dung vấn đề học tập mà các nhóm học tập cần đạt đƣợc do giáo viên
chuẩn bị trƣớc.

1.1.3.2. Hoạt động của nhóm học sinh trong dạy học khám phá có hướng dẫn
Mỗi nhóm có suy nghĩ, giải pháp riêng trong giảỉ quyết các vấn đề do bài
toán đặt ra. Sau đó các thành viên trao đổi, tranh luận để tìm ra quan điểm chung
trong tiến trình khám phá vấn đề. Tuy nhiên, vẫn có thể tồn tại những ý kiến cá
nhân chƣa đƣợc thống nhất.
Mỗi nhóm trình bày tóm tắt nội dung của vấn đề đƣợc phát hiện. Trên cơ
sở đó có sự tranh luận giữa các nhóm về kết quả khám phá dƣới sự chỉ đạo của
giáo viên. Trong quá trình này, giáo viên đóng vai trò nhƣ một trọng tài lựa
chọn, phán đoán, kết luận đúng của các nhóm để hình thành tri thức mới.
Nhƣ vậy, vấn đề cơ bản trong phƣơng pháp dạy học này là giáo viên tạo
tình huống hƣớng dẫn học sinh khám phá tri thức mới, bằng cách đƣa ra một số
câu hỏi gợi mở từng bƣớc đƣa học sinh đi tới mục tiêu hoạt động. Khi hƣớng dẫn


18
học sinh giải toán, giáo viên có thể vận dụng phƣơng pháp này một cách hiệu
quả
1.1.4. Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề
PPDH giải quyết vấn đề là phƣơng pháp trong đó GV đặt ra trƣớc học sinh
một (hay hệ thống) vấn đề nhận thức, đua học sinh vào tình huống có vấn đề, sau
đó GV phối hợp cùng học sinh (hoặc hƣớng dẫn, điều khiển HS) giải quyết vấn
đề, đi đến những kết luận cần thiết của nội dung học tập. PPDH này đƣợc tiến
hành theo một trình tự gồm: Đặt vấn đề và chuyển học sinh vào tình huống có
vấn đề; giải quyết vấn đề; kết luận.
PPDH giải quyết vấn đề không phải chỉ sử dụng đối với tiết bài mới trên
lớp, mà còn đƣợc sử dụng để củng cố, ôn tập và học bài ở nhà của HS; có thể
thực hiện xen kẽ hay kết hợp với các PPDH khác cũng có thể chỉ sử dụng trong
một số nội dung của bài, không nhất thiết phải sử dụng toàn bài.
PPDH giải quyết vấn đề có những đặc trưng cơ bản sau:
- Đặc trƣng cơ bản nhất của PPDH này là tình huống có vấn đề (chứa đựng

nội dung cần xác định, nhiệm vụ cần giải quyết, vƣớng mắc cần tháo gỡ, tức là
những mâu thuẫn cần giải quyết).
- Quá trình dạy học theo phƣơng pháp này đƣợc chia thành những bƣớc,
những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt.
- Quá trình dạy học theo phƣơng pháp này bao gồm nhiều hình thức tổ chức
đa dạng, lôi cuốn học sinh tham gia.
Các bước chủ yếu của PPDH giải quyết vấn đề.
Về cơ bản, DH giải quyết vấn đề gồm những bƣớc chủ yếu sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
Ở bƣớc này, tình huống gợi vấn đề đƣợc tạo ra: chính học sinh phát hiện
vấn đề (có thể với sự giúp đỡ của GV thông qua biện pháp gợi mở, nêu vấn đề),
hoặc GV trình bày quá trình phát hiện vấn đề. Ở mức độ thấp hơn, GV chỉ nêu


19
vấn đề cần giải quyết, cần phải làm cho học sinh hiểu đúng vấn đề đƣợc đặt ra và
mục đích giải quyết vấn đề.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Để tìm giải pháp giải quyết vấn đề, học sinh cần phải phân tích vấn đề, làm
rõ mối liên hệ giữa các dữ kiện đã có với cái cần đạt đƣợc, giữa các dữ kiện đó
với nhau, giữa chúng với những tri thức toán học đã có v.v…Từ đó đề xuất một
phƣơng hƣớng giải quyết vấn đề.
Phân tích phƣơng hƣớng đƣợc đề xuất, nều cần thì phải điều chỉnh, thậm chí
bác bỏ và tìm hƣớng giải quyết thích hợp hơn, hay chọn giải pháp tối ƣu nhất
trong những giải pháp đã nêu ra. Cuối cùng là trình bày lời giải theo giải pháp đã lựa
chọn.
Bước 3: Kiểm tra đánh giá lời giải, kết quả và cách thức tìm kiếm lời giải
Bước 4: Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.
GV đánh giá vai trò ý nghĩa của kết quả đạt đƣợc, chuyển kiến thức mang
tính chất cá nhân thành kiến thức chung, phát biểu nó dƣới dạng một định nghĩa,

định lý hay công thức có thể đƣợc vận dụng cho các trƣờng hợp khác, nhấn
mạnh các tri thức phƣơng pháp có thể rút ra từ quá trình nghiên cứu và giải quyết
vấn đề.
Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề có ưu điểm: Bồi dƣỡng năng lực về
giải quyết vấn đề cho HS, giúp học sinh biết khoanh vấn đề, xác định rõ nguồn
gốc và nội dung làm nảy sịnh vấn đề, xử lý những ý kiến bằng cách gắn bó
những vấn đề, có khả năng thấy trƣớc vấn đề và nghĩ ra chiến lƣợc đáp ứng thích
hợp; Phát triển tính tự lập nhận thức và tƣ duy sáng tạo cho HS; Rèn luyện cho
học sinh làm quen với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học; Đảm bảo cho học sinh
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, ở trình độ vận dụng một cách sáng tạo, linh
hoạt và có khả năng biến đổi cao; học sinh có thể thu đƣợc những kiến thức tốt


20
nhất, cập nhập nhất; Tính chủ động, tinh thần tự giác của ngƣời học đƣợc nâng
cao; Động cơ học tập và tình thần trách nhiệm của học sinh đƣợc nâng cao.
Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề có nhược điểm đó là: hiệu quả sử
dụng của PPDH này còn tùy vào năng lực sƣ phạm của GV và trình độ nhận thức
của HS. Không thể sử dụng PPDH giải quyết vấn đề cho mọi nội dung dạy học
và loại bỏ hoàn toàn các PPDH truyền thống. Vấn đề là phải tìm cách khai thác
các PPDH ấy sao cho vẫn phát huy đƣợc tính tích cực của HS.
Vì vậy, để áp dụng phƣơng pháp này với cơ hội thành công cao đòi hỏi
chúng ta phải tiến hành một loạt những chuyển đổi các hoạt động của HS từ tính
thụ động sang tính tích cực chủ động và chuyển đổi các hoạt động của GV giữ
vai trò khơi gợi, nêuc vấn đề và hƣớng dẫn HS; chuyển đổi mối quan hệ giữa vai
trò của GV và HS; chuyển đổi hệ thống đánh giá HS; coi trọng thời gian tự học
của HS nhƣ thời gian học trên lớp.
1.1.5. Phương pháp dạy học theo dự án
Dạy học theo dự án là một hình thức giảng dạy hiệu quả hiện đại, gắn liền
hoạt động giảng dạy với thực tiễn cuộc sống. Đây là một mô hình giảng dạy rất

hấp dẫn với học sinh, có tính xã hội hóa cao. Mô hình giảng dạy này đƣợc nhiều
nƣớc có nền giáo dục tiên tiến nhƣ Mỹ, Anh, Singapore…quan tâm trong những
năm gần đây. Để hiểu rõ mô hình giảng dạy này, ta quan tâm đến một hoạt động
cụ thể sau đây:
 Từ thực tiễn xây dựng bài toán cần giải quyết của dự án (nội dung dự
án) Ví dụ :“Một căn hộ mới xây cần lắp những ô cửa kính. Có n loại ô cửa kính
với kích thƣớc
( ), 1;
kk
a b k n
. Cần chỉ rõ thuật toán cắt các tấm kính (
23
) cho
trƣớc sao cho phần thừa có diện tích nhỏ nhất”
 Xây dựng thuật toán giải quyết bài toán đặt ra của dự án .
 Lập chƣơng trình trên máy tính để tính toán hiệu quả của thuật toán.


21
 Trình bày kết quả trƣớc hội đồng.
Những bài toán thực tế thƣờng có nhiều phƣơng án giải quyết khác nhau
nên thuật toán tốt nhất tìm đƣợc kết quả tối ƣu với thời gian chạy trên máy tính ít
nhất.
Tuy nhiên, trong hoạt động giảng dạy rất khó tìm các bài toán thực tế nên
ngƣời ta thƣờng xây dựng một mô hình giảng dạy cho những nội dung toán học
cụ thể mô tả tƣơng tự.
Mô hình cụ thể
a. Nội dung giảng dạy
- Xác định rõ nội dung giảng dạy
- Đối tƣợng giảng dạy

- Xác định các nội dung liên quan
- Thời gian thực hiện dự án
b. Chuẩn bị kiến thức cơ bản
- Cung cấp các kiến thức cần thiết cho học sinh để có thể thực hiện dự án
- Đề ra những mục tiêu mà học sinh cần đạt đƣợc trong dự án
- Tập hợp các bài toán và các phƣơng pháp giải liên quan đến dự án
c. Xây dựng tiến trình thực hiện dự án
- Bƣớc 1: Trình bày nội dung dự án và phƣơng pháp giải quyết (thầy giáo
trình bày) trong thời gian từ 1-3 tiết
- Bƣớc 2: Mỗi nhóm học sinh đọc tài liệu tham khảo, giải các bài toán thực
hành, xây dựng các phƣơng pháp giải (thời gian tự học ở nhà 2 -4 tuần)
- Bƣớc 3: Học sinh trình bày các kết quả của dự án (mỗi nhóm trình bày
trong 15 phút)
- Bƣớc 4: Giáo viên đánh giá kết quả của từng dự án
- Bƣớc 5: Rút kinh nghiệm để xây dựng dự án có hiệu quả nhất.
d. Kế hoạch đánh giá của dự án


22
 Đánh giá năng lực của học sinh trƣớc khi bắt đầu dự án
- Kiểm tra kiến thức cơ bản cần thiết
- Kiểm tra năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
- Xây dựng hợp đồng giảng dạy
 Đánh giá hiệu quả làm việc của học sinh trong thời gian thực hiện dự
án, bao gồm:
- Biên bản làm việc hàng ngày của từng nhóm.
- Sản phẩm của dự án
- Phiếu đánh giá sản phẩm của dự án
- Những kết quả đặc biệt thu đƣợc từ dự án (các phƣơng pháp mới, các
bài tập sáng tạo)

 Đánh giá hiệu quả của dự án sau khi hoàn thành
- Những kinh nghiệm rút ra trong quá trình thực hiện dự án.
- Những câu hỏi, những bài toán mở đƣợc đặt ra sau khi kết thúc dự án.
- Đánh giá báo cáo tổng kết.
e. Nội dung dự án
Nội dung dự án có thể đƣợc điều chỉnh theo đối tƣợng giảng dạy (học
sinh năng khiếu, học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu tự nhiên, học sinh có khả
năng tiếp thu bình thƣờng). Muốn nhƣ vậy thì nội dung các bài giảng trong dự án
và các bài kiểm tra đánh giá phải đƣợc biên soạn linh hoạt có mức độ phức tạp
khác nhau.
 Nội dung các bài giảng luôn có hai phần:
- Phần cơ bản (dành cho mọi đối tƣợng)
- Phần nâng cao (dành cho học sinh năng khiếu)
 Nội dung các bài kiểm tra đánh giá gồm hai phần:
- Phần cơ bản (bao gồm các câu hỏi cơ bản).
- Phần nâng cao (gồm các bài toán khó, giàu thách thức)


23
f. Công nghệ cần thiết cho dự án
Máy tính; thiết bị trình chiếu; máy quay video; phần mềm; sách tham
khảo; tài liệu tham khảo trên internet.
Đây là một hình thức dạy học quan trọng để thực hiện quan điểm dạy học
định hƣớng vào ngƣời học, quan điểm dạy học định hƣớng hoạt động và quan
điểm dạy học tích hợp. Dạy học dự án góp phần gắn lý thuyết với thực hành, tƣ
duy và hành động, nhà trƣờng và xã hội, tham gia tích cực vào việc đào tạo năng
lực làm việc tƣ lực, năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp,
tinh thần trách nhiệm và khả năng cộng tác làm việc của ngƣời học.
Ở Việt Nam, các đề án môn học, đề án tốt nghiệp từ lâu cũng đã đƣợc sử
dụng trong đào tạo đại học, các hình thức này gần gũi với dạy học theo dự án.

Tuy nhiên, trong lĩnh vực lý luận dạy học, phƣơng pháp dạy học này chƣa đƣợc
quan tâm nghiên cứu một cách thích đáng, nên việc sử dụng chƣa đạt hiệu quả
cao.
Có nhiều quan niệm và định nghĩa khác nhau về dạy học theo dự án. Dạy
học dự án đƣợc nhiều tác giả coi là một hình thức dạy học vì khi thực hiện một
dự án, có nhiều phƣơng pháp dạy học cụ thể đƣợc sử dụng. Tuy nhiên, khi không
phân biệt giữa hình thức và phƣơng pháp dạy học, ngƣời ta cũng gọi là PP dự án,
khi đó cần hiểu đó là PPDH theo nghĩa rộng, một phƣơng pháp dạy học phức
hợp.
Dạy học theo dự án là một hình thức dạy học, trong đó ngƣời học thực hiện
một nhiệm vụ học tập phức hợp, có sự kết hợp giữa lý thuyết và thực hành, có
tạo ra các sản phẩm có thể giới thiệu. Nhiệm vụ này đƣợc ngƣời học thực hiện
với tính tự lực cao trong toàn bộ quá trình học tập, từ việc xác định mục đích, lập
kế hoạch, đến việc thực hiện dự án, kiểm tra, điều chỉnh, đánh giá quá trình và
kết quả thực hiện. Làm việc nhóm là hình thức cơ bản của dạy học dự án.
Ưu điểm PPDH theo dự án


24
Gắn liền lý thuyết với thực hành, tƣ duy và hành động, nhà trƣờng và xã
hội; kích thích động cơ, hứng thú học tập của ngƣời học; phát huy tính tích cực
tự lực, tính trách nhiệm của ngƣời học; rèn luyện năng lực giải quyết những vấn
đề phức hợp, tính bền bỉ, kiên nhẫn của ngƣời học, năng lực cộng tác làm việc
của ngƣời học, năng lực đánh giá của ngƣời học; tăng tính chuyên cần, nâng cao
tính tự lực và thái độ học tập cho ngƣời học sinh; kiến thức học sinh thu đƣợc
tƣơng đƣơng hoặc nhiều hơn so với mô hình dạy học khác khi đƣợc tham gia vào
dự án học sinh sẽ trách nhiệm hơn trong học tập so với các hoạt động truyền
thống khác trong lớp học; có cơ hội cho học sinh phát triển những kỹ năng phức
hợp nhƣ tƣ duy bậc cao, giải quyết vấn đề, hợp tác và giao tiếp; có cơ hội rộng
mở hơn trong lớp học tạo ra chiến lƣợc thu hút những học sinh thuộc các nền văn

hóa khác nhau; tạo điều kiện cho học sinh tiếp xúc với các phƣơng tiện dạy học,
công nghệ thông tính hiện đại hỗ trợ quá trình học tập.
1.1.6 . Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu
Bản chất của dạy học theo phƣơng pháp hƣớng dẫn học sinh tự nghiên cứu là tổ
chức quá trình ngƣời học lĩnh hội nội dung dạy học theo logic nghiên cứu khoa
học. Trình tự logic của nghiên cứu khoa học có thể mô hình hóa qua các giai
đoạn cơ bản là: Phát hiện vấn đề nghiên cứu- Đặt giả thuyết - Lập phƣơng án
thuthập thông tin- Tổng hợp đánh giá kết quả. Ở mỗi giai đoạn trong chuỗi trên
là hoạt động cùng nhau của cả ngƣời dạy và ngƣời học theo nguyên tắc: ngƣời
dạy hƣớng dẫn, cố vấn, trợ giúp; ngƣời học chủ động tiến hành việc tìm kiếm,
giải quyết vấn đề. Các kỹ thuật dạy học khác nhau, từ tự nghiên cứu, quan sát,
làm thực nghiệm đến thảo luận, thuyết trình, làm báo cáo…đều có thể đƣợc sử
dụng trong dạy học theo phƣơng pháp này. Hƣớng dẫn học sinh tự nghiên cứu theo
nhóm là hình thức giảng dạy khó nhất nhƣng hiệu quả nhất trong mô hình giảng dạy
tiếp cận chuẩn quốc tế.
Mô hình cụ thể


25
 Mục tiêu:
- Học sinh hệ thống đƣợc hệ thống kiến thức môn học.
- Học sinh thực hành giả nhiều bài toán khó để rèn luyện kỹ năng giải và
sáng tạo toán học.
- Học sinh phải tự tìm lời giải cho đề tài nghiên cứu của mình.
 Nhiệm vụ của giáo viên
- Xây dựng đề tài nghiên cứu.
- Tổ chức các nhóm học sinh nghiên cứu có năng lực, kết quả học tập tốt.
- Hƣớng dẫn tài liệu tham khảo và phƣơng pháp nghiên cứu giải quyết vấn
đề.
- Giao nhiệm vụ và thời gian hoàn thành

- Hƣớng dẫn cách trình bày sản phẩm nghiên cứu của học sinh bao gồm:
+ Tóm tắt nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu trong lĩnh vực nào và trong lĩnh
vực này ngƣời ta thu đƣợc kết quả gì? Các nhóm học sinh đóng góp đƣợc gì
trong hƣớng nghiên cứu này?
+ Các kiến thức cần thiết, liên quan đƣợc sử dụng để nghiên cứu hoàn thành
vấn đề.
+ Các kết quả chính thu đƣợc.
+ Tài liệu tham khảo.
 Nhiệm vụ của học sinh
- Nhận đề tài và phân công nhiệm vụ cho từng thành viên trong nhóm
(trƣởng nhóm, thƣ kí, ngƣời sƣu tầm tài liệu, ngƣời trình bày báo cáo, ngƣời giải
quyết các bài toán chính trong đề tài)
- Lên kế hoạch nghiên cứu và tiến hành nghiên cứu.
- Viết báo cáo khoa học.
- Xây dựng báo cáo và tóm tắt trên powerpoint.
- Đánh giá học tập kết quả nghiên cứu của các nhóm khác.


26
Ưu điểm PPDH hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu:
HS có nhiều cơ hội nhất để rèn luyện tƣ duy ở mức độ cao (khái quát
nhiều lời giải để xây dựng phƣơng pháp, sáng tạo các bài tập mới), đƣợc làm
việc tập thể (theo nhóm) phát huy đƣợc vai trò cá nhân của mình trong hoạt động
tập thể; Rèn luyện các tố chất, khả năng cần thiết của một nhà khoa học tƣơng lai
(tự học, tự nghiên cứu); Tạo đƣợc niềm vui trong học tập (học sinh có kết quả
nghiên cứu và lần đầu tiên đƣợc công nhận kết quả nghiên cứu của mình); Có cơ
hội rèn luyện khả năng trình bày trƣớc hội đồng giám khảo.
PPDH hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu là hình thức gảng dạy khó:
GV phải có trình độ cao, nhiều kinh nghiệm mới có thể phát hiện đề tài
nghiên cứu.; học sinh có trình độ, năng lực tốt mới có thể thực hiện thành công

đề tài nghiên cứu; Nội dung học của trƣờng phải tiên tiến, cập nhật với tình hình
thế giới và sâu sắc mới phát hiện ra đề tài mới.
1.2. Sáng tạo bài toán mới
1.2.1. Một số khái niệm về sáng tạo
Sáng tạo (Creativity) là hoạt động tạo ra bất kỳ cái gì có đồng thời tính mới
và tính ích lợi. Trong định nghĩa khái niệm này, từ "hoạt động" đƣợc dùng với
nghĩa rất rộng, chứ không phải theo nghĩa hẹp - "hoạt động của riêng con ngƣời".
Đó chính là hoạt động tạo ra sự phát triển của bất kỳ đối tƣợng nào và sự phát
triển là thuộc tính của vật chất (hiểu theo nghĩa triết học). Còn cụm từ "bất kỳ cái
gì" cho thấy kết quả (thành phẩm) sáng tạo cũng nhƣ chính hoạt động sáng tạo
có thể có ở bất kỳ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và thế giới tinh thần, miễn là
"cái gì đó" có đồng thời tính mới và tính ích lợi. Nếu "cái gì đó" chỉ có hoặc tính
mới, hoặc tính ích lợi thì không đƣợc coi là sáng tạo.
"Tính mới" là bất kỳ sự khác biệt nào của đối tƣợng cho trƣớc so với đối
tƣợng tiền thân của nó (đối tƣợng cùng loại ra đời trƣớc đó xét về mặt thời gian).
Trong trƣờng hợp này, chúng ta nói rằng đối tƣợng cho trƣớc có tính mới. Để có