Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học

i

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... iii
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................... iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...................................... v
DANH MỤC BẢNG ..................................................................................... vi
DANH MỤC HÌNH ..................................................................................... vii
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ..................................................... 5
1.1. HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG............................................................... 5
1.1.1. Biểu diễn đường cong..................................................................... 5
1.1.2. Đặc tính của đường cong .................................................................. 6
1.2. HÌNH HỌC MẶT CONG .................................................................... 8
1.2.1. Phương pháp biểu diễn mặt cong ...................................................... 8
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong .......................................... 10
1.2.3. Độ cong.......................................................................................... 12
1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ ....................................................... 13
1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D .................................................................. 14
1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D .................................................................. 15
1.3.3. Phép ánh xạ ..................................................................................... 17
1.3.4. Khung tọa độ................................................................................... 18
1.4. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ............ 19
1.5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC .............. 21
1.5.1. Phương pháp tách biến Fourier ....................................................... 21
1.5.2. Phương pháp sai phân .................................................................... 22
1.5.3. Phương pháp phần tử hữu hạn ........................................................ 23
1.6. TỔNG KẾT CHƯƠNG ......................................................................... 24
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNHĐẠO HÀM RIÊNG TRONG
THIẾT KẾ HÌNH HỌC ........................................................................................ 25

ii

2.1. BỀ MẶT PDE .................................................................................... 25
2.1.1. Các bề mặt hình học PDE ............................................................... 25
2.1.2. Các bề mặt PDE dạng ẩn ................................................................ 26
2.1.3. Các bề mặt PDE dạng tham số ....................................................... 28
2.2. PHƯƠNG PHÁP BLOOR – WILSON PDE ...................................... 28
2.3. HIỆU CHỈNH PHƯƠNG PHÁP BLOOR – WILSON PDE............... 32
2.3.1. Hiệu chỉnh phương pháp Bloor-wilson PDE.................................... 32
2.3.2. Các bề mặt PDE tham số thu được dựa trên các mô hình vật lý .............. 33
2.3.3. Ứng dụng của các bề mặt PDE ............................................................ 34
2.3.4. Phân tích và tối ưu hóa thiết kế....................................................... 36
2.3.5. Các ứng dụng khác ......................................................................... 37
2.4. TỔNG KẾT CHƯƠNG...................................................................... 38
Chương 3. THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC ........................ 39
3.1. THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI ................................................................................ 39
3.2. THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC CẤP BỐN. .............................................................................. 46
3.3. GIAO DIỆN CHÍNH CỦA CHƯƠNG TRÌNH .................................. 58
3.4. TỔNG KẾT CHƯƠNG...................................................................... 59
KẾT LUẬN ................................................................................................. 60
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................... 61


iii

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học,
Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông
Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS. TS Đặng Quang Á – người đã
dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho em trong suốt
quá trình hình thành và hoàn chỉnh luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em
những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học.
Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè, đồng
nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong việc hoàn
thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
Tác giả

Trần Thị Thanh Tâm


iv

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của GS.TS Đặng Quang Á.
Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài liệu
tham khảo theo đúng qui định.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015

Tác giả

Trần Thị Thanh Tâm


v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Tiếng Anh
Từ viết tắt

Tên đầy đủ

Diễn giải

CAD

Computer Aided Design

PDE

Partial differential equations

Phương trình đạo hàm riêng

CSG

Constructive solid geometry

Phương pháp hình học lập thể

B-rep

Boundary representation

Phương pháp biểu diễn biên

FFD

free-form deformation

Tự do biến dạng

Hệ thống thiết kế có sự trợ giúp
của máy tính


vi

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1. Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ ............................................ 16
Bảng 3.1. Tham số đầu vào các đối tượng theo phương trình elliptic cấp hai ......... 44
Bảng 3.2. Tham số của các loại Wine glass ........................................................... 56


vii

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Tham số hóa đường tròn đơn vị................................................................ 5

Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đường tròn mật tiếp ...................................... 7
Hình 1.3. Hình học mặt cong ................................................................................. 10
Hình 1.4. Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến ............................... 10
Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D ......................................................................... 14
Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động ................... 19
Hình 2.1. Các đường cong biên Hình 2.2. Bề mặt PDE tương ứng ...................... 29
Hình 2.3. Mặt PDE tương ứng với một vỏ sò ......................................................... 30
Hình 2.4. Mặt PDE tương ứng với một chai Klein. ................................................ 30
Hình 2.5. Mặt PDE tương ứng với mặt Werner Boy .............................................. 31
Hình 2.6. Các mặt PDE tương ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau. ............... 31
Hình 3.1. Đối tượng elliptic cấp 2 tương ứng với các tham số hình A .................... 44
Hình 3.2. Đối tượng elliptic cấp 2 tương ứng với các tham số hình B .................... 45
Hình 3.3. Đối tượng elliptic cấp 2 tương ứng với các tham số hình C .................... 45
Hình 3.4. Thiết kế cốc Wine glass tương ứng với các tham số hình D ................... 56
Hình 3.5. Thiết kế cốc Wine glass tương ứng với các tham số hình E .................... 57
Hình 3.6. Thiết kế cốc Wine glass tương ứng với các tham số hình F .................... 57
Hình 3.7. Giao diện chính ...................................................................................... 58
Hình 3.8. Giao diện mô phỏng đối tượng bằng phương trình Elliptic cấp 2............ 58
Hình 3.9. Giao diện mô phỏng đối tượng bằng phương trình Elliptic cấp 4............ 59
Hình 3.10. Thông tin tác giả .................................................................................. 59


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày ngay, hầu như tất cả các công việc thiết kế dựa trên máy tính đều bắt
đầu với việc sử dụng các hệ thống thiết kế có sự trợ giúp của máy tính (Computer
Aided Design – CAD [1]) để tạo ra các mô hình hình học một cách chi tiết. Nhờ sự
phát triển của công nghệ thông tin, các ngành công nghiệp có liên quan đến ngành

hàng không vũ trụ, điện tử và tự động hóa... sử dụng CAD ngày một nhiều hơn.
Chúng ta hãy xét một quy trình để tạo ra một sản phẩm kỹ thuật mới.
Thường thì một quy trình khởi đầu với việc định nghĩa một hình dạng mẫu được
yêu cầu bởi các khái niệm đặc tả hình dạng hình học của sản phẩm và các chức
năng của nó. Quy trình này sau đó xử lý qua một chuỗi các hoạt động lặp lại cho tới
khi đạt được một thiết kế tối ưu. Ngày nay, quy trình của việc “thiết kế tự động theo
chức năng” dựa trên việc gia tăng sử dụng các máy tính. Mặc dù việc thiết kế hình
học dựa trên việc mở rộng sử dụng các máy tính không cung cấp giải pháp tự động
cho một bài toán thiết kế cho trước, nhưng nó cũng làm tăng tính hiệu quả trong quy
trình thiết kế. Bởi vậy, các quá trình chính của thiết kế hình học bao gồm việc mô tả
hiệu quả hình dáng hình học và thao tác trên các tham số của mô hình biểu diễn.
So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong thiết kế hình
học,phương pháp thiết kế hình học dựa trênphương trình đạo hàm riêng [2], [3]
(Partial differential equations - PDE) có rất nhiều lợi thế:
- Sự tác động của một đối tượng PDE được xác định bởi giá trị biên của các
phương trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng được xác
định thông qua các phương trình vi phân bậc cao.
- Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập nhỏ các
điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi thông qua việc
giải các phương trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các
mô hình lập thể dạng tự do tham số.


2

- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa
hình khối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các đường, biểu diễn
các bề mặt biên. Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phương
pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG), phương pháp biểu diễn
biên (Boundary representation- B-rep) v.v.. vào một khung duy nhất.

- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian
vật lý. Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể
cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối
tượng nhúng bên trong các mô hình PDE.
- Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý
trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau
có thể được thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời.
Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi
vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có hình dạng
tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt
mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các
mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có được điều này
ngược lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát
hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn.
Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại
sẽ dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học. Hơn nữa, các
kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy. Để
mô phỏng các đối tượng trong thế giới thực, phương pháp này tốt hơn trong việc kết
hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn như mật độ trong biểu diễn hình học.
Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể được tổng hợp bởi các giá trị vô hướng,
các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tưởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật lý này.
Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể đạt
được các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực.


3

Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng viên
hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong
thiết kế hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các cơ sở toán học và các phương pháp
biểu diễn, thiết kế hình học, trong đó tập trung vào các phương pháp phương trình
đạo hàm riêng trong thiết kế hình học.
3. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu các kiến thức có liên quan, các cơ sở lý thuyết
như: Cơ sở toán học trong thiết kế hình học, các phương pháp, kỹ thuật được sử dụng
trong việc thiết kế hình học, các kỹ thuật sử dụng phương trình đạo hàm riêng đặc biệt
là các dạng phương trình elliptic cấp hai và cấp bốn kết hợp với các điều kiện biên ứng
dụng trong thiết kế hình học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về thiết kế hình học.
- Tìm hiểu phương pháp phương trình đạo hàm riêng ứng dụng trong thiết kế
hình học.
- Cài đặt thuật toán ứng dụng các phương trình đạo hàm riêng để thiết kế
hình học trong môi trường Matlab.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài,đối tượng và
nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Chương một, tập trung trình bày những kiến thức cơ
bản về thiết kế hình học và phương trình đạo hàm riêng.Chương hai,trình bày tóm tắt
các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, những ứng dụng của phương trình vi
phân đạo hàm riêng (PDE – Partial diferential equations) trong các lĩnh vực liên quan
đến thiết kế và mô hình hóa hình học. Chương 3, trong chương này chúng tôi đãsử
dụng các kết quả nghiên cứu liên quan đến phương trình đạo để xây dựng thuật toán
thiết kế một số đối tượng hình học bằng phương trình elliptic cấp hai và cấp bốn.


4

Với những kết quả đạt được, phần cuối của luận văn nêu ra những phép đo

tính hiệu quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm tối ưu
thuật toán, đánh giá các kết quả đạt được, những hạn chế và đề xuất hướng nghiên
cứu tiếp theo của đề tài.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp đọc tài liệu
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp thực nghiệm.


5

Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thỏa
mãn một số điều kiện.
1.1.1. Biểu diễn đường cong
Về toán học, đường cong có thể được biểu diễn dưới dạng
- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số.
Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x – y), có tâm trùng với gốc hệ tọa độ
trên hình (1.1). Mối quan hệ giữa các tọa độ x và y được mô tả bởi phương trình
f ( x, y )  x 2  y 2  1  0 Phương trình ẩn

(1.1)

Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là
y  g ( x )  (1  x )1/2 Phương trình tường minh

(1.2)

Nếu đặt góc  giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có

x  x( )  cos ; y  y( )  sin Phương trình tham số

(1.3)

Hình 1.1. Tham số hóa đường tròn đơn vị
Trường hợp đặt góc  tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì
t  tg  y / ( x  1) Kết hợp với phương trình (1.1) ta có
x  x (t )  (1  t 2 ) / (1  t 2 ); y  y (t )  2t / (1  t 2 )

(1.4)


6

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương
trình tham số đa thức hữu tỷ.Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của
đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hóa.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số
x  x (t ); y  y (t ); z  z (t )

hay dưới dạng vectơ r (t )  [x(t ), y (t ), z (t )].
Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong
3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g ( x, y, z )  0 biểu
diễn bởi mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong
trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong.

1.1.2. Đặc tính của đường cong
Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số
chuẩn tắc r  r (t )  [x(t ), y (t ), z (t )].
Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm
a. Độ chảy của đường cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1.1.2.1. Độ chảy

Độ lớn của vectơ đạo hàm r '(t ) được gọi là độ chảy của đường cong

S '(t )  r '(t ) .

(1.5)

Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trương cho thời
gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này
được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s)
trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong
không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hóa.


7

1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho


s   r '(t ) dt.
0

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau

T  dr / ds.

(1.6)

T  r '(t )/ | r '(t ) | .

(1.7)

hay dưới dạng vi phân

1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính

Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta có
vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong

N  (dT / dt )/ | dt / dt | (dT / ds)/ | dT / ds |

(1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác
định bởi quan hệ B= TxN.

Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đường tròn mật tiếp

8

1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong

Cho s là tham số tự nhiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong
r(t). Độ cong được định nghĩa như sau

k | dT / ds | ,

(1.9)

| r ' xr '' |
,
| r ' |3

(1.10)

hay dưới dạng vi phân

k
trong đó r '  dr (t ) / dt ; r ''  dr '/ dt .

Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y  y( x) , phương
trình trên có dạng k  y ''/ (1  y '2 ) 3/ 2 ,trong đó y '  dy / dx; y ''  dy '/ dx .
Cho đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2) đi qua điểm hiện thời r(t)
và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này.Đường tròn
này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròng mật tiếp được gọi là
bán kính cong và được xác định bởi   1/ k

(1.11)

1.1.2.5. Độ xoắn của đường cong

Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau   (dB / ds ).N ,
trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ
bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serect-Frenet

dr / ds  T ; dT / ds  kN
dN / ds   B  kT ; dB / ds   N 1

(1.12)

1.2.HÌNH HỌC MẶT CONG
1.2.1. Phương pháp biểu diễn mặt cong
1.2.1.1. Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn.

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc tọa độ Đề các.
Các điểm phía trong mặt cầu thỏa bất đẳng thức x 2  y 2  z 2  1  0 và
phương trình x 2  y 2  z 2  1  0
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.

(1.13)


9

Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g ( x, y, z )  0 biểu diễn mặt cong
giới hạn bởi hai nửa không gian g ( x, y, z )  0 và g ( x, y, z )  0 .

1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số
Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh
xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu
diễn bởi phương trình

r (u , v)  [x(u, v), y (u, v), z (u, v)] ,

(1.14)

trong đó u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hóa phương trình (1.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu
r (u , v )  (cos v cos u , cos v sin u , sin v ) ,

(1.15)

với 0  u  2 và  / 2  v   / 2. .
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hóa phương trình mặt cầu
dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng (x-y) của hệ tọa độ Descarte
(u  x, v  y ) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số

r (u, v)  (u, v, z (u, v)) hay z  z ( x, y ) .

(1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1.13) được
biểu diễn dưới dạng tường minh
z  (1  x 2  y 2 )1/ 2 với ( x 2  y 2 )  1 .

(1.17)


10

Hình học mặt cong được minh họa trên hình (1.3). Ta thường gọi phần mặt
cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các mặt lưới liên kết theo điều kiện
kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.

Hình 1.3. Hình học mặt cong
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong
Xét đường cong tham số 2D q(t) trên miền (u,v)của mặt cong tham số r(u,v)
hình (1.4)
q (t )  [u (t ), v (t )]T .

(1.18)

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho

r (t )  r (u (t ), v(t ))  ( x(u (t ), v(t ), y(u (t ), v(t )), z (u (t ), v(t ))) .
Trường hợp đặc biệt của (1.19) là đường cong đẳng tham số

v  v*, v(t )  t; u  u*, u (t )  t .

Hình 1.4. Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến

(1.19)

11

1.2.2.1.Vectơ tiếp tuyến
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau
ru   r /  u ; rv   r /  v ; ruv   2 r /  u  v

(1.20)

Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo t, ta có
r'

dr r dr r dv


 ru u ' rv v ',
dt u dt v dt

(1.21)

trong đó r’ là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ruvà rv là vectơ tiếp tuyến của
đường cong đẳng tham số u = u*, v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ruvà rvxác định
mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4).
1.2.2.2.Vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi

n  (ru  rv )/ | ru  rv | .

(1.22)

Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
1.2.2.3.Ma trận cơ sở thứ nhất
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận

r '  ru u ' rvv '  q ' ,

(1.23)

trong đó  | ru , rv |; q '  dq (t ) / dt  ( du / dt , dv / dt )  [u ' v ']T .
Giá trị vectơ tiếp tuyến được tính như sau

r
trong đó G  T    u
 ru rv

| r '2 | (r ')T (r ')  q 'T T q '  q 'T Gq ' ,

(1.24)

ru rv 
 là ma trận cơ sở thứ nhất.
rv 

(1.25)

Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau


12

T  r '/ | r ' | (q ') / (q 'T Gq ')1/2

(1.26)

Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích
mặt cắt theo công thức đơn giản sau
1/2

S   ru  rv dudv  | G | dudv .

(1.27)

1.2.3. Độ cong
1.2.3.1. Ma trận cơ sở thứ hai
Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4) từ (1.21), đạo hàm bậc
hai của r(t) theo t có giá trị như sau

r ''  u '(u ' ruu  v ' ruv )  u '' ru  v '(v ' rvv  u ' ruv )  v '' rv .

(1.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong
với chú ý rằng ru .n  rv .n  0 , ta có
r ''.n  (u ') 2 ruu n  2 u ' v ' ruv n  ( v ') 2 rvv n  q 'T Dq ' ,

 r .n
 u '
trong đó q '    và D   uu
v'

 ruv .n

(1.29a)

ruv .n 
 là ma trận cơ sở thứ hai.
rvv .n 

1.2.3.2. Độ cong pháp tuyến
Từ phương trình (1.12) đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau
r '' 

dr ' d ( s ' T )

 s '' T  s 'T '  s '' T  ( s ' kN ).
dt
dt

Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng T.n=0

r ''.n  ( s ') 2 kN .n,

(1.29b)

giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức
(1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’|, độ cong pháp tuyến được xác định bởi công
thức sau


13

kn  kN .n 

r ''.n q 'T Dq ' q 'T Dq '


.
( s ') 2
( s ')2
(q ')T Gq '

(1.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng  đi qua
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của
đường cong với mặt phẳng  là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo
phương vectơ q’.
1.2.3.3. Độ cong chính
Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’

q 'T Dq '
kn (q ') 
,
(q ')T Gq '
do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức

Kn
 2Dq ' 2knGq '  0 .
q '

(1.31)

Giá trị cực đại của bộ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được
xác định từ (1.30) như sau

kn1 

b  b2  ac 2
b  b 2  ac 2
; kn 2 
,
a
a

(1.32)

g h 
 d1 e 
g1d 2  g 2d1
trong đó a | G |  1
 eh,
 ; c | D | 
; b 
2
 h g2 
 e d2 

với g1 , g 2 , h, d1 , d 2 , e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D.
Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để

biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
1.3.CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ
Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.


14

1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D
Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ
độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ
lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay  ngược chiều quay kim đồng hồ (Hình 1.5c) được
xác định như sau
x’ = x + tx; y’ = y + ty ;

(1.33)

x’ = Sx.x; y’ = Sy.y ;

(1.34)

x’ =xcos  - ysin  ; y’ = xsin  + ycos 

(1.35)

Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D
Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và
thốngnhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. Theo
toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1)
chiều.

Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng
toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ
x = x’/h; y = y’/h; z = z’/h,

(1.36)

trong đó h  0 hệ số vô hướng.
Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đề các của điểm P được
nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy
tỷ lệ với hệ số h.


15

Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35)
dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến
đổi đồng nhất M
P’h= Ph M,

(1.37)

trong đó Ph = (x y 1); P’h= (x’ y’ 1).
Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ
lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau

1

T 0
 tx


a12
1
ty

0
 Sx


0 ; S   0
0
1 


0
Sy
0

0
 cos


0  ; R    sin 
 0
1 


sin 
cos 
0

0

0 .
1 

1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D
Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch
chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau
x’ = x + tx; y’ = y + ty; z’ = z + tz

(1.38)

x’ = sx.x; y’ = sy.y; z’ = sz.z(1.39)
Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ
độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S)
P’h = Ph T

(1.40a)

P’h = Ph S,(1.40b)
trong đó Ph = (x y z 1); P’h = (x’ y’ z’ 1) ;

1 0
0 1
T 
0 0


 tx t y

0 0
 sx

0
0 0
; S 
0
1 0


tz 1 
0

0
sy
0
0

0
0
sz
0

0
0 
.
0


1


16

Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D,
phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các
trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).
Phép quaycơ bản

X'

Y’

Z’

quanh trục x

x' = x

y’ = ycos  - zsin 

z’ = ysin  + zcos 

quanh trục y

x’ = zsin  + xcos 

y’ = y

z’ = zcos  + xsin 

quanh trục z

x’ = xcos  + ysin 

y’ = xsin  + ycos 

z’ = z

Bảng 1.1. Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ
Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có
giá trị như sau (C = cos ; S = sin )
1 0

0 C
R ( x,  )  
 0 S

0 0

C

S
R( z, )  
 0

 0

S

0
0
0

0
0
C
0

0

0
.
0

1

0
C


S 0
0
; R ( y , )  
S
C 0


0 1
0

0

0 S
1
0

0
C

0

0

0

0
;
0

1

(1.41)

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm
phépdịchchuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như
sau

 x ' y ' z ' 1   ( x y z 1) H ,

(1.42)

17

 r11 r12
r r
21
22
trong đó H  
 r31 r32

 tx t y

r13
r23
r33
tz

0 
0  

0 
 
1  

R
t

0


0
,
0

1

hay biểu diễn dưới dạng khác (x’ y’ z’)=(x y z)R + t.

(1.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu địnhnghĩa
các vectơ hàng của R

n  (r11 r12 r13 ); o  (r21 r22 r23 ); a  (r31 r32 r33 ),

(1.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của các vectơ đơn vị i,j,k và
thỏa điều kiện
n  o  a; o  a  n; a  n  o và n  o  a  1.

(1.45)

1.3.3. Phép ánh xạ
Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn
toànkhông có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều.
Trongphần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác
nhau. Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được
định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ
toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng

hình học so với cả 2 hệ toạ độ.Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ
toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế.
Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ
toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn
giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ
(chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước
khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối
với cấu trúc lắp ghép, khi mỗi đối tượng (chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theohệ
toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ thống chủ.


18

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ
hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (x, y, z), hãy xác
định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (x’, y’, z’), sao cho thoả điều kiện
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó
P: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (x, y, z),
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (x’, y’, z’),
H: Ma trận ánh xạ (1.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (x, y, z), so với
hệ toạ độ (x’, y’, z’).
1.3.4. Khung tọa độ
Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình
học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ
như sự thay đổi hệ tọa độ.
Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển
động (Hình 1.6).Cho ih, jhvà kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độtham
chiếuih= (1 0 0 1); jh= (0 1 0 1); kh= (0 0 1 1)

(1.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất
i’h= ihH = (1 0 0 1) H = (n 1),

(1.47a)

j’h= jhH= (0 1 0 1) H = (o 1),

(1.47b)

k’h= khH=(0 0 1 1) H = (a 1).(1.47c)
Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng
nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi theo (1.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự
P’h= (0 0 0 1) H = (txtytz1) = (t 1)

(1.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.
Như vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ toạ
độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống (hệ toạ độ cố định).