01 bài tập đại số 8

BÀI TẬP TOÁN 8

ĐẠI SỐ

ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC



Chương I. Phép nhân và phép chia các đa thức
I.
II.
III.
IV.

Nhân đơn thức với đa thức. Nhân đa thức với đa thức _1_
Hằng đẳng thức đáng nhớ _2_
Phân tích đa thức thành nhân tử _3_
Chia đa thức _6_
Bài tập ôn tập chương I _9_

Chương II. Phân thức đại số
I. Phân thức đại số _10_
II. Tính chất cơ bản của phân thức đại số _11_
III. Các phép toán về phân thức _13_
Bài tập ôn tập chương II _16_

Chương III. Phương trình bậc nhất một ẩn
I. Mở đầu về phương trình _19_
II. Phương trình bậc nhất một ẩn _20_
III. Giải bài toán bằng cách lập phương trình _25_
Bài tập ôn tập chương II _30_

Chương IV. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
I. Bất đẳng thức _32_
II. Bất phương trình bậc nhất một ẩn _40_
III. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối _42_
Bài tập ôn tập chương IV _43_
Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ
FB: www.facebook.com/VanLuc168


Đại số 8
----- oOo -----

CHƯƠNG I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

I. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Câu 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) ( x 2 –1)( x 2  2 x )

b) (2 x  1)(3 x  2)(3 – x )

c) ( x  3)( x 2  3 x – 5)

d) ( x  1)( x 2 – x  1)
e) (2 x 3  3x  1).(5x  2)
Câu 2. Thực hiện các phép tính sau:

f) ( x 2  2 x  3).( x  4)

a) 2 x 3 y(2 x 2 – 3y  5yz)

b) ( x – 2 y)( x 2 y 2  xy  2 y)

2 2
x y.(3 xy – x 2  y )
e) ( x – y )( x 2  xy  y 2 )
3
Câu 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

d)

2
xy( x 2 y – 5 x  10 y )
5
1

f)  xy –1 .( x 3 – 2 x – 6)
2


c)

a) ( x  y)( x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy3  y 4 )  x 5  y5
b) ( x  y)( x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy3  y 4 )  x 5  y5
c) (a  b)(a3  a2 b  ab2  b3 )  a 4  b4
d) (a  b)(a2  ab  b2 )  a3  b3
Câu 4. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
a) A  ( x  2)( x 4  2 x 3  4 x 2  8 x  16)

với x  3 .

b) B  ( x  1)( x 7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1)
c) C  ( x  1)( x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1)

với x  2 .

với x  2 .

d) D  2 x(10 x 2  5x  2)  5x (4 x 2  2 x  1)
với x  5 .
Câu 5. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
1
a) A  ( x 3  x 2 y  xy 2  y3 )( x  y) với x  2, y   .
2
b) B  (a  b)(a 4  a3b  a2b2  ab3  b4 )

ĐS: A  211
ĐS: B  255
ĐS: C  129
ĐS: D  5
ĐS: A 

255
16

với a  3, b  2 .

ĐS: B  275
1

1
3
c) C  ( x 2  2 xy  2 y 2 )( x 2  y 2 )  2 x 3 y  3 x 2 y 2  2 xy3 với x   , y   . ĐS: C 
2
2
16
Câu 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A  (3 x  7)(2 x  3)  (3 x  5)(2 x  11)
b) B  ( x 2  2)( x 2  x  1)  x( x 3  x 2  3x  2)
c) C  x ( x 3  x 2  3x  2)  ( x 2  2)( x 2  x  1)
d) D  x(2 x  1)  x 2 ( x  2)  x 3  x  3
e) E  ( x  1)( x 2  x  1)  ( x  1)( x 2  x  1)
www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

1


Đại số 8
Câu 7. * Tính giá trị của đa thức:
a) P( x )  x 7  80 x 6  80 x 5  80 x 4  ...  80 x  15

ĐS: P(79)  94

với x  79

b) Q( x )  x14  10 x13  10 x12  10 x11  ...  10 x 2  10 x  10

ĐS: Q(9)  1

với x  9

c) R( x )  x 4  17 x 3  17 x 2  17 x  20 với x  16

ĐS: R(16)  4

d) S( x )  x10  13x 9  13 x 8  13x 7  ...  13 x 2  13 x  10

ĐS: S(12)  2

với x  12

II. HẰNG ĐẲNG THỨC
Câu 8.

Điền vào chỗ trống cho thích hợp:

2

a) x  4 x  4  ..........

b) x 2   8 x  16  ..........

d) x 3  12 x 2  48 x  64  ......

e) x 3  6 x 2  12 x  8  ...... f) ( x  2)( x 2  2 x  4)  ......

g) ( x  3)( x 2  3 x  9)  .......

h) x 2  2 x  1  ......

i) x 2 –1  ......

k) x 2  6 x  9  .......

l) 4 x 2 – 9  .......

m) 16 x 2 –8 x  1  ......

o) 36 x 2  36 x  9  ........

p) x 3  27  ....

b) (5 x – y )2

c) (2 x  y 2 )3

n) 9 x 2  6 x  1  .......
Câu 9. Thực hiện phép tính:
a) (2 x  3y )2
2

d)  x 2 
5


2


y  . x2 
5



y


g) (3x 2 – 2 y )3

1

e)  x  
4


c) ( x  5)( x  5)  ...........

2

1
2
f)  x 2 
2
3

h) ( x  3y)( x 2  3 xy  9 y 2 )



y


3

i) ( x 2  3).( x 4  3x 2  9)

k) ( x  2 y  z)( x  2 y – z)
l) (2 x –1)(4 x 2  2 x  1)
m) (5  3x )3
Câu 10. Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
a) A  x 3  3x 2  3 x  6 với x  19
b) B  x 3  3 x 2  3 x với x  11
ĐS: a) A  8005
b) B  1001 .
Câu 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) (2 x  3)(4 x 2  6 x  9)  2(4 x 3  1)

b) (4 x  1)3  (4 x  3)(16 x 2  3)

c) 2( x 3  y3 )  3( x 2  y2 ) với x  y  1

d) ( x  1)3  ( x  1)3  6( x  1)( x  1)

e)

( x  5)2  ( x  5)2

f)

x 2  25
ĐS: a) 29
b) 8
c) –1
Câu 12. Giải các phương trình sau:

(2 x  5)2  (5 x  2)2

d) 8

a) ( x  1)3  (2  x )(4  2 x  x 2 )  3 x( x  2)  17

x2  1
e) 2

f) 29

b) ( x  2)( x 2  2 x  4)  x ( x 2  2)  15

c) ( x  3)3  ( x  3)( x 2  3 x  9)  9( x  1)2  15
d) x ( x  5)( x  5)  ( x  2)( x 2  2 x  4)  3
10
7
2
11
ĐS: a) x 
b) x 
c) x 
d) x  
9

2
15
25
Câu 13. So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
a) A  1999.2001 và B  20002

b) A  216 và B  (2  1)(22  1)(24  1)(28  1)

c) A  2011.2013 và B  20122

d) A  4(32  1)(34  1)...(364  1) và B  3128  1

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

2


Đại số 8
Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A  5x – x 2

b) B  x – x 2

c) C  4 x – x 2  3

d) D  –x 2  6 x  11

e) E  5  8 x  x 2
Câu 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

f) F  4 x  x 2  1

a) A  x 2 – 6 x  11

b) B  x 2 – 20 x  101

c) C  x 2  6 x  11

d) D  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)

e) E  x 2  2 x  y 2  4 y  8

f) x 2  4 x  y 2  8y  6

g) G  x 2 – 4 xy  5y 2  10 x – 22 y  28
HD: g) G  ( x  2 y  5)2  ( y  1)2  2  2
Câu 16. Cho a  b  S và ab  P . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây:
a)

A  a2  b 2

b) B  a3  b3

c) C  a4  b 4

III. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
VẤN ĐỀ I. Phương pháp đặt nhân tử chung

Câu 17. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4 x 2  6 x

c) x 3  2 x 2  5 x

b) 9 x 4 y3  3 x 2 y 4

d) 3 x ( x  1)  5( x  1)
e) 2 x 2 ( x  1)  4( x  1)
Câu 18. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

f) 3 x  6 xy  9 xz

a) 2 x 2 y  4 xy 2  6 xy

b) 4 x 3 y 2  8x 2 y3  2 x 4 y

c) 9 x 2 y3  3 x 4 y 2  6 x 3 y 2  18 xy 4
5
3
e) a3 x 2 y  a3 x 4  a 4 x 2 y
2
2

d) 7 x 2 y 2  21xy 2 z  7 xyz  14 xy

VẤN ĐỀ II. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Câu 19. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 3  2 x 2  2 x  1 3

b) x 2 y  xy  x  1

d) x 2  (a  b) x  ab
e) x 2 y  xy 2  x  y
Câu 20. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ax  2 x  a2  2a

b) x 2  x  ax  a

d) 2 xy  ax  x 2  2ay
e) x 3  ax 2  x  a
Câu 21. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2  2 x  4 y 2  4 y

b) x 4  2 x 3  4 x  4

c) ax  by  ay  bx
f) ax 2  ay  bx 2  by
c) 2 x 2  4ax  x  2a
f) x 2 y 2  y3  zx 2  yz
c) x 3  2 x 2 y  x  2 y

d) 3 x 2  3y 2  2( x  y )2
e) x 3  4 x 2  9 x  36
f) x 2  y 2  2 x  2 y
Câu 22. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ( x  3)( x  1)  3( x  3)
b) ( x  1)(2 x  1)  3( x  1)( x  2)(2 x  1)
www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

3


Đại số 8
c) (6 x  3)  (2 x  5)(2 x  1)
d) ( x  5)2  ( x  5)( x  5)  (5  x )(2 x  1)
e) (3 x  2)(4 x  3)  (2  3 x )( x  1)  2(3 x  2)( x  1)
Câu 23. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (a  b)(a  2b)  (b  a)(2a  b)  (a  b)(a  3b)

b) 5 xy3  2 xyz  15y 2  6 z

c) ( x  y )(2 x  y )  (2 x  y )(3 x  y )  ( y  2 x )

d) ab3c2  a2b2c2  ab2c3  a2bc3

e) x 2 ( y  z)  y 2 (z  x )  z2 ( x  y )
VẤN ĐỀ III. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Câu 24. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4 x 2  12 x  9

b) 4 x 2  4 x  1

d) 9 x 2  24 xy  16 y 2

e)

x2
 2 xy  4 y 2
4

g) 16a4b6  24a5b5  9a6b4
h) 25x 2  20 xy  4 y 2
Câu 25. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

c) 1  12 x  36 x 2
f)  x 2  10 x  25
i) 25x 4  10 x 2 y  y 2

a) (3x  1)2  16

b) (5 x  4)2  49 x 2

c) (2 x  5)2  ( x  9)2

d) (3x  1)2  4( x  2)2

e) 9(2 x  3)2  4( x  1)2

f) 4b2c2  (b2  c2  a2 )2

g) (ax  by)2  (ay  bx )2

h) (a2  b2  5)2  4(ab  2)2

i) (4 x 2  3x  18)2  (4 x 2  3x )2

k) 9( x  y  1)2  4(2 x  3y  1)2

l) 4 x 2  12 xy  9 y 2  25
m) x 2  2 xy  y 2  4m2  4mn  n2
Câu 26. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 8 x 3  64

b) 1  8 x 6 y3

y3
8
Câu 27. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
d) 8x 3  27

e) 27 x 3 

c) 125 x 3  1
f) 125 x 3  27 y3

a) x 3  6 x 2  12 x  8
b) x 3  3x 2  3x  1
c) 1  9 x  27 x 2  27 x 3
3
3
1
d) x 3  x 2  x 
e) 27 x 3  54 x 2 y  36 xy 2  8y3
2
4

8
Câu 28. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2  4 x 2 y 2  y 2  2 xy

b) x 6  y 6

c) 25  a2  2ab  b2

d) 4b2c2  (b2  c2  a2 )2
e) (a  b  c)2  (a  b  c)2  4c2
Câu 29. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ( x 2  25)2  ( x  5)2

b) (4 x 2  25)2  9(2 x  5)2

c) 4(2 x  3)2  9(4 x 2  9)2

d) a6  a4  2a3  2a2
e) (3x 2  3 x  2)2  (3x 2  3 x  2)2
Câu 30. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ( xy  1)2  ( x  y)2

b) ( x  y)3  ( x  y)3

c) 3 x 4 y 2  3 x 3 y 2  3 xy 2  3y 2

d) 4( x 2  y 2 )  8( x  ay)  4(a2  1) e) ( x  y)3  1  3xy( x  y  1)
Câu 31. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 3  1  5x 2  5  3x  3

www.facebook.com/VanLuc168

b) a5  a 4  a3  a2  a  1

VanLucNN

c) x 3  3x 2  3 x  1  y3

www.TOANTUYENSINH.com

4


Đại số 8
d) 5 x 3  3 x 2 y  45 xy 2  27 y3

e) 3x 2 (a  b  c)  36 xy(a  b  c)  108y 2 (a  b  c)

VẤN ĐỀ IV. Một số phương pháp khác
Câu 32. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) x 2  5x  6

b) 3 x 2  9 x  30

c) x 2  3 x  2

d) x 2  9 x  18

e) x 2  6 x  8

f) x 2  5 x  14

g) x 2  6 x  5
h) x 2  7 x  12
i) x 2  7 x  10
Câu 33. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) 3 x 2  5 x  2

b) 2 x 2  x  6

c) 7 x 2  50 x  7

d) 12 x 2  7 x  12

e) 15 x 2  7 x  2

f) a2  5a  14

g) 2m 2  10m  8
h) 4 p2  36 p  56
i) 2 x 2  5x  2
Câu 34. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) x 2  4 xy  21y2

b) 5x 2  6 xy  y 2

c) x 2  2 xy  15y 2

d) ( x  y)2  4( x  y)  12
e) x 2  7 xy  10 y 2

f) x 2 yz  5 xyz  14 yz
Câu 35. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) a 4  a2  1

b) a 4  a2  2

c) x 4  4 x 2  5

d) x 3  19 x  30
e) x 3  7 x  6
f) x 3  5 x 2  14 x
Câu 36. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử)
a) x 4  4

b) x 4  64

c) x 8  x 7  1

d) x 8  x 4  1

e) x 5  x  1

f) x 3  x 2  4

g) x 4  2 x 2  24
h) x 3  2 x  4
HD: Số hạng cần thêm bớt:
a) 4 x 2

b) 16 x 2

c) x 2  x

i) a 4  4b 4
d) x 2

e) x 2

f) x 2

g) 4 x 2
h) 2 x 2  2 x i) 4a2b2
Câu 37. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
a) ( x 2  x )2  14( x 2  x )  24

b) ( x 2  x )2  4 x 2  4 x  12

c) x 4  2 x 3  5x 2  4 x  12
d) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  1
e) ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  15
f) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24
Câu 38. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
a) ( x 2  4 x  8)2  3x ( x 2  4 x  8)  2 x 2

b) ( x 2  x  1)( x 2  x  2)  12

c) ( x 2  8x  7)( x 2  8x  15)  15

d) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

VẤN ĐỀ V. Tổng hợp
Câu 39. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2  4 x  3

b) 16 x  5 x 2  3

c) 2 x 2  7 x  5

d) 2 x 2  3x  5

e) x 3  3x 2  1  3 x

f) x 2  4 x  5

g) (a2  1)2  4a2

h) x 3  3x 2 – 4 x  12

i) x 4  x 3  x  1

k) x 4 – x 3 – x 2  1

l) (2 x  1)2 – ( x –1)2

m) x 4  4 x 2 – 5

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

5


Đại số 8
Câu 40. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)  x  y 2  x 2  y

b) x( x  y)  5 x  5y

c) x 2  5x  5y  y 2

d) 5 x 3  5 x 2 y  10 x 2  10 xy

e) 27 x 3  8y3

f) x 2 – y 2 – x – y

g) x 2  y 2  2 xy  y 2 

h) x 2  y 2  4  4 x

i) x 6  y 6

k) x 3  3x 2  3 x  1 – 27z3
l) 4 x 2  4 x – 9 y 2  1
Câu 41. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

m) x 2 –3 x  xy –3y

a) 5x 2  10 xy  5y 2  20 z2

b) x 2  z2  y 2  2 xy

c) a3  ay  a2 x  xy

d) x 2  2 xy  4 z2  y 2

e) 3x 2  6 xy  3y 2  12z2

f) x 2  6 xy  25z2  9 y 2

g) x 2  y2  2 yz  z2

h) x 2 – 2 xy  y 2 – xz  yz

i) x 2 – 2 xy  tx – 2ty

k) 2 xy  3z  6 y  xz
l) x 2  2 xz  2 xy  4 yz
Câu 42. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

m) ( x  y  z)3 – x 3 – y3 – z3

a) x 3  x 2 z  y 2 z  xyz  y3

b) bc(b  c)  ca(c  a)  ab(a  b)

c) a2 (b  c)  b2 (c  a)  c2 (a  b)

d) a6  a4  2a3  2a2

e) x 9  x 7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  1

f) ( x  y  z)3  x 3  y3  z3

g) (a  b  c)3  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3
Câu 43. Giải các phương trình sau:

h) x 3  y3  z3  3 xyz

a) ( x  2)2 – ( x –3)( x  3)  6

b) ( x  3)2  (4  x )(4 – x )  10

c) ( x  4)2  (1 – x )(1  x )  7

d) ( x – 4)2 – ( x – 2)( x  2)  6

e) 4( x – 3)2 – (2 x –1)(2 x  1)  10

f) 25( x  3)2  (1 – 5x )(1  5 x )  8

g) 9( x  1)2 – (3 x – 2)(3 x  2)  10
Câu 44. Chứng minh rằng:

h) 4( x –1)2  (2 x –1)(2 x  1)  3

a) a2 (a  1)  2a(a  1) chia hết cho 6 với a  Z .

b) a(2a  3)  2a(a  1) chia hết cho 5 với a  Z .
c) x 2  2 x  2  0 với x  Z .
d)  x 2  4 x  5  0 với x  Z .

IV. CHIA ĐA THỨC
VẤN ĐỀ I. Chia đa thức cho đơn thức
Câu 45. Thực hiện phép tính:
a) (2)5 : (2)3
d) (2 x 6 ) : (2 x )3
Câu 46. Thực hiện phép tính:
a) ( x  2)9 : ( x  2)6

www.facebook.com/VanLuc168

b) ( y)7 : ( y)3

c) x12 : ( x10 )

e) (3 x )5 : (3x )2

f) ( xy 2 )4 : ( xy 2 )2

b) ( x  y)4 : ( x  2)3

c) ( x 2  2 x  4)5 : ( x 2  2 x  4)

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

6


Đại số 8
1
d) 2( x 2  1)3 : ( x 2  1)
3
Câu 47. Thực hiện phép tính:

5
e) 5( x  y )5 : ( x  y )2
6

a) 6 xy 2 : 3y

b) 6 x 2 y3 : 2 xy 2

c) 8 x 2 y : 2 xy

d) 5 x 2 y 5 : xy3

e) (4 x 4 y3 ) : 2 x 2 y

f) xy3z4 : (2 xz3 )

h) 9 x 2 y 4 z :12 xy3

i) (2 x 3 y )(3xy2 ) : 2 x 3y 2

g)

k)

3 3 3  1 2 2
x y : x y 
4
 2


(3a2 b)3 (ab3 )2

( a 2 b 2 )4
Câu 48. Thực hiện phép tính:
a) (2 x 3  x 2  5x ) : x

l)

(2 xy 2 )3 (3 x 2 y)2
(2 x 3 y 2 )2

b) (3x 4  2 x 3  x 2 ) : (2 x )
 1 

d) ( x 3 – 2 x 2 y  3 xy 2 ) :   x 
2




c) (2 x 5  3x 2 – 4 x 3 ) : 2 x 2

e) 3( x  y)5  2( x  y)4  3( x  y)2  : 5( x  y )2

Câu 49. Thực hiện phép tính:
a) (3x 5 y 2  4 x 3 y3  5 x 2 y 4 ) : 2 x 2 y 2

3
 3
3
9
b)  a6 x 3  a3 x 4  ax 5  : ax 3
7
10
5
 5

c) (9 x 2 y3  15 x 4 y 4 ) : 3 x 2 y  (2  3 x 2 y )y 2

d) (6 x 2  xy ) : x  (2 x 3 y  3 xy 2 ) : xy  (2 x  1) x
3
e) ( x 2  xy ) : x  (6 x 2 y 5  9 x 3 y 4  15 x 4 y 2 ) : x 2 y 3
2
VẤN ĐỀ II. Chia đa thức cho đa thức
Câu 50. Thực hiện phép tính:
a) ( x 3 – 3x 2 ) : ( x –3)

b) (2 x 2  2 x  4) : ( x  2)

c) ( x 4 – x –14) : ( x – 2)

d) ( x 3  3x 2  x  3) : ( x  3)

e) ( x 3  x 2 –12) : ( x – 2)

f) (2 x 3  5x 2  6 x –15) : (2 x – 5)

g) (3 x 3  5 x 2  9 x  15) : (5  3 x )
Câu 51. Thực hiện phép tính:

h) ( x 2  6 x 3  26 x  21) : (2 x  3)

a) (2 x 4  5 x 2  x 3  3  3 x ) : ( x 2  3)

b) ( x 5  x 3  x 2  1) : ( x 3  1)

c) (2 x 3  5 x 2 – 2 x  3) : (2 x 2 – x  1)

d) (8x  8x 3  10 x 2  3x 4  5) : (3 x 2  2 x  1)

e) ( x 3  2 x 4  4  x 2  7 x ) : ( x 2  x  1)
Câu 52. Thực hiện phép tính:
a) (5 x 2  9 xy  2 y 2 ) : ( x  2 y )

b) ( x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy3 ) : ( x 2  y 2 )

c) (4 x 5  3 xy 4  y 5  2 x 4 y  6 x 3 y 2 ) : (2 x 3  y3  2 xy 2 )
Câu 53. Thực hiện phép tính:

d) (2a3  7ab2  7a2 b  2b3 ) : (2a  b)

a) (2 x  4 y )2 : ( x  2 y )  (9 x 3  12 x 2  3 x ) : (3x )  3( x 2  3)

b) (13x 2 y 2  5 x 4  6 y 4  13x 3 y  13 xy3 ) : (2 y 2  x 2  3xy)
Câu 54. Tìm a, b để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) , với:
a) f ( x )  x 4  9 x 3  21x 2  ax  b , g( x )  x 2  x  2
www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

7


Đại số 8
b) f ( x )  x 4  x 3  6 x 2  x  a , g( x )  x 2  x  5
c) f ( x )  3 x 3  10 x 2  5  a , g( x )  3 x  1
d) f ( x )  x 3 – 3x  a , g( x )  ( x –1)2
ĐS: a) a  1, b  30
Câu 55. Thực hiện phép chia f ( x ) cho g( x ) để tìm thương và dư:
a) f ( x )  4 x 3  3x 2  1 , g( x )  x 2  2 x  1
b) f ( x )  2  4 x  3 x 4  7 x 2  5 x 3 , g( x )  1  x 2  x
c) f ( x )  19 x 2  11x 3  9  20 x  2 x 4 , g( x )  1  x 2  4 x
d) f ( x )  3 x 4 y  x 5  3x 3 y 2  x 2 y3  x 2 y 2  2 xy3  y 4 , g( x )  x 3  x 2 y  y 2
VẤN ĐỀ III. Tìm đa thức bằng phương pháp hệ số bất định
Câu 56. Cho biết đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) . Tìm đa thức thương:
a) f ( x )  x 3  5x 2  11x  10 , g( x )  x  2

ĐS: q( x )  x 2  3 x  5

b) f ( x )  3 x 3  7 x 2  4 x  4 , g( x )  x  2

ĐS: q( x )  3 x 2  x  2

Câu 57. Phân tích đa thức P( x )  x 4  x 3  2 x  4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có
dạng: x 2  dx  2 .
ĐS: P( x )  ( x 2  x  2)( x 2  2) .
Câu 58. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x 3  ax 2  2 x  b chia hết cho đa thức
x2  x  1 .

ĐS: a  2, b  1 .
Câu 59. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 3  x 2  14 x  24

b) x 3  4 x 2  4 x  3

c) x 3  7 x  6

d) x 3  19 x  30
e) a3  6a2  11a  6
Câu 60. Tìm các giá trị a, b, k để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) :
a) f ( x )  x 4  9 x 3  21x 2  x  k , g( x )  x 2  x  2 .

ĐS: k  30 .

b) f ( x )  x 4  3x 3  3 x 2  ax  b , g( x )  x 2  3x  4 .

ĐS: a  3, b  4 .
3

Câu 61. Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức f (k )  k  2k 2  15 chia hết cho nhị thức
g(k )  k  3 .

ĐS: k  0, k  3 .
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
Thảo luận bài tập và tham khảo tài liệu trên:
www.facebook.com/VanLuc168
Facebook
www.TOANTUYENSINH.com
Website
www.facebook.com/toantuyensinh
FB-Page
www.facebook.com/groups/ toantuyensinh
FB-Groups

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

8


Đại số 8

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Câu 62. Thực hiện phép tính:
a) (3x 3  2 x 2  x  2).(5x 2 )

b) (a2 x 3  5 x  3a).(2a3 x )

c) (3x 2  5 x  2)(2 x 2  4 x  3)

Câu 63. Rút gọn các biểu thức sau:

d) (a4  a3b  a2b2  ab3  b 4 )(a  b)

a) (a2  a  1)(a2  a  1)

b) (a  2)(a  2)(a2  2a  4)(a2  2a  4)

c) (2  3y )2  (2 x  3y)2  12 xy
d) ( x  1)3  ( x  1)3  ( x 3  1)  ( x  1)( x 2  x  1)
Câu 64. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x:
a) ( x  1)3  ( x  1)3  6( x  1)( x  1)

b) ( x  1)( x 2  x  1)  ( x  1)( x 2  x  1)

c) ( x  2)2  ( x  3)( x  1)

d) ( x  1)( x 2  x  1)  ( x  1)( x 2  x  1)

e) ( x  1)3  ( x  1)3  6( x  1)( x  1)
f) ( x  3)2  ( x  3)2  12 x
Câu 65. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A  a3  3a2  3a  4 với a  11
b) B  2( x 3  y3 )  3( x 2  y 2 ) với x  y  1
Câu 66. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 1  2 xy  x 2  y 2

b) a2  b2  c2  d 2  2ab  2cd

c) a3b3  1

d) x 2  15 x  36

e) x 2 ( y  z)  y 2 (z  x )  z2 ( x  y )

f) x 8  64 x 2

g) x12  3 x 6 y 6  2 y12
h) ( x 2  8)2  784
Câu 67. Thực hiện phép chia các đa thức sau: (đặt phép chia vào bài)
a) (35 x 3  41x 2  13x  5) : (5 x  2)

b) ( x 4  6 x 3  16 x 2  22 x  15) : ( x 2  2 x  3)

c) ( x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy3 ) : ( x 2  y 2 )
d) (4 x 4  14 x 3y  24 x 2 y 2  54 y 4 ) : ( x 2  3 xy  9 y 2 )
Câu 68. Thực hiện phép chia các đa thức sau:
a) (3x 4  8x 3  10 x 2  8 x  5) : (3 x 2  2 x  1)

b) (2 x 3  9 x 2  19 x  15) : ( x 2  3 x  5)

c) (15x 4  x 3  x 2  41x  70) : (3x 2  2 x  7)
d) (6 x 5  3x 4 y  2 x 3 y 2  4 x 2 y3  5xy 4  2 y5 ) : (3 x 3  2 xy 2  y3 )
Câu 69. Giải các phương trình sau:
a) x 3  16 x  0

b) 2 x 3  50 x  0

c) x 3  4 x 2  9 x  36  0

d) 5 x 2  4( x 2  2 x  1)  5  0

e) ( x 2  9)2  ( x  3)2  0

f) x 3  3 x  2  0

g) (2 x  3)( x  1)  (4 x 3  6 x 2  6 x ) : (2 x )  18
Câu 70. Chứng minh rằng:
a) a2  2a  b2  1  0 với mọi giá trị của a và b.
b) x 2  y 2  2 xy  4  0 với mọi giá trị của x và y.
c) ( x  3)( x  5)  2  0 với mọi giá trị của x.
Câu 71. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) x 2  x  1

b) 2  x  x 2

c) x 2  4 x  1

d) 4 x 2  4 x  11
g) h(h  1)(h  2)(h  3)

e) 3 x 2  6 x  1

f) x 2  2 x  y2  4 y  6

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

9


Đại số 8
----- oOo -----

CHƯƠNG II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa
Câu 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức:
2x  1
x2  4
x2  4
a)
b)
c)
x 2  4x  4
9 x 2  16
x2 1
2
2x  1
x2  5x  6
e)
f)
g)
( x  1)( x  3)
x2  5x  6
x2  1

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức:
a)

1
2

x y

2

b)

x2y  2x

c)

2

x  2x  1

d)

5x  y

d)

2

x  6 x  10

5x  3
2x 2  x

xy
( x  3)2  ( y  2)2

VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0
Câu 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
a)
d)

2x 1
5 x  10

( x  1)( x  2)

b)
e)

x2  x
2x

c)

( x  1)( x  2)

f)

2x  3
4x  5

x2  1

x2  4x  3
x2  4x  3
x2  2x  1
Câu 4. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:

a)

x2  4
x 2  3 x  10

b)

x 3  16 x
x 3  3x 2  4 x

c)

x3  x 2  x  1
x3  2x  3

VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa
Câu 5. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
3x  5
3
5x  1
a)
b)

c)
2
2
2
x 1
x  2x  4
( x  1)  2
d)

x2  4

e)

x5

x2  x  7
x2  4x  5
Câu 6. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
xy
4
a)
b)
2
2
2
2
x  2y  1
x  y  2x  2
www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

10


Đại số 8

II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau
Câu 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

3y 6 xy

( x  0)
4
8x

b)

3 x 2 3 x 2

( y  0)
2y
2 y

2 xy 8 xy 2
1 x x 1


(a  0, y  0)
d)
e)

( y  2)
2y y2
3a 12ay
Câu 8. Chứng minh các đẳng thức sau:

c)

2( x  y ) 2

( x  y)
3( y  x ) 3

f)

2a 2a

(b  0)
5b 5b

x 2
23  x 3

( x  0)
x
x( x 2  2 x  4)

3x
3 x(x  y )
b)

( x   y)
xy
y2  x 2
a)

x  y 3a( x  y)2
c)

(a  0, x   y )
3a
9a2 ( x  y )
x2

1
x 3
x  5x  6
Câu 10. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp
sau:
i) x  N
ii) x  Z
iii) x  Q
(2 x  1)( x  2)
x 2
, B
A
3

3(2 x  1)
Câu 11. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường
hợp sau:
i) x  N
ii) x  Z
iii) x  Q
( x  1)( x  2)
( x  1)(3 x  2)
x 1
A
, B
,C
5( x  2)
5(3 x  2)
5

Câu 9. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau:

2

và

VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức
Câu 12. Rút gọn các phân thức sau:
4 xy
5x
b)
( y  0)
2y
10

2 x  2y
5 x  5y
d)
e)
( x  y)
3 x  3y
4
Câu 13. Rút gọn các phân thức sau:

a)

a)

x 2  16
4 x  x2

( x  0, x  4)

www.facebook.com/VanLuc168

21x 2 y3
( xy  0)
6 xy
15 x ( x  y )
f)
( x  y)
3( y  x )

c)

x2  4 x  3
( x  3)
b)
2x  6

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

11


Đại số 8
c)

15x ( x  y )3

e)

2

5 y( x  y )

2 x  2 y  5 x  5y
( x   y)
2 x  2 y  5 x  5y

g)
i)

( y  ( x  y )  0)

2ax 2  4ax  2a
5b  5bx 2

(b  0, x  1)

( x  y )2  z2
( x  y  z  0)
xyz

d)
f)
h)
k)

5( x  y )  3( y  x )
( x  y)
10( x  y )

x 2  xy
3 xy  3y 2

( x  y, y  0)

4 x 2  4 xy
5x3  5x 2 y

( x  0, x  y )

x 6  2 x 3 y3  y 6

x 7  xy 6
Câu 14. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
(2 x 2  2 x )( x  2)2

a) A 

1
với x 
2

( x 3  4 x )( x  1)
Câu 15. Rút gọn các phân thức sau:

b) B 

x 3  x 2 y  xy 2
x 3  y3

(a  b)2  c2
a2  b2  c2  2ab
b)
abc
a2  b2  c 2  2ac
Câu 16. Rút gọn các phân thức sau:
a)

a)
c)

e)

a3  b3  c3  3abc
a2  b2  c2  ab  bc  ca

x 3  y 3  z3  3 xyz
( x  y )2  ( y  z)2  ( z  x )2
a2 (b  c)  b2 (c  a)  c 2 (a  b)

ab2  ac2  b3  bc2
Câu 17. Tìm giá trị của biến x để:
1
a) P 
đạt giá trị lớn nhất
2
x  2x  6

b) Q 

x2  x  1
2

b)
d)
f)

( x  0, x   y )

c)

với x  5, y  10

2 x 3  7 x 2  12 x  45
3 x 3  19 x 2  33 x  9

x 3  y3  z3  3 xyz
( x  y)2  ( y  z)2  (z  x )2
a2 (b  c)  b2 (c  a)  c2 (a  b)
a4 (b2  c 2 )  b 4 (c 2  a2 )  c 4 (a2  b2 )
x 24  x 20  x16  ...  x 4  1
x 26  x 24  x 22  ...  x 2  1

đạt giá trị nhỏ nhất

ĐS: max P 

1
khi x  1
5

ĐS: min Q 

3
khi x  1
4

x  2x  1
Câu 18. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:

a)

( x 2  a)(1  a)  a2 x 2  1
( x 2  a)(1  a)  a2 x 2  1

b)


3 xy  3 x  2 y  2 9 x 2  1 
1

 x  , y  1
y 1
3x  1 
3


c)

ax 2  a axy  ax  ay  a

( x  1, y  1)
x 1
y 1

d)

( x  a)2  x 2
2x  a

e)

x2  y2
( x  y )(ay  ax )

f)

2ax  2 x  3y  3ay
4ax  6 x  9 y  6ay

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

12


Đại số 8

III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC
VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức
Câu 19. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
1 3
x xy
xy y
,
,
a)
b)

c)
,
4x 6y
16 20
8 15
x y
xy yz zx
xy yz xz
, ,
d)
e)
f)
,
,
,
2y 2x
2z 3x 4 y
8 12 24
Câu 20. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
z
2a
y
5
4
7
x
y
x
a)
,

,
b)
,
,
c)
,
,
2
2
2
2 x  4 3 x  9 50  25 x
4  2a 4  2a 4  a
b 2a  2b a  b2
x2
1
2
3
,
e)
,
2
2
2
2x  6 x  6x  9
x  2x  1 x  2x
Câu 21. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
x
x2
1
a)

,
,
2
2
2 x  7 x  15 x  3 x  10 x  5
1
1
1
b)
,
,
2
2
2
 x  3x  2 x  5 x  6  x  4 x  3
3
2x
x
c)
,
,
3
2
x 1 x  x 1 x 1
x
y
z
d)
,
,

2
2
2
2
2
2
2
x  2 xy  y  z x  2 yz  y  z x  2 xz  y 2  z2

d)

f)

x4  1
2

x 1

, x2  1

VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức
Câu 22. Thực hiện phép tính:
x  5 1 x

a)
5
5

d)

5 xy 2  x 2 y 4 xy 2  x 2 y

3 xy
3 xy

x2  x 1  4x

c)
xy
xy

x  y 2y

b)
8
8

e)

x  1 x 1 x  3


ab ab ab

f)

b)

3x 2 x  1 2  x



10
15
20

c)

5 xy  4 y
2

2x y

3



3 xy  4 y
2 x2 y3

2 x 2  xy xy  y 2 2 y 2  x 2


xy
yx
xy
Câu 23. Thực hiện phép tính:

g)

a)

d)

2x  4 2  x

10
15

1  2x
2x
1


2x
2x  1 2x  4x 2

www.facebook.com/VanLuc168

e)

x
xy  y

2



2x  y
xy  x

VanLucNN

2

f)

x 1
x2  3

2x  2 2  2x2
x2
2

x  4x



6
1

6  3x x  2

www.TOANTUYENSINH.com

13


Đại số 8
2 x 2  10 xy 5y  x x  2 y



g)
2 xy
y
x

2
1
3 x
h)


2
x  y x  y x  y2

Câu 24. Thực hiện phép tính:
2x
y
4
a)

 2
2
2
x  2 xy xy  2 y
x  4 y2
2x  y

c)



16 x
2

2



1
3 xy
xy


3
3
2
xy y x
x  xy  y 2
1
1
2
4
8
16
d)






2
4
8
1 x 1 x 1 x
1 x
1  x 1  x16
b)

2x  y

2 x  xy y  4 x
2 x 2  xy
Câu 25. Thực hiện phép tính:
a)

2

1  3x x  3

2
2

b)

2( x  y)( x  y) 2 y 2

x
x

c)

4x 1 7x 1
xy
x2  1
d)
e)


2x  y y  2x
3x2 y
3x2 y
Câu 26. Thực hiện phép tính:
x3
x
9
4 x  1 3x  2

a)
b)


x
x  3 x 2  3x
2
3
1
4
10 x  8
3
2x  1 2

d)
e)




2
2
3x  2 3 x  2 9 x  4
2x  2x x2  1 x
g)

4a2  3a  5
3

a 1



1  2a

6
2
a  a 1 a 1


h)

5 x 2  y2 3x  2 y


xy
y

c)

3x  1 2 x  3

xy
xy

x3

x  9y
2

x  9y

2

m) x 2  1 

2

1



x2  1 x2  x
3x
x

f)

5 x  5y 10 x  10 y

i)

3x  2
6
3x  2
3
x6
 2
 2
l)

2x  6 2x2  6x
x  2x  1 x 1 x  2x  1
5
10
15
n)


2
3
a  1 a  (a  1) a  1

k)

x 2  y2

i) x  y 
xy



3y
2

x  3 xy

4

x 1
x2  1

Câu 27. Thực hiện phép tính:
a)

1 6x
.
x y

b)

2x2 y
.
d)
x  y 5x 3

g)

x2  9y2

.

3 xy
2 x  6y

2x2
.3 xy2
y

c)

5 x  10 4  2 x
.
e)
4x  8 x  2

h)

x2 y2
Câu 28. Thực hiện phép tính:

3 x 2  3y 2 15 x 2 y
.
5 xy
2y  2 x

a)

2x 5
:
3 6 x2

 18 x 2 y 5 
b) 16 x 2 y 2 :  

5 


d)

x2  y2 x  y
:
3 xy
6x2y

e)

1  4x2 2  4x
g) 2
:
x  4 x 3x
4 x  24
x 2  36
k)
: 2
5x  5 x  2 x  1

www.facebook.com/VanLuc168

a2  ab
ab
:
b  a 2a2  2b2

5 x  15
x 2 9
h)
:
4x  4 x 2  2x  1
3x  21 x 2  49
l)
:
5x  5 x 2  2x  1

VanLucNN

15 x 2 y 2
.
7 y3 x2

x 2  36 3
f)
.
2 x  10 6  x
i)

2 a3  2 b3

6a  6 b
.
2
3a  3b a  2ab  b2

c)

25x 3 y 5
:15xy 2
3

f)

x  y x 2  xy
:
y  x 3 x 2  3y 2

6 x  48
i)
:
7x  7
3  3x
m)
(1  x) 2

x 2  64
x 2  2x  1
6x 2  6
:
x 1

www.TOANTUYENSINH.com

14


Đại số 8
Câu 29. Thực hiện phép tính:
2 x 1
 1

a)  2

 :   x  2
 x  x x 1   x

1   x3
x 
 9
c)  3


: 2

 x  9 x x  3   x  3x 3x  9 
Câu 30. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1
x
x 1



x y
x
a)
b) x  1
x
x 1
1 1


x 1
x
x y
x y
2

1
y x
x

1
d)
e)
xy xy
x2  2

1 2
xy xy
x 1

2 x  6 x 2  10 x
 3x

b) 
:
2
 1  3x 3x  1  1  6 x  9 x
x 1  x  2 x  3 
d)
:
:

x  2  x  3 x 1 

x

c) 1 
1

x
x 1

ax
x

ax
f) a
a x
x


a
a x

Câu 31. Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:

x3  x 2  2
a)
x 1

x3  2 x2  4
b)
x2

2 x3  x2  2 x  2
c)
2x  1

3x 3  7 x 2  11x  1
x 4  16
e)
3x  1
x 4  4 x 3  8 x 2  16 x  16
Câu 32. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị
thức bậc nhất:
d)

x2  2 x  6
( x  1)( x  2)( x  4)
x2  5x  6
Câu 33. * Tìm các số A, B, C để có:

a)

a)

2x  1

x2  x  2

b)



A



B



C
x 1

( x  1)3
( x  1)3 ( x  1)2
Câu 34. * Tính các tổng:
a
b
c

a) A 


(a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)

b)

c)
x2  2x  1
( x  1)( x 2  1)

3 x 2  3 x  12
( x  1)( x  2) x



A
Bx  C

x  1 x2  1

a2
b2
c2


(a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)
Câu 35. * Tính các tổng:
1
1

1
1
1
1
1
a) A 
HD:


 ... 
 
1.2 2.3 3.4
n(n  1)
k (k  1) k k  1
1
11
1 
1
1
1
1
1
  
b) B 
HD:


 ... 

1.2.3 2.3.4 3.4.5

n(n  1)(n  2)
k (k  1)(k  2) 2  k k  2  k  1
Câu 36. * Chứng minh rằng với mọi m  N , ta có:
4
1
1
4
1
1
1
a)
b)





4m  2 m  1 (m  1)(2m  1)
4m  3 m  2 (m  1)(m  2) (m  1)(4m  3)
4
1
1
1
c)



8m  5 2(m  1) 2(m  1)(3m  2) 2(3m  2)(8m  5)
4
1

1
1
d)



3m  2 m  1 3m  2 (m  1)(3m  2)

b) B 

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

15


Đại số 8

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
Câu 37. Thực hiện phép tính:
8

a)



2



xy
xy
2y2


2( x  y) 2( x  y) x 2  y 2
xy ( x  a)( y  a) ( x  b)( y  b)
d)


ab
a(a  b)
b(a  b)

1
x 1

b)

( x 2  3)( x 2  1) x 2  3
x 1
x 1
3
c)


3

3
2
3
x
x x
x  2x2  x
x3
x2
1
1



e)
x 1 x 1 x 1 x 1
2

f)

2


xy xy x y
xy

 1 .
g) 
 .
 x  y x  y   2 xy
 x 2  y2

 a2  (b  c)2  (a  b  c)
(a  b  c)(a2  c 2  2ac  b2 )
Câu 38. Rút gọn các phân thức:

i)

a)
d)

25 x 2  20 x  4

b)

25 x 2  4
x3  x 2  4 x  4

e)

h)

x 3  x 2  2 x  20
2

x 4



5
3


x2 x2

1
1
1


(a  b)(b  c) (b  c)(c  a) (c  a)(a  b)

 x 2  y2
1  x 2 y2  x  y

k) 
   :
xy y
x   x
 xy
5 x 2  10 xy  5y 2

c)

3 x 3  3y 3

x2  1
x3  x 2  x  1

4 x 4  20 x 3  13x 2  30 x  9

x 4  16
(4 x 2  1)2

Câu 39. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức:

a)

a2  b2  c 2  2ab
2

2

2

a  b  c  2ac
2

2

với a  4, b  5, c  6

2

x  xy  y
x  xy  y

xy
xy

b)

16 x 2  40 xy
2

8 x  24 xy

với

x 10

y 3

2

với x  9, y  10
x2
xy
xy
Câu 40. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với
bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức:
c)

x5  2 x 4  x  3
a)
b)
c)
d)
x 1
x2  1
x2  1
x2  1
Câu 41. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên:
x2  3

a)

1
x2

x2  1

b)

1
2x  3

x 4  x3  4 x2  x  5

c)

x3  x 2  2
x 1

d)

x3  2 x2  4
x2

3x 2  3x
P
Câu 42. Cho biểu thức:
.
( x  1)(2 x  6)

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P  1 .
x2
5
1
Câu 43. Cho biểu thức:
P


x  3 x2  x  6 2  x
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

16


Đại số 8
3
.
4
d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên.

c) Tìm x để P 

e) Tính giá trị của biểu thức P khi x 2 – 9  0 .

(a  3)2  6a  18 
 1 
.
2a2  6a 
a2  9 
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1.

Câu 44. Cho biểu thức:

P

x
x2  1

.
2x  2 2  2x2
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tìm giá trị của x để P   .
2

Câu 45. Cho biểu thức:

P

x 2  2 x x  5 50  5 x


.
2 x  10
x
2 x ( x  5)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3.
2
3
6x  5
Câu 47. Cho biểu thức:
.
P


2 x  3 2 x  1 (2 x  3)(2 x  3)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = –1.
1
2
2 x  10
Câu 48. Cho biểu thức:
.
P


x  5 x  5 ( x  5)( x  5)

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.

Câu 46. Cho biểu thức:

P

c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q  9 x 2 – 42 x  49 .
3
1
18
Câu 49. Cho biểu thức:
.
P


x  3 x  3 9  x2
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = 4.
x2
2 x  10 50  5 x
P


Câu 50. Cho biểu thức:
.
5 x  25
x
x2  5x

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị của x để P = –4.

Câu 51. Cho biểu thức:

P

3 x 2  6 x  12
x3  8

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
4001
c) Tính giá trị của P với x 
.
2000
 1
x x2  x 1  2x  1
Câu 52. Cho biểu thức:
P 

.
.
: 2
 x  1 1  x3
 x  2x 1
x

1



a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tính giá trị của P khi x  .
2

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

17


Đại số 8
x 2  2 x x  5 50  5 x


.
2 x  10
x
2 x ( x  5)
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
1
c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = .
4

d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0.

Câu 53. Cho biểu thức:

P

 x 1
3
x  3  4x2  4
P


. 5 .
 2x  2 x2  1 2x  2 
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của
biến x?

Câu 54. Cho biểu thức:

 5x  2 5 x  2  x 2  100
P 

.
.
 x 2  10 x 2  10  x 2  4
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi x = 20040.

Câu 55. Cho biểu thức:

Câu 56. Cho biểu thức:

P

x 2  10 x  25
x 2  5x

a) Tìm điều kiện xác định của P.

.
b) Tìm giá trị của x để P = 0; P 

5
.
2

c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên.
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
Thảo luận bài tập và tham khảo tài liệu trên:
www.facebook.com/VanLuc168
Facebook
www.TOANTUYENSINH.com
Website
www.facebook.com/toantuyensinh
FB-Page
www.facebook.com/groups/ toantuyensinh
FB-Groups

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

18


Đại số 8
----- oOo -----

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

I. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
VẤN ĐỀ I. Chứng minh một số là nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
 x0 là nghiệm của phương trình A( x )  B( x )  A( x0 )  B( x0 )

 x0 không là nghiệm của phương trình A( x )  B( x )  A( x0 )  B( x0 )
Câu 1. Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?

c) 3 x  5  5 x  1 ;

x0  2

d) 2( x  4)  3  x ;

3
2

x0  2

e) 7  3 x  x  5 ;

x0  4

f) 2( x  1)  3 x  8 ;

x0  2

g) 5 x  ( x  1)  7 ;

x0  1

h) 3 x  2  2 x  1 ;

x0  3

a) 3(2  x )  1  4  2 x ;

x0  2

x0 

b) 5 x  2  3 x  1 ;

Câu 2. Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?
a) x 2  3 x  7  1  2 x ;

x0  2

b) x 2  3 x  10  0 ;

c) x 2  3 x  4  2( x  1) ;

x0  2

d) ( x  1)( x  2)( x  5)  0 ;

e) 2 x 2  3 x  1  0 ;

x0  1

x0  2
x 0  1

f) 4 x 2  3 x  2 x  1 ; x0  5

Câu 3. Tìm giá trị k sao cho phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra:
a) 2 x  k  x –1 ;

x0  2

c) 2(2 x  1)  18  3( x  2)(2 x  k ) ; x0  1

b) (2 x  1)(9 x  2k ) – 5( x  2)  40 ; x0  2
d) 5(k  3 x )( x  1) – 4(1  2 x )  80 ; x0  2

VẤN ĐỀ II. Số nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:

Phương trình A( x )  B( x ) vô nghiệm  A( x )  B( x ), x
 Phương trình A( x )  B( x ) có vô số nghiệm  A( x )  B( x ), x
Câu 4. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:
2 x  5  4( x  1)  2( x  3)
a)
b) 2 x  3  2( x  3)
c)

x  2  1

www.facebook.com/VanLuc168

d) x 2  4 x  6  0

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

19


Đại số 8
Câu 5. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có vô số nghiệm:
a) 4( x  2)  3 x  x  8
b) 4( x  3)  16  4(1  4 x )
c) 2( x  1)  2 x  2

d) x  x

e) ( x  2)2  x 2  4 x  4

f) (3  x )2  x 2  6 x  9
Câu 6. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nhiều hơn một nghiệm:
a)

x2  4  0

b) ( x  1)( x  2)  0

c) ( x  1)(2  x )( x  3)  0

d) x 2  3 x  0

e) x  1  3

f) 2 x  1  1

VẤN ĐỀ III. Chứng minh hai phương trình tương đương
Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.
 Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.
 Hai qui tắc biến đổi phương trình:
– Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
– Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Câu 7. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
a)
b) x  3  0 và 3 x  9  0
3 x  3 và x  1  0
c) x  2  0 và ( x  2)( x  3)  0
d) 2 x  6  0 và x ( x  3)  0

Câu 8. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
a)

x 2  2  0 và x ( x 2  2)  0
x
0
c) x  2  0 và
x2

b) x  1  x và x 2  1  0
1
1
d) x 2   x  và x 2  x  0
x
x

e) x  1  2 và ( x  1)( x  3)  0

f) x  5  0 và ( x  5)( x 2  1)  0

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
VẤN ĐỀ I. Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất
Câu 9. Giải các phương trình sau:
a) 4 x –10  0
b) 7 – 3 x  9  x
c) 2 x – (3 – 5 x )  4( x  3)
d) 5  (6  x )  4(3  2 x )
e) 4( x  3)  7 x  17
f) 5( x  3)  4  2( x  1)  7
g) 5( x  3)  4  2( x  1)  7

h) 4(3 x  2)  3( x  4)  7 x  20
5
13
ĐS: a) x 
b) x  1
c) x  5
d) x 
2
9
5
e) x 
f) x  8
g) x  8
h) x  8
11

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

20


Đại số 8
Câu 10. Giải các phương trình sau:
a) (3 x  1)( x  3)  (2  x )(5  3 x )
c) ( x  1)( x  9)  ( x  3)( x  5)

b) ( x  5)(2 x  1)  (2 x  3)( x  1)
d) (3 x  5)(2 x  1)  (6 x  2)( x  3)

e) ( x  2)2  2( x  4)  ( x  4)( x  2)
13
1
ĐS: a) x 
b) x 
c) x  3
19
5
Câu 11. Giải các phương trình sau:

f) ( x  1)(2 x  3)  3( x  2)  2( x  1)2
1
d) x 
e) x  1
f) vô nghiệm
33

a) (3x  2)2  (3 x  2)2  5x  38

b) 3( x  2)2  9( x  1)  3( x 2  x  3)

c) ( x  3)2  ( x  3)2  6 x  18

d) ( x –1)3 – x ( x  1)2  5 x (2 – x ) –11( x  2)

e) ( x  1)( x 2  x  1)  2 x  x ( x  1)( x  1)
ĐS: a) x  2 b) x  2

f) ( x – 2)3  (3 x –1)(3 x  1)  ( x  1)3
10
d) x  7
e) x  1
f) x 
9

c) x  3

Câu 12. Giải các phương trình sau:
x 5 x 15 x x

 5
a) 
3 6
12 4
x  1 x  1 2 x  13


0
c)
2
15
6
3(5 x  2)
7x
2 
 5( x  7)
e)

4
3
x  3 x 1 x  7


1
g)
11
3
9
30
ĐS: a) x 
b) x  0
c) x  16
7
53
28
e) x  6
f) x 
g) x  
10
31
Câu 13. Giải các phương trình sau:
2x 1 x  2 x  7


a)
5
3
15

2( x  5) x  12 5( x  2) x


  11
c)
3
2
6
3
2( x  3) x  5 13 x  4


e)
7
3
21
ĐS: a) x tuỳ ý
b) x tuỳ ý
c) x tuỳ ý
Câu 14. Giải các phương trình sau:
a)
c)

8x  3 3x  2 2 x  1 x  3



4
2
2

4
3(3  x ) 2(5  x ) 1  x


2
d)
8
3
2
x  5 3  2x
7 x

x
f)
2
4
6
3 x  0, 4 1,5  2 x x  0,5


h)
2
3
5

b)

d) x  11
h) x  

6
19

x  3 x 1 x  5


1
2
3
6
x  4 3x  2
2 x  5 7x  2

x

d)
5
10
3
6
3x  1 
1  4x  9
x   
f)
2

4
8
d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vô nghiệm

b)

( x  2)( x  10) ( x  4)( x  10) ( x  2)( x  4)


3
12
4

(2 x  3)(2 x  3) ( x  4)2 ( x  2)2


8
6
3

(7 x  1)( x  2) 2 ( x  2)2 ( x  1)( x  3)
 

10
5
5
2
123
1
ĐS: a) x  8 b) x  9
c) x 
d) x 
64
12

b)

( x  2)2
( x  2)2
 2(2 x  1)  25 
8
8

7 x 2  14 x  5 (2 x  1)2 ( x  1)2


d)
15
5
3

e)

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

e) x 

19
15

www.TOANTUYENSINH.com

21


Đại số 8
Câu 15. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
x 1 x  3 x  5 x  7



a)
(HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử)
35
33
31
29
x  10 x  8 x  6 x  4 x  2





b)
(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
1994 1996 1998 2000 2002
x  2002 x  2000 x  1998 x  1996 x  1994






2
4
6
8
10
x  1991 x  1993 x  1995 x  1997 x  1999





c)
9
7
5
3
1
x  9 x  7 x  5 x  3 x 1





(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
1991 1993 1995 1997 1999
x  85 x  74 x  67 x  64



 10

d)
(Chú ý: 10  1  2  3  4 )
15
13
11
9
x  1 2 x  13 3 x  15 4 x  27



e)
(HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)
13
15
27
29
ĐS: a) x  36
b) x  2004 c) x  2000 d) x  100
e) x  14 .
Câu 16. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
x 1 x  3 x  5 x  7
x  29 x  27 x  17 x  15






a)
b)

65
63
61
59
31
33
43
45
x  6 x  8 x  10 x  12
1909  x 1907  x 1905  x 1903  x






40
c)
d)
1999 1997 1995 1993
91
93
95
91
x  29 x  27 x  25 x  23 x  21 x  19







e)
1970 1972 1974 1976 1978 1980
x  1970 x  1972 x  1974 x  1976 x  1978 x  1980






29
27
25
23
21
19
ĐS: a) x  66
b) x  60
c) x  2005 d) x  2000 e) x  1999 .
VẤN ĐỀ II. Phương trình tích
Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:
 A( x )  0
A( x ).B( x )  A( x )  0 hoặc B( x )  0  
 B( x )  0
Ta giải hai phương trình A( x )  0 và B( x )  0 , rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Câu 17. Giải các phương trình sau:
a) (5 x  4)(4 x  6)  0
(4 x  10)(24  5 x )  0
c)

(5 x  10)(8  2 x )  0
e)
4
3
ĐS:
a) x  ; x  
b) x  2; x  3
5
2
1
d) x  3; x  
e) x  2; x  4
2
Câu 18. Giải các phương trình sau:

b) (3,5 x  7)(2,1x  6,3)  0
d) ( x  3)(2 x  1)  0
f) (9  3 x )(15  3 x )  0
5
5
c) x  ; x  
2
24
f) x  3; x  5

a) (2 x  1)( x 2  2)  0

b) ( x 2  4)(7 x  3)  0

c) ( x 2  x  1)(6  2 x )  0

d) (8x  4)( x 2  2 x  2)  0

www.facebook.com/VanLuc168

VanLucNN

www.TOANTUYENSINH.com

22