Hình học trên mặt cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN

HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU
Chuyên ngành:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN MINH

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Các kiến thức cơ bản

2

6

1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kinh độ và vĩ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tam giác cầu

6
13
16

2.1 Khái quát về tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Tính chất của tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
16
18

2.1.3 Tam giác cầu cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các định lí trong tam giác cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
22

2.2.1
2.2.2

Định lí hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lí cosin thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
23

2.2.3
2.2.4

Hướng tàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lí hàm số cosin thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
27

2.2.5 Định lý hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Công thức góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
31
31

2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi . . . . . .
2.4 Giải tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
33

2.4.1
2.4.2

Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
34

2.4.3
2.4.4

Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy . .
Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong
2 cạnh ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.5

Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong
2 góc ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



39
42
43


2

2.5.1
2.5.2

Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hai quy tắc dễ nhớ của Nêpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
44

2.5.3

Các ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3 Thiên cầu
3.1 Độ cao và góc cực; Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50

3.1.1 Độ cao và góc cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu và những ngôi sao thấy ở đường chân trời. . .

50
53
57

3.2.1
3.2.2

Biểu đồ cho nam bán cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Những ngôi sao thấy ở đường chân trời . . . . . . . . . . . . . .

57
58

3.3 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm và cách tính góc tam giác
cầu P ZX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm . . . . . . . . . . . .

60
60

3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Sự tiến thẳng và độ nghiêng; Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . .

62
64

3.4.1
3.4.2

Sự tiến thẳng và độ nghiêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
66

3.5 Kinh độ và vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Kinh độ và vĩ độ thiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69
69
70

Tài liệu tham khảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

74




3

Lời mở đầu
Việc ứng dụng hình học trong mặt phẳng đã được rất nhiều chuyên gia
với nhiều công trình nghiên cứu khác nhau. Tuy nhiên, từ khi con người
phát hiện ra trái đất không phải là mặt phẳng mà là hình cầu thì việc
nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng được yêu cầu nghiên cứu về
thiên văn và hàng hải. Vì vậy nó thôi thúc một lĩnh vực nghiên cứu mới
đó là ”Hình học cầu”.
Hình học cầu ra đời đã phần nào đáp ứng được nhu cầu nghiên cứu
về việc đi lại trên biển, về việc đi lại giữa các vì sao, về vũ trụ,....Vì vậy,
hình học cầu không thể thiếu được trong các môn học nghiên cứu về thiên

văn và hàng hải. Việc nghiên cứu hình học cầu là niềm say mê của không
ít người đặc biệt là những người đang trực trực tiếp dạy toán. Chính vì
thế để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập tác giả đã chọn đề tài ”Hình
học trên mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của luận văn.
Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân về
một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc học tập
của các em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

tài liệu tham khảo.
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Chương 1 đưa ra các kiến thức về các định nghĩa, định lý và tính chất
cơ bản của hình học cầu.
Chương 2. Tam giác cầu
Chương 2 đưa ra định nghĩa, tính chất của tam giác cầu, tam giác cầu
cực; các định lý và các công thức cơ bản của tam giác cầu. Đặc biệt, chương
2 đưa ra các phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa cho
từng trường hợp cụ thể. Đồng thời ở chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu
việc ứng dụng của hình học cầu trong lĩnh vực hàng hải.
Chương 3. Thiên cầu
Chương 3 đưa ra định nghĩa, tính chất của các yếu tố liên quan tới thiên
cầu. Đồng thời chương 3 cũng giới thiệu các cách xác định vị trí trên thiên
cầu như: tính góc cầu của tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độ

lệch của vị trí 1 ngôi sao xác định trên thiên cầu....
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến TS
Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc đối với người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn chỉ bảo
và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa
Toán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, các thầy cô
giáo dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổ
Toán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp cùng
gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ khích lệ tôi hoàn thành luận văn
này.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên
cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên,do hạn chế về
thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không
tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các
thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên 2011
Nguyễn Thị Bích Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

Chương 1

Các kiến thức cơ bản
1.1

Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

Trước hết ta có một vài định nghĩa sau.
1. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có
khoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu.
Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính.
Đoạn thẳng đi qua tâm nối hai điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường
kính.
2. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn.
B
C
A
O

D

Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng nào đó,

O là tâm hình cầu. Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

giao tuyến và nối OD, CD. Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc
√
OCD là góc vuông; do đó CD = OD2 − OC 2 . Do O và C cố định
nên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầu
vậy nên CD là hằng số. Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách

C một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến.
3. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu
mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt
phẳng đó không đi qua tâm hình cầu. Như vậy bán kính đường tròn
lớn bằng với bán kính hình cầu.
4. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với
mặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu của đường kính gọi là các
cực của đường tròn. Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đến
mặt phẳng chứa đướng tròn là bằng nhau. Các cực của đường tròn
nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúng
được gọi là tương ứng cực gần và xa.
P
S
FC
E

T

R

D

O

A
X

B
B’

Y
Q

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Trên hình vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó
đi qua tâm của hình cầu. Giả sử QOP là đường kính của hình cầu
vuông góc với mặt phẳng (EAB). Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt
phẳng qua R và song song với (EAB) giao với hình cầu theo đường
tròn nhỏ F CD. Các điểm P, Q là các cực của đường tròn lớn EAB

và đường tròn nhỏ F CD.
Giả sử P CAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P, Q và cắt F CD, EAB
lần lượt tại C và A; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua

P, Q. Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau:
Vẽ tiếp tuyến P S, P T tương ứng với các cung P A, P B ; hiển nhiên

P T song song với OB, P S song song với OA. Góc SP T gọi là góc cầu
tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằng AOB .
5. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến các cực của đường tròn
luôn bằng nhau.
P
B

C

A

D
O

P’
Giả sử O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm,

P và P là các cực của đường tròn. Lấy D thuộc đường tròn; nối
√
CD, OD, P D. Khi đó P D = P C 2 + CD2 ; P C và CD không đổi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

do đó P D cũng không đổi. Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thì
dây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P
và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB .
6. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường
tròn bằng 900 .
P
B
C

O
A

Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung P A có số đo
bằng 900 .
Thậy vậy ta thấy P O vuông góc với (ABC) vì P là cực của (ABC),
do đó P OA bằng 900 nghĩa là sđ P A bằng 900 .
7. Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cực
của 2 đường tròn lớn luôn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đường
tròn đó.
A

B

M

O
C

N

D
E

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....