luận văn hình học trên mặt cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN
HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN MINH
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Các kiến thức cơ bản 6
1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Kinh độ và vĩ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Tam giác cầu 16
2.1 Khái quát về tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Tính chất của tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Tam giác cầu cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Các định lí trong tam giác cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Định lí hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Định lí cosin thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Hướng tàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Định lí hàm số cosin thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5 Định lý hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
2.3.1 Công thức góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi . . . . . . 32

2.4 Giải tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy . . 36
2.4.4 Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong
2 cạnh ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.5 Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong
2 góc ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2.5.1 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Hai quy tắc dễ nhớ của Nêpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.3 Các ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Thiên cầu 50
3.1 Độ cao và góc cực; Độ t hiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Độ cao và góc cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu và những ngôi sao thấy ở đường chân trời. . . 57
3.2.1 Biểu đồ cho nam bán cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.2 Những ngôi sao thấy ở đường chân trời . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm và cách tính góc tam giác
cầu P ZX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Cách tính góc tam giá c cầu P ZX . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Sự tiến thẳng và độ nghiêng; Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . 64
3.4.1 Sự tiến thẳng và độ nghiêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Kinh độ và vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Kinh độ và vĩ độ thiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.2 Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Tài liệu tham khảo 74
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Lời mở đầu
Việc ứng dụng hình học trong mặt phẳng đã được rất nhiều chuyên gia
với nhiều công trình nghiên cứu khác nhau. Tuy nhiên, từ khi con người
phát hiện ra trái đất không phải là mặt phẳng mà là hình cầu thì việc
nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng được yêu cầu nghiên cứu về
thiên văn và hàng hải. Vì vậy nó thôi thúc một lĩnh vực nghiên cứu mới
đó là ”Hình học cầu”.
Hình học cầu ra đời đã phần nào đáp ứng được nhu cầu nghiên cứu
về việc đi lại trên biển, về việc đi lại giữa các vì sao, về vũ trụ, .Vì vậy,
hình học cầu không thể thiếu được trong các môn học nghiên cứu về thiên
văn và hàng hải. Việc nghiên cứu hình học cầu là niềm say mê của không
ít người đặc biệt là những người đang trực trực tiếp dạy toán. Chính vì
thế để đáp ứng nhu c ầu giảng dạy và học tập tác giả đã chọn đề tài ”Hình
học trên mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của luận văn.
Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân về
một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc học tập
của các em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Chương 1 đưa ra các kiến thức về các định nghĩa, định lý và tính chất
cơ bản của hình học cầu.
Chương 2. Tam giác cầu
Chương 2 đưa ra định nghĩa, tính chất của tam giác cầu, tam giác cầu

cực; các định lý và các công thức cơ bản của tam gi ác cầu. Đặc biệt, chương
2 đưa ra các phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa cho
từng trường hợp cụ thể. Đồng thời ở chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu
việc ứng dụng của hình học cầu trong lĩnh vực hàng hải.
Chương 3. Thiên cầu
Chương 3 đưa ra định nghĩa, tính chất của các yếu tố liên quan tới thiên
cầu. Đồng thời chương 3 c ũng g iới thiệu các cách xác định vị trí trên thiên
cầu như: tính gó c cầu của tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độ
lệch của vị trí 1 ngôi sao xác định trên thiên cầu
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến TS
Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc đối với người thầy c ủa mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn chỉ bảo
và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa
Toán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, các thầy cô
giáo dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổ
Toán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp cùng
gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ khích lệ tôi hoàn thành luận văn
này.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên
cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên,do hạn chế về
thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không
tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các
thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên 2011

Nguyễn Thị Bích Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ
Trước hết ta có một vài định nghĩa sau.
1. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có
khoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu.
Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính.
Đoạn thẳng đi qua tâm nối hai điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường
kính.
2. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn.
C
A
O
D
B
Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng nào đó,
O là tâm hình cầu. Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộ c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
giao tuyến và nối OD, CD. Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc

OCD là góc vuông; do đó CD =
√
OD
2
− OC
2

. Do O và C cố định
nên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầu
vậy nên CD là hằng số. Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách
C một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến.
3. Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu
mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt
phẳng đó không đi qua tâm hình cầu. Như vậy bán kính đường tròn
lớn bằng với bán kính hình cầu.
4. Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với
mặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu c ủa đường kính gọi là các
cực c ủa đường tròn. Khoảng cách từ các c ực của đường tròn lớn đến
mặt phẳng chứa đướng tròn là bằng nhau. Các cực của đường tròn
nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặ t phẳng chứa đường tròn; chúng
được gọi là tương ứng cực gần và xa.
P
T
D
B
O
R
C
S
F
E
A
X
Y
Q
B’
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Trên hì nh vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó
đi qua tâm của hì nh cầu. Giả sử QOP là đường kí nh của hình cầu
vuông góc với mặt phẳng (EAB). Lấy điểm R tùy ý trên OP , vẽ mặt
phẳng qua R và song song với (EAB) giao với hình cầu theo đường
tròn nhỏ F CD. Các điểm P, Q là các cực của đường tròn lớn EA B
và đường tròn nhỏ F CD.
Giả sử P CA Q là đường tròn lớn đi qua các cực P, Q và cắt F CD, EAB
lần lượt tại C và A; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua
P, Q. Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau:
Vẽ tiếp tuyến PS, P T tương ứng với các c ung P A, P B; hiển nhiên
P T song song với OB, P S song song với OA . Góc

SP T gọi là góc cầu
tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằng

AOB.
5. Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến các cực của đường tròn
luôn bằng nhau.
P
B
C
O
D
A
P’
Giả sử O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm,
P và P

là các cực của đường tròn. Lấy D thuộc đường tròn; nối

CD, OD, P D. Khi đó PD =
√
P C
2
+ CD
2
; P C và CD không đổi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
do đó P D cũng không đổi. Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thì
dây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P
và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB.
6. Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đường
tròn bằng 90
0
.
P
B
O
A
C
Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung PA có số đo
bằng 90
0
.
Thậy vậy ta thấy P O vuông góc với (ABC) vì P là cực của (ABC),
do đó

P OA bằng 90
0

nghĩa là sđ

P A bằng 90
0
.
7. Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cực
của 2 đường tròn lớn luôn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đường
tròn đó.
A
B
M
N
E
O
D
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Giả sử O là tâm của hì nh cầu, CD, CE là các đường tròn lớ n giao
nhau tại C, A và B lần lượt là các cực của CD, CE.
Vẽ đường tròn lớn qua A và B, cắt CD, CE tại M và N. Khi đó
AO vuông góc với OC, BO vuông gó c với OC nên OC vuông góc
với mặt phẳng(AOB), do đó OC vuông góc với OM, ON. Như vậy

MON là góc giữa 2 mặt phẳng (OCD) và (OCE).
Hơn nữa:

AOB =

AOM −


BOM =

BON −

BOM =

MON
8. Hai đường tròn lớn chia đôi nhau:
Vì mặt phẳng chứa các đường tròn lớn đi qua tâm của hình cầu,
tức là đường nối các giao đi ểm chính là đường kính của hình cầu và
mỗi đường tròn lớn chỉ có duy nhất một đường kính, do đó các đường
tròn đó được chia thành 2 phần bằng nhau bởi các giao điểm.
9. Các đường tròn lớn đi qua các cực của một đường tròn lớn cho trước
được gọi là các đường tròn phái sinh (se condaries circ le). Trong hình
vẽ C là cực của ABMN, do đó CM và CN là các phần của các đường
tròn phái sinh; góc giữa CM và CN bằng số đo cung MN: Như vậy,
góc giữa 2 đường tròn lớn bằng số đo cung chúng chắn trên đường t ròn
lớn mà chúng là các đường tròn phái sinh.
10. Cung tròn trên mặt cầu.
Hai điểm A, B bất kì trên đường tròn sẽ chia đường tròn thành 2
cung. Cung có số đo nhỏ hơn gọi là cung tròn nhỏ, cung có s ố đo lớn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
hơn gọi l à cung tròn lớn. Sau đây ta chỉ xét cung tròn nhỏ.
O
A
B
α
Cung tròn nhỏ của đường tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung

đường tròn nhỏ (đôi khi gọi là cung cầu nhỏ ). Độ dài của cung cầu
nhỏ

AB kí hiệu là l

AB
. Cung tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cung
đường tròn lớn (đôi khi gọi là cung cầu lớn). Độ dài của cung cầu lớn

AB kí hiệ u là L

AB
.
11. Qua tâm và 2 điểm A, B tùy ý trên mặt cầu chỉ vẽ được duy nhất một
mặt phẳng (trừ trường hợp 2 điểm đó là các điểm đầu và điể m cuối
của đường kính), do vậy chỉ có duy nhất một cung cầu lớn qua 2 điểm
A, B. Ngược lại, có vô số cung cầu nhỏ qua 2 điểm trên mặt cầu.
Định lí 1.1. Đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm trên mặt cầu là theo
cung cầu lớn.
Chứng minh. Giả sử σ : [a, b] −→ S là đường cong cho dưới dạng
tham số trên mặt cầu S với σ(a) = A, σ(b) = B. Trong tọa độ Đề các
σ viết dưới dạng σ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Khi đó độ dài của σ đượ c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
tính bởi công thức sau:
l(σ) =

b
a
[


(x

(t)
2
) + (y

(t)
2
) + (z

(t)
2
)]dt(∗)
Trong hệ tọa độ cầu ta có:



x(t) = Rsi n θcos ϕ;
y(t) = Rsin θsin ϕ;
z(t) = Rcos θ
trong đó θ = θ(t), ϕ = ϕ(t).
Ta tính rồi thay các đạo hàm x

(t), y

(t), z

(t) vào công thức (*) ta
nhận được:

l(σ) =

b
a
R[

(θ

)
2
+ sin
2
θ(ϕ

)
2
]dt
≥

b
a
Rθ

dt = R(θ(b) − θ(a)) = R.

BOA =

AB
Dấu ”=” xảy ra khi ϕ


(t) = 0 hoặc sin
2
θ(t) = 0 với mọi t, tức là đi
theo cung cầu lớn AB.
12. Số đo cung đường tròn nhỏ và số đo cung đường t ròn lớn trương cùng
một góc ở tâm.
P
C
O
A
B
b
a
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Giả sử ab là cung đường tròn nhỏ, C là tâm đường tròn, P là cực,
O là tâm hình cầu. Qua P vẽ đường tròn lớn PaA và P bB, gặp
đường tròn lớn cực là P tại 2 điểm A, B; nối Ca, Cb, OA, OB. Khi đó
Ca,Cb,OA,OB đều vuông g óc với OP , vì mặt phẳng aCb , AOB vuông
góc với OP nên Ca song so ng với OA, Cb song song với OB.
Như vậy

aCb =

AOB, suy ra

ab
Ca
=


AB
OA
=⇒

ab

AB
=
Ca
OA
=
Ca
Oa
= sin

P Oa
1.2 Kinh độ và vĩ độ
*Trong nhiều bài toán thực tế Trái đất được xem như 1 quả cầu tuyệt
đối với bán kính khoảng 6400 km, quay xung quanh 1 trục nối 2 cực từ
trường trái đất N, S. N gọi là cực bắc, S gọi là cực nam. Đường tròn lớn
nằm trong mặt phẳng vuông góc với NS gọi là xích đạo. Mặt phẳng chứa
đường xích đạo gọi là mặt phẳng xích đạo. Mặt phẳng xích đạo chia mặt
cầu thành 2 bán cầu gọi là bán cầu bắc và bán cầu nam.
*Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo
giao tuyến là các đường tròn nhỏ, gọi là các vĩ tuyến. Các vĩ tuyến ở bán
cầu bắc gọi là vĩ tuyến bắc, ở bán cầu nam gọi là vĩ tuyến nam.
*Qua hai cực nam, bắc có vô số các đường tròn lớn. Hai cực này chia
các đường tròn lớn thành 2 nửa, mỗi nửa đường tròn lớn đó gọi là 1 kinh
tuyến. Đặc biệt, kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich được quy ước
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
là kinh tuyến gốc; trên hình đó là NGKS.
N
M
G
H
J
O
K
Y
L
E
W
S
λ
ϕ
X
*Giả sử kinh tuyến NHLS cắt xích đạo tại L. Số đo góc

KOL được
gọi là kinh độ của kinh tuyến NHS. Nó bằng số đo cung KL nằm trên
xích đạo và bằng số đo góc cầu cực KNL. Kinh độ kí hiệu là λ và được
đo từ 0
0
đến 180
0
đông hoặc tây so với kinh tuyến gốc (theo hướng mũi
tên gần K).
Trên hình vẽ kinh độ của NXS khoảng 100
0

E (east), kinh độ của
NMS khoảng 60
0
W (west). Các điểm nằm trên cùng kinh tuyến thì có
cùng kinh độ.
Qui ước: Trái đất quay từ tây sang đông (W → E), tức là khi một
người đứng ở tâm trái đất, đầu hướng về phía bắc nhìn về xích đạo thì
chiều quay ngược chiều kim đồng hồ.
*Để xác định chính xác vị trí của 1 điểm trên mặt cầu, ta cần xác định
vị trí của điểm đó trên kinh tuyến qua nó. Điều này được thực hiện nhờ
tham chiếu đến xí ch đạo. Xét điểm J trên kinh tuyến NHS. Kinh tuyến
qua J cắt xích đạo tại L và số đo góc

LOJ hay cung tròn lớn LJ được gọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
là vĩ độ của J, kí hiệu là ϕ. Nếu J nằm giữa xích đạo và cực bắc N thì ta
nói J có vĩ độ bắc (N), nếu J nằm giữa xích đạo và cực nam S thì ta nói
J có vĩ độ nam (S).
*Mỗi điểm A trên mặt cầu Trái đất được xác định duy nhất thông qua
kinh độ λ
M
và vĩ độ ϕ
M
của nó.
Ví dụ 1: Hãy xác định các điểm sau trên mặt cầu:
A(ϕ
A
= 20
0

30

42

N; λ
A
= 14
0
41

26

W ).
B(ϕ
B
= 18
0
25

49

N; λ
B
= 72
0
41

26

E).

C(ϕ
C
= 48
0
21

37

S; λ
C
= 28
0
17

46

W ).
D(ϕ
D
= 60
0
20

41

S; λ
D
= 54
0
38


11

E).
H(ϕ
H
= 62
0
30

N; λ
H
= 168
0
24

42

E).
G(ϕ
G
= 80
0
19

25

S; λ
G
= 157

0
54

36

W ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Tam giác cầu
2.1 Khái quát về tam giác cầu
2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản
1. Cho 3 điểm A, B, C trên mặt cầu tâm O bán kính R. Ta gọi phần mặt
cầu giới hạn bởi 3 cung tròn lớn

AB,

BC,

AC là tam giác cầu ABC,
các điểm A, B, C đượ c gọi là các đỉnh của tam giác cầu.
O
A
C
B
B’
t
t’
2. Nối OA, OB, OC kéo dài ta được tam diện Oxyz đỉnh O. Các góc ở
đỉnh


BOC = sđ

BC= a,

AOC = s đ

AC= b,

BOA = sđ

AB= c là
các cạnh của tam giác cầu, viết tắt là a =

BC, b =

AC, c =

AB.
3. Giả sử At là ti ếp tuyến của cung

AC, At

là tiếp tuyến của

AB tại A
(các tiếp tuyến hướng từ A về B, C); khi đó tAt

là góc tại đỉnh A của
tam giác cầu. Đó chính là góc nhị diện cạnh OA tạo bở i 2 mặt phẳng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
(OAC) và (OBC). Tương tự ta cũng xác định được 2 góc còn lại tại
B và C.
Vậy tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là; 3 c ạ nh a, b, c và 3 góc A, B, C
đối diện lần lượt với cạnh.
4. Quy ước:Số đo các cạnh trong tam giác cầu luôn nhỏ hơn 180
0
hay π.
B
F
A
C
E
D
Trong hình vẽ cung

ADEB lớn hơn nửa vòng tròn, và có thể xem
ADEB, AC, BC là các cạnh của tam giác cầ u với các góc là A , B, C.
Tuy nhiên theo quy ước trên ta không xét tam giác cầu loại này; Ở
đây tam giác với các g óc A, B, C được hiểu là tam giác với 3 cạnh
AF B, BC và CA.
5. Với quy ước trên dẫn đến kết quả sau: trong tam giác cầu số đo của
góc bất kì luôn nhỏ hơn 180
0
.
6. Trung tuyến của tam giác cầu là cung tròn lớn nối đỉnh tam giác cầu
với trung điểm cạnh đối diện với đỉnh ấy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18

7. Đường vuông góc (hay đường cao) của tam giác cầu kẻ từ một đỉnh
đến cạnh đối diện là 1 cung tròn lớn nối đỉnh ấy với 1 điểm H trên
cạnh đối diện sao cho góc cầu cực tại H tạo bởi cung tròn lớn ấy và
cạnh đối diện là 90
0
. Trong tam giác cầu có thể có 2 hay 3 góc vuông
và có thể có vô số đường cao kẻ từ một đỉnh.
Ví dụ 2:
Ta thấy
1
8
mặt cầu có 3 góc A = B = C =
π
2
, 3 cạnh a = b = c =
π
2
và có vô số đường cao kẻ từ các đỉnh.
2.1.2 Tính chất của tam giác cầu
1. Với mỗi tam giác cầu ABC có một góc tam diện đỉnh là tâm cầu O
cạnh OA, OB, OC.
2. Tổng 2 cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại, tức là
a + b > c, a + c > b, b + c > a
3. Tổng của 3 cạnh tam giác cầu luôn nhỏ hơn chu vi của đường tròn lớn.
Thật vậy, tổng 3 góc tại đỉnh O của tam diện OABC luôn nhỏ hơn
360
0
, do đó:
AB
OA

+
BC
OA
+
CA
OA
< 2π ⇒ AB + BC + CA < 2π.OA.
4. Tính chất các góc của tam giác cầu:
π < A + B +C < 3π, A+B −C < π, A + C −B < π, B +C −A < π
5. Tổng 3 góc của tam giác cầu lớn hơn 180
0
và nhỏ hơn 540
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Giả sử A, B, C là các góc của tam giác cầu: a

, b

, c

là các cạnh của
tam giác cầu cực. Theo trên ta có:
a

+ b

+ c


< 2π ⇔ π −A + π −B + π −C < 2π ⇔ A + B + C > π.
Vì mỗi góc A, B, C đều nhỏ hơn π nên A + B + C < 3π.
6. Đại lượng ε = A + B + C − π là thặng dư c ầu. Khi đó với tam
giác cầu ABC trên mặt cầu bán kính R thì diện tích tam giác cầu
S
ABCcầu
= εR
2
. (ε đo bằng radian).
7. Trong tam giác cầu đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược
lại, tức là: a > b ⇔ A > B.
2.1.3 Tam giác cầu cực
1. Tam giác cầu cực. Cho ABC là một tam gi á c cầu, A

là cực của

BC
cùng phía với A, B

là cực của

CA, C

là cực của

AB và nằm cùng
phía với C. Khi đó A

B


C

được gọi là tam giác cầu cực của ABC.
Chú ý: Vì mỗi cạnh của tam giác cầu đề u có 2 cực, do đó sẽ có 8
tam giác cầu được tạo nê n bởi các đỉnh là c á c cực đó. Tuy nhiên chỉ
có tam giác A

B

C

tạo bởi quy tắc trên được goi là tam giác cầu cực.
Tam giác ABC gọi là tam giác gốc tương ứng với tam giác A

B

C

.
A
A’
C’
E
D
B
C
B’
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
2. Nếu A


B

C

là tam giác cầ u cực của ABC thì ABC là tam giá c cầu
cực của A

B

C

.
3. Các cạnh và các góc của tam giác cầu cực lần lượt là phần bù của các
góc và các cạnh của tam giác gốc.
Giả sử

B

C

cắt

AB,

AC lần lượt tại D và E. Do A là cực của B

C

nên số đo góc tại A bằng số đo


DE. Hơn nữa

B

E,

C

D đều có số đo
bằng 90
0
, do đó số đo

DE +

B

C

bằng 180
0
, tức là góc trương

B

C

tại tâm cầu và góc A là bù nhau. Có thể chỉ ra


C

A

là phần bù của
B,

A

B

là phần bù của C theo cách tương tự.
Do ABC là tam giác cầu cực của A

B

C

nên cũng suy ra

BC,

CA

AB là phần bù của A

, B

, C


.
Nếu kí hiệu A, B, C, a, b, c lần lượt là các góc và các cạnh của tam
giác cầu ABC còn A

, B

, C

, a

, b

, c

lần lượt l à các góc và các cạnh
của tam gi á c cầu cực thì ta có:
A

= π −a, B

= π −b, C

= π −c, a

= π −A, b

= π −B, c

= π −C.
4. Tam giác cầu cân có các góc ở đáy bằng nhau.

S
C
O
A
T
B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Giả sử tam giác ABC có AC = BC, O là tâm hình cầu. Kẻ tiếp
tuyến tại A và B tương ứng với cung

AC,

BC; chúng cùng cắt OC
tại điểm S, ta thấy AS = BS.
Kẻ tiếp tuyến AT, BT tại A, B với cung

AB, khi đó AT = T B;
nối T với S. Xét tam giác SAT, SBT có SA, AT, T S lần lượt bằng
SB, BT, T S; do đó hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra các góc ở
đáy của tam giác cầu bằng nhau.
5. Nếu hai góc của một tam giác cầu bằng nhau thì hai cạnh đối diện
bằng nhau.
Vì tam giác gốc có hai góc bằng nhau nên tam giác cầu cực sẽ có
hai cạnh bằng nhau. Theo trên trong tam giác cầu cực 2 góc đối diện
với cạnh đó sẽ bằng nhau.
Vậy suy ra trong tam giác gốc hai cạnh đối diện với hai góc bằng
nhau là bằng nhau.
6. Trong tam giác cầu cạnh đối diện với góc lớn hơn là lớn hơn.
Giả sử trong tam giác cầu ABC; góc


ABC lớn hơn góc

BAC:
khi đó cạnh AC lớn hơn cạnh BC. Từ B kẻ BD sao cho góc

ABD
bằng góc

BAD, tức là BD = AD, và BD + DC > BC; do đó
AD + DC > BC ⇒ AC > BC.
D
B
C
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
7. Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn.
Chúng ta chứng minh nhờ tam giác cầu cực và theo kết quả trên.
2.2 Các định lí trong tam giác cầu.
2.2.1 Định lí hàm sin
Trong tam giác cầu ABC thì
sina
sinA
=
sinb
sinB
=
sinc
sinC

.
A
O
B’
H
C’
C
B
Chứng minh. Xét tam giác cầu ∆ABC trên mặt cầu tâm O bán kính
OA = R. Hạ AH⊥OBC và AB

⊥OB. Khi đó HB

⊥OB, hay ta có

AB

H = B. Tương tự kẻ AC

⊥OC tại C

ta sẽ có

AC

H = C.
Trong tam giác vuông AB

O có AB


= Rsinc, trong tam giác AHB

ta
có AH = AB

sinB = RsincsinB. Trong tam giác vuông AC

O ta có
AC

= Rsinb. Trong tam giác AHC

có AH = AC

sinC = RsinbsinC.
Từ đó ta có RsincsinB = RsinbsinC. Với 0 < B, C < π nên suy ra
sinb
sinB
=
sinc
sinC
. Tương tự ta có kết quả:
sina
sinA
=
sinb
sinB
=
sinc
sinC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
2.2.2 Định lí cosin thứ nhất
Trong tam giác cầu ABC thì
cosa = cosbcosc + sinbsinccosA
cosb = cosacosc + sinasinccosB
cosc = cosacosb + sinasinbcosC
O
M
N
B
A
C
E
Chứng minh. Xét tam giác cầu ABC trên mặt cầu tâm O. Lấy điểm M bất
kỳ trên OA rồi trong ∆AOC kẻ MN⊥OA, trong ∆AOB kẻ ME⊥OA.
Khi đó ta c ó

NME là góc phẳng nhị diện cạnh OA hay

NME = A.
Xét tam giác vuông MNO có MN = OMtanb, ON =
OM
cosb
, trong
∆OME ta có ME = OMtanc, OE =
OM
cosc
.
Xét ∆ONE có: NE

2
= ON
2
+ OE
2
− 2ONOEcosa, trong ∆MNE
có: NE
2
= MN
2
+ ME
2
− 2MNMEcosA. Từ đó suy ra:
ON
2
+ O E
2
− 2ONOEcosa = MN
2
+ ME
2
− 2MNMEcosA
⇔
OM
2
cos
2
b
+
OM

2
cos
2
c
− 2
OM
cosb
OM
cosc
cosa
= OM
2
tan
2
b + OM
2
tan
2
c − 2OM
2
tanbtanccosA
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
⇔
1
cos
2
b
+
1

cos
2
c
− 2
cosa
cosbcosc
= tan
2
b + tan
2
c − 2tanbtanccosA
⇔ 1 + tan
2
b + 1 + tan
2
c − 2
cosa
cosbcosc
= tan
2
b + tan
2
c − 2tanbtanccosA
⇔ 1 −
cosa
cosbcosc
= −tanbtanccosA
⇔ cosbcosc − cosa = −sinbsinccosA
⇔ cosa = cosbcosc + sinbsinccosA
Hai công thức còn lại chứng minh tương tự.

Ví dụ 3. Một t ầu đi từ cảng A đến cảng B biết ϕ
A
= 15
0
20

30”N, λ
A
=
72
0
40

15”E, ϕ
B
= 12
0
15

50”S, λ
B
= 112
0
50

40”E với vận tốc 12 hải
lý/giờ. Tính t hời gian hành t rì n h của t àu.
Giải
N
A

O
B’
B
A’
W
E
S
0
Xét tam giác cầu NAB: gọi kinh tuyến qua NA cắt xích đạo tại A

,
kinh tuyến qua NB cắt xích đạo tại B

, tâm trái đất là O.
Ta có:

AOA

= ϕ
A
= 15
0
20

30” ⇒

NA= 90
0
− ϕ
A

= 74
0
39

30”.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên