Một số phương pháp cơ bản giải quy hoạch lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ANH TUẤN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
GIẢI QUY HOẠCH LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ANH TUẤN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
GIẢI QUY HOẠCH LỒI
Chuyên ngành:

TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Trang phụ bìa
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

1

1 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi

3

1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Hàm lồi và hàm lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4

Hàm lồi mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Các phương pháp giải quy hoạch lồi không ràng buộc

20

2.1

Bài toán quy hoạch lồi và các tính chất cơ bản . . . . . . . 20

2.2

Thuật toán hướng đạo hàm (dốc nhất) giải quy hoạch lồi. . 25

2.3

Phương pháp Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Phương pháp giải quy hoạch lồi có ràng buộc
3.1

31

Bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc và điều kiện tối ưu . . 31

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii

3.2

3.3

3.1.1

Bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc . . . . . . . . . 31

3.1.2

Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3

Định lý (Karush-Kuhn-Tucker) . . . . . . . . . . . . 35

3.1.4

Định lý (Kuhn-Tucker) . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Phương pháp hàm phạt giải quy hoạch lồi có ràng buộc. . . 41
3.2.1

Phương pháp hàm phạt điểm trong

. . . . . . . . . 42

3.2.2

Phương pháp hàm phạt điểm ngoài. . . . . . . . . . 45

Phương pháp Frank – Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

51

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Lời cảm ơn
Nghiên cứu khoa học là một chặng đường đầy khó khăn và thử thách.
Sau hơn một năm làm luận văn, tôi đã trải nghiệm được rất nhiều điều,
rút ra được những bài học bổ ích cho cuộc sống.
Công trình được hoàn thành bên cạnh sự cố gắng của cá nhân là sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, của đồng nghiệp, của bạn bè và
những người thân.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
GS.TSKH Lê Dũng Mưu – người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, động viên

và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận
văn này. Kính chúc thầy và gia đình luôn mạnh khỏe, hạnh phúc !
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo thuộc bộ môn Toán - Tin,
phòng Đào tạo và quan hệ Quốc tế, các cán bộ khoa Sau đại học trường
Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã dạy dỗ, chỉ bảo tôi trong
suốt hai năm học vừa qua.
Tôi xin cảm ơn các bạn học viên Cao học Toán khóa 3 đã động viên,
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường, cũng như trong
quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Tôi xin được bày tỏ sự cảm ơn chân thành của mình tới bạn bè đồng
nghiệp, tới những người thân trong gia đình đã động viên, giúp đỡ tôi về
mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

thiếu xót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của
các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn !
Thái Nguyên, 15 tháng 09 năm 2011.
Người thực hiện
Nguyễn Anh Tuấn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

Mở đầu
Quy hoạch toán học là một bộ môn quan trọng của toán học ứng dụng.
Lớp bài toán quan trọng của quy hoạch toán học là quy hoạch tuyến tính.
Tuy nhiên tính chất tuyến tính nhiều khi không thỏa mãn trong những
trường hợp thực tế. Một tính chất khá gần với tính chất tuyến tính là tính
lồi. Trong đó quy hoạch lồi là lớp bài toán tối ưu có cấu trúc lồi. Một tính
chất cơ bản nhất của bài toán quy hoạch lồi là cực tiểu địa phương cũng
là cực tiểu toàn cục. Điều này cho phép các công cụ địa phương như giới
hạn, đạo hàm được sử dụng rất hiệu quả cho quy hoạch lồi. Chính vì đó
mà tuy mới hình thành và phát triển chưa lâu, nhưng quy hoạch lồi đã có
nhiều kết quả quan trọng cả về lý thuyết và phương pháp giải.
Bản luận văn cao học này nhằm mục đích chủ yếu giới thiệu các phương
pháp cơ bản nhất để giải quy hoạch lồi không ràng buộc. Đó là các phương
pháp hướng giảm, sử dụng đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm
lồi khả vi. Tuy nhiên luận văn cũng trình bày thêm các phương pháp hàm
phạt, cho phép chuyển việc giải bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc về
việc giải các bài toán quy hoạch lồi không ràng buộc. Để thấy rõ thêm vai
trò của các phương pháp giải quy hoạch lồi không ràng buộc, trong luận
văn cũng có trình bày một thuật toán cơ bản giải trực tiếp quy hoạch lồi
có ràng buộc tuyến tính, đó là phương pháp Frank-Wolf.
Bản luận văn gồm có 3 chương. Chương 1 nhằm mục đích giới thiệu
các kiến thức cơ bản về hàm lồi, tập lồi, sẽ được sử dụng trong các chương
sau. Chương 2 giới thiệu về bài toán quy hoạch lồi, một số khái niệm, định

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

lý quan trọng và một số phương pháp giải bài toán. Chương 3 giới thiệu
bài toán quy hoạch lồi có ràng buộc và một số định lý, tính chất quan
trọng từ đó đưa ra một số phương pháp giải bài toán.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Chương 1
Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi
Trong chương này chúng ta nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về tập
lồi và hàm lồi. Trong đó các khái niệm và kết quả được lấy từ các tài liệu
[1], [3], [4].

1.1

Tập lồi

Cho hai điểm a, b ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với

0

λ

1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b].

Định nghĩa 1.1. Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu nó chứa
trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Tức là, nếu (1−λ)a+λb ∈ C
với mọi a, b ∈ C và mọi 0

λ

1.

Định nghĩa 1.2. Điểm x ∈ Rn có dạng
k
1

2

k

λi ai

x = λ1 a + λ2 a + ... + λk a =
i=1

với

k
i

n

a ∈ R , λi

0,

λi = 1
i=1

được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a1 , a2 , ..., ak .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Ta dễ thấy rằng tập C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của
các phần tử thuộc nó.
Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dim C , là thứ
nguyên hay số chiều của bao afin của nó. Một tập lồi C trong Rn gọi là
có thứ nguyên đầy nếu dim C = n.
Định nghĩa 1.3. Điểm x ∈ Rn có dạng

x = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak
và

k

i

n

a ∈R ,

λi = 1
i=1
1

được gọi là tổ hợp afin của các điểm a , a2 , ..., ak .

M là một tập afin khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp afin các phần tử
thuộc nó.
Giao của một họ bất kỳ các tập afin cũng là một tập afin.
Cho E là một tập bất kỳ trong Rn , có ít nhất một tập afin chứa E, cụ
thể là Rn .
Mệnh đề 1.1. Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của
các điểm của nó. Tức là: C lồi khi và chỉ khi ∀k ∈ N, ∀λ1 , ..., λk > 0 :
k

k
1

k

λj = 1, ∀x , ..., x ∈ C ⇒
j=1

λj xj ∈ C.

j=1

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa. Ta chứng
minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm. Với k = 2, điều cần chứng
minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi. Giả sử mệnh đề
đúng với k - 1 điểm. Ta cần chứng minh với k điểm.
Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x1 , ..., xk ∈ C. Tức là
k

λj xj , λj > 0 ∀j = 1, ..., k,

x=
j=1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....