Nghiên cứu một số phương pháp rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định không đầy đ

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn và biết ơn sâu sắc đến GS.TS Vũ Đức Thi, Viện
Công nghệ Thông tin, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người đã tận tình
dày công hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy ở Viện Công nghệ Thông tin đã dạy bảo,
giúp đỡ và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt khóa học, trong suốt cả quá trình
em làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô ở trường Đại học Công nghệ
Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho
em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn bàn bè, người thân và gia đình luôn là người
đồng hành, động viên, chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2013
Nguyễn Quỳnh Lan


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là sản phẩm tìm hiểu, nghiên cứu của mình.
Một số Định nghĩa, Định lý, Tính chất, Mệnh đề và Thuật toán tôi lấy từ nguồn tài
liệu chính xác có trích dẫn tên tài liệu và tên tác giả rõ ràng. Tôi xin chịu trách
nhiệm về luận văn của mình.

Tác Giả
Nguyễn Quỳnh Lan


i

MỤC LỤC

MỤC LỤC...............................................................................................................................i

Danh mục các thuật ngữ........................................................................................................iii
Bảng các ký hiệu, từ viết tắt..................................................................................................iv
Danh sách bảng......................................................................................................................v
MỞ ĐẦU................................................................................................................................1
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ BẢNG QUYẾT ĐỊNH ĐẦY ĐỦ VÀ BẢNG QUYẾT
ĐỊNH KHÔNG ĐẦY ĐỦ......................................................................................................3
1.1. Bảng quyết định đầy đủ...................................................................................................3
1.2. Hệ thông tin .......... .........................................................................................................3
1.3. Hệ thông tin đầy đủ và mô hình tập thô truyền thống.....................................................3
1.3.1. Hệ thông tin đầy đủ ............................................................................................3
1.3.2. Mô hình tập thô truyền thống..............................................................................5
1.3.3. Tập rút gọn và tập lõi..........................................................................................7
1.4. Hệ thông tin không đầy đủ và mô hình tập thô dung sai.................................................9
1.4.1. Hệ thông tin không đầy đủ..................................................................................9
1.4.2. Bảng quyết định không đầy đủ.........................................................................11
1.4.3. Tập rút gọn của bảng quyết định không đầy đủ................................................11
1.5.Rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định đầy đủ sử dụng metric.................................12
1.5.1. Metric trên họ các tri thức và tính chất.............................................................12
1.5.1.1. Khoảng cách Jaccard giữa hai tập hợp hữu hạn........................................12
1.5.1.2. Metric trên họ các tri thức........................................................................14
1.5.1.3. Một số tính chất của metric trên bảng quyết định....................................15
1.5.2. Rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định sử dụng metric..............................18
1.5.2.1.Tập lõi và tập rút gọn của bảng quyết định dựa trên metric……….……..18
1.5.2.2.Thuật toán tìm tập rút gọn của bảng quyết định sử dụng metric................19


ii
1.6 Kết luận chương 1……………………………………………………………...27
Chương 2.RÚT GỌN THUỘC TÍNH TRONG BẢNG QUYẾT ĐỊNH KHÔNG ĐẦY ĐỦ….28
2.1 Giới thiệu.......................................................................................................................28

2.2. Entropy Liang mở rộng trong hệ thông tin không đầy đủ và các tính chất…...…….. 29
2.2.1. Entropy Liang mở rộng của tập thuộc tính......................................................29
2.2.2. Entropy Liang mở rộng có điều kiện................................................................30
2.2.3. Một số tính chất của entropy Liang mở rộng....................................................32
2.3. Metric trên họ các phủ và các tính chất.........................................................................37
2.3.1. Metric trên họ các phủ......................................................................................37
2.3.2. Một số tính chất chất của metric.......................................................................40
2.4. Rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định không đầy đủ sử dụng metric………...…..43
2.4.1 Tập rút gọn của bảng quyết định không đầy đủ dựa trên metric.......................43
2.4.2.Thuật toán tìm tập rút gọn của bảng quyết định không đầy đủ.........................44
2.5. Kết luận chương 2.........................................................................................................52
Chương 3. CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM...................................................................53
3.1 Mô tả dữ liệu..................................................................................................................53
3.2 Xây dựng chương trình...................................................................................................57
3.3 Kết quả thực nghiệm......................................................................................................59
3.4 Nhận xét.........................................................................................................................60
KẾT LUẬN..........................................................................................................................61
TÀI LIỆU THAMKHẢO………………………………………………………………….62

PHỤ LỤC…………………………………………………………………………..64


iii

Danh mục các thuật ngữ

Thuật ngữ tiếng việt

Thuật ngữ tiếng anh

Tập thô

Rough set

Hệ thông tin

Information system

Hệ thông tin đầy đủ

Complete Information system

Hệ thông tin không đầy đủ

Incomplete Information system

Bảng quyết định

Decision Table

Bảng quyết định đầy đủ

Complete Decision Table

Bảng quyết định không đầy đủ

Incomplete Decision Table

Quan hệ không phân biệt được

Indiscernibility Relation

Xấp xỉ dưới

Lower Approximation

Xấp xỉ trên

Upper Lower Approximation

Rút gọn thuộc tính

Attribute Reduction

Tập rút gọn

Reduct

Tập lõi

Core

Ma trận phân biệt

Indiscernibility Matrix

Hàm phân biệt

Indiscernibility Function

iv

Bảng các ký hiệu, từ viết tắt
Ký hiệu, từ viết tắt

Diễn giải

IS = (U, A, V, f)

Hệ thông tin, hệ thông tin đầy đủ

IIS = (U, A, V, f)

Hệ thông tin không đầy đủ

DS = (U, C∪D, V, f)

Bảng quyết định, bảng quyết định đầy đủ

IDS = (U, C∪D, V, f)

Bảng quyết định không đầy đủ

|U|

Số đối tượng

|C|

Số thuộc tính điều kiện trong bảng quyết định

|A|

Số thuộc tính trong hệ thông tin

u(a)

Giá trị của đối tượng u tại thuộc tính a

IND(B)

Quan hệ B- không phân biệt

SIM(B)

Quan hệ dung sai trên tập thuộc tính B

[u]B

Lớp tương đương chứa u của quan hệ IND(B)

SB(u)

Lớp dung sai của đối tượng u trên quan hệ SIM(B)

U/B

Phân hoạch của U sinh bởi tập thuộc tính B

U/SIM(B)

Phủ của U sinh bởi tập thuộc tính B

COVER(U)

Họ tất cả các phủ của U

∂B(u)

Hàm quyết định suy rộng của đối tượng u đối với B

BX

B- xấp xỉ dưới của X

BX

B- xấp xỉ trên của X

BNB(X)

B- miền biên của X

POS B(D)

B- miền dương của D

PRED(C)

Họ tất cả các tập rút gọn Pawlak


v

SRED(C)

Họ tất cả các tập rút gọn sử dụng ma trận phân biệt

MRED(C)

Họ tất cả các tập rút gọn dựa trên metric

PCORE (C)

Tập lõi dựa trên miền dương

SCORE(C)

Tập lõi sử dụng ma trận phân biệt

MCORE(C)

Tập lõi dựa trên metric

H(P)

Entropy Shannon của tập thuộc tính P

H(Q/P)

Entropy Shannon có điều kiện của Q khi đã biết P

IE(P)

Entropy Liang mở rộng của tập thuộc tính P trong
hệ thông tin không đầy đủ

IE(Q/P)

Entropy Liang mở rộng có điều kiện của Q khi đã
biết P trong hệ thông tin không đầy đủ

K(P)

Trong hệ thông tin đầy đủ:là tri thức sinh bởi tập
thuộc tính P. Trong hệ thông tin không đầy đủ là
phủ sinh bởi tâp thuộc tính P

dj(K(P), K(Q))

Khoảng cánh giữa K(P) và K(Q) trong hệ thông tin
đầy đủ dựa trên khoảng cách Jaccard giữa hai tập hợp

dE(K(P), K(Q))

Khoảng cánh giữa K(P) và K(Q) trong hệ thông tin
không đầy đủ dựa trên entropy Liang mở rộng

SIGB(b)

Độ quan trọng của thuộc tính b đối với B


vi

DANH SÁCH BẢNG
Bảng 1.1 Bảng thông tin về bệnh
cúm...............................................................6
Bảng 1.2. Bảng quyết định về bệnh cúm...........................................................9
Bảng 1.3. Bảng thông tin về các xe
hơi............................................................12
Bảng 1.4. Bảng quyết định về bệnh cảm
cúm...................................................19
Bảng 1.5. Bảng quyết định minh họa ví dụ 1.5................................................22
Bảng 2.1 Bảng hệ thông tin không đầy đủ về các xe
hơi.................................37
Bảng 2.3. Bảng quyết định không đầy đủ minh họa ví dụ 2.3..........................49
Bảng 2.4. Bảng quyết định không đầy đủ về các xe
hơi...................................52
Bảng 3.1. Bảng quyết định không đầy đủ về các xe
hơi...................................56
Bảng 3.2. Kết quả thực hiện thuật toán Thuật toán 2.2…………………………
65
Bảng 3.3. Tập rút gọn của Thuật toán 2.2……………………………………..65


1

MỞ ĐẦU

Mười năm trở lại đây chúng ta đã chứng kiến sự phát triển mạnh mẽ và sôi
động của lĩnh vực nghiên cứu về rút gọn thuộc tính sử dụng lý thuyết tập thô.
Trong xu thế đó, nhiều nhóm nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu các
phương pháp rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định. Các phương pháp chính là:
Phương pháp dựa trên miền dương, phương pháp sử dụng các phép toán trong đại
số quan hệ, phương pháp sử dụng ma trận phân biệt, phương pháp sử dụng entropy
thông tin, phương pháp sử dụng các độ đo trong tính toán hạt...
Mục tiêu của rút gọn thuộc tính là loại bỏ các thuộc tính dư thừa để tìm ra các
thuộc tính cốt yếu và cần thiết trong cơ sở dữ liệu. Với bảng quyết định không đầy
đủ rút gọn thuộc tính là tìm tập con nhỏ nhất của tập thuộc tính điều kiện bảo đảm
thông tin phân lớp của bảng quyết định đó. Đối với một bảng quyết định không đầy
đủ có thể có nhiều tập rút gọn khác nhau. Tuy nhiên, trong thực hành thường không
đòi hỏi tìm tất cả các tập rút gọn mà chỉ cần tìm được một tập rút gọn theo một tiêu
chuẩn đánh giá nào đó là đủ.
Các kết quả nghiên cứu cho thấy rút gọn thuộc tính làm giảm thiểu đáng kể
khối lượng tính toán, nhờ đó có thể áp dụng đối với các bài toán có khối lượng dữ
liệu lớn. Thuật toán khá đơn giản về mặt thực thi. Nên em quyết định lựa chọn đề
tài luận văn: “Nghiên cứu một số phương pháp rút gọn thuộc tính trong bảng
quyết định không đầy đủ”.
Mục tiêu của luận văn: Tập trung nghiên cứu rút gọn thuộc tính trong bảng
quyết định đầy đủ từ đó làm cơ sở nghiên cứu tiếp phương pháp rút gọn thuộc tính
trong bảng quyết định không đầy đủ.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Các bảng quyết định đầy đủ, các bảng
quyết định không đầy đủ với kích thước trung bình và lớn.


2

Phương pháp nghiên cứu
- Về nghiên cứu lý thuyết: Các Định lý, Mệnh đề…đã được chứng minh dựa

vào các kiến thức cơ bản và các kết quả nghiên cứu đã công bố.
- Về nghiên cứu thực nghiệm: Cài đặt thuật toán, chạy thử nghiệm thuật toán.
Ý nghĩa khoa học của đề tài
-Đây là phương pháp được nhiều nhà khoa học nghiên cứu và đã có đóng góp
trong thực tiễn.
-Có thể coi luận văn là một tài liệu tham khảo khá đầy đủ, rõ ràng về các kiến
thức cơ bản trong bảng quyết định không đầy đủ.
Bố cục của luận văn: Gồm phần mở đầu và 3 chương nội dung, phần kết
luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về bảng quyết định đầy đủ, bảng
quyết định không đầy đủ, mô hình tập thô truyền thống, mô hình tập thô dung sai,
trình bày phương pháp xây dựng 1 metric trên họ các tri thức trong hệ thông tin đầy
đủ dựa trên khoảng cách Jaccard giữa hai tập hợp hữu hạn, trình bày phương pháp
rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định đầy đủ.
Chương 2: Trình bày phương pháp xây dựng một metric trên họ các phủ trong
hệ thông tin không đầy đủ dựa trên entropy Liang mở rộng, trình bày phương pháp
rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định không đầy đủ.
Chương 3: Chương trình thử nghiệm trình bày các nội dung: mô tả dữ liệu,
xây dựng chương trình, và kết quả thực nghiệm của thuật toán.
Cuối cùng, phần kết luận nêu những đóng góp của luận văn và hướng phát


3

triển của luận văn.


4

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ BẢNG QUYẾT ĐỊNH ĐẦY ĐỦ VÀ BẢNG

QUYẾT ĐỊNH KHÔNG ĐẦY ĐỦ

1.1. Bảng quyết định đầy đủ
Một lớp đặc biệt của hệ thông tin có vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng
là bảng quyết định. Bảng quyết định là một hệ thông tin DS với tập thuộc tính A
được chia thành hai tập khác rỗng rời nhau C và D, lần lượt được gọi là tập thuộc
tính điều kiện và tập thuộc tính quyết định. Tức là DS = (U, C∪D, V, f) với C∩D=
∅.

Xét bảng quyết định DS = (U, C∪D, V, f) với giả thiết mọi u∈U, mọi d∈D,
d(u) đầy đủ giá trị, nếu tồn tại u∈U và c∈C sao cho c(u) thiếu giá trị thì DS được
gọi là bảng quyết định không đầy đủ, trái lại DS được gọi là bảng quyết định đầy
đủ. Trong luận văn này, bảng quyết định đầy đủ được gọi tắt là bảng quyết định.
1.2. Hệ thông tin
Hệ thông tin là công cụ biểu diễn tri thức dưới dạng 1 bảng dữ liệu gồm p cột
tương ứng với p thuộc tính và n hàng ứng với n đối tượng.
1.3. Hệ thông tin đầy đủ và mô hình tập thô truyền thống.
1.3.1. Hệ thông tin đầy đủ
Một cách hình thức, hệ thông tin được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1. Hệ thông tin là một bộ tứ IS= (U, A, V, f) trong đó U là một tập
hữu hạn, khác rỗng các đối tượng, A là một tập hữu hạn, khác rỗng các thuộc tính,
V=

UV

a∈A

a

với Va là tập giá trị các thuộc tính a∈A; f: U x A → Va là hàm thông tin,

mọi a∈A, u∈U f(u,a)∈Va.


5

Với mọi u∈U, a∈A ta ký hiệu giá trị thuộc tính a tại đối tượng u là a(u) thay
vì f(u,a). Nếu B= {b 1, b2, ...,bk}⊆A là một tập con các thuộc tính thì ta ký hiệu bộ
các giá trị bi(u) bởi B(u). Như vậy, nếu u và v là hai đối tượng, thì ta viết
B(u)=B(v), nếu bi(u)=bi(v) với mọi i= 1,...,k.
Cho hệ thông tin IS = (U, A, V, f), nếu tồn tại u∈U và a∈A sao cho a(u)
thiếu giá trị (missing value) thì IS được gọi là hệ thông tin không đầy đủ, trái lại IS
được gọi là hệ thông tin đầy đủ. Chúng ta tự hiểu hệ thông tin đầy đủ được gọi tắt
là hệ thông tin.
Xét hệ thông tin IS = (U, A, V, f). Mỗi tập con các thuộc tính P⊆A xác định
một quan hệ hai ngôi trên U, ta ký hiệu IND(P), xác định bởi:
IND(P)={(u,v) ∈U x U/ ∀ a ∈P, a(u)=a(v)}.
IND(P) là quan hệ P – không phân biệt được. Dễ thấy rằng IND (P) là một
quan hệ tương đương trên U. Nếu (u,v)∈IND(P) thì hai đối tượng u và v không
phân biệt được bởi các thuộc tính trong P. Quan hệ tương đương IND(P) xác định
một phân hoạch U/P chứa đối tượng u là [u]p khi đó [u]p= {v∈U/(u,v)∈IND(P)}.
Định nghĩa 1.2.[12] Cho hệ thông tin IS=(U, A, V, f), và P, Q⊆A.
1) Phân hoạch U/P và phân hoạch U/Q là như nhau (viết U/P=U/Q), khi và
chỉ khi ∀ u ∈U, [u]P=[u]Q.
2) Phân hoạch U/P mịn hơn phân hoạch U/Q (viết U/P ≼U/Q), khi và chỉ khi
∀ u ∈U, [u]P ⊆[u]Q.
Tính chất 1.1 [12] Xét hệ thông tin IS= ( U,A,V, f ) và P, Q⊆A.
1) Nếu P⊆Q thì U/Q≼U/P, mỗi lớp của U/P là một lớp hoặc hợp của một số
lớp thuộc U/Q.
2) Với mọi u ∈U ta có [u]P∪Q=[u]p ∩[u]Q.

1.3.2. Mô hình tập thô truyền thống


6

Cho hệ thông tin IS=(U, A, V, f), và tập đối tượng X⊆U. Với một tập thuộc tính
B⊆A cho trước chúng ta có các lớp tương đương của phân hoạch U/B, thế thì một tập
đối tượng X có thể biểu diễn thông qua các lớp tương đương này như thế nào?
Để biểu diễn X thông qua các lớp tương đương của U/B (còn gọi là biểu diễn
X bằng tri thức có sẵn trong B), người ta xấp xỉ X bởi hợp của một số hữu hạn các
lớp tương đương của U/B. Có hai cách xấp xỉ tập đối tượng X thông qua tập thuộc
tính B, được gọi là B xấp xỉ dưới và B xấp xỉ trên của X, ký hiệu lần lượt là BX và
BX được xác định như sau:
BX ={u ∈U /[u]B ⊆X }
BX ={u ∈U /[u]B ∩X ≠ ∅ }.

Tập BX bao gồm tất cả các phần tử của U chắc chắn thuộc vào X, còn tập
BX bao gồm các phần tử của U có thể thuộc vào X dựa trên tập thuộc tính B. Từ

hai tập xấp xỉ nêu trên, ta định nghĩa các tập
BNB(X) = BX - BX : B miền biên của X, U- BX : B miền ngoài của X.
B miền biên của X là tập chứa các đối tượng có thể thuộc hoặc không thuộc
X, còn B miền ngoài của X chứa các đối tượng chắc chắn không thuộc X. Sử dụng
các lớp của phân hoạch U/B, các xấp xỉ dưới và trên của X có thể viết lại
BX = ∪{Y ∈U / B / Y ⊆X }, BX = ∪{Y ∈U / B / Y ∩X ≠ ∅ }.

BNB(X) = ∅ thì X được gọi là tập chính xác (exact set ), ngược lại X được
gọi là tập thô (rough set).
Với B,D ⊆A, ta gọi B miền dương của D là tập được xác định như sau:
POSB(D)=

U

X ∈U / D

( BX )

Rõ ràng POSB(D) là tập tất cả các đối tượng u sao cho với mọi v∈U mà
u(B)=v(B) ta đều có u(D)=v(D). Nói cách khác, POSB(D)={u ∈U /[u]B ⊆ [u]D }.
Ví dụ 1.1. Xét hệ thông tin biểu diễn các triệu chứng cúm của bệnh nhân


7

Bảng 1.1. Bảng thông tin về bệnh cúm

U

Đau đầu

Thân nhiệt

Cảm cúm

u1

Có

Bình thường

Không

u2

Có

Cao

Có

u3

Có

Rất cao

Có

u4

Không

Bình thường

Không

u5

Không

Cao

Không

u6

Không

Rất cao

Có

u7

Không

Cao

Có

u8

Không

Rất cao

Không

Ta có: U/{Đau đầu}={ {u1, u2, u3}, {u4, u5, u6, u7, u8}}
U/{Thân nhiệt}={{u1, u4}, {u2, u5, u7}, {u3, u6, u8}}

U/{Cảm cúm}={ {u1, u4, u5, u8}, {u2, u3, u6, u7, }}
U/{Đau đầu, Cảm cúm}={ {u1}, {u2, u3}, {u4, u5, u8}, {u6, u7}}
Như vậy, các bệnh nhân u2, u3 không phân biệt được về đau đầu và cảm cúm,
nhưng phân biệt được về thân nhiệt.
Các lớp không phân biệt được bởi B={Đau đầu, Thân nhiệt} là:
{u1}, {u2}, {u3}, {u4}, {u5, u7}, {u6, u8}.
Đặt X={u/u (Cảm cúm)=Có}={ u2, u3, u6, u7}. Khi đó:
BX ={ u2, u3}
BX ={ u2, u3, u5, u6, u7, u8}. Như vậy, B miền biên của X là tập hợp

BNB(X)={u5, u6, u7, u8}. Nếu đặt D={Cảm cúm} thì:


8

U/D ={X1= { u1, u4, u5, u8}; X2={ u2, u3, u6, u7}},
BX 1={ u1, u4}
BX 2 ={ u2, u3}

POSB (D)= X ∈U
( BX )={ u1, u2, u3, u4}.
U /D
1.3.3. Tập rút gọn và tập lõi
Trong bảng quyết định, các thuộc tính điều kiện được phân thành 3 nhóm:
thuộc tính lõi (core attribute), thuộc tính rút gọn (reductive attribute) và thuộc tính
dư thừa (redundant attribute). Thuộc tính lõi là thuộc tính không thể thiếu trong
việc phân lớp chính xác tập dữ liệu. Thuộc tính lõi xuất hiện trong tất cả các tập rút
gọn của bảng quyết định. Thuộc tính dư thừa là những thuộc tính mà việc loại bỏ
chúng không ảnh hưởng đến việc phân lớp tập dữ liệu, thuộc tính dư thừa không
xuất hiện trong bất kỳ rút gọn nào của bảng quyết định. Thuộc tính rút gọn là thuộc

tính xuất hiện trong một tập rút gọn nào đó của bảng quyết định.
Định nghĩa 1.3. (Tập lõi dựa trên miền dương) Cho bảng quyết định DS = (U,
C∪D, V,f). Thuộc tính c∈C được gọi là không cần thiết (dispensable) trong DS
dựa trên miền dương nếu POSC(D)=POS(C-{c})(D). Ngược lại, c được gọi là cần thiết
(indispensable). Tập tất cả các thuộc tính cần thiết trong DS được gọi là tập lõi dựa
trên miền dương và được ký hiệu là PCORE (C). Khi đó, thuộc tính cần thiết chính
là thuộc tính lõi.
Theo Định nghĩa 1.3 thuộc tính không cần thiết được gọi là thuộc tính dư thừa
hoặc thuộc tính rút gọn.
Định nghĩa 1.4 (Tập rút gọn dựa trên miền dương) Cho bảng quyết định DS=(U,
C∪D, V, f). Và tập thuộc tính R⊆C. Nếu:
1) POSR (D)=POSC (D)
2) Mọi r∈R, POSR-{r} (D)≠POSC (D)


9

Thì R là một tập rút gọn của C dựa trên miền dương.
Tập rút gọn định nghĩa như trên còn gọi là tập rút gọn Pawlak. Ký hiệu

I(C )
PRED(C) là họ tất cả các tập rút gọn Pawlak của C. Khi đó PCORE (C) = R∈PRED
R.
Định nghĩa 1.5. Cho bảng quyết định DS = (U, C∪D, V, f). Và a∈C. Ta nói rằng
a là thuộc tính rút gọn của DS nếu tồn tại 1 tập rút gọn R∈PRED(C) sao cho a∈R.
Định nghĩa 1.6. Cho bảng quyết định DS = (U, C∪D, V, f). Và a∈C. Ta nói rằng

U ( D ) R.
a là thuộc tính dư thừa của DS nếu a∈C- R∈PRED
Ví dụ 1.2. Xét bảng quyết định về bệnh cúm cho ở Bảng 1.2

Bảng 1.2. Bảng quyết định về bệnh cúm

U

Mệt mỏi

Đầu đầu

Đau cơ

Thân nhiệt

Cảm cúm

u1

Có

Có

Có

Bình thường

Không

u2

Có

Có

Có

Cao

Có

u3

Có

Có

Có

Rất cao

Có

u4

Có

Không

Có

Bình thường

Không

u5

Có

Không

Không

Cao

Không

u6

Có

Không

Có

Rất cao

Có

Bảng này có hai tập rút gọn là R1={Đau cơ, Thân nhiệt}, R2={Đâu đầu, thân
nhiệt}. Như vậy tập lõi là PCORE (C)={Thân nhiệt} và Thân nhiệt là thuộc lõi duy
nhất. Các thuộc tính không cần thiết bao gồm:

10

+Thuộc tính Mệt mỏi là thuộc tính dư thừa vì không tham gia vào rút gọn nào
+Hai thuộc tính Đau đầu và Đau cơ là hai thuộc tính rút gọn vì đều có mặt
trong một tập rút gọn. Hai thuộc tính này đều không cần thiết theo nghĩa là, từ bảng
dữ liệu, có thể loại bỏ một trong hai thuộc tính này mà vẫn chuẩn đoán đúng bệnh.
Tức là:
POS{Đau cơ, Thân nhiệt}({Cảm cúm})= POSC({Cảm cúm})
POS{Đau đầu, Thân nhiệt}({Cảm cúm})= POSC({Cảm cúm})
1.4. Hệ thông tin không đầy đủ và mô hình tập thô dung sai
Trong phần này, em xin trình bày các khái niệm cơ bản về mô hình tập thô mở
rộng trong hệ thông tin không đầy đủ dựa trên quan hệ dung sai do Marzena
Kryszkiewicz [6] đề xuất.
1.4.1. Hệ thông tin không đầy đủ
Như đã trình bày ở trên hệ thông tin IS=(U, A, V, f), nếu tồn tại u∈U và a∈A
sao cho a(u) thiếu giá trị IS được gọi là hệ thông tin không đầy đủ. Ta biểu diễn giá
trị thiếu là ‘*’ và hệ thông tin không đầy đủ là IIS= (U, A, V, f ).
Xét hệ thông tin không đầy đủ IIS = (U, A, V, f ). Với tập thuộc tính P⊆A ta
định nghĩa một quan hệ nhị phân trên U như sau:
SIM(P)={(u,v)∈U x U/ ∀ a∈P, a(u)= a(v) ∨a(u)=’*’∨a(v)=’*’}.
Quan hệ SIM(P) không phải là quan hệ tương đương vì chúng có tính phản xạ,
đối xứng nhưng không có tính bắc cầu. SIM (P) là một quan hệ dung sai (tolerance
relation), hay quan hệ tương tự (similarity relation) trên U. Theo [6], SIM
(P)=∩a∈PSIM({a}).


11

Gọi SP(u) là tập {v∈U/(u,v)∈SIM (P) }. SP(u) là tập lớn nhất các đối tượng

không có khả năng phân biệt được với u trên tập thuộc tính P, còn gọi là một lớp
dung sai hay một hạt thông tin. Ký hiệu tập tất cả các lớp dung sai sinh bởi quan hệ
SIM (P) trên U là U/ SIM (P), khi đó các lớp dung sai trong U/ SIM (P) không phải
là một phân hoạch của U mà hình thành một phủ của U vì chúng có thể giao nhau
và ∪u∈U SP(u)= U. Ký hiệu tập tất các phủ của U sinh bởi các tập con thuộc tính
P⊆A là COVER(U).
Trên COVER(U) ta định nghĩa một quan hệ thứ tự bộ phận (COVER(U),⋞)
như sau:
Định nghĩa 1.7.[9]Cho hệ thông tin không đầy đủ IIS=(U,A,V,f) với P, Q⊆A. Ta nói:
1) Phủ U/SIM(P) và phủ U/SIM(Q) là như nhau (viết U/SIM(P) = U/SIM(Q))
khi và chỉ khi ∀ u∈U, SP(u)=SQ(u).
2) U/SIM(P) mịn hơn U/SIM(Q) (viết U/SIM(P)≼U/SIM(Q)) khi và chỉ khi
∀ u∈U, SP(u)⊆SQ(u).

Trên (COVER(U),≼), phần tử nhỏ nhất gọi là phủ rời rạc ω={SA(u)/ SA(u )=
{u}, u∈U} và phần tử lớn nhất gọi là phủ một khối δ={SA(u)/ SA(u )= U, u∈U}.
Tính chất 1.2. [7] Cho hệ thông tin không đầy đủ IIS =(U, A, V, f)
1) Nếu P⊆Q⊆A thì SQ(u)⊆SP(u) với mọi u∈U.
2) Nếu P⊆Q⊆A thì U/SIM(Q)≼U/SIM(P).
3) Nếu P, Q ⊆A thì SP∪Q(u)= SP(u)∩SQ(u) với mọi u∈U.
Tương tự hệ thông tin đầy đủ, các tập P- xấp xỉ dưới và P- xấp xỉ trên của X trong
hệ thông tin không đầy đủ, ký hiệu lần lượt là P X và P X được xác định như sau:


12

P X = {u∈U/ SP(u) ⊆X}={u∈X/ SP(u) ⊆X}
P X= {u∈U/ SP(u) ∩X≠ ∅ }=∪{ SP(u)/u ∈U}

Với các tập xấp xỉ nêu trên, ta gọi P- miền biên của X là tập: BN P(X)= P X P X và P- Miền ngoài của X là tập: U- P X.

Ví dụ 1.3. Bảng 1.3 biểu diễn thông tin về các xe hơi là hệ thông tin không đầy đủ
IIS = {U, A, V, f}với U={u1, u2, u3, u4, u5, u6}, A={a1, a2, a3, a4} với a1 (Đơn giá), a2
(KM đã đi), a3 (Kích thước), a4 (Tốc độ tối đa).
Bảng 1.3. Bảng thông tin về các xe hơi

Ô tô

Đơn giá

Km đã đi Kích thước

Tốc độ tối đa

u1

Cao

Cao

Đầy đủ

Thấp

u2

Thấp

*

Đầy đủ

Thấp

u3

*

*

Gọn nhẹ

Cao

u4

Cao

*

Đầy đủ

Cao

u5

*

*

Đầy đủ

Cao

u6

Thấp

Cao

Đầy đủ

*

U/SIM(A)= {SA(u1), SA(u2), SA(u3), SA(u4), SA(u5), SA(u6)}, với
SA(u1)={u1}, SA(u2)={u2,u6}, SA(u3)={u3},SA(u4)={u4,u5},SA(u5)={u4, u5,u6},
SA(u6)={u2, u5,u6}.
Với P={a3,a4} ta có:
U/SIM(P)={SP(u1), SP(u2), SP(u3), SP(u4), SP(u5), SP(u6)}, với
SP(u1)=SP(u2)={u1,u2, u6}, SP(u3)={u3}, SP(u4)=SP(u5)={u4, u5,u6},


13

SP(u6)={u1, u2,u4, u5,u6}.
1.4.2. Bảng quyết định không đầy đủ
Như đã trình bày ở trên với bảng quyết định DS = (U, C∪D,V,f), nếu tồn tại
u∈U và c∈C sao cho c(u) thiếu gái trị thì DS được gọi là bảng quyết định không
đầy đủ. Ta biểu diễn giá trị thiếu là ‘*’ và bảng quyết định không đầy đủ là IDS=(U,
C∪D,V, f) với mọi d∈D, ‘*’ ∉ Vd. Không mất tính chất tổng quát, giả thiết D chỉ

gồm một thuộc tính quyết định duy nhất {d} [6].
1.4.3. Tập rút gọn của bảng quyết định không đầy đủ
Trong [6], Marzena Kryszkiewic định nghĩa tập rút gọn của bảng quyết định
không đầy đủ, là tập con tối thiểu của tập thuộc tính điều kiện mà bảo toàn hàm
quyết định suy rộng của tất cả các đối tượng.
Định nghĩa 1.8. [6] (Tập rút gọn của bảng quyết định không đầy đủ) Cho bảng
quyết định không đầy đủ IDS=(U. C∪D, V, f) và tập thuộc tính R⊆C. Nếu:
1) ∂ R(u)= ∂ C(u) với mọi u∈U.
2) Với mọi R’ ⊂ R, tồn tại u∈U sao cho ∂ R’(u)≠ ∂ C(u)
Thì R được gọi là một tập rút gọn của C.Tập rút gọn định nghĩa như trên còn
gọi là tập rút gọn Kryszkiewic.
1.5. Rút gọn thuộc tính trong bảng quyết định đầy đủ sử dụng metric
Các kết quả trong phần này được tìm hiểu trong tài liệu [3].
1.5.1. Metric trên họ các tri thức và các tính chất.
1.5.1.1. Khoảng cách Jaccard giữa hai tập hợp hữu hạn.
Định nghĩa 1.9. Cho tập U là tập hữu hạn các đối tượng và X, Y ⊆ U. Biểu thức:


14

D(X,Y) = 1 -

X ∩Y
X ∪Y

được gọi là khoảng cách Jaccard ( Jaccacrd distance)

giữa X và Y và biểu thức: J (X,Y) =

X ∩Y

X ∪Y

được gọi là hệ số Jaccard. Hệ Số Jaccard

đo độ tương tự giữa hai tập hợp X và Y. Hiển nhiên D(X, Y)+J(X,Y)=1.
Định lý 1.1. Cho U là tập hữu hạn các đối tượng và P(U) là tập các tập con của U.
Khoảng cách Jaccard là một metric trên P(U), nghĩa là mọi X,Y,Z ∈ P(U) thoả mãn
các điều kiện sau:
(P1) D(X,Y) ≥ 0, điều kiện D(X,Y) = 0 khi và chỉ khi X=Y.
(P2) D(X,Y) = D(Y,X).
(P3) D(X,Y) + D(Y,Z) ≥ D(X,Z).
*Trình bày chứng minh:
Hiển nhiên, D(X,Y) thoả mãn điều kiện (P1) và (P2). Để chứng minh điều kiện
(P3) ( bất đẳng thức tam giác), ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:
J( X,Y)+J(Y,Z) ≤ 1+J(X,Z)

(1.1)

Giả sử U =N và U={u1, u2 ,...,un }. Ta biểu diễn tập X ⊆ U bởi một véc tơ N chiều
X
X
X
X
X
V X = ( v1 , v2 ,..., vn ) với vk =1 nếu uk ∈ X và vk =0 trong trường hợp ngược lại.
Đặt V XY = V X V Y , khi đó J(X,Y) được biểu diễn: J(X,Y) =

V XX

V XY

(1.2)
+ V YY + V XY

Nếu J(X,Y) ≤ J(X,Z) hoặc J(Y,Z) ≤ J(X,Z) thì hiển nhiên (3.1) thoả mãn. Do
đó, ta cần chứng minh (3.1) đối với trường hợp đồng thời J(X,Y) > J(X,Z) và J(Y,Z)
> J(X,Z). Từ (1.2) ta có:
J ( X ,Y )
XX
YY
V XY = 1 + J X , Y (V + V )
(
)

(1.3)


15

Dễ thấy ( V Y − V X ) và ( V Y − V Z ) ≥ 0 hoặc V YY − V YZ − V XY + V XY ≥ 0 thoả mãn
vì phần tử thứ k của ( V Y − V X ) và ( V Y − V Z ) là 0 và 1 kết hợp với (1.2) ta có:
YY

V −

YY
XX
J (Y , Z )
J ( X ,Y )
J(X ,Z)
(V + V ZZ ) −

(V + V YY ) +
(V XX − V ZZ ) ≥ 0
1 + J (Y , Z )
1 + J ( X ,Y )
1+ J ( X,Z )


J ( X ,Y )
J (Y , Z )  YY  J ( X , Y )
J ( X , Z )  XX
⇔ 1 −
−
−
V ≥ 
V +
 1 + J ( X , Y ) 1 + J ( Y , Z ) 
1 + J ( X , Y ) 1 + J ( X , Z ) 
 J (Y , Z )
J ( X , Z )  ZZ
−
(1.4)

V
1 + J ( Y , Z ) 1 + J ( X , Z ) 
J ( X ,Y )

Rõ dàng V XX ≥ V XY , sử dụng (1.3) thu được V XX ≥ 1 + J X , Y ( V XX + V YY ) hay
(
)
V XX ≥ J ( X , Y )

XY

(1.5)

Từ giả thiết J(X,Y) - J(X,Z) > 0 ta có

J ( X ,Y )
J(X ,Z)
−
> 0.
1 + J ( X ,Y ) 1 + J ( X , Z )

Do đó từ (1.5)
 J ( X ,Y )
J ( X ,Y )
J(X ,Z)
J ( X , Z )  YY
−
V XX ≥ J ( X , Y ) 
−
÷V (1.6)
1 + J ( X ,Y ) 1 + J ( X , Z )
 1 + J ( X ,Y ) 1 + J ( X , Z ) 

Tương tự
 J (Y , Z )
 J (Y , Z )
J ( X , Z )  ZZ
J ( X , Z )  YY

 1 + J (Y , Z ) − 1 + J ( X , Z ) ÷V ≥ J (Y , Z )  1 + J (Y , Z ) − 1 + J ( X , Z ) ÷V (1.7)





Từ (1.4), (1.6), (1.7) ta có

 J ( X ,Y )
J ( X ,Y )
J (Y , Z )  YY
J ( X , Z )  YY
 1 − 1 + J ( X , Y ) − 1 + J (Y , Z ) ÷V ≥ J ( X , Y )  1 + J ( X , Y ) − 1 + J ( X , Z ) ÷V




 J (Y , Z )
J ( X , Z )  YY
+ J (Y , Z ) 
−
÷V
 1 + J (Y , Z ) 1 + J ( X , Z ) 

(1.8)


16

Nếu V YY =0 thì hiển nhiên (3.1) thỏa mãn. Giả sử V YY ≠ 0 . Khi đó, (1.8) tương

đương với:
 J ( X , Y ) + J (Y , Z ) 
J ( X , Y ) + J ( X , Y ) 2 J (Y , Z ) + J (Y , Z ) 2
1≥
+
− J(X , Z)
÷
1+ J ( X ,Y )
1 + J (Y , Z )
 1+ J (X , Z)

⇔ J ( X , Y ) + J (Y , Z ) ≤ 1 + J ( X , Z ). Do đó, đẳng thức (1.1) được chứng minh.

1.5.1.2. Metric trên họ các tri thức
Cho hệ thông tin IS=(U,A,V,f), mỗi tập thuộc tính P ⊆ A xác định một tri thức
(knowledge) K(P)={[u i ] p ui ∈ U} trên U. Ký hiệu họ tất cả các tri thức trên U là

κ

(U). Dựa vào khoảng cách Jaccard giữa hai tập, định lý sau xây dựng một metric
trên

κ (U).

Định lý 1.2. Ánh xạ d:

κ (U) x κ

d (K(P),K(Q)) = 1j

1
U

U

(U) → [0, ∞ ) xác định bởi:

∑
i =1

[ ui ] ∩[ ui ]
[ ui ] ∪[ ui ]
p

Q

p

Q

là một metric trên

κ (U)

*Trình bày chứng minh:

(P1) d j (K(P),K(Q)) =1-

1
U

[ ui ] ∩[ ui ]
∑
[ ui ] ∪[ ui ]
U

p

Q

p

Q

i =1

1
=
U

U

∑
i =1


[ U i ] ∩[ U i ] 
p
Q



1
−

[ U i ] p ∪[ U i ]

Q



÷
÷
÷


Áp dụng Định lý 1.1 với hai tập hợp [ui]p và [ui]Q với ui ∈ U ta có

1−

[ ui ] p ∩ [ ui ] Q
[ ui ] P ∪ [ ui ] Q

≥ 0. Do đó, dJ(K(P),K(Q)) ≥ 0. dJ(K(P),K(Q)) = 0 khi và chỉ

khi [ ui ] P ∩ [ ui ] Q = [ ui ] P ∪ [ ui ] Q ⇔ [ ui ] P ∩ [ ui ] Q = [ ui ] P ∪ [ ui ] Q ⇔ [ ui ] P = [ ui ] Q với mọi
ui ∈ U , nghĩa là K(P) = K(Q).


17

(P2) Theo định nghĩa d J ( K ( P), K (Q)) = d J ( K (Q), K ( P)) với mọi
K ( P ), K (Q) ∈ κ (U ).

(P3) Từ Định lý 1.1, d J ( K ( P), K (Q)) + d J ( K (Q), K ( R)) ≥ d J ( K ( P), K ( R)) . Từ
(P1), (P2), (P3) kết luận d J ( K ( P), K (Q)) là một metric trên κ (U ).

1.5.1.3. Một số tính chất của metric trên bảng quyết định
Với bảng quyết định DS=(U,C ∪ D, V , f ), Mệnh đề 1.1 sau đây xây dựng công
thức tính khoảng cách giữa hai tri thức K(C) và K(C ∪ D) dựa vào các phân hoạch
U/C và U/D.
Mệnh đề 1.1. Cho bảng quyết định DS=(U,C ∪ D, V , f ), giả sử U/C ={ C1 , C2 ,..., Cm }
và U/D={ D1 , D2 ,..., Dn }. Ta có:
n

d J ( K (C ), K (C ∪ D)) = 1 − ∑
i =1

m

Di ∩ CJ

J =1

U CJ

∑

2

.

*Trình bày chứng minh:
Giả sử Di ∩ Cj ={ui1, ui2, .....uisj}với Di ∩ C j = sj và D = ti, khi đó
i

m

∑ s j = ti và
j =1

n

∑t
i =1

i

= U . Ta có

Di ∩ CJ = [ ui1 ] D ∩ [ ui1 ] C = [ ui 2 ] D ∩ [ ui 2 ] C = ... = uís j  ∩ [
 D

] uis

j

 .
C

Di ∩ C j = [ ui1 ] D ∩ [ ui1 ] C = [ ui 2 ] D ∩ [ ui 2 ] C = ... = uisj  ∩ uisj  = s j

D
C