Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tửu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ HUỆ

BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ DÙNG
TRONG ĐÁNH GIÁ THEO HƯỚNG
TIẾP CẬN ĐẠI SỐ GIA TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2012


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ HUỆ

BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ DÙNG
TRONG ĐÁNH GIÁ THEO HƯỚNG
TIẾP CẬN ĐẠI SỐ GIA TỬ
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.Trần Thái Sơn

Thái Nguyên - 2012

LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là : Nguyễn Thị Huệ
Sinh ngày 12 tháng 12 năm 1983


Học viên cao học lớp: K9B- trường Đại học CNTT&TT Thái Nguyên
Xin cam đoan : Đề tài luận văn“Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo
hướng tiếp cận đại số gia tử” do TS.Trần Thái Sơn hướng dẫn là công trình nghiên cứu
của riêng tôi. Tất cả tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng.
Tôi xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề
cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm
trước Hội đồng khoa học và trước pháp luật.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2012
Người cam đoan

Nguyễn Thị Huệ


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình làm luận văn vừa qua, dưới sự giúp đỡ và chỉ bảo nhiệt tình của TS.
Trần Thái Sơn – Viện Công nghệ thông tin – Viện khoa học Việt Nam, luận văn của tôi đã
được hoàn thành. Mặc dù đã cố gắng không ngừng cùng với sự tận tâm của thầy hướng dẫn
nhưng do thời gian và khả năng vẫn còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót.
Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái
Sơn – Người thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban lãnh đạo và các thầy giáo, cô giáo trong
Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin & Truyền Thông Đại Học Thái Nguyên đã giúp đỡ,
tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập và thực hiện luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Thị Huệ


5
MỤC LỤC

Trang
Mục

lục

....................................................................................................................................
...i
Danh

mục

các

ký

hiệu,

các

chữ

viết

tắt

....................................................................................................................................
.iii
Danh mục hình ảnh…………………………………………………………...iv
PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….1
CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ
1.1. Kiến thức cơ sở về tập mờ………………………………………………..3
1.2. Lôgic mờ …………………………………………………………………8
1.3. Biến ngôn ngữ…………………………………………………………...13
1.4. Bài toán sắp xếp mờ …………………………………………………….14
1.4.1. Bài toán kết nhập……………………………………………………14
1.4.2. Các phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ…………………………15
1.4.2.1. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên nguyên lý mở rộng

của tập

mờ...……………………………………………………………..15
1.4.2.2. Phương pháp tính toán trên các ký hiệu ngôn ngữ ………...........16
1.3.2.3. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 2...
…………………………………………………………………………..17

1.4.2.4.

Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 3..
....................................................................................................................18
CHƯƠNG 2. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ GIA TỬ
2.1. Đại số gia tử ……………………………………………………………19

2.2. Định nghĩa đại số gia tử ………………………………………………...21


6

2.3. Các định lý ……………………………………………………………...23
2.4. Các đại lương đo trên đại số gia tử ……………………………………..25
2.5. Một số tính chất của quan hệ thứ tự trong đại số gia tử ………………...27
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ THEO CÁCH TIẾP
CẬN CỦA ĐẠI SỐ GIA TỬ
3.1. Thuật toán giải bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận của đại
số gia tử………………………………………………………….33
3.1.1.Bài toán……………………………………………………………...33
3.1.2. Xác định bài toán… ………………………………………………..34
3.1.3. Thuật giải………………. ………………………………………….37
3.2. Thuật toán sắp xếp mờ sử dụng quan hệ thứ tự của các phần tử của đại số gia tử
………………………………………………………………………...37
3.3. Chương trình thử nghiệm ……………………………………………….38
3.3.1. Cài đặt chương trình ………………………………………………..38
3.3.2. Giao diện chương trình……………………………………………...39
KẾT LUẬN………………………………………………………………….40
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………41
PHẦN PHỤ LỤC …………………………………………………………..43


7

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Các kí hiệu,

Ý nghĩa

các chữ viết tắt
ĐSGT

Đại số gia tử

α

Tổng độ đo tính mờ của các gia tử âm

β

Tổng độ đó tính mờ của các gia tử dương

AX, AT

Đại số gia tử

AX

Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ

W

Phần tử trung hòa trong đại số gia tử


8

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình
Hình 1
Hình 2

Mô tả
Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old)
Biểu diễn bộ 2

Hình 3

Độ đo tính mờ của biến TRUTH

Hình 4

Giao diện của chương trình

Hình 5

Kết quả thực hiện chương trình thử nghiệm


9

PHẦN MỞ ĐẦU
Trong đời sống hàng ngày hay trong công việc giảng dạy, chúng ta thường xuyên
gặp phải yêu cầu phải lựa chọn, đánh giá. Chẳng hạn, đánh giá học sinh trong trường học
hay lựa chọn phương án tối ưu trong các phương án được đưa ra. Nếu việc lựa chọn có thể

dựa trên các đánh giá bằng điểm số thì thông thường người ta lấy trung bình (có thể có
trọng số) của các đánh giá rồi dựa trên kết quả tổng hợp này mà sắp xếp các đối tượng và
trên cơ sở đó đưa ra quyết định. còn nếu ta chỉ có các đánh giá bằng những từ ngữ của ngôn
ngữ tự nhiên (như “giỏi”, “rất khá”..) thì việc tìm ra kết quả tổng hợp cho đánh giá là khó
khăn hơn nhiều vì nhiều khi không hiểu, (“khá” +”giỏi”)/2 sẽ là cái gì. Nội dung chính của
bài toán sắp xếp là phần tổng hợp các ý kiến đánh giá (bằng số hoặc từ ngữ) thành một
đánh giá kết quả và thông thường được gọi là bài toán kết nhập. Đã có nhiều nghiên cứu
được tiến hành để giải quyết bài toán sắp xếp, tựu trung có thể phân làm 2 hướng chính:
hướng nghiên cứu dựa vào lý thuyết tập mờ và hướng nghiên cứu dựa trên chỉ số thứ tự của
các từ đánh giá trong quan hệ thứ tự tự nhiên. Hướng nghiên cứu dựa trên lý thuyết tập mờ
chủ yếu tập trung vào việc chuyển các từ đánh giá vào trường số thực, trên cơ sở đó tiến
hành các phép kết nhập trên các số thực. Hướng nghiên cứu dựa trên chỉ số thứ tự của các
từ đánh giá dựa trên quan sát là các từ dùng được đánh giá thông thường có thể sắp xếp
theo thứ tự (thí dụ như “giỏi” > “tương đối giỏi”>”khá”> “trung bình”> “kém”...) và trong
tập thứ tự đó, mỗi từ được ứng với một chỉ số. Các phép kết nhập cần thiết sẽ được tiến
hành trên tập các chỉ số thay vì trên tập các từ đánh giá. Mỗi hướng nghiên cứu nêu trên
đều có những ưu khuyết điểm riêng liên quan đến sai số có thể gặp phải, đến độ phức tạp
tính toán... Trong luận văn này, tôi đi theo hướng nghiên cứu sau, tức là dựa cơ bản trên chỉ
số thứ tự của các từ đánh giá để thực hiên các phép kết nhập, tuy nhiên luận văn sẽ sử dụng
cách tiếp cận Đại số gia tử (ĐSGT) để giải quyết bài toán sắp xếp. Các kết quả nghiên cứu
cho thấy cách tiếp cận ĐSGT cho những đánh giá phù hợp trên cơ sở thuật toán khá đơn
giản về mặt thực thi. Nên tôi quyết định lựa chọn đề tài luận văn “Bài toán sắp xếp mờ
dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tử”
Luận văn có bố cục như sau:
Chương 1: Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập mờ


10

Trong chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập mờ, bài toán

sắp xếp mờ và một số phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ.
Chương 2: Những kiến thức cơ bản về đại số gia tử
Trong chương này trình bày khái niệm về đại số gia tử, các định lý, các đại lương
đo trên đại số gia tử, một số tính chất của quan hệ thứ tự trong đại số gia tử.
Chương 3 : Phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ theo cách tiếp cận của đại số gia
tử.
Trong chương này trình bày bài toán, thuật toán và cách giải bài toán sắp xếp mờ
theo hướng tiếp cận của đại số gia tử bằng cách sử dụng quan hệ thứ tự của các từ trong đại
số gia tử.


11

Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ
1.1. Kiến thức cơ sở về tập mờ
Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L. A. Zadeh đã có rất nhiều nghiên cứu
mở đường cho sự phát triển và ứng dụng [14]. Ý tưởng nổi bật của Zadeh là từ những khái
niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ-già, nhanhchậm, cao-thấp,… Ông đã tìm cách biểu diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được
gọi là tập mờ và được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1. [14] Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi x, U={x}. Một
tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm µA(x) mà nó liên kết mỗi phần tử x∈U
với một số thực trong đoạn [0,1]. Giá trị hàm µA(x) biểu diễn mức độ thuộc của x trong A.

µA(x) là một ánh xạ từ U vào [0,1] và được gọi là hàm thuộc của tập mờ A.
Như vậy, giá trị hàm µA(x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong A càng cao.
Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, µA(x), chỉ nhận 2 giá trị 1 hoặc 0, tương
ứng với x có nằm trong A hay không. Rõ ràng, tập mờ là sự mở rộng của khái niệm tập hợp
kinh điển. Các khái niệm, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho
các tập mờ.

Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào đoạn [0,1],

F (U ,[0,1])

tức là
= {µA : U→[0,1]}, một không gian tương đối giàu về cấu trúc tính toán
mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô phỏng các phương pháp suy luận của con
người.
Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là hữu hạn, đếm
được hay vô hạn liên tục:
- Trường hợp U hữu hạn, U={ui : 1≤ i ≤ n}, ta có thể viết
A = µA(u1)/u1 + µA(u2)/u2 + … + µA(un)/un = ∑1≤ i ≤n µA(ui)/ui
- Trường hợp U vô hạn đếm được, U={ui : i=1,2,… }, ta viết
A = ∑1≤ i <∞ µA(ui)/ui
- Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết


12

b

∫µ

A

A=

(u ) / u

a

Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ.
Định nghĩa 2. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và α∈[0,1]. Tập lát cắt α của
A là một tập kinh điển, ký hiệu Aα, được xác định như sau :
Aα = {u ∈ U : µA(u)≥α}.
Tập Aα còn gọi là tập mức α của A.
Định nghĩa 3. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,
i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó µA(u)≠0, tức
là support(A) = {u ∈ U : µA(u)≥0}.
ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm thuộc µA(u)
trên U, tức là high(A) = sup{µA(u) : u∈U}.
iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1. Ngược lại gọi là tập mờ dưới
chuẩn.
iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được xác định như
sau:
core(A) = {u∈U : µA(u) = high(A)}.
Định nghĩa 4. [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,
i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A), được xác
định là:
count(A) = ∑u∈U µA(u), nếu U là hữu hạn hay đếm được,
= ∫U µA(u)du, nếu U là vô hạn liên tục.
ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là một tập mờ
trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau:
card(A) = ∫N µcard(A)(n)dn , trong đó, µcard(A)(n) được xác định theo
công thức sau, với |Aα| là lực lượng tập mức Aα,

µcard(A)(n) = sup{t∈[0,1] : |Aα| = n}.


13

Ví dụ 1. Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0≤ u ≤120}, A là một tập mờ
chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau (hình 1):
u ∈ [0, 60]
0
µold (u ) = 
u − 60 −2 −1
(1 + ( 6 ) ) u ∈ [61,120]
Khi đó tập mức α=0.5 của A là A0.5 = {u : 66≤ u ≤120} ;
support(A) = {u : 61≤ u ≤120} ; high(A) = 1.01-1; core(A) = {120}.

Hình 1. Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old)
Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các phép này làm
cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ sau này.
Định nghĩa 5. [1,14] Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm thuộc tương ứng
là µA và µB, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ và lấy phần bù của tập mờ A là
một tập mờ C, được viết là
sau:

C = A ∪ B, hoặc C = A ∩ B, hoặc C = A~ với hàm thuộc được xác định như

µA∪B(u) = max(µA(u), µB(u)), ∀u ∈ U,
µA∩B(u) = min(µA(u), µB(u)), ∀u ∈ U,
µA~(u) = 1- µA(u), ∀u ∈ U.

Hay viết ở dạng thu gọn là

µA∪B(u) = µA(u) ∨ µB(u)),
µA∩B(u) = µA(u) ∧ µB(u)).
Ví dụ 2. [1] Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị trong thang

điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh. Hai tập mờ G và K tương ứng là hai khái
niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm thuộc được cho dưới dạng bảng như
sau:
u∈U

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


14

µG(u)
µK(u)

0.0
1.0

0.0
0.9

0.0
0.8

0.1
0.6

0.3
0.4

0.5
0.2

0.7
0.0

0.9
0.0

1.0
0.0

1.0
0.0

Ta có kết quả của các phép toán trên hai tập mờ này với hàm thuộc thể hiện trong
bảng sau:
u∈U
µG∪K(u)
µG∩K(u)
µG~(u)

1
0.0
0.0
1.0

2
0.0
0.0
1.0

3
0.0
0.0
1.0

4
0.6
0.1
0.9

5
0.5

0.3
0.7

6
0.5
0.2
0.5

7
0.7
0.0
0.3

8
0.9
0.0
0.1

9
1.0
0.0
0.0

10
1.0
0.0
0.0

Một lớp đặc biệt các tập mờ là lớp các quan hệ mờ, chúng là các tập mờ trên không
gian tích Đề-các các miền cơ sở. Như tên gọi, quan hệ mờ mô tả mối quan hệ mờ giữa các

đối tượng trong miền cơ sở. Về mặt hình thức chúng ta định nghĩa quan hệ mờ như sau.
Định nghĩa 6. [1] Cho U là tích Đề-Các của n miền cơ sở Ui, i=1, ,…, n. Khi đó mỗi
một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi và được kí hiệu là R, gọi là tên của
quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng công thức sau:

R=∫

U1 ×...×U n

µ (u1 ,..., u1 ) / (u1 ,..., u1 )

Trong đó µ(u1,…,un) là hàm thuộc của tập mờ R. Dấu ∫ biểu diễn hình thức của hàm
thuộc, có thể một trong ba trường hợp là hữu hạn hoặc đếm được hoặc liên tục.
Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân nó cũng là tập
mờ. Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà trên tập mờ không có, đó là
phép hợp thành dưới đây.
Định nghĩa 7. [1] Cho R là một quan hệ mờ trên U×V và S là quan hệ mờ trên V×W.
Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ trên U×W, được ký hiệu là R°S
và được định nghĩa như sau:
R°S = ∫∨v∈V [µR(u,v)°µS(v,w)]/(u,w)
Trong đó ° là một phép tính 2 ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết hợp và phân
phối đối với phép max ∨. Nếu ° là phép min ∧, thì ta có phép hợp thành max-min, nếu ° là
phép nhân số học thì ta có phép hợp thành max-product.
Ví dụ 3. Cho U = {u1, u2, u3}, V = {v1, v2} và W = {w1, w2}, với quan hệ mờ R trên
U×V và S trên V×W được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận


15

v1

v2

u1  0.4 1 
w1
w2
R = u2  1 0.3
v1  0.2 0.8
S= 
u3 0.7 0.8
v2  0.7 0.1
và
w1

w2

u1 0.7 1 
R o S = u2  0.3 0.8 
u3 0.7 0.7 
khi đó phép hợp thành max-min là
,
w1

w2

u1  0.8 0.32
R o S = u2  0.21 0.8 
u3 0.56 0.56 
và max-product là
.

Phép hợp thành các quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong quá trình lập luận xấp
xỉ sau này.
Trong hầu hết các ứng dụng, tri thức được biểu diễn dưới dạng luật “if-then” và mỗi
luật được xem như một quan hệ mờ
Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa
của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của con người. Tuy nhiên,
những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô
hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó
1.2. Lôgic mờ
Cùng với khái niệm biến ngôn ngữ, L. A. Zadeh đã phát triển lôgic mờ mà các giá trị
chân lý nhận trong T(Truth) = {true, very true, more false, possible false, very very false,
…}, tập các giá trị của biến ngôn ngữ Truth. Khi đó, một mệnh đề dạng “X is A”, với A là
một khái niệm mờ, sẽ có giá trị chân lý thuộc T(Truth) và được biểu thị bởi một tập mờ có
hàm thuộc µA trên không gian tham chiếu U.
Lý thuyết tập mờ là cơ sở toán học cho việc phát triển các phương pháp mô phỏng
lập luận của con người. Về nguyên tắc, vấn đề tư duy, lập luận của con người rất phức tạp
và do đó không thể sử dụng một cấu trúc toán học duy nhất để mô phỏng. Vì vậy, mục tiêu
của chúng ta là càng xây dựng được nhiều cấu trúc đại số các tập mờ càng tốt để linh hoạt
trong tiếp cận các vần đề ứng dụng. Ở đây, chúng ta sẽ định nghĩa một họ các cặp đối ngẫu
t-norm và t-conorm cùng với phép phủ định làm cơ sở cho lôgic mờ và lập luận xấp xỉ.


16

Định nghĩa 8 [1] Một hàm 2-biến T : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là phép t-norm
nếu nó thỏa các tính chất sau với ∀a,a’,b,c ∈[0,1]:
i) Tính chất điều kiện biên:

T(a,1) = a

ii) Tính giao hoán:

T(a,b) = T(b,a)

iii) Tính đơn điệu:

a ≤ a’ ⇒ T(a,b) ≤ T(a’,b)

iv) Tính kết hợp:

T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Ngoài ra, một số tính chất khác cần đòi hỏi phải có trong nhiều ứng dụng đối với
phép t-norm bao gồm:
v) Tính liên tục:

T là hàm hai biến liên tục

vi) Tính lũy đẳng dưới:

T(a,b) < a

vii) Tính đơn điệu chặt:

a ≤ a’ và b ≤ b’ ⇒ T(a,a’) < T(b,b’)

Định nghĩa 9 [1] Một hàm 2-biến S : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là phép t-conorm
nếu nó thỏa các tính chất sau với ∀a,a’,b,c ∈[0,1]:
i) Tính giới nội:

S(a,0) = a

ii) Tính giao hoán:

S(a,b) = S(b,a)

iii) Tính đơn điệu:

a ≤ a’ ⇒ S(a,b) ≤ S(a’,b)

iv) Tính kết hợp:

S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Như vậy, chỉ có hai tính chất điều kiện biên và giới nội làm nên sự khác biệt giữa hai
họ phép tính t-norm và t-conorm.
Chúng ta cũng có thể mở rộng định nghĩa cho phép t-norm và t-conorm này đối với
trường hợp nhiều biến vào, tức là Tex : [0,1]n → [0,1] và Sex : [0,1]n → [0,1], bằng cách áp
dụng liến tiếp các phép t-norm và t-conorm ở trên.
Định nghĩa 10 [1] Hàm N : [0,1] → [0,1] được gọi là phép phủ định (negation) nếu
nó thỏa các tính chất sau với ∀a,a’ ∈[0,1]:
i) Tính đơn điệu giảm:
iv) Tính lũy đẳng:

a ≤ a’ ⇒ N(a) ≥ N(a’)

N(N(a)) = a

Ví dụ 4: Các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định hay được sử dụng như:

TM(a,b) = min{a,b}


17

TP(a,b) = a.b
TL(a,b) = max{0,a+b-1}
a

T ( a, b) = b
0

*

khi b = 1
khi a = 1
khi a ≠ 1& b ≠ 1

SM(a,b) = max{a,b}
SP(a,b) = a+b-a.b
SL(a,b) = min{1,a+b}
a khi b = 0

*
S ( a, b) = b khi a = 0
0 khi a ≠ 0 & b ≠ 0

N(a) = 1-a.
Định nghĩa 11 [1] Ba phép tính t-norm T, t-conorm S và phép phủ định N được gọi là
một hệ đối ngẫu (T,S,N) nếu chúng thỏa điều kiện sau:

N(S(a,b)) = T(N(a),N(b)), ∀a,b∈[0,1].
Việc áp dụng các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định cho việc tính toán các toán
tử hội, tuyển và phủ định trong lôgic mờ làm tăng tính mềm dẻo trong ứng dụng. Thực vậy,
khi hai mệnh đề “X is A” và “X is B” có giá trị chân lý được biểu thị bởi hai hàm thuộc
tương ứng µA và µB trên không gian tham chiếu U và V thì mệnh đề mờ “X is A and B” có
hàm thuộc biểu thị giá trị chân lý là µA∩B = T(µA,µB), với T là một t-norm nào đó. Tương tự,
mệnh đề “X is A or B” có hàm thuộc là µA∪B = S(µA,µB) và mệnh đề “X is not A” có hàm
thuộc là µ~A = N(µA), ở đây S là một t-conorm và N là một phép phủ định được chọn nào đó.
Các mệnh đề mờ cùng với giá trị chân lý của chúng là những đối tượng nghiên cứu
chính của lôgíc mờ. Trong đó, một dạng mệnh đề mờ thường biểu diễn cho tri thức dạng
luật trong lập luận xấp xỉ và ứng dụng, đó là mệnh đề mờ có điều kiện dạng “If X is A then
Y is B” và được biểu diễn bằng toán tử kéo theo mờ.
Ở đây, một cách tổng quát, chúng ta đưa ra một số tính chất cho một phép kéo theo
mờ.
Định nghĩa 12 [1] Phép kéo theo là một hàm số I : [0,1]2 → [0,1] có các tính chất
sau:


18

i) Tính đơn điệu giảm đối với biến thứ nhất
x ≤ z ⇒ I(x,y) ≥ I(z,y), ∀y∈[0,1]
ii) Tính đơn điệu tăng đối với biến thứ hai
y ≤ u ⇒ I(x,y) ≤ I(x,u), ∀x∈[0,1]
iii) Tính chi phối của giá trị chân lý sai
I(0,x) = 1
iv) Tính trung tính của giá trị chân lý đúng
I(1,x) = x
v) Tính đồng nhất
I(x,x) = x

vi) Tính chất hoán đổi
I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z))
vii) Tính chất về điều kiện giới nội
I(x,y) = 1 nếu và chỉ nếu x ≤ y
viii) Tính chất khái quát hóa của phép kéo theo kinh điển
I(x,y) = I(N(y),N(x)), trong đó N là phép phủ định
ix) I là hàm liên tục theo cả hai biến.
Rõ ràng mệnh đề điều kiện ở dạng “If X is A then Y is B” thể hiện mối quan hệ giữa
hai khái niệm mờ A và B. Vì vậy, chúng cảm sinh một quan hệ mờ R thể hiện bởi một tập
mờ trên không gian tích Đề-Các U×V được xác định bởi hàm thuộc thông qua một phép
kéo theo được chọn.
Ví dụ 5. Một số dạng phép kéo theo thường dùng
Mamdani
I(x,y) = min{x,y}
Dạng khái quát từ phép kéo theo kinh điển
I(x,y) = S(N(x),y), hoặc
I(x,y) = S(N(x),T(x,y)), hoặc
I(x,y) = S(T(N(x),N(y)),y), với T, S và N là các phép
t-norm, t-conorm và phép phủ định.


19

Reichenbach
I(x,y) = 1-x+x.y
Lukasiewicz
I(x,y) = min{1, 1-x+y}.
Định lý sau đây cho chúng ta xem xét liệu phép kéo theo như thế nào sẽ thỏa mãn tất
cả các tính chất trong định nghĩa 12.
Định lý 1. [1] Một hàm 2-biến I : [0,1]2 → [0,1] thỏa các tính chất từ i) đến ix) trong

định nghĩa 12 nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục đơn điệu tăng thực sự f : [0,1] →
[0,+∞) sao cho f(0) = 0 và
I(x,y) = f-1(f(1)-f(x)+f(y)), với ∀x,y ∈ [0,1], và
N(x) = f-1(f(1)-f(x)), với ∀x ∈[0,1].
Tuy nhiên, bản chất ngữ nghĩa của phép kéo theo mờ trong lập luận của con người rất
phức tạp, khó có một hệ tiên đề chung cho mọi tình huống. Vì vậy, các tính chất ở định
nghĩa 12 không bắt buộc mọi phép kéo theo mờ đều phải thỏa mãn. Hơn nữa, cũng không
có quyền đặt ra các yêu cầu về một tính chất nào đó khác mà một phép kéo theo cần phải
có. Chỉ có ứng dụng thực tiễn là tiêu chuẩn cuối cùng chứng minh tính phù hợp của một
định nghĩa phép kéo theo mờ.
1.3. Biến ngôn ngữ

Trong [14], L. A. Zadeh đã viết “Khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài
của những vấn đề phức tạp cố hữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các
biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là
các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. Động lực cho
việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ở chỗ đặc trưng ngôn ngữ của các
từ và các câu thường ít xác định cụ thể hơn của các số”. và ông đã đưa ra một
lớp khái niệm rộng hơn có thể mô hình qua các tập mờ, đó là biến ngôn ngữ.
Định nghĩa 13. [14] Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X,T(X),U,R,M), trong đó X là tên
biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu hay còn gọi là


20

miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc ký pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho T(X), M là
quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ trên U cho các từ ngôn ngữ trong T(X).
Ví dụ 6 Cho X là biến ngôn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X là U=[0,120].
Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE)={very old, old, possible old, less old, less young, quite
young, more young,…}. Chẳng hạn với giá trị ngôn ngữ old, quy tắc gán ngữ nghĩa M cho

old bằng tập mờ cho bởi ví dụ 1
M(old) = {(u,µold(u)) : u∈[0,120]}.
Chúng ta thấy rằng một biến ngôn ngữ được cấu trúc theo hướng mà trong đó có hai
quy tắc cơ bản. Thứ nhất là quy tắc cú pháp, qui định cách thức để sinh các giá trị ngôn
ngữ. Thứ hai là quy tắc ngữ nghĩa, qui định thủ tục tính toán ngữ nghĩa của các giá trị ngôn
ngữ. Ngoài các giá trị sinh nguyên thủy, các giá trị ngôn ngữ có thể gồm các từ liên kết như
and, or, not,… và các gia tử ngôn ngữ như very, possible, less, quite, more,….Zadeh cũng
nêu ra một vài thí dụ về cách sinh ra các hàm thuộc từ các hàm thuộc đã có như nếu A là
nhãn ngôn ngữ mờ có hàm thuộc là μ A thì veryA có hàm thuộc là (μ A)2 còn lessA có hàm
thuộc là căn bặc hai của μA...
Trong thực tế có nhiều biến ngôn ngữ khác nhau về giá trị sinh nguyên thủy, tuy
nhiên cấu trúc miền giá trị của chúng tồn tại một “đẳng cấu” sai khác nhau bởi giá trị sinh
nguyên thủy này. Đây gọi là tính phổ quát của biến ngôn ngữ.
Khác với giá trị nguyên thủy của các biến ngôn ngữ phụ thuộc vào ngữ cảnh, ngữ
nghĩa của các gia tử và các từ liên kết hoàn toàn độc lập với ngữ cảnh. Đây là tính độc lập
ngữ cảnh của gia tử và liên kết.
Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa
của các khái niệm mờ và hơn nữa mô hình hóa cách lập luận của con người. Tuy nhiên,
những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô
hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó.
1.4. Bài toán sắp xếp mờ
1.4. 1.Bài toán sắp xếp mờ


21

Một cách hình thức, bài toán kết nhập có thể được phát biểu như sau.
Giả sử người quyết định phải ra quyết định chọn một phương án “tốt nhất”
trong m phương án lựa chọn Ai, i = 1, …, m, trên cơ sở lấy ý kiến đánh giá của
n chuyên gia ej, j = 1, …, n.

Trong môi trường thông tin ngôn ngữ, các chuyên gia biểu thị đánh giá
của mình bằng các từ ngôn ngữ (thang đánh giá ngôn ngữ) lấy trong tập S =
{s0, …, sg}. Ký hiệu xij là ý kiến đánh giá của chuyên gia j về phương án Ai.
Một yêu cầu tự nhiên là cần định giá ý kiến tổng hợp của các chuyên
gia đối với từng phương án, nghĩa là ta cần sử dụng một phép toán kết nhập R
tích hợp các ý kiến {xij: j = 1, …, n} của các chuyên gia. Toán tử kết nhập là
một ánh xạ R : {s0, …, sg}n→ {s0, …, sg}. Ánh xạ này phải được xác định sao
cho kết quả của phép toán R(si1, …, sin) có thể xem là biểu thị ý kiến tập thể
của n chuyên gia.
Giải bài toán sắp xếp mờ cũng chính là giải bài toán kết nhập mờ vì khi
có kết quả kết nhập, ta có thể sắp xếp các kết quả này theo thứ tự tăng (giảm )
dần của kết quả đó.
Có nhiều phương pháp tiếp cận tính toán khác nhau để giải quyết vấn
đề này. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến.
1.4.2. Các phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ
1.4.2.1. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên nguyên lý mở rộng của tập mờ

Ta biết rằng bằng nguyên lý mở rộng (hay nguyên lý thác triển) các ánh xạ
hoặc các phép tính số học thông thường có thể chuyển thành các ánh xạ hay
phép tính tương ứng trên các tập mờ. Ý tưởng chính của phương pháp là các
phép tính kết nhập kinh điển như phép trung bình số học, trung bình có trọng
số …, có thể chuyển thành các phép tính tương ứng trên các tập mờ, chẳng


22

hạn phép lấy trung bình cộng mờ, trung bình cộng mờ có trọng số trên các tập
mờ … Khi đó, các từ ngôn ngữ trong tập S được xem là các nhãn của các tập
mờ. Các phép kết nhập mờ thực hiện trên các tập mờ của các nhãn trong tập S
sẽ cho kết quả là tập mờ. Nói chung tập mờ kết quả khác với các tập mờ của

các nhãn, hay nó không biểu thị cho một nhãn ngôn ngữ nào trong S. Điều này
dẫn đến sự cần thiết phải phát triển các phương pháp xấp xỉ ngôn ngữ, tức là
tìm một nhãn ngôn ngữ trong S có tập mờ xấp xỉ tập mờ kết quả.
1.4.2.2. Phương pháp tính toán trên các ký hiệu ngôn ngữ

Giả sử ý kiến đánh giá theo một tiêu chí được biểu thị bằng các từ ngôn
ngữ trong tập S = {s0, …, sg} được sắp tuyến tính theo ngữ nghĩa của chúng
sao cho: singười ta mượn cấu trúc tính toán của đoạn [0, g] bao hàm các chỉ số để thực
hiện việc kết nhập số học. Ý tưởng này thể hiện như sau:
Giả sử ta lấy kết nhập tập các từ ngôn ngữ trong A = {a 1, …, ap}, ai∈S. Ta
thực hiện một hoán vị các chỉ số của tập A, A = {aπ1, …, aπp},
sao cho aπi ≥ aπj nếu i ≤ j. Xét một phép kết nhập số học R nào đó. R sẽ cảm sinh một phép
kết nhập g* trên tập S được định nghĩa như sau:
Tính R(π1, …, πp) ∈ [0, g], với π1, …, πp là các chỉ số của các phần tử trong A.
Đặt i* = round(R(π1, …, πp)), trong đó round là phép làm tròn số học. Khi đó phần tử si*
được xem là kết quả kết nhập R*(aπ1, …, aπp).

Lưu ý rằng các chỉ số chỉ mang thông tin về thứ tự của các từ ngôn ngữ. Vì
vậy, việc thực hiện phép kết nhập R trên các chỉ số, mặc nhiên ta đã thừa nhận
ngữ nghĩa các từ của S được biểu thị bằng chỉ số của chúng.
Do vậy, phép kết nhập R* được định nghĩa như trên là một hạn chế, vì nó
chịu một ràng buộc ít tự nhiên và mất mát nhiều thông tin.


23

1.4.2.3. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 2

Trong phương pháp trên ta cần làm tròn bằng biểu thức i* = round(R(π1, …, πp))

để kết quả là một từ ngôn ngữ ai* trong tập S. Tuy nhiên việc làm tròn làm
mất mát thông tin và các tác giả [12] đã đưa ra cách biểu diễn dữ liệu bộ 2 để
khắc phục sự mất mát thông tin này.
Ý tưởng của phương pháp như sau. Giá trị R(π 1, …, πp) chưa làm tròn
sẽ là một số thực b∈ [0, g], k – 0.5 ≤ bcác tác giả trong [13] đề xuất dạng biểu diễn bộ 2, (sk, bk), trong đó bk = b –
k∈ [-0,5, +0,5). Từ sk được gọi là tâm của thông tin còn ak biểu thị giá trị
chuyển dịch từ giá trị gốc b về từ ngôn ngữ sk. Biểu diễn này cũng xác định
một ánh xạ sau:
∆ : [0, g]→S× [-0,5, 0,5); ∆(b) = (sk, bk), với bk = b – k, k = round(b)
và, do đó, ta có ∆-1 : S× [-0,5, 0,5) →[0, g]; ∆-1((sk, bk)) = k + bk∈ [0, g].

Hình 2 Biểu diễn bộ 2

Với biểu diễn như vậy, các phép kết nhập trên các từ ngôn ngữ được
định nghĩa thông qua các phép kết nhập số học nhờ việc chuyển đổi của ánh
xạ ∆-1. Nói một cách đơn giản, phương pháp bộ 2 thực chất vẫn là phương
pháp kết nhập theo chỉ số nhưng có kèm theo tham số phụ b để đánh giá trong
trường hợp hai phép kết nhập cùng cho kết quả là giá trị ngôn ngữ sk thì phép
kết nhập nào cho sai số bk nhỏ hơn sẽ được ưu tiên lựa chọn hơn.


24

1.4.2.4. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 3

Trong [2,10], các tác giả đã nghiên cứu phát triển việc tính toán trên các
từ dựa trên đại số gia tử (ĐSGT) với việc tận dụng các khoảng độ đo tính mờ
của các từ ngôn ngữ. Theo cách tiếp cận của ĐSGT, ngữ nghĩa các từ ngôn
ngữ có thể biểu thị qua các khoảng tính mờ mức l, với l chỉ độ dài của xâu

biểu diễn các từ ngôn ngữ. Đây là một cách tiếp cận có nhiều ưu điểm vì sử
dụng ĐSGT cho phép đưa quan hệ thứ tự ngữ nghĩa của các từ đánh giá vào
xử lý.
ĐSGT là công cụ tốt để ta có thể tiến hành công việc này một cách đơn
giản. Cụ thể là ta có thể dùng giá trị ngôn ngữ có độ dài hơn (tức giá trị ngôn
ngữ thuộc lớp con). Thí dụ, nếu một người nhận xét là “giỏi”, một người nhận
xét là “khá” thì kết quả là “giỏi” hay là “khá” đều dễ dẫn đến sự thiếu chính
xác. Nên dùng “khá giỏi” hay “tương đối giỏi”.. để làm đánh giá chung. Vấn
đề là đưa ra thuật toán xác định xem trong các giá trị ngôn ngữ lớp sau (có độ
dài lớn hơn), ta chọn giá trị nào để sai số là nhỏ nhất . Để hiểu rõ hơn ý tưởng
này, phần sau tôi sẽ trình bày tóm tắt các khái niệm cơ bản về ĐSGT.


25

Chương 2
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ GIA TỬ
Để xây dựng phương pháp luận tính toán nhằm giải quyết vấn đề mô
phỏng các quá trình tư duy, suy luận của con người chúng ta phải thiết lập ánh
xạ: gán mỗi khái niệm mờ một tập mờ trong không gian tất cả các hàm F(U, [0, 1]).
Nghĩa là ta mượn cấu trúc tính toán rất phong phú của tập để mô phỏng
phương pháp lập luận của con người thường vẫn được thực hiện trên nền ngôn
ngữ tự nhiên.
Vậy một vấn đề đặt ra là liệu bản thân ngôn ngữ có cấu trúc tính toán
không? Nếu có thì các phương pháp lập luận xây dựng trên đó đem lại những
lợi ích gì? Thông qua lý thuyết về đại số gia tử ta có thể thấy rằng tập các giá
trị của một biến ngôn ngữ (biến mà giá trị của nó được lấy trong miền ngôn
ngữ) là một cấu trúc đại số đủ mạnh để tính toán.
Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu trúc
đại số thích hợp và tìm cách xem chúng như là một đại số để tiên đề hóa sao

cho cấu trúc thu được mô phỏng tốt ngữ nghĩa ngôn ngữ.
Trong chương này, chúng ta xét các vấn đề cơ bản về đại số gia tử, định
nghĩa đại số gia tử, các định lí, các đại lượng đo trên đại số gia tử và một số
tính chất của đại số gia tử.
2.1.Đại số gia tử
Một cách không hình thức, đại số gia tử(ĐSGT)là một cấu trúc đại số
được đưa vào tập các giá trị của một biến ngôn ngữ (thí dụ biến "chiều cao"),
khi ta coi tập các từ nhấn - gia tử, (thí dụ "rất", "tương đối",..) là các toán tử
một ngôi, khi tác động lên các phần tử sinh của biến ngôn ngữ (thí dụ "cao",