Nâng cao hiệu quả dạy học môn giải tích trong nhà trường trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán học

Bộ giáo dục v đo tạo
Trờng đại học vinh

Nguyễn Phú Lộc

Nâng cao hiệu quả dạy học môn giải tích trong nhμ
tr−êng trung häc phỉ th«ng theo h−íng tiÕp cËn
mét sè vấn đề của phơng pháp luận toán học

Chuyên ngành: Lý luận v Phơng pháp dạy học
bộ môn toán
MÃ số: 62 14 10 01

Tóm tắt Luận án tiến sĩ giáo dục häc

VINH - 2006


Luận án đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, TP.Vinh, Nghệ An
Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TS. Đào Tam

Trờng Đại học Vinh, Nghệ An.
Phản biện 1: PGS. TS. Ngô Hữu Dũng
Viện Chiến lợc và Chơng trình Giáo dục, Hà Nội.
Phản biện 2: PGS. TS. Vơng Dơng Minh
Trờng Đại học S phạm Hà Nội, Hà Nội.
Phản biện 3: PGS. TS. Trần Văn Ân
Trờng Đại học Vinh, Nghệ An.

Luận án sẽ đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án cấp
Nhà nớc họp tại trờng Đại học Vinh - 182 đờng Lê Duẩn,

TP. Vinh, vào lúc 08 giờ, ngày 06 tháng 02 năm 2007.

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Th viện trờng Đại học Vinh, 182 Lê Duẩn, TP. Vinh (NghÖ An).
- Th− viÖn Quèc gia.


1

mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Đổi mới phơng pháp (PP) dạy học hiện nay của nớc ta là một yêu
cầu cấp bách.
1.2. Dạy học môn Toán theo hớng tiếp cận Triết học toán học đang là xu
hớng đợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. R. Thom viết: "Tất cả các
phơng pháp giảng dạy toán học, nói một cách chắc chắn, đều dựa trên
Triết học toán học". Đặc biệt trong lĩnh vực Phơng pháp luận toán học
(PPLTH) có những công trình đáng chú ý sau đây: các công trình Giải bài
toán nh thế nào, Toán học và những suy luận có lý, Sáng tạo toán
học của G. Polya, tác phẩm Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở
trờng phổ thông của Hoàng Chúng (1991), công trình Phơng pháp luận
duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học của GS.
Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Ngoài ra, thầy Nguyễn Thái Hòe (1990) cũng
đà viết bài Vận dụng những hiểu biết về Triết học (các qui luật cơ bản và
các cặp phạm trù của phép biện chứng) vào việc định hớng đờng lối giải
các bài toán, GS. TS. Đào Tam (1998) cũng công bố bài báo:Một số cơ
sở phơng pháp luận của toán học và việc vận dụng chúng vào dạy học
toán ở nhà trờng phổ thông.
1.3. Tìm các biện pháp nâng cao hiệu quả việc dạy học môn Giải tích
Có nhiều công trình nghiên cứu dạy học môn Giải tích nh công trình:

Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp s
phạm theo hớng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua
dạy học các khái niệm hàm số và “giíi h¹n” cho häc sinh tr−êng THPT)”
cđa Ngun M¹nh Chung (2001), công trình ứng dụng phép tính vi phân
(phần đạo hàm) để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế
trong dạy học toán lớp 12 trung häc phỉ th«ng ” cđa Ngun Ngäc Anh
(2000). Trên thế giới, có nhiều nhà khoa học nghiên cứu dạy học các môn
Toán học cao cấp nói chung, và môn Giải tích nói riêng. Trong số đó phải
kể đến các công trình liên quan đến t duy toán học cao cấp của D. Tall, S.
Vinner. Vấn đề mà luận án bàn đến là tiếp cận PPLTH vào việc nâng cao


2

hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trờng trung học phổ thông cha
có tác giả nào nghiên cứu.
Vì những lí do chính nêu trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu luận án với đề
tài là: "Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trờng trung học
phổ thông theo hớng tiếp cận một số vấn đề của Phơng pháp luận toán học".
2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu vận dụng một số vấn đề PPLTH vào
việc dạy học môn Giải tích nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy học môn Giải
tích trong nhà trờng trung học phổ thông.
3. Đối tợng nghiên cứu. Đối tợng nghiên cứu của luận án là các PP mà
các nhà toán học sử dụng, các mô hình dạy học môn Toán mà có thể đợc
phát triển trên cơ sở PPLTH, những áp dụng của PPLTH vào dạy học môn
Giải tích. Khách thể nghiên cứu của luận án là các hoạt động dạy và học
môn Giải tích của giáo viên (GV) và học sinh (HS) trong trờng trung học
phổ thông. Đối tợng khảo sát của luận án là HS (diện đại trà) của một số
trờng trung học phổ thông thuộc vùng đồng bằng sông Cửu Long, sinh
viên (SV) ngành s phạm toán (Đại học Cần Thơ) và GV toán trung học

phổ thông thuộc một số tỉnh thuộc đồng bằng sông Cửu Long.
4. Giả thuyết khoa học. Có thể phát triển các mô hình dạy học và tìm ra
các áp dụng nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán nói chung và môn
Giải tích nói riêng trong nhà trờng phổ thông theo hớng tiếp cận
PPLTH.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Tìm cơ sở lí luận cho việc ứng dụng các vấn đề thuộc PPLTH vào dạy
học môn Toán trong nhà trờng phổ thông.
5.2.Tìm hiểu đặc điểm của môn Giải tích trong trờng trung học phổ
thông.
5.3.Tìm hiểu thực trạng của việc dạy và học môn Giải tích trong trờng
trung học phổ thông.
5.4. Phát triển một số mô hình dạy học và tìm ra những áp dụng vào dạy
học môn Giải tích trên cơ sở PPLTH.


3

5.5. Tiến hành đánh giá tính khả thi và điều chỉnh các mô hình dạy học đÃ
đợc phát triển và kiểm nghiệm các áp dụng mà luận án tìm ra tõ PPLTH.
6. PP nghiªn cøu
6.1. Nghiªn cøu lÝ luËn: Nghiªn cứu các tài liệu về Triết học, nghiên cứu
các tài liệu về PPLTH, Tâm lí học, Giáo dục học và Lí luận dạy học.
Nghiên cứu lịch sử phát sinh và phát triển của Phép tính vi phân và tích
phân.
6.2. PP điều tra và quan sát: Sử dụng phiếu điều tra GV và SV ngành s
phạm toán. Dự một số giờ dạy của GV trong trờng trung học phổ thông để
biết thùc tÕ d¹y häc cđa GV.
6.3. PP thùc nghiƯm (TN) s phạm: Tổ chức TN s phạm để xem xét tính
khả thi và tính hiệu quả của biện pháp s phạm và mô hình dạy học mà

luận án đề xuất.
6.4. PP phân tích: Luận án đặc biệt chú ý sử dụng PP phân tích định tính
(có kết hợp PP phân tích định lợng) nhằm rút ra những kết luận liên quan
đến các nội dung đợc phân tích.
7. Những vấn đề đa ra bảo vệ
7.1. Có thể xây dựng các mô hình dạy học môn Giải tích nói riêng và môn
Toán nói chung và tìm ra các áp dụng có giá trị về mặt s phạm từ cách
tiếp cận PPLTH.
7.2. Tính hiệu quả của việc dạy học môn Giải tích của các áp dụng và mô
hình dạy học mà luận án đà phát triển.
8. Những đóng góp mới của luận án
8.1. Về mặt lí luận: - Luận án đà hệ thống hóa một số kết quả nghiên cứu
liên quan đến Tâm lí học toán học và t duy toán học cao cấp;- Luận án đÃ
phân tích lịch sử phát triển của Phép tính vi phân và tích phân dới góc độ
triết học;- Luận án xây dựng các mô hình dạy học trên cơ sở PP phân tích,
qui nạp khoa học, PP giả thuyết khoa học, mối liên hệ biện chứng giữa cái
chung và cái riêng;- Rút ra nhiều áp dụng vào dạy học môn Giải tích trên
cơ sở nguyên lí về mèi liªn hƯ phỉ biÕn cđa PhÐp biƯn chøng duy vật, phạm
trù cái riêng-cái chung, PP phân tích và phép t−¬ng tù.


4

8.2. Về mặt thực tiễn
- Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể áp dụng dạy học hiệu quả môn
Giải tích và cả môn Toán trong nhà trờng phổ thông.
- Luận án là tài liệu tốt cho SV ngành s phạm toán và GV toán trong
nhà trờng phổ thông tham khảo.
9. Cấu trúc của luận án (175 trang chính; Phụ lục 12 trang; 17 Bảng;
35 Hình; 53 ví dụ áp dụng)

Mở đầu
(6 trang)
Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
(50 trang)
Chơng 2: Dạy học hiệu quả môn Giải tÝch theo h−íng tiÕp cËn mét sè
vÊn ®Ị cđa PP LTH
(96 trang)
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
Kết luận
(2 trang)
Phụ lục
(12 trang )

(27 trang)

Ch−¬ng 1: c¬ së lÝ luËn vμ thùc tiễn

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Khái niệm về PPLTH. PP to¸n häc bao gåm: c¸c PP ph¸t minh, c¸c
PP chøng minh, PP liên quan đến cách tổ chức một lí thuyết toán học nh
PP tiên đề, các PP và các nguyên tắc định nghĩa khái niệm, Nh vậy,
trong PP toán häc cã PP triÕt häc (PP chung nhÊt), cã PP chung (dùng cho
nhiều ngành khoa học) và các PP đặc thù của Toán học (PP riêng).
PPLTH là hệ thống các PP đợc dùng trong Toán học và nghiên cứu các
nguyên tắc (principles) làm cơ sở cho việc xây dựng các lí thuyết toán học
và các PP (procedures) tìm kiếm chân lí, thông tin hay tri thức trong Toán
học. Các PP dùng trong môn Phép tính vi phân và tích phân bao gồm các
PP triết học, PP chung và còn có cả những PP riêng của nó nh PP chuyển
qua giới hạn, PP vô cùng bé; các PP này thể hiện qua c¸c PP vÐt kiƯt
(method of exhaustion) cđa Eudoxus, PP cái không phân chia đợc

(method of indivisibles) của G. Cavalieri, PP vô hạn (method of infinities)
của R. Roberval trong việc tìm diện tích và thể tích các hình hay PP tìm giá


5

trị lớn nhất và nhỏ nhất và tìm tiếp tuyến của một đờng cong của P.
Fermat cũng nh PP xây dựng khái niệm tích phân và đạo hàm hiện nay.
1.1.2. Các vấn đề nghiên cứu việc dạy học môn Toán theo h−íng tiÕp
cËn PPLTH. Ngun Ngäc Quang (1986) cho r»ng PP d¹y häc xuÊt xø tõ
PP nhËn thøc khoa häc, vµ bÊt cø PP khoa häc nµo cịng cã thĨ chuyển
hóa thành PP dạy học nói chung. Trên cơ sở các luận điểm của các tác giả
Đào Tam, Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, G. Polya, Nguyễn Thái Hoè,
luận án xác định đợc ba vấn đề nghiên cứu của việc dạy học môn Toán
theo hớng tiếp cận PPLTH : Vấn đề: Tìm kiếm các nguyên tắc, các mô
hình dạy học, các PP dạy học môn Toán trên cơ sở các PP triết học và PP
nghiên cứu toán học; Vấn đề 2: Hoạt động nhận thức của HS trong học tập
môn Toán trong nhà trờng cần đợc tổ chức nh thế nào để đạt đợc mục
đích kép: HS không những lĩnh hội tri thức toán học mà còn làm quen với
các PP nghiên cứu của Toán học; Vấn đề 3: Tìm các biện pháp phát triển
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo toán học cho HS trong quá
trình dạy học môn Toán.
1.1.3. Một số cơ sở Tâm lí học và Khoa học luận của học tập Toán học cao cấp
Trừu tợng: G. Piaget phân trừu tợng thành ba loại: Trừu tợng thực
nghiệm, trừu tợng giả thực nghiệm, trừu tợng phản chiếu. Từ sự phân
loại trên của G. Piaget, D. Tall chØ ra r»ng kh¸i niƯm trong To¸n häc sơ cấp
có những tính chất mà có thể đợc xác định bằng hành động trên chúng
(Đại số, Số học) hay tri giác chúng (Hình học). Các khái niệm của Toán
học cao cấp có những tính chất chỉ đợc xác định thông qua định nghĩa và
bản chất của khái niệm tự nó đợc tạo nên bởi những tính chất đợc rút ra

bằng suy diễn. Từ nhận định trên của D. Tall, ln ¸n rót ra kÕt ln: trong
häc tËp c¸c kh¸i niệm của Toán học cao cấp PP phân tích cần phải sử
dụng đúng mức để tìm các yếu tố cấu thành của khái niệm, của định lí cũng
nh phát hiện ra các mối liên quan giữa các yếu tố đó.
Bức tranh khái niệm (BTKN): Khi nghiên cứu về t duy toán học cao
cấp, S. Vinner và D. Tall dùng thuật ngữ BTKN để diễn tả cấu trúc nhận


6

thức tổng thể kết hợp với khái niệm, cái mà bao gồm tất cả các bức tranh
về tinh thần và kết hợp với các tính chất và các quá trình. S. Vinner cho
rằng các quá trình hình thành khái niệm về lâu về dài phải là sự tơng tác
giữa BTKN và định nghĩa khái niệm (ĐNKN). Nếu chỉ dựa vào ĐNKN thì
cha bảo đảm cho HS nắm vững tri thức toán học.
Trực giác: Trực giác là lối nhận thức trực tiếp cho ta biết ngay đối tợng
một cách cụ thể và đặc thù mà không cần dựa vào trung gian cđa lÝ trÝ suy
ln. D. Tall cho r»ng trùc gi¸c là sản phẩm của các BTKN của mỗi cá
nhân. E. Fischbein (1978) phân trực giác thành hai loại: Trực giác sơ cấp
(Primary intuition) ám chỉ đến những niềm tin nhận thức (cognitive
beliefs) phát triển tự tại trong con ngời một cách tự nhiên, trớc khi và
độc lập với việc dạy học có hệ thống. Trực giác nhị cấp (Secondary
intuition) là loại trực giác đợc phát triển nh là kết quả của việc đào tạo tri
thức có hệ thống.
Hiểu đợc V. A. Cruchetxki định nghĩa: hiểu luôn luôn có nghĩa là đa
tài liệu mới vào hệ thống những liên tởng đà đợc hình thành, là gắn liền
tài liệu cha biết với cái đà biết. R. R. Skemp (1996) phân hiểu biết trong
Toán học thành hai loại: Hiểu biết cách thức là loại hiểu biết cách thực
hiện mà không biết tại sao phải thực hiện bớc này hay bớc khác và Hiểu
biết quan hệ là hiểu biết bao gồm cả biết tại sao (Why) và biết cách thực

hiện (How).
Chớng ngại nhận thức, thuật ngữ này đợc G. Bachelard đa ra vào năm
1938. Theo B. Cornu (1991), cã nhiỊu lo¹i ch−íng ng¹i: 1) Chớng ngại khoa
học luận xuất hiện bởi bản chất của chính các khái niệm toán học; 2) Chớng
ngại s phạm xuất hiện do bản chất của việc dạy học của GV; 3) Chớng
ngại tâm và sinh lí xảy ra nh là kết quả của sự phát triển cá thể của HS; 4)
Chớng ngại văn hóa. Để xác định chớng ngại, ta có các cách sau đây:
Thứ nhất, nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện chớng
ngại mà các nhà toán học đà gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm
đó, chớng ngại này thờng trở thành chớng ngại về nhận thức (chớng
ngại khoa học luận) của HS khi học tập khái niệm đó. Thứ hai, nghiªn cøu


7

những sai lầm có cùng bản chất của đa số HS xung quanh khái niệm nào
đó có thể giúp phát hiện các loại chớng ngại.
1.1.4. Dạy học hiệu quả môn Toán theo lí thuyết kiến tạo bao gồm:
-Kiến tạo cơ bản gồm hai luận điểm: Thứ nhất, kiến thức không nên
đợc tiếp thu một cách thụ động mà phải đợc kiÕn t¹o bëi chđ thĨ nhËn
thøc; Thø hai, nhiƯm vơ của nhận thức là thích nghi và là nhằm để tổ chức
thế giới đợc trải nghiệm, chứ không là sự khám phá một thực thể tồn tại;
-Kiến tạo xà hội gåm ba ln ®iĨm: Thø nhÊt, (P. Ernest, 1991), viƯc
kiÕn tạo kiến thức một cách tích cực, điển hình là các khái niệm và các giả
thuyết khoa học, dựa trên cơ sở những kinh nghiệm và kiến thức đà có; Thứ
hai (P. Ernest, 1991), sự trải nghiệm và sự tơng tác với môi trờng với thế
giới vật chất và xà hội bằng cả hành động vật chất hay ngôn ngữ; Thứ ba
(Taylor và Campbell-William, 1993), sự kiến tạo kiến thức có tính xà hội
thông qua sự thảo luận và tơng tác với các ngời khác.
Từ lí thuyết kiến tạo, luận án rút ra một số điểm cần chú ý để nâng cao

hiệu quả việc dạy học môn Toán trong nhà trờng phổ thông là: trong quá
trình dạy học tri thức mới cần dựa vào vốn hiểu biết của HS để tổ chức các
tình huống dạy học; trong đó, HS đợc khuyến khích thực hiện các hoạt
động nh quan sát, phân tích, giải thích, xây dựng và kiểm chứng các giả
thuyết; GV chú ý tính chất đa liên hệ giữa các tri thức toán học mà HS
trải nghiệm qua nhằm giúp các em chiếm lĩnh kiến thức trong sự gắn kết
với các dữ kiện toán học liên quan. GV đặc biệt chú trọng đến những câu
hỏi mở; tạo sự tơng tác giữa HS với nhau và giữa GV và HS.
1.1.5. Lịch sử về sự phát sinh và phát triển môn Giải tích xét dới góc độ
triết học
Luận án đà xem xét lịch sử môn Giải tích trong mối liên hệ giữa tính liên
tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên, vô hạn và hữu hạn.
1.1.6. Đặc điểm của môn Giải tích. Giải tích (Calculus) bao gồm hai t
tởng chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân. Các khái niệm cơ
sở của Phép tính vi phân và tích phân là khái niệm hàm số, giới hạn, dÃy
số, chuỗi số và liên tục. Các khái niệm trong môn Giải tÝch cã tÝnh phøc


8

tạp nội tại, vừa là đối tợng và vừa là quá trình và có nhiều chớng ngại
khoa học luận trong học tập môn Giải tích.
1.2. Khảo sát thực tiễn. Bên cạnh việc nêu thực trạng chung của việc dạy
học môn Giải tích trong nhà trờng phổ thông, chúng tôi còn tiến hành các
khảo sát sau:
1.2.1. Khảo sát khả năng đọc đồ thị của hàm số của HS. Luận án khảo
sát khả năng đọc đồ thị của 169 HS thuộc các tỉnh đồng bằng sông Cửu
Long (các em này lên Cần Thơ chuẩn bị thi vào đại học niên khoá 20042005). Kết quả cho thấy rằng HS dù có trình độ tú tài nhng nắm đợc ý
nghĩa hình học của các khái niệm trong môn Giải tích là khá hạn chế. §iỊu
nµy cịng cã nghÜa lµ HS ch−a cã mét BTKN đúng đắn về các khái niệm

mà các em đà học, kỹ năng đọc đồ thị của HS có trình độ tú tài là cha
đợc cao.
1.2.2. Khảo sát việc hình thành khái niệm theo con đờng qui nạp
a. Khảo sát 1 (Khảo sát SV s phạm toán). Mẫu đợc chọn là 40 em
SV s phạm toán khoá 26 (2000-2004) của Khoa S phạm, trờng Đại học
Cần Thơ. Các em này học tập môn PP giảng dạy toán theo chơng trình
thông thờng và sắp sửa ra trờng. Chúng tôi đề nghị các em này trình bày
cách hình thành khái niệm Cấp số cộng theo con đờng qui nạp. Kết quả:
tỉ lệ SV biết cách tổ chức hoạt động nhận thức cho HS một cách hợp lí là
37,5%. Còn 62,5% SV khác gần nh không biết đa ra cách dạy học hợp lí.
b. Khảo sát 2 (Khảo sát GV toán trung học phổ thông vào 10/2004):
Có 74 GV toán thuộc TP Cần Thơ cho biết ý kiến của mình về dạy học
hình thành khái niệm Cấp số cộng (CSC) trong hai trờng hợp sau đây:
Trờng hợp 1: Xuất phát từ hai ví dụ về CSC: GV đa ra cách dạy học
hợp lí là 32,45%; tỉ lệ GV không đa ra cách dạy học phù hợp là: 67,55%;
Trờng hợp 2: Xuất phát từ một ví dụ và một phản ví dụ về CSC: tỉ lệ GV
đa ra cách dạy hợp lí: 21,64%; tỉ lệ GV không đa ra cách dạy học phù
hợp cho trờng hợp 2 là: 78,36%.
1.2.3. Khảo sát việc dạy học hàm số liên tục trong nhà trờng phổ
thông. Luận án phân tích tám tiết dạy học khái niệm hàm số liên tôc do 8


9

GV trong tỉnh Đồng Tháp giảng dạy trong kỳ thi GV giỏi cấp tỉnh
trong học kỳ II năm học 2002-2003. Kết quả khảo sát cho thấy: Trong quá
trình dạy học khái niệm, những bài bản dạy học một khái niệm toán học
cha đợc nhiều GV vận dụng một cách đầy ®đ; GV ch−a quan t©m x©y
dùng ý nghÜa tri thøc (nêu ra ý nghĩa hình học, ý nghĩa thực tiễn,) cho
HS; GV cha thấy hết vai trò của phản ví dụ trong hình thành và củng cố

khái niệm; Nhiều GV phổ thông thờng hiểu một khái niệm toán học theo
những BTKN vốn có của mình; ít quan tâm phân tích cấu trúc logic của
định nghĩa. GV phổ thông có khuynh hớng bám sát nội dung trong SGK
(kể cả việc sử dụng các ví dụ củng cố khái niệm). Vì vậy, những điều thể
hiện trong SGK có ảnh hởng lớn đến chất lợng dạy học trong nhà trờng
phổ thông.
1.3. Dạy học hiệu quả môn Giải tích. Trên cơ sở những luận cứ lý thuyết
và thực tiễn trên đây, luận án quan tâm đến năm yếu tố (factor) cho dạy
học hiệu quả môn Giải tích (YTDHHQ) sau đây:
Yếu tố 1: Làm cho HS biết đợc ý nghĩa của các khái niệm và định lý. Đặc
biệt quan tâm đến việc làm cho HS biết ý nghĩa hình học của khái niệm và định
lý. Đối với khái niệm, GV phải chú ý xây dựng cho HS một BTKN cho khái
niệm đó.
Yếu tố 2: Đặc biệt chú ý phát triển năng lực phân tích và năng lực phát
hiện các dạng - mẫu (pattern) của HS. Ngoài ra, GV cần quan tâm phát
triển năng lực trực giác, phát triển t duy khoa học và t duy biện chứng
cho HS thông qua quá trình dạy học môn Giải tích.
Yếu tố 3: Quan tâm đúng mức đến tính thực tiễn của môn Giải tích. Đặc
biệt chú ý đến tính ứng dụng của môn Giải tích: ứng dụng vào giải quyết
các bài toán trong thực tế và trong các môn học khác.
Yếu tố 4: Phát hiện chớng ngại về nhận thức của HS trong học tập môn Giải
tích và có biện pháp thích hợp để giúp HS vợt qua những chớng ngại đó. Ngăn
ngừa những sai lầm của HS do vốn kinh nghiệm về các môn Đại số và Hình học
gây ra.


10

Yếu tố 5: Tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS trong quá trình dạy
học các tình huống điển hình của môn Giải tích.

Kết luận chơng 1: - Luận án đa ra đợc cơ sở thực tiễn, Tâm lí học toán
học và Khoa học luận cho việc dạy học hiệu quả môn Giải tích. Đặc biệt, dạy
học theo lí thuyết kiến tạo là một trong những xu hớng đổi mới trong Giáo
dục toán học hiện nay; - Môn Giải tích thuộc lĩnh vực của Toán học cao cấp;
do đó, PP phân tích cần đặc biệt chú ý sử dụng trong quá trình dạy và học các
tri thức của Giải tích; - Luận án đà đa ra năm yếu tố của dạy học hiệu quả
môn Giải tích nhằm làm cơ sở cho việc tìm kiếm các áp dụng và các mô hình
dạy học theo cách tiếp cận PPLTH vào dạy học hiệu quả môn Giải tích trong
trờng trung học phổ thông; - Qua khảo sát thực tiễn, việc dạy học hiệu quả
môn Giải tích cần phải quan tâm nghiên cứu nhiều hơn.
Chơng 2: dạy học hiệu quả môn giải tích theo hớng tiếp
cận một số vấn đề của Phơng pháp luận Toán học

Nội dung chính của chơng này là trình bày một số mô hình dạy học
và các áp dụng vào dạy học mà chúng tôi thu đợc theo cách tiếp cận PP
LTH. Trên cơ sở các yếu tố dạy học hiệu quả môn Giải tích mà luận án nêu
ra trong Chơng 1, những điều mà luận án quan tâm chú ý trong việc đa
ra các mô hình dạy học và tìm kiếm các áp dụng trong Chơng 2 là:
- Luận án chú ý áp dụng những luận điểm của lí thuyết kiến tạo vào dạy
học môn Giải tích: trong quá trình dạy học tri thức mới cần dựa vào vốn
hiểu biết của HS để tổ chức các tình huống dạy học; trong đó, các em HS
đợc khuyến khích thực hiện các hoạt động nh quan sát, phân tích, giải
thích, xây dựng và kiểm chứng các giả thuyết; chú ý tính chất đa liên
hệcủa tri thức trong môn Giải tích (đặc biệt là mối liên hệ giữa Giải tích với
Đại số và Hình học) mà HS trải nghiệm qua nhằm giúp các em chiếm lĩnh
kiến thức trong sự gắn kết với các dữ kiện toán học liên quan. Chú trọng đa
ra những câu hỏi mở và tính tơng tác trong quá trình dạy học.
- Luận án quan tâm xây dựng các mô hình dạy học các khái niệm và
định lí trên cơ sở phép biện chứng duy vật và PPLTH mà có thể áp dụng

11

đợc dạy học môn Giải tích. Các mô hình này góp phần trang bị thêm cho
GV toán và SV ngành s phạm toán những bài bản dạy học hai tình
huống điển hình trong dạy học môn Giải tích.
- Luận án đặc biệt chú ý đến đặc điểm phức Tạp và tinh vi của các
khái niệm và định lí trong môn Giải tích, và xem Giải tích là một khoa học
về các mối liên hệ và dạng- mẫu khi xây dựng các mô hình dạy học và tìm
kiếm các áp dụng vào dạy học trên cơ sở PPLTH.
- Luận án cũng rất chú ý ngăn ngừa những sai sót mà HS có thể gặp
phải do quán tính của vốn kiến thức về Đại số và Hình học gây ra.
Trong Chơng 2 bao gồm sáu vấn đề chính sau đây:
1. Dạy học môn Giải tích với các mối liên hệ (hớng vào những ảnh
hởng tích cực và tiêu cực đến việc học tập môn Giải tích của HS trên cơ
sở xem xét mối liên hệ giữa Giải tích với Đại số và Giải tích với Hình học);
2. Dạy học môn Giải tích với mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung
(hớng vào việc dạy học khám phá trong môn Giải tích và rút ra những áp dụng
mối quan hệ này nhằm nâng cao hiệu quả việc học tập môn Giải tích của HS);
3. Dạy học môn Giải tích với phơng pháp phân tích (hớng vào việc
phân tích định nghĩa, định lí, lập luận, và phân tích tìm các mối liên hệ và
dạng - mẫu nh là một biện pháp để giúp HS hiểu đợc các tri thức trong
môn Giải tích; hạn chế sự khó khăn của HS khi học môn Giải tích);
4. Dạy học môn Giải tích với phép tơng tự (hớng vào việc phát hiện
các tơng tự có thể có đối với môn Giải tích nhằm chỉ ra những tác dụng
tích cực và những tác dụng tiêu cực vào việc học tập môn Giải tích của HS);
5. Dạy học khái niệm của Giải tích với các mô hình qui nạp (hớng vào
việc phát triển các phơng pháp qui nạp khoa học của J.S. Mill thành các mô
hình hình thành khái niệm trong môn Giải tích theo con đờng qui nạp; cung
cấp cho GV và SV ngành s phạm toán nhiều bài bản khác nhau khi dạy học

khái niệm);
6. Dạy học định lí của Giải tích với giả thuyết khoa học (hớng vào
việc cải tiến mô hình dạy học định lí có khâu dự đoán đà biết thành dạy
học định lí với giả thuyết khoa học trên cơ sở xem giả thuyÕt khoa häc lµ


12

một PP nhận thức khoa học; xem xét mô hình này dới nhiều lí thuyết dạy
học khác nhau; chỉ ra các khả năng sử dụng vào dạy học môn Giải tích).
2.1. Dạy học Giải tích với các mối liên hệ (đáp ứng YTDHHQ 1,2,3,4,5)
2.1.1. Tại sao cần phải dạy học môn Giải tích với các mối liên hệ. Theo
nguyên lí vỊ mèi liªn hƯ phỉ biÕn cđa PhÐp biƯn chøng duy vật: Các sự vật,
hiện tợng và các quá trình cấu thành thế giới vừa tách biệt, vừa có sự liên hệ
qua lại, thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau. V.A. Cruchetxki khẳng định: Sự
thấu hiểu, thông hiểu tài liệu học tập, việc đa nó vào một hệ thống nhất định,
sự thiết lập các mối liên hệ cục bộ bên trong bộ môn và giữa các bộ môn (theo
Iu. A. Xamarin) là một thành phần quan trọng nhất tiếp theo của sự lĩnh hội.
Đối với môn Giải tích, luận án đà xem xét: - Sự liên hệ nội tại giữa các khái
niệm trong môn Giải tích; - Sự liên hệ giữa Giải tích với Đại số;- Sự liên hệ giữa
Giải tích và Hình học giải tích; - Sự liên hệ giữa môn Giải tích với thực tiễn và
các môn học khác.
2.1.2. Những điểm cần chú ý trong dạy học Giải tích với các mối liên
hệ. Quan tâm sử dụng đồ thị của hàm số nh một công cụ dạy học. Luận án chỉ
ra rằng đồ thị của hàm số là công cụ hiệu quả để xây dựng ý nghĩa của tri thức;
công cụ để dạy học khám phá và có thể phát triển năng lực giải quyết vấn đề
cho HS thông qua đồ thị. Luận án cũng chứng minh rằng sử dụng đồ thị hàm số
khi dạy học Giải tích góp phần phát triển ngôn ngữ bên trong của hoạt động t
duy; Khuyến khích hoạt động đa trí tuệ; và là phơng tiện truyền thụ thông tin
thông qua kênh hình ảnh. Ngoài ra, luận án còn đa ra những lu ý khi dạy học

môn Giải tích là: quan tâm đúng mức đến việc hệ thống hoá tri thức; dự đoán
các sai lầm và chớng ngại của HS; có biện pháp ngăn ngừa các sai lầm và hạn
chế khó khăn của HS khi học môn Giải tích do môn Hình học và Đại số gây ra
và ngợc lại; cần liên hệ vốn hiểu biết của HS để hình thành kiến thức mới.
2.2. Dạy học Giải tích với mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung (đáp
ứng YTDHHQ 2, 5). Luận án đà nhấn mạnh đến ba cách sử dụng mối liên
hệ giữa cái riêng và cái chung trong dạy học khám phá: tìm tính chất chung
từ xét một cái riêng; tìm nhiều tính chất chung khác nhau từ xét một cái
riêng; tìm cái chung từ nhiều cái riêng. Đặc biệt là luận án đề nghị một mô


13

hình dạy học môn Giải tích theo mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung.
Cuối cùng, luận án chỉ ra r»ng cã thĨ ph¸t triĨn trÝ nhí cho HS thông qua
quan hệ giữa cái riêng và cái chung và cần tổng kết các dạng toán chung có
tính tổng quát và với thuật giải tơng ứng khi dạy học môn Giải tích.
2.3. Dạy học Giải tích với phơng pháp phân tích (đáp ứng YTDHHQ
1, 2, 3, 4, 5)
2.3.1. Phân tích để nhận biết các thuộc tính và thành phần. Để nhận biết các
thuộc tính và thành phần chúng ta phải dùng PP phân tích để biết nhận ra và xác
định đợc những thành phần mà tạo nên cái toàn thể. Phân tích nhận biết các
thuộc tính và thành phần sẽ giúp HS tập trung vào những chi tiết cần thiết và cấu
trúc các sự vật, cấu trúc của các ý tởng,.... Luận án chỉ ra cách: a) Phân tích
định nghĩa khái niệm ; b) Phân tích định lí trong dạy học môn Giải tích. Ngoài
ra, luận án còn đề cập ®Õn hai vÊn ®Ị sau ®©y:
2.3.2 Ph©n tÝch lËp ln. Phân tích một lập luận nhằm để:- Nhận ra kết
luận; - Nhận biết đợc lí do đợc nêu ra;- Nhận biết đợc những lí do
không nêu ra; - Nhận biết đợc những điểm tơng đồng và những điểm dị
biệt; - Nhận biết và gạn lọc ra đợc những

Quan sát và Phân tích
thông tin không liên quan; - Thấy đợc cấu
tìm các mối liên hệ
trúc của lập luận.
2.3.3. Phân tích để nhận biết các mối liên
hệ và các dạng - mẫu. Xác định các đối
Phát hiện dạng-mẫu
tợng thuộc dạng - mẫu nào là điều rất cần
thiết cho việc giải quyết các bài toán trong
Diễn tả dạng-mẫu
môn Giải tích. Luận án đề nghị mô hình
bằng lời hay kí hiệu
nhận biết một dạng-mẫu nh Hình 2.10.
Ví dụ: Dạy học khái niệm cấp số nhân
Hình 2.10: Mô hình nhận
(CSN) bằng PP phân tích để nhËn biÕt d¹ngbiÕt d¹ng-mÉu
mÉu. GV: XÐt d·y sè 1, 2, 4, 8, 16, 32,...
H·y cho biÕt ba sè h¹ng tiÕp theo của dÃy trên là gì? Tại sao?


14

HS: Trả lời: 64, 128, 256 vì ta có u2= u1.2, u3=u2.2, u4=u3.2,... : số đứng kề sau
(từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trớc nhân cho một số không đổi là
số 2.
GV: HÃy cho thêm một ví dụ khác tơng tự nh dÃy trên, và cho biết các
dÃy số trên đợc viết theo qui luật gì?
Sau khi HS cho thêm ví dụ, GV khái quát hoá và đi đến định nghĩa khái
niệm CSN. Phân tích mở rộng các dạng-mẫu giúp nhận ra những dạngmẫu quen cùng loại (có tính tổng quan hơn) là điều cần thiết trong học tập
hiệu quả môn Giải tích; vì nhờ đó mà HS nâng cao đợc khả năng giải

quyết vấn đề. Cuối cùng, luận án đà đề nghị các câu hỏi dẫn dắt HS tiến
hành hoạt động phân tích trong quá trình dạy học.
2.4. Dạy học Giải tích với phép tơng tự (đáp ứng YTDHHQ 1, 3, 4, 5)
Luận án giới thiệu qui trình của dạy học với tơng tự đợc thể hiện
trong mô hình T-W-A do S. Glynn đề nghị năm 1989 gồm các bớc nh
sau: 1) Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích); 2) Khơi dậy ký ức
của HS về tình huống tơng tự; 3) Nhận biết các đặc điểm quan trọng của
kiến thức dùng làm tơng tự (kiến thức nguồn); 4) Thiết lập sự tơng ứng
giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích; 5) Chỉ ra những kết luận không
đúng; 6) Rút ra kết luận về kiến thức đích. Luận án xét đến việc sử dụng
phép tơng tự vào dạy học môn Giải tích nh: Dùng tơng tự để hình tnành
tri thức; Dùng tơng tự để xây dựng giả thuyết khoa học. Luận án còn chỉ
ra một công dụng khác của phép tơng tự là dự đoán và ngăn ngừa sai lầm
của HS. Ngoài ra, luận án nêu ra những u điểm khi sử dụng tơng tự nh:
Trực quan; Liên hệ với đời thờng; Gây động c¬ häc tËp cho HS; Khun
khÝch GV chó ý kiÕn thøc vèn cã cđa HS tr−íc khi d¹y tri thøc mới; Phát
triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS; Phát triển khả năng phát hiện kiến
thức mới cho HS. Ngợc lại, nếu GV sử dụng kiến thức nguồn mà không
đợc HS biết rõ thì sự tơng tự có thể gây rối rắm cho HS. Ngoài ra, kiến
thức nguồn và đích thờng có những dấu hiệu giống nhau và cũng có
những dấu hiệu khác nhau nên tơng tự cũng có thể làm HS hiểu sai những
vấn đề nằm ngoài dự kiÕn cña GV.


15

2.5. Dạy học khái niệm Giải tích với các mô hình qui nạp (đáp ứng
YTDHHQ 1, 2, 5). Trên cơ së t− t−ëng cđa J. S. Mill vỊ qui n¹p khoa
học, luận án phát triển bảy mô hình hình thành khái niệm theo con đờng
qui nạp: 1) Mô hình tơng đồng-tìm kiếm; 2) Mô hình tơng đồng-tìm

đoán (Hình 2.14); 3) Mô hình dị biệt-tìm kiếm; 4) Mô hình dị biệt- tìm
đoán (Hình 2.15);5) Mô hình cộng biến; hai mô hình dạy học hợp tác khái
niệm với mô hình tơng đồng tìm-kiếm hay dị biệt tìm kiếm
GV cho một số ví dụ

Cho ví dụ không chứa
tính chất (*)

HS quan sát
Một tính chất chung mà GV
đặc biệt chú ý. HS dự đoán?

tính chất (*) không phù hợp

đúng

- GV giới thiệu tên khái
niệm.
- HS phát biểu định nghĩa

GV cho một số ví
dụ và một số phản
ví dụ

Hình 2.14: Mô hình tơng đồng-tìm đoán

Cho ví dụ không chứa tính
chất (*) /phản ví dụ chứa
tính chất (*)

HS quan sát

HS đoán tính chất
mà chỉ có trong ví
dụ mà thầy chú ý ?

tính chất (*) không phù hợp

đúng
- GV giới thiệu tên
khái niệm.
- HS phát biểu định
nghĩa

Hình 2.15: Mô hình dị biệt-tìm đoán


16

2.6. Dạy học định lí Giải

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

tích với giả thuyết khoa học
(GTKH)(đáp ứng YTDHHQ
1, 2, 5). M. Seigel vµ R. Borasi
cho r»ng tri thøc toán học
đợc tạo ra thông qua một quá
trình không tuyến tính trong
đó sự khái quát hoá các giả

thuyết đóng vai trò then chốt.
Trên cơ sở mô hình dạy học có
khâu dự đoán của GS. Nguyễn
Bá Kim, luận án đà đề nghị
mô hình dạy học định lí với
GTKH (Hình 2.21) trong đó
GTKH đợc xem nh một PP
nhận thức khoa học. Mô hình
này có thể áp dụng vào dạy
học định lí hay cả trong giải
bài tập và có thể phát triển
thành một mô hình dạy
học hợp tác định lí với GTKH
(Hình 2.23)

GV đa ra
tình huống

Khuyến khích
cá nhân HS hay
nhóm hợp tác
đa ra nhiều giả
thuyết

HS quan sát đồ thị hàm số; xét
các hàm số đà biết ; xét các
trờng hợp riêng;

Hình thành
giả thuyết

Kiểm chứng
giả thuyết

-

+
Bổ sung, chính xác hóa
(nếu cần) và phát biểu
định lí hay qui luật

Vận dụng và củng
cố định lí

Hình 2.21. Dạy học định lí với GTKH

Kiểm chứng giả
thuyết: Khuyến
khích HS tranh
luận bác bỏ ý kiến
của bạn; bảo vệ ý
kiến của mình hay
của nhóm

Hình 2.23. Dạy học hợp tác định lí với GTKH

GV bổ sung,
chính xác
hóa thành
định lí cần
học

17

Luận án đa ra chín phơng án sử dụng mô hình dạy học định lí với GTKH
trong môn Giải tích. Luận án chỉ ra rằng dạy học định lí dựa trên GTKH
tránh đợc việc áp đặt kiến thức cho HS; trái lại, nó động viên đợc hoạt
động t duy của HS trong quá trình dạy học. Hơn thế nữa, năng lực phỏng
đoán, năng lực tìm tòi cách chứng minh hoặc bác bỏ một giả thuyết của HS
có cơ hội đợc rèn luyện và phát triển. Kết quả là trong quá trình học tập
toán, HS chiếm lĩnh tri thức một cách tích cực mà còn phát triển t duy khoa
học.
Kết luận chơng 2: Qua các kết quả đạt đợc ở chơng 2, chóng ta cã thĨ ®i
®Õn kÕt ln nh− sau: Theo h−íng tiÕp cËn PPLTH ta cã thĨ ph¸t triĨn các
mô hình dạy học hay tìm ra các áp dụng nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
môn Giải tích theo xu hớng dạy học hiện đại.
Chơng 3: Thực Nghiệm s ph¹m
3.1. TN d¹y häc CÊp sè céng (CSC): Nh»m mơc đích kiểm chứng tính
khả thi của các mô hình dạy học khái niệm, mô hình nhận biết dạng - mẫu
(đợc phát triển từ PP phân tích) và mô hình tìm cái chung từ cái riêng,
mô hình dạy học với giả thuyết khoa học, chúng tôi tiến hành dạy học TN
phần CSC trong SGK Đại số và Giải tích 11. Chúng tôi tiến hành dạy học
TN tại lớp 11A5 thuộc trờng Trung học phổ thông Bùi Hữu Nghĩa (diện
đại trà) thuộc ngoại ô thành phố Cần Thơ vào học kỳ I năm học 2003-2004.
Chúng tôi chọn hai lớp kiểm tra đối chứng: Lớp đối chứng 1 (ĐC1): lớp
11A3 do GV Hoàng Thị Kiều (19 năm thâm niên) dạy học bằng PP thuyết
trình. Lớp đối chứng 2 (ĐC2): lớp 11A6 do GV Phan Tuấn Kiệt (23 năm
thâm niên) dạy học bằng PP thuyết trình giải quyết vấn đề.
Tóm tắt dạy học trong lớp TN: Theo SGK Đại số và Giải tích 11 hiện
hành, phần Cấp số cộng đợc dạy trong thời gian: 1 tiÕt lÝ thut vµ 2 tiÕt

lun tËp bao gåm các nội dung sau đây: 1. Định nghĩa, 2. Số hạng tổng
quát, 3. Tính chất các số hạng của CSC, 4. Tổng n số hạng đầu của một
CSC.


18

Việc dạy học trong lớp TN do chính tác giả luận án thực hiện. Quá
trình dạy học tiết lí thuyết bao gồm các hoạt động sau đây:
- Sử dụng mô hình dạy học nhận biết dạng -mẫu tổ chức cho HS để
phát hiện ra dạng-mẫu của dÃy số: 2, 5, 8, 11, 14, ...

(1)

b»ng c©u hái : NÕu viÕt ba sè tiÕp theo cđa d·y (1) th× em chän ba số nào?
- Tổ chức cho HS phát hiện ra cách tìm ra công thức của số hạng tổng
quát của CSC: dùng phép qui nạp không hoàn toàn để xây dựng gi¶ thut,
råi kiĨm chøng gi¶ thut.
- Tỉ chøc cho HS phát hiện ra tính chất liên quan đến ba số hạng liên
tiếp của CSC: quan sát một trờng hợp riêng ®Ĩ ®−a ra gi¶ thut; sau ®ã,
kiĨm chøng gi¶ thut (dùng mô hình tìm cái chung từ cái riêng).
- Tổ chức cho HS phát hiện ra công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên
của một CSC: quan sát một trờng hợp riêng- đa ra giả thuyết- kiểm chứng giả
thuyết.
Luận án đà tiến hành kiểm tra ba lớp TN, ĐC1 và ĐC2 theo các khía
cạnh:
- Tình hình HS ghi nhớ các công thức của CSC; - Cách tái tạo lại các
công thức của CSC của HS; - Sự phát hiện các tính chất đặc thù của một
dÃy số của HS; - Các cách chứng minh một dÃy vô hạn là CSC của HS.
Các kết quả đợc phân tích theo PP định lợng và định tính. Sau đây là

một số kết luận đợc rút ra qua TN: - Có thể thực hiện một quá trình dạy
học trong đó HS tự tìm ra tri thức trên cơ sở tôn trọng chơng trình và
SGK; - HS có thể phát hiện ra tri thức toán học nếu quá trình dạy học đợc
tổ chức theo các mô hình mà luận án đà phát triển. Việc dạy học toán đÃ
khuyến khích HS tích cực tìm tòi suy nghĩ, các em có cơ hội vận dụng các
PP nhận thức khoa học. Vì vậy, các em nắm kiến thức vững chắc, vận dụng
kiến thức một cách linh hoạt, có thể tái lập lại tri thức khi cần. Dạy học
bằng các PP phỏng theo PP khoa học giúp rÌn lun t− duy khoa häc cho
HS; cã thĨ h¹n chế đợc những sai sót trong lập luận của HS.


19

3.2. TN dạy học khái niệm giới hạn của dÃy số
Một giả thuyết đặt ra là liệu có thể tiến hành một quá trình dạy học với
mục đích yêu cầu là giúp HS nắm đợc khái niệm giới hạn dÃy số theo quan
điểm tĩnh: a là giới hạn của một dÃy số khi bất kỳ một khoảng nào chứa a thì
chứa hầu hết tất cả các số hạng của dÃy (có thể trừ một số hữu hạn số hạng)
và do đó, góp phần xây dựng cho HS BTKN đúng về khái niệm giới hạn của
dÃy số đợc hay không? Mục đích TN là nhằm kiểm nghiệm giả thuyết trên.
Việc dạy học TN đợc tiến hành ở một lớp 11A5 thuộc trờng Trung học phổ
thông Bùi Hữu Nghĩa (diện đại trà) thuộc ngoại ô thành phố Cần Thơ vào học
kỳ II năm học 2003-2004. GV dạy thực nghiệm: Nguyễn Phú Lộc (tác giả
luận án).
Các kết quả thu đợc từ TN là:- Đối với HS phổ thông trung học, định
nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ , N là cách diễn đạt
khó nhớ và các em khó diễn đạt lại một cách chính xác; - Dù không nhớ
chính xác định nghĩa khái niệm giới hạn của dÃy nhng nhiều HS vẫn có thể
làm đúng các bài tập. Tức là HS có thể giải quyết vấn đề nhờ vào BTKN về
khái niệm giới hạn chứ không nhờ vào ĐNKN; -Để tạo cho HS có một BTKN

cho một khái niệm nào đó, GV phải có những biện pháp s phạm thích hợp;
chẳng hạn nh tìm những ý nghĩa khác nhau của khái niệm, xây dựng các bài
tập hay ví dụ và phản ví dụ mà có sử dụng các ý nghĩa đó để giải quyết; Việc nắm đợc bản chất của một khái niệm toán học cao cấp phải là một quá
trình: Ôn tập các kiến thức liên quan - Tổ chức cho HS hành động trên đối
tợng chứa đựng khái niệm đó - Tổ chức hoạt động trừu tợng hoá nhằm rút
ra các thuộc tính bản chất của khái niệm - Tổ chức hoạt động khái quát hoá
để đi đến định nghĩa khái niệm - Hoạt động phân tích để tìm những ý nghĩa
khác nhau của khái niệm - Hoạt động củng cố và luyện tập vận dụng khái
niệm; - Hiện nay, nội dung của các đề thi và kiểm tra của môn Toán trong
trờng phổ thông chỉ chú trọng kiểm tra sự hiểu biết cách thức mà không cã
kiĨm tra sù hiĨu biÕt quan hƯ ; v× vËy, đa số GV không quan tâm dạy cho HS
nắm đợc ý nghĩa của tri thức hoặc không chú ý giúp các em có BTKN đúng


20

cho từng khái niệm trong môn Toán. Thành thử, HS thờng nắm tri thức
trong môn Toán trong nhà trờng phổ thông một cách hình thức.
3.3. TN dạy học giới hạn hàm số và hàm số liên tục có liên hệ với đồ thị
hàm số
Mục đích TN: Kiểm tra khả năng nhận biết giới hạn của hàm số khi x
dần về a, và hàm số liên tục tại điểm x0 khi biết đồ thị của hàm số của HS; trong
đó, HS đợc dạy học theo mô hình: dạy học các tri thức của Giải tích có sử
dụng đồ thị hàm số ®Ĩ x©y dùng ý nghÜa cđa tri thøc. KiĨm tra xem năng lực
đọc đồ thị hàm số vốn có của HS, và cả SV về hai khái niệm giới hạn của hàm
số và hàm số liên tục tại một điểm khi HS và SV này học theo cách thông
thờng.
Tổ chức TN: Nội dung dạy TN: Đ2 Giới hạn của hàm số, Đ3 Hàm số
liên tục thuộc chơng IV: Giới hạn hàm số theo SGK Đại số & Giải
tích 11 và Ôn tập chơng. Thời gian dạy TN: Theo phân phối chơng

trình Đại số & Giải tích 11 của Bộ Giáo dục và Đào tạo vào khoảng thời
gian từ tháng 1/2004 ®Õn th¸ng 4/2004- Chän líp TN: Hai líp 11 cã trình
độ tơng tơng nhau thuộc trờng Trung học phổ thông Bùi Hữu Nghĩa
nằm ngoại ô TP. Cần Thơ: Lớp 11A5 trờng Bùi Hữu Nghĩa do chính tác
giả luận án thực hiƯn; Líp 11A6 do GV Phan Tn KiƯt (23 ti nghề) thực
hiện. Trớc khi dạy học, tác giả luận án có trao đổi với thầy Kiệt về bản
chất của hai khái niệm này và đặc điểm đồ thị của chúng. Yêu cầu của
dạy học TN: - Bảo đảm đúng chơng trình và SGK; - Dạy học hai khái
niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục tại một điểm có thêm yêu cầu
là HS có thể nhận dạng đợc hàm số có giới hạn hoặc liên tục hay không
khi biết đồ thị của chúng; - PP dạy học ở mỗi lớp do mỗi GV tự chọn.
Chọn lớp ĐC: Chúng tôi tiến hành kiểm tra ĐC ở các lớp sau đây: Lớp
11A4 thuộc trờng trung học phổ thông Nguyễn Việt Hồng nằm ngoại ô
TP. Cần Thơ, do thầy Dơng Minh Quang (23 tuổi nghề) giảng dạy. Để
làm rõ hơn ý nghĩa kết quả TN và đồng thời kiểm tra khả năng đọc đồ thị
hàm số vốn có của sinh viên ngành s phạm toán, s phạm toán-tin đợc
đào tạo theo chơng trình thông thờng, chúng tôi so sánh và ®èi chiÕu


21

khả năng nhận dạng khái niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục tại
một điểm của HS thuộc hai lớp TN với SV đang học ngành s phạm toán
và toán-tin năm thứ ba bậc đại học: lớp s phạm Toán K27(Toán K27) và
s phạm toán-tin K27 (Toán-tin K27) thuộc khoa S phạm-trờng Đại học
Cần Thơ. Các SV đợc yêu cầu nghiên cứu lại nội dung về giới hạn của
hàm số và hàm số liên tục trong SGK Đại số và Giải tích 11 trớc khi tiến
hành kiểm tra. - PP đánh giá kết quả TN: - So sánh hai cách dạy trong
hai lớp TN; - Phân tích định tính trên cơ sở số liệu thống kê về kết quả bài
làm kiểm tra của các lớp kể trên.

Phân tích và bàn luận kết quả TN
a. Dạy học đặc điểm đồ thị hàm số có giới hạn trong lớp TN1: Trong líp
TN1, GV x©y dùng cho HS cã BTKN về khái niệm giới hạn hàm số: nếu hàm số
f(x) có đồ thị chụm lại điểm A(a; L) thì lim f ( x) = L (A cã thĨ kh«ng thc đồ
xa
thị).
b. Dạy học đặc điểm đồ thị hàm số có giới hạn trong lớp TN2: Trong lớp
TN2, GV chỉ nêu ra đặc điểm của đồ thị có giới hạn khi tổng kết chơng thông
qua các bài tập về hàm số cho bởi đồ thị. GV nêu ra ý nghĩa hình học về hàm số
có giới hạn nh sau: hàm số lim f ( x) = L khi điểm trên đồ thị có hoành độ x
xa
nhận các giá trị x1, x2,.., xn,.. dần về a thì tung độ f(x1), f(x2),.., f(xn),.. dần về L.
c. Dạy học đặc điểm của đồ thị hàm số liên tục tại một điểm. GV của
hai lớp TN1 và TN2 có cách nêu đặc điểm nh nhau: đồ thị liền nét tại
điểm A(x0, f(x0)) thì hàm số liên tục tại điểm đó.
d. Trong lớp học ĐC, GV dạy học theo cách thông thờng; tức là
không quan tâm rèn luyện kỹ năng nhận dạng khái niệm giới hạn hàm số
và hàm số liên tục khi biết đồ thị của chúng.
Sau khi kiểm tra các lớp TN và ĐC và phân tích định tính và định lợng
kết quả TN, luận án đà rút ra một số điều sau đây: - Kết quả học tập của HS
phổ thông phụ thuộc rất nhiều vào các biện pháp SP của GV; -Biện pháp SP
cũng có thể gây trở ngại cho nhận thức của HS; - Khái niệm giới hạn hàm số
là khái niệm khó nhận thức đối với HS và SV, có ch−íng ng¹i vỊ nhËn thøc


22

khi học tập khái niệm giới hạn; - Trong học tập khái niệm thuộc môn Giải
tích nếu HS không đợc GV xây dựng BTKN trong đó có đặc điểm đồ thị
của hàm số thì kỹ năng đọc đồ thị hàm số nói riêng và năng lực trực giác của

HS nói chung không phát triển. HS khó nhận ra các tính chất của hàm số
thông qua đồ thị của nó dù các tính chất đó không khó để nhận biết; - Nếu
nhận thức trực giác của HS phổ thông đợc huấn luyện một cách có hệ thống
thì năng lực trực giác nhị cấp của các em HS đợc hình thành, điều mà nhiều
SV đại học mà không đợc đào luyện (học theo chơng trình nh đà qua từ
phổ thông đến đại học) không có.
Kết luận chơng 3: Kết quả TN cho thấy rằng các mô hình dạy học và các áp
dụng mà luận án đa ra có tính khả thi và đà đem lại kết quả có thể chấp nhận
đợc.
Kết luận
1. Những đóng góp mới của luận án
1.1. Về mặt lý luận:- Đa ra một số cơ sở Tâm lý học toán học cao cấp và
Khoa học luận toán học làm cơ sở cho việc nâng cao hiệu quả của việc dạy
học môn Giải tích; - Phân tích quá trình phát sinh và phát triển của Phép tính
vi phân và tích phân dới quan điểm triết học. Đặc biệt, luận án chỉ ra các
mối liên hệ giữa tính rời rạc và liên tục, hữu hạn và vô hạn, chuyển động và
đứng yên trong lịch sử phát triển của môn Giải tích; - Phát triển các mô hình
dạy học và mô hình nhận thức sau đây: 1 mô hình dạy học Giải tích với mối
quan hệ giữa cái riêng và cái chung, 7 mô hình hình thành khái niệm Giải
tích theo con đờng qui nạp, 2 mô hình dạy học định lí Giải tích với GTKH
cùng với 9 phơng án sử dụng; 1 mô hình nhận thức: mô hình phát hiện
dạng - mẫu.
Ngoài ra, luận án đa ra nhiều áp dụng và kết luận có giá trị s phạm
khác nhau tơng ứng với từng vấn đề nghiên cứu: dạy học môn Giải tích
với mối liên hệ, dạy học môn Giải tích với mối quan hệ giữa cái riêng và
cái chung; dạy học môn Giải tích với PP phân tích, dạy học môn Gi¶i tÝch


23

với phép tơng tự, dạy học khái niệm của Giải tích với các mô hình qui
nạp, dạy học định lí trong môn Giải tích với GTKH.
1.2. Về thực tiễn:
- Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể áp dụng dạy học hiệu quả môn
Toán trong nhà trờng phổ thông;
- Luận án là tài liệu tốt cho SV ngành s phạm toán và GV toán trong
nhà trờng phổ thông tham khảo.
2. Kết luận: Từ các kết quả của luận án, một số kết luận có thể đợc rút ra nh
sau:
- Có thể tìm kiếm các mô hình dạy học, các áp dụng khác vào dạy học môn Giải
tích nói riêng và môn Toán nói chung trên cơ sở tiếp cận PP LTH;
- Các vấn đề nghiên cứu dạy học môn Toán theo hớng tiếp cận PP LTH cần
đợc các nhà nghiên cứu quan tâm nhiều hơn vì các kết quả của các công trình
nghiên cứu là các mô hình dạy học và các áp dụng có giá trị s phạm, nhờ đó
chúng đóng góp vào việc nâng cao dạy học hiệu quả môn Toán trong nhà trờng
phổ thông.
Toàn bộ các kết quả nghiên cứu mà luận án thu đợc chứng tỏ rằng giả
thuyết khoa học của luận án là chấp nhận đợc, mục đích và nhiệm vụ
nghiên cứu đà đợc hoàn thành, các luận điểm đa ra bảo vệ đợc khẳng
định.