Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình họcc

MỤC LỤC

1




MỞ ĐẦU
Ngày nay mô hình hóa hình học đã trở thành nền tảng cơ bản cho các tính
toán trực quan bởi vì nó cung cấp sự biểu diễn ngày càng chính xác các hình dạng
và các thao tác cho những đối tượng hình học. Khác với các kỹ thuật mô hình hóa
bề mặt được sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thể
(solid models) cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình học cho
các đối tượng 3D với hình học nội suy. Nó giúp tăng cường đáng kể các kỹ thuật
mô hình hóa hình học. Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao
gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên
(boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-form
parametric solids), v.v. Phương pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phép
toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn như hình lập phương, hình cầu, hình
trụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp. Các kỹ thuật B-rep thường
định nghĩa một đối tượng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biên
với các thông tin hình dạng mở rộng. Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự
do sử dụng các đường (curves) như B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác
định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hình
học nội suy trong một khuôn khổ thống nhất. Mặt khác, mô hình tham số
PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tượng hình học sử dụng các
phương trình đạo hàm riêng nhất định với chỉ một vài điều kiện biên. Đặc biệt các
biến thể của PDE cũng có thể được sử dụng để xác định tham số của các đối tượng
lập thể. So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong mô hình hóa hình học

các mô hình PDE có rất nhiều lợi thế:
- Sự tác động của một đối tượng PDE được quy định bởi giá trị biên của các
phương trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng được xác
định thông qua các phương trình vi phân bậc cao.
- Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều
kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi thông qua việc giải




các phương trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô
hình lập thể dạng tự do tham số.
- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình
khối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các đường, biểu diễn các
bề mặt biên. Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phương pháp
CSG, B-rep v.v.. vào một khung duy nhất.
- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý.
Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp
nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối tượng nhúng
bên trong các mô hình PDE.
- Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong
các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thể
được thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời.
Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi
vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có hình dạng
tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt
mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các
mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có được điều này
ngược lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát
hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn.

Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai
loại và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học. Hơn
nữa, các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần
túy. Để mô phỏng các đối tượng trong thế giới thực, phương pháp này tốt hơn trong
việc kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn như mật độ trong biểu diễn
hình học. Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể được tổng hợp bởi các giá trị vô
hướng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tưởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật




lý này. Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể
đạt được các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực.
Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng viên
hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong
mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. Luận văn cấu
trúc gồm 3 chương:
Chương 1: Chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi
phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.
Chương 2: Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết
kế bề mặt, những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial
differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình
học.
Chương 3: Chương này trình bày về hình học phương trình vi phân đạo hàm
riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng,
ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bước xây dựng GPDE và các giải pháp
số trong việc xây dựng GPDE.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đặng
Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác giả
xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học

Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng
dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy
nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng
góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn.




DANH MỤC HÌNH VẼ




Chương I
CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC
Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân
và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.
1.1 Hình học đường cong.
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả
mãn một số điều kiện.
1.1.1 Biểu diễn đường cong.
Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng:
- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số.
Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ
trên hình 1.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình:
f (x, y) = x2 + y2 −1 = 0 : Phương trình ẩn

(1.1)

Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là:
y = g(x) = (1− x)1/2 : Phương trình tường minh

(1.2)

Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn,ta có:
x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phương trình tham số

(1.3)




Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị
Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1)
Kết hợp với phương trình (1.1) ta có:
x = x(t) = (1− t2) /(1+ t2) ; y = y(t) = 2t /(1+ t2)

(1.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương
trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của
đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)
hay dưới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường

cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0
biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D.
Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt
cong.
1.1.2 Đặc tính của đường cong.
Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số
chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:
a. Độ chảy của đường cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1.1.2.1 Độ chảy:
Độ lớn của vectơ đạo hàm r’(t)được gọi là độ chảy của đường cong:
S’(t) = |r’(t)|

(1.5)




Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời
gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng
này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng
r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của
đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép
tham số hoá.
1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị:
Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

s=

∫

θ
0

|r’(t)| dt

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau:

hay dưới dạng vi phân:

T = dr / ds

(1.6)

T = r’(t) /|r’(t)|

(1.7)

1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính:
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta
có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong:
N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds|

(1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2)
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp.

Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi
quan hệ: B = TxN




Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp
1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong:
Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t).
Độ cong được định nghĩa như sau:
hay dưới dạng vi phân:

k = |dT/ds|
k=

| r ' xr''|
| r ' |3

(1.9)
(1.10)

trong đó: r’ ≡ dr(t)/dt; r’’ ≡ dr’ / dt . Đối với đường cong 2D dạng phương
trình tường minh y = y(x), phương trình trên có dạng: k = y’’/(1+ y’2 )3/2
trong đó: y’ ≡ dy / dx ; y’’ ≡ dy’ / dx
Cho đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2), đi qua điểm hiện thời
r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường
tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được
gọi là bán kính cong và được xác định bởi: ρ =1/ k

(1.11)

1.1.2.5 Độ xoắn của đường cong:
Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: τ = −(dB/ ds).N
trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương
trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình SerretFrenet:
dr / ds = T; dT / ds = kN
dN / ds =τB − kT ; dB/ ds = −τN-1

1.2 Hình học mặt cong.

(1.12)




1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:
1. 2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn.
Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt
cầu thoả bất đẳng thức: x2 + y2 + z2 -1 < 0 và phương trình: x2 + y2 + z2 -1 = 0 (1.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0.
1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số.
Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh
xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu
diễn bởi phương trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)],

(1.14)

trong đó: u và v là tham số của mặt cong.

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (1.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:
r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv)

(1.15)

với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤π / 2
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu
dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x - y của hệ toạ độ Descarte
(u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số:
r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y)

(1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1.13) được
biểu diễn dưới dạng tường minh: z = (1 - x2 – y2)1/2 với (x2 + y 2 ) < 1

(1.17)

Hình học mặt cong được minh hoạ trên hình 1.3. Ta thường gọi phần mặt
cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các mặt lưới liên kết theo điều kiện
kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.




Hình 1.3 : Hình học mặt cong
1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.

Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v)
(hình 1.4):

q(t) = [u(t),v(t)]T

(1.18)

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho:
r(t)= r(u(t), v(t))=(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))

(1.19)

Trường hợp đặc biệt của (1.19) là đường cong đẳng tham số:
v = v*, v (t) = t; u = u *, u (t) = t

Hình 1.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến
Vectơ tiếp tuyến.
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:
ru= ∂r / ∂u ; rv = ∂r / ∂v ; ruv = ∂2r/∂u∂v

(1.20)




Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo t, ta có:
r’=

dr

∂r dr
∂r dv
=
+
=ruu’ +rvv’ ,
dt ∂u dt ∂v dt

(1.21)

trong đó: r’ là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp
tuyến của đường cong đẳng tham số u = u* , v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ru , rv
xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4).
Vectơ pháp tuyến.
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:
n=(ru x rv )/| ru x rv|

(1.22)

Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:
r’= ruu’ + rvv’ =⋀q’,

(1.23)

trong đó: Λ = |ru ,rv| ; q’ = dq(t) / dt = (du / dt, dv / dt) = [u’ v’]T . Giá trị
vectơ tiếp tuyến được tính như sau:
|r’2| = (r’)T(r’) = q’T ΛT Λq’=q’TGq’,
 ru

trong đó: G= ΛT Λ= 
 ru rv

ru rv 
÷: Ma trận cơ sở thứ nhất.
rv 

(1.24)
(1.25)

Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau:
T=r’/|r’|=(Λq’)/(q’TGq’)1/2

(1.26)

Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích
mặt cắt theo công thức đơn giản sau:
S=∬|ruxrv|dudv=∬|G|1/2dudv
(1.27)
1.2.3 Độ cong.
Ma trận cơ sở thứ hai.




Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4). từ (1.21), đạo hàm bậc
hai của r(t) theo t có giá trị như sau:
r’’ = u’(u’ruu + v’ruv ) + u’’ru + v’(v’rvv + u’ruv ) + v’’rv

(1.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong
với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có:
r’’.n= (u’)2ruun + 2u’v’ruvn + (v’)2rvvn =q’TDq’,
 u '

(1.29a)

 ruu .n ruv .n 

trong đó: q’ =  ÷ và D= 
÷ : Ma trận cơ sở thứ hai
v'
 ruv .n rvv .n 
Độ cong pháp tuyến.
Từ phương trình (1.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:
r’’ =

dr ' d ( s ' T )
=
=s’’T +s’T’=s’’T +(s’kN)
dt
dt

Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng:T.n = 0:
r’’.n=(s’)2kN.n

(1.29b)

Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công
thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’| , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi
công thức sau:
r ''.n q 'T Dq '
q 'T Dq '
kn≡ kN.n=
=
=
( s ') 2
( s ') 2
(q ')T Gq '

(1.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của
đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo
phương vectơ q’ .

Độ cong chính.
Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’:




q 'T Dq '
kn(q’) =
(q ')T Gq '

Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:
∂Kn
=2Dq’ -2knGq’ =0
∂q '

(1.31)

Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được
xác định từ (1.30) như sau:
kn1=
 g1

trong đó: a=|G|= 
h

b + b 2 − ac
b − b 2 − ac
; kn2=
,
a
a

h 
÷; c=|D|=
g2 

 d1

e

(1.31)

e 
g1d2+g2d1
− eh
÷; b=
d2 
2

Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D.
Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để
biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
1.3 Phép biến đổi toạ độ.
Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.
1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.
Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ
độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (t x,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ
lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 1.5c) được
xác định như sau:
x’ = x + tx ; y’ = y + ty

(1.33)

x’ = sx.x ; y’ = sy.y

(1.34)

x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ

(1.35)




Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D
Phép biến đổi đồng nhất.
Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. Theo toạ độ
đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng
toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:
x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h,

(1.36)

trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng.
Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được
nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy
tỷ lệ với hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35)
dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) P h, P’h và ma trận biến đổi
đồng nhất M:
P’h = Ph M,

(1.37)

trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1)
Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ
lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau:

1

T=  0
 tx


a12
1
ty

0
÷
0 ÷; S=
1÷


 sx

0
0


0
sy
0

0
÷
0 ÷ ; R=
1÷


 cosθ

 − sin θ
 0


sin θ
cosθ
0

0
÷
0÷
1÷


1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.
Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch
chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau:
x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz

(1.38)

x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z

(1.39)

Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi
vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S):
P’h = Ph T

(1.40a)

P’h = Ph S,

(1.40b)

trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1)


1
T=  0

0
t
 x

0 0
1 0
0 1
t y tz

0
0
0
1



÷
s
÷
 x
÷ ; S=  0
÷

÷
0
0
÷



0
sy
0
0

0
0
sz
0

0
0
0
1


÷
÷
÷
÷
÷
÷


Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D,
phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các
trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).
Phép quay cơ bản
quanh trục x
quanh trục y
quanh trục z

X’
x’ = x
x’ = zsinθ + xcosθ
x’ = xcosθ + ysinθ

Y’
y’ = ycosθ - zsinθ

y’ = y
y’ = xsinθ + ycosθ

Bảng 1.1

Z’
z’ = ysinθ + zcosθ
z’ = zcosθ + xsinθ
z’ = z




Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có
giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):

1 0 0

R(x,θ)=  0 C S

 0 −S C
0 0
0


C

R(z,θ)=  − S

 0

 0


S 0
0 0
0 C
0 0

0
0
0
1

0
0
0
1



÷
C
÷

÷; R(y,θ)=  0
÷

÷
S
÷

0



0 −S
1 0
0 C
0 0

0
0
0
1


÷
÷
÷
÷
÷
÷



÷
÷
÷;
÷
÷
÷



(1.41)

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:
(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H,


 r11 r12
trong đó: H=  r21 r22

 r31 r32
t
 x ty

r13
r23
r33
tz

0
0
0
1


÷
÷
÷=

÷
÷
÷











(1.42)

R
t

0
0
0
1


÷
÷
÷
÷
÷

÷


hay biểu diễn dưới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t

(1.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định
nghĩa các vectơ hàng của R:
n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33)
(1.44)
thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j,
k và thoả điều kiện:
n x o = a; o x a = n; a x n = o và |n| = |o| = |a| =1

(1.45)

1.3.3 Phép ánh xạ.
Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn
không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. Trong




phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau.
Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được định
nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ
thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình
học so với cả 2 hệ toạ độ.Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ
thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông

thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ
địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá
việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi)
toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ
trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu
trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ
độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống
chủ.
Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ
hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác
định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó:
P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z)
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)
H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so
với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’).
1.3.4 Khung toạ độ.
Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình
học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ
như sự thay đổi hệ toạ độ.




Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển
động (Hình 1.6). Cho i , j và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham
h

h

chiếu: i = (1 0 0 1) ; j = (0 1 0 1) ; k = (0 0 1 1) (2.46)
h

h

h

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:
i’ = i H = (1 0 0 1) H = (n 1)

(1.47a)

j’ = j H= (0 1 0 1) H = (o 1)

(1.47b)

k’ = k H=(0 0 1 1) H = (a 1)

(1.47c)

h

h

h

h

h

h

Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi
đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi
theo (1.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:
P’ = (0 0 0 1) H = (t t t 1) = (t 1)
h

x

y

z

(1.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.
Như vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ
toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ
cố định).

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động
Viết lại biểu thức (1.42) ta có: P’h = Ph H hay: Ph = P’h H-1,




trong đó:
Ph = (r 1) = (x y z 1)

P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)
r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc.
r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu
(hệ toạ độ hệ thống).


 nx
H=  ox
 ax

 ty

ny
oy
ay

nz
oz

ty

tz

az

0
0
0
1


÷
÷
÷; H-1=
÷
÷
÷
÷




 nx
 ny

 nz
 −n.t


ox
oy
oz

ax
ay
az

−o.t

−a.t

0
0
0
1


÷
÷
÷
÷
÷
÷


n = (nx ny nz) ; o = (ox oy oz) ; a = (ax ay az) ; t = (tx ty tz)
Kết luận:
Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực
chất là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo
phương thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với
cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản,
thích hợp cho lập trình.




Chương II
GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT
KẾ HÌNH HỌC
Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt,

những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential
equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học.
2.1. Tổng quan
Sự đặc trưng hóa và hệ thống hóa các bề mặt nhất định đã xuất hiện từ thời
đế quốc La Mã. Bắt nguồn từ những khát vọng xâm chiếm và nhu cầu sản xuất hàng
loạt các chiếm hạm, người ta đã rất quan tâm tới việc tạo ra một khuôn mẫu cho các
thân tàu. Tuy nhiên,việc giới thiệu bản vẽ xác định hình dạng của một thân tàu chỉ
thực sự trở nên phổ biến ở Anh vào thế kỷ 17. Ngày nay thiết kế hình học được hỗ
trợ bởi các công cụ tính toán với một số lượng lớn các kỹ thuật tạo bề mặt sẵn có.
Phần lớn các phương pháp được sử dụng trong thiết kế hình học dưới sự hỗ trợ của
máy tính đối với việc tạo ra các bề mặt chủ yếu dựa trên một loại bề mặt ẩn cụ thể
là các mặt đa giác. Loại bề mặt này được đặc trưng bởi một số các điểm điều khiển
và trọng số. Tuy nhiên việc thao tác đối với các bề mặt như vậy là không đơn giản
khi mối quan hệ giữa những sự thay đổi trong hình học và các điểm điều khiển là
không trực quan.
Các bề mặt tham số nhìn chung dễ thao tác hơn các bề mặt ẩn bởi chúng chỉ
cần sửa đổi một số các tham số để thu được một bề mặt khác.
Các bề mặt tham số thông thường được biểu diễn bởi các đường cong trong
việc thiết kế hình học thông qua sự hỗ trợ của máy tính do những lợi thế mà chúng
đem lạị chủ yếu do sự đơn giản trong việc xây dựng và sự chính xác trong đánh giá.
2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học
Ngày nay trong các tài liệu thiết kế hình học có rất nhiều phương pháp thiết
kế bề mặt. Đặc biệt các kỹ thuật sau đây được sử dụng thường xuyên nhất:




B-splines: là các đường cong được mô tả bởi một tập các điểm. Kỹ thuật này
ban đầu được dựa trên các đa thức nội suy thông qua toàn bộ tập các điểm. Tuy
nhiên khi các đa thức bậc cao thu được từ một thủ tục thì các bề mặt kết quả thu

được lại thiếu sự trơn mịn. Để đạt được độ trơn mịn của những bề mặt như vậy
người ta sử dụng phép nội suy phân đoạn. De Casteljau và Bézier đã tập trung
nghiên cứu việc thiết kế hình học một cách hoàn toàn tự động và trở thành những
người tiên phong trong lĩnh vực này. Các hàm phổ biến nhất được sử dụng để thực
hiện phép nội suy phân đoạn là các đường conic và các đa thức bậc ba. Sau đây là
các loại đường được sử dụng phổ biến nhất trong thiết kế máy tính :
Các mặt Bézier: các mặt này là trường hợp đặc biệt của phép nội suy
Hermite. Chúng được xây dựng như một chuỗi các phân đoạn bậc ba và được xác
định bởi :
m

S(u,v)=

n

∑∑ P
j =0 k =0

j ,k

Bez j ,m (v) Bezk , n (u ) ,

(2.1)
n!

trong đó Pj.k là các điểm điều khiển và Bezk,n= k ! n − k ! uk(1-u)n-k
(
)
B-splines: Là sự tổng quát hóa của các đường cong Bézier trong đó mỗi
điểm điều khiển được nhân tương ứng với hàm cơ sở của nó. Các hàm cơ sở này

được xác định thông qua một quy tắc được thiết lập và phụ thuộc vào số lượng các
nút (các điểm kết nối) được yêu cầu. Do đó một mặt B-splines được định nghĩa bởi:
m

n

S(u,v)= ∑∑ N j , p (u ) N j ,q (v) Pj ,k ,
j =0 k =0

(2.2)

trong đó Pj.k là các điểm điều khiển; Ni,p và Ni,q là các hàm B-splines cơ bản bậc p và
q tương ứng. Một hàm B-splines cơ bản bậc r được cho bởi:
Ni,r(u)=

u − ui
u −u
N i , r −1 + i + k
N i+1, r −1 , trong đó ui là một thành phần
ui + r −1 − ti
ui + r − ui +1

của một vector được xác định trước.
NURBS(Non-uniform rational B-splines ): Khác với đường cong B-splines
và đường cong Bézier, NURBS bao gồm các trọng số của các điểm điều khiển




không cách đều , đây cũng là lý do mà các bề mặt NURBS được coi là hữu tỷ. Các

bề mặt này được mô tả về mặt toán học như sau :
m

S(u,v)=

n

∑∑ N
j = 0 k =0
m n

i, p

∑∑ N
j =0 k =0

(u ) N j , q (v)ω j , k Pj , k

i, p

(u ) N j ,q (v )ω j , k

,

(2.3)

trong đó ωj,k là trọng được gắn cho điểm điều khiển Pj,k
Các loại bề mặt tham số phổ biến nhất được sử dụng trong việc thiết kế hình
học thông qua sự hỗ trợ của máy tính là các bề mặt hình chữ nhật và các mặt Coons
(Coons patches). Mô tả ngắn gọn của những loại này được đưa ra dưới đây :

+ Các bề mặt hình chữ nhật phổ biến nhất là các bề mặt tích Tensor, dựa trên
phép nội suy của các đường Bicubic, đây là loại bề mặt ánh xạ một miền hình chữ
nhật vào một miền không gian ba chiều.
+ Coons patches: Là bề mặt được tạo thành thông qua một tập bốn đường
cong biên. Điều kiện duy nhất đối với các đường cong biên được liên kết với nhau
để tạo thành một bề mặt Coons patches là những đường cong này phải cắt nhau tại
các góc của mặt sao cho mặt được xác định là duy nhất.
+ Các bề mặt tam giác: Các bề mặt này có được từ sự sắp xếp hình học của
một tập các điểm mà ở đó các điểm của chúng đều được tính toán. Miền này được
chia thành các yếu tố hình tam giác và sau đó mỗi điểm của bề mặt được đánh giá
tại các tọa độ Barycentic của yếu tố hình tam giác tương ứng trong miền. Loại bề
mặt này được sử dụng đầu tiên trong lý thuyết phần tử hữu hạn, tuy nhiên việc xây
dựng chúng là rất phức tạp.
+ Chia nhỏ bề mặt: là một kỹ thuật tạo bề mặt cho việc tìm kiếm một bề mặt
nhẵn từ một bề mặt thô. Kỹ thuật này bao gồm một quá trình lặp đi lặp lại sao cho
các điểm mới trong bề mặt được tìm thấy theo một nguyên tắc phân chia và không
giống như các bề mặt tham số chúng có thể đại diện cho các bề mặt có cấu trúc liên
kết tùy ý. Tuy nhiên sự chia nhỏ các bề mặt lại cho thấy một số vấn đề liên quan
đến sự thiếu một cơ chế phát hiện các va chạm xuất hiện bên trong của các bề mặt.




Các kỹ thuật tạo bề mặt truyền thống không có khả năng đảm bảo độ mịn của
toàn bộ bề mặt. Gần đây vấn đề này đã được khắc phục nhờ vào các phương trình
đạo hàm riêng, chúng được coi như là một công cụ đối với việc thao tác trên các bề
mặt.
2.1.2. Phương trình vi phân đạo hàm riêng
Phương trình vi phân đạo hàm riêng ( PDE-Partial differential equations ) là
phương trình mà trong đó các hàm chưa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàm

riêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập. Ví dụ đối với hàm U(x,y) phụ
thuộc hai biến độc lập x, y. Dạng tổng quát phương trình vi phân đạo hàm riêng
được cho bởi:
AUxx + BUxy +CUyy + DUx + EUy + FU = G(x, y),

(2.4)

trong đó: A, B, C, D, E, F là các hàm tổng quát của U(x,y). U xx, Uxy, Uyy, Ux, Uy là
kí hiệu của đạo hàm.
Sở dĩ phương trình vi phân đạo hàm riêng có được tầm quan trọng của một
công cụ toán học như thế bởi nó mô hình hóa được hầu hết các hiện tượng vật lý. Ví
dụ phương trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô tả nhiệt được phân bố
như thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực tương ứng. Các ví dụ khác của
các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tượng vật lý là phương trình
sóng và phương trình Laplace, v.v... Các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng
được mở rộng sang các lĩnh vực như tài chính mà tiêu biểu là các phương trình biểu
diễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian.
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có thể được phân loại theo các đặc
tính khác nhau như:
-

Bậc: Được xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong
phương trình.

-

Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phương trình vi phân đạo hàm
riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y). Nếu G(x,y) =0 thì
phương trình được gọi là đồng nhất, ngược lại là không đồng nhất.

-

Tính tuyến tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng được gọi là tuyến
tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm U(x,y) và đạo hàm riêng của
chúng, ngược lại là phương trình phi tuyến tính.

Ngoài ra các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng được phân loại
theo hệ số. Theo cách này chúng được chia thành ba loại: phương trình Parabolic,
Hyperbolic và Elliptic. Ví dụ phương trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào
sau đây:
+ Parabolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0
+ Hyperpolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B 24AC >0
+ Elliptic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B 24AC <0
Sự phân loại này còn được mở rộng cho các phương trình vi phân đạo hàm
riêng bậc cao hơn tuy nhiên tiêu chí phân loại khác nhau phụ thuộc vào bậc của
phương trình. Ngoài ra việc phân loại này rất có ích trong việc mô tả lại các hiện
tượng vật lý của từng loại phương trình. Việc giải các phương trình vi phân đạo
hàm riêng nói chung là không dễ dàng. Tuy nhiên một số phương pháp đã được
phát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân đạo hàm
riêng. Những phương pháp này biến đổi từ việc phân tích các lược đồ cho tới các kỹ
thuật số hoàn chỉnh. Ngày nay các phương trình vi phân đạo hàm riêng đã được biết
đến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đế rất
hiệu quả.
2.2. Các bề mặt hình học PDE.
Thuật ngữ bề mặt PDE đề cập đến các bề mặt được tạo ra hoặc được sửa đổi
thông qua việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng, những bề mặt này là sự
biểu diễn đồ họa của việc giải một phương trình PDE cho trước cùng với một tập

các điều kiện biên.