Khảo sát cơ sở của ánh xạ đóng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM KHÁNH TOÀN

KHẢO SÁT CƠ SỞ CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM KHÁNH TOÀN

KHẢO SÁT CƠ SỞ CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Xuân Huy

THÁI NGUYÊN - 2013


i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, kết quả của luận văn hoàn toàn là kết quả của tự
bản thân tôi tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện theo sự hướng dẫn khoa
học của PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Huy.
Các tài liệu tham khảo được trích dẫn và chú thích đầy đủ.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2013
Tác giả

Phạm Khánh Toàn


LỜI CẢM ƠN
Học viên xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
thầy giáo PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Huy, người đã tận tình hướng dẫn và tạo
mọi điều kiện tốt nhất để có thể hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Công
nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Viện Công nghệ
Thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã trực tiếp giảng dạy,
giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo, gia đình, các bạn lớp cao học Khoa
học máy tính CK10C và các bạn đồng nghiệp đã luôn quan tâm, hỗ trợ,
khuyến khích học viên trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài.
Xin chân thành cám ơn!
Học viên

Phạm Khánh Toàn


i

MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Chương 1.......................................................................................................................4
CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ...........................................................................................4


ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT

AXĐ

Ánh xạ đóng

∈

Thuộc

∉

Không thuộc

⊆

Là tập con

⊇

Chứa tập con

\

Phép trừ tập hợp

∩

Phép giao tập hợp

∪

Phép hợp tập hợp

≡

Tương đương

≠

Khác

∀

Với mọi

LS(f)

Tập các vế trái của luật sinh f

RS(f)

Tập các vế phải của luật sinh f

∅

Tập rỗng

⊕

Hợp họ các tập


iii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Chương 1.......................................................................................................................4
CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ...........................................................................................4


iv

DANH MỤC HÌNH VẼ
Chương 1.......................................................................................................................4
CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ...........................................................................................4


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1.1. Cơ sở lí luận
Nhiều kết quả trong tin học lý thuyết dựa trên khái niệm ánh xạ đóng
(AXĐ) như một toán tử thiết lập tương ứng giữa các tập con của tập hữu hạn
cho trước thỏa các tiên đề phản xạ, đồng biến và lũy đẳng.
Việc nghiên cứu về AXĐ có thể cho ta những kết quả tổng quát hóa
trong lý thuyết cơ sở dữ liệu nói riêng và trong tin học nói chung; mở rộng
khả năng vận dụng một công cụ toán học trợ giúp phát triển một số kết quả
trong một số vấn đề lý thuyết về các hệ cơ sở dữ liệu và tri thức, các hệ suy
dẫn, khai phá dữ liệu.
1.2. Cơ sở thực tiễn
AXĐ được xem là một cấu trúc toán học hỗ trợ cho việc nghiên cứu về mặt
lý thuyết cơ sở dữ liệu quan hệ và chỉ ra rằng có thể vận dụng ngôn ngữ AXĐ để
nhận lại được các kết quả về cơ sở, phản cơ sở, bao đóng, chuẩn hóa... AXĐ cũng
là một công cụ hữu ích trong việc giải một số bài toán quan trọng khác.
Mỗi AXĐ được đặc tả bởi một hệ suy dẫn gọi là hệ sinh AXĐ. Có thể
vận dụng hệ suy dẫn để giải quyết các bài toán trong thực tiễn cuộc sống, các
lĩnh vực khoa học khác.
Những vấn đề nêu trên là cơ sở cho việc xác lập đề tài nghiên cứu của
luận văn: “KHẢO SÁT CƠ SỞ CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG”.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Xuất phát từ khuôn khổ của bậc học thạc sĩ, với khả năng thực tế của cá
nhân, học viên nghiên cứu, khảo sát cơ sở của ánh xạ đóng làm nền tảng phát
triển các hệ suy dẫn.


2

2.2. Phạm vi nghiên cứu
- Dạng biểu diễn cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng, bao gồm dạng biểu diễn

thứ nhất và dạng biểu diễn thứ hai của cơ sở.
- Ứng dụng ánh xạ đóng vào các hệ suy dẫn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, luận văn giải quyết các nhiệm vụ sau:
- Tìm hiểu cơ sở lí luận của đề tài.
- Tìm hiểu tính chất của ánh xạ đóng và 2 dạng biểu diễn cơ sở của hệ
sinh ánh xạ đóng.
4. Hướng nghiên cứu
- Giới thiệu tổng quan thuật toán và các kỹ thuật liên quan.
- Vận dụng ngôn ngữ ánh xạ đóng để phát triển các kết quả về cơ sở,
biểu diễn cơ sở, suy luận trong hệ suy dẫn,…
- Nghiên cứu ánh xạ đóng để tổng quát hóa trong lý thuyết cơ sở dữ
liệu và các hệ suy dẫn.
- Cài đặt thử nghiệm các thuật toán sử dụng cơ sở ánh xạ đóng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ trong đề tài luận văn, học viên sử dụng chủ
yếu các phương pháp sau đây:
- Phương pháp phân loại, tổng hợp các công trình nghiên cứu trong và
ngoài nước đã công bố liên quan đến đề tài.
- Phương pháp xây dựng chương trình khảo sát các tình huống
khác nhau.
- Phương pháp toán học rời rạc và logic.
- Kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết và thực hành, sử dụng và phát triển
các phần mềm nói chung và các phần mềm toán học nói riêng để thể hiện các
kết quả lý thuyết.


3

6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn

Giải quyết tốt nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là một công việc có ý
nghĩa cả về lí luận và thực tiễn.
- Về lí luận: luận văn góp phần làm sáng tỏ thêm một số vấn đề về ánh
xạ đóng, đồng thời tổng hợp được lý thuyết về cơ sở của ánh xạ đóng.
- Về thực tiễn: vận dụng khái niệm ánh xạ đóng để giải quyết một số
vấn đề trong quản lý ngữ nghĩa của dữ liệu; ứng dụng xây dựng các bài toán
của một hệ suy dẫn để chứng minh tự động trong toán học hay việc hỗ trợ
xây dựng kế hoạch dạy - học của giảng viên, sinh viên trong đào tạo theo hệ
thống tín chỉ,...
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Các khái niệm cơ sở
Chương 2: Hệ suy dẫn và ứng dụng
Chương 3: Cài đặt chương trình


4

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
Các khái niệm trong phần này được trình bày trong tài liệu [1], [2], [3],
[4]. Các phần tử của tập hợp được ký hiệu bằng các chữ Latin viết thường đầu bảng chữ a, b, c,... Các tập được ký
hiệu bằng các chữ LATIN HOA cuối bảng chữ X, Y, Z,... Các phần tử trong một tập thường được liệt kê như một xâu
ký tự, không có các ký hiệu biểu diễn tập, chẳng hạn ta viết X = abc thay vì viết X = {a,b,c}. XY biểu diễn hợp của hai
tập X và Y, X ∪ Y. Phép trừ hai tập X và Y được ký hiệu là X\Y. Tập vũ trụ hay tập nền U được cho trước luôn luôn là
hữu hạn và khác trống. Kí hiệu SubSet(U) là tập các tập con của U với thứ tự bộ phận bao hàm (⊆).

Các khái niệm về lược đồ quan hệ (LĐQH) và phép dịch chuyển

LĐQH trình bày trong [1] là trường hợp riêng của khái niệm về hệ sinh của
AXĐ và phép thu gọn hệ sinh thông qua các tương ứng sau đây:
Cơ sở dữ liệu
Tập thuộc tính U
Phụ thuộc hàm X → Y
LĐQH (U, F)
Bao đóng của tập thuộc tính ()+
Khóa
Phản khóa

Ánh xạ đóng
Tập phần tử U
Luật sinh X → Y
Hệ sinh (U, F)
Ánh xạ đóng f()
Khóa (Cơ sở)
Phản khóa (Phản cơ sở)

1.1. Ánh xạ đóng
Định nghĩa
Cho tập U. Ánh xạ f: SubSet(U) → SubSet(U) được gọi là đóng trên tập
U nếu với mọi tập con X, Y ⊆ U thỏa các tính chất [1] sau đây:

(C1) Tính phản xạ: f(X) ⊇ X,
(C2) Tính đồng biến hay đơn điệu: Nếu X ⊆ Y thì f(X) ⊆ f(Y),
(C3) Tính lũy đẳng: f(f(X)) = f(X).
Thí dụ
Các ánh xạ sau đây là đóng:
- Ánh xạ tối đại: Ω(X) = U với mọi X ⊆ U,
- Ánh xạ đồng nhất: e(X) = X với mọi X ⊆ U,

5
- Ánh xạ tịnh tiến: hT(X) = TX với mọi X ⊆ U và T là tập con cố định
tùy ý cho trước trong U.
Trường hợp T = U thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ tối đại,
hU = Ω, trường hợp T = ∅ thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ đồng
nhất, h∅ = e. Điều này cho thấy có thể dùng ánh xạ tịnh tiến làm cơ sở đặc tả
họ các AXĐ {Ω, hT, e}.
1.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng
Mệnh đề
Ta ký hiệu Close(U) là tập tất cả các AXĐ trên tập U cho trước. Sau
đây ta xét một số tính chất của AXĐ.
Giả sử f ∈ Close(U). Khi đó với mọi X,Y ⊆ U ta có:
(C4) f(f(X)Y) = f(Xf(Y)) = f(XY)
(C5) f(XY) ⊇ f(X)f(Y)
(C6) f(X∩Y) ⊆ f(X)∩ f(Y)
Thí dụ
Ta xét phản thí dụ cho các tính chất (C5) và (C6) trong mệnh đề trên.
Cụ thể, ta sẽ xây dựng AXĐ f sao cho f(XY) ≠ f(X)f(Y) và f(X∩Y) ≠ f(X) ∩ f(Y)
với các tập X và Y cụ thể.
Xét ánh xạ f trên tập U = ABC như sau:
f(AB) = f(BC) = U,
Với mọi X ⊆ U, X ≠ AB và X ≠ BC ta đặt f(X) = X.
Dễ thấy f là AXĐ và
f(AB) = ABC ≠ AB = f(A)f(B), minh họa cho tính chất (C5).
f(AB∩BC) = f(B) = B ≠ ABC = f(AB) ∩ f(BC), minh họa cho tính chất
(C6).
1.3. Hội các ánh xạ đóng
Định nghĩa

6

Cho các AXĐ f và g trên U. Ta xác định ánh xạ h trên U như sau,
h(X) = f(X) ∩ g(X), với mọi X ⊆ U. Ta gọi ánh xạ h là hội của các ánh xạ f
và g, ký hiệu là h = f ⋅ g.
Mệnh đề
Hội của hai AXĐ trên U là một AXĐ trên U.
1.4. Điểm bất động của ánh xạ đóng
Định nghĩa
Cho AXĐ f trên tập U. Tập con X ⊆ U được gọi là điểm bất động của
AXĐ f nếu f(X) = X .
Ký hiệu Fix(f) là tập toàn bộ các điểm bất động của AXĐ f.
Vì f(U) = U nên Fix(f) luôn chứa U như phần tử lớn nhất. Ngoài ra, dựa vào
tính lũy đẳng của các AXĐ ta có thể đặc tả Fix(f) như sau:
Fix(f) = { f(X) | X ⊆ U }
Thí dụ
1. AXĐ tối đại Ω trên U có duy nhất một điểm bất động là U:
Fix(Ω) = {U}
2. AXĐ đồng nhất e trên tập U có mỗi tập con là một điểm bất động,
Fix(e) = SubSet(U)
3. Mỗi AXĐ tịnh tiến theo tập con T trên tập không rỗng bất kỳ U có
các điểm bất động là mỗi tập con tùy ý chứa T của U,
Fix(hT) = {TX | X ⊆ U}
Thật vậy, theo định nghĩa của hT, ta có, hT(TX) = TTX = TX.
Ngược lại, nếu hT(M) = M với M ⊆ U thì ta có, hT(M) = TM = M.
Từ đây suy ra T ⊆ M.
1.5. Hạn chế trên ánh xạ đóng
Định nghĩa [3]

7

Cho AXĐ f trên U và một tập con M của U. Hạn chế của ánh xạ f trên
M, ký hiệu fM là ánh xạ trên M được xác định như sau:
∀X ⊆ M: fM(X) = f(X ) ∩ M
Định lý [3]
Với mọi AXĐ f trên U và với mọi tập con M của U, fM là một AXĐ
trên M.
1.6. Cơ sở của ánh xạ đóng [3]
Định nghĩa
Cho AXĐ f trên U. Tập con K của U được gọi là cơ sở của AXĐ f nếu
K thỏa đồng thời hai tính chất sau:
(i) Tính toàn thể: f(K) = U, và
(ii) Tính tối tiểu: ∀ X ⊂ K: f(X) ≠ U.
Nếu K thỏa tính chất (i) thì K được gọi là siêu cơ sở của AXĐ f.
Kí hiệu X ⊂ K cho biết X là tập con thực sự của K, tức là X ⊆ K và X ≠ K.
Mệnh đề
1. Mọi AXĐ trên tập hữu hạn đều có ít nhất một cơ sở.
2. Hai cơ sở bất kỳ của cùng một AXĐ không bao nhau.
3. Số cơ sở tối đại của một AXĐ là tổ hợp chặp n/2 của n, trong đó n
là số phần tử của U, x là nền nguyên của x (số nguyên lớn nhất không vượt
quá x), tức là bằng Cnn/2.
Bổ đề
- Bổ đề 1: Cho K là một cơ sở của AXĐ f trên U. Khi đó
∀ X ⊆ K: f(X) ∩ K = X.
Nhận xét
Do f(X) ∩ K = fK(X), do đó biểu thức trong bổ đề trên cho thấy X
là điểm bất động (tập đóng) đối với hạn chế fK .

- Bổ đề 2: Cho AXĐ f trên U và siêu cơ sở K của f.
Nếu ∀ X ⊆ K: f(X) ∩ K = X thì K là cơ sở của f.


8

Định lý (Cơ sở và ánh xạ đồng nhất)
Tập K ⊆ U là cơ sở của AXĐ f trên U khi và chỉ khi K là siêu cơ sở và
hạn chế của f trên K là ánh xạ đồng nhất.
Hệ quả
Cho AXĐ f trên tập hữu hạn U. U là khóa (và đương nhiên là duy nhất)
của f khi và chỉ khi f là ánh xạ đồng nhất.
Định nghĩa (Phần tử cơ sở và phần tử không cơ sở)
Cho f là AXĐ trên tập hữu hạn U. Phần tử A trong U được gọi là phần
tử cơ sở hoặc phần tử nguyên thủy của AXĐ f nếu A có trong một cơ sở nào
đó của f. A được gọi là phần tử không cơ sở hoặc phần tử phi nguyên thủy của
AXĐ f nếu A không có trong bất kỳ cơ sở nào của f.
Ta ký hiệu UK là tập các phần tử cơ sở của AXĐ f trên U và Uo là tập
của các phần tử không cơ sở của f. Khi đó U = UK | Uo là một phân hoạch
của U. Ngoài ra, ta ký hiệu UI là giao các cơ sở của f.
Định lý (Giao các cơ sở của ánh xạ đóng)
Cho AXĐ f trên tập hữu hạn U. Khi đó giao các cơ sở của f được tính
theo công thức:
U I =U \



( f (X ) \ X )

X ⊆U

1.7. Hệ sinh ánh xạ đóng
1.7.1. Định nghĩa hệ sinh [2]
Cho tập hữu hạn U, một luật sinh f trên U là biểu thức dạng f: L → R;
L, R ⊆ U. Các tập L và R được gọi tương ứng là vế trái và vế phải của luật
sinh f và được kí hiệu tương ứng là LS(f) và RS(f).
Ta gọi một hệ sinh AXĐ là cặp α = (U,F), trong đó U là một tập hữu
hạn, F là tập các luật sinh trên U.
1.7.2. Định lý hệ sinh cho ánh xạ đóng [2]
Với mỗi AXĐ h trên U, tồn tại một hệ sinh α = (U,F) thỏa tính chất:


9

fα(X) = h(X)
Thuật toán
Cho hệ sinh α = (U,F) và tập con X của U. Hãy tính fα(X).
Thuật toán Image dưới đây tính fα(X) với thời gian đa thức theo chiều
dài dữ liệu vào, O(|U|2.|F|). Tư tưởng của thuật toán là xây dựng dãy các tập
con bao nhau X0 ⊆ X1 ⊆ X2 ⊆ … ⊆ Xi ⊆ … như sau:
- Khởi trị: đặt X0 = X,
- Nếu xây dựng được Xi, i ≥ 0 thì Xi+1 được xây dựng như sau:
X i +1 = X i



R

L → R ∈F
L⊆ X i

- Thuật toán dừng khi đạt được đẳng thức Xi+1 = Xi và cho kết quả:
fα(X) = Xi .
Algorithm Image
Format: Image(U,F,X)
Input:

- Hệ sinh α = (U,F)
- Tập con X của U

Output: - fα(X)
Method
Y := X;
repeat
Z := Y;
for each rule L → R in F do
if L ⊆ Y then
Y := Y ∪ R;
endif;
endfor;
until Y = Z;
return Y;
end Image.

1.8. Thu gọn hệ sinh ánh xạ đóng
1.8.1. Định nghĩa [2]


10
Cho hai hệ sinh α = (U,F), β = (V,G) và tập M ⊆ U. Ta nói hệ sinh β

nhận được từ hệ sinh α qua phép thu gọn theo tập M, và kí hiệu là β = α\M,
nếu sau khi loại bỏ mọi xuất hiện của các phần tử của M trong hệ sinh α thì
thu được hệ sinh β.
Thao tác loại bỏ M thực hiện trên hệ sinh α = (U,F) để thu được hệ sinh

β = (V,G) như sau:
1. Tính V = U\M có độ phức tạp O(n) với n = |U|.
2. Với mỗi luật sinh X→Y trong F ta tạo một luật sinh X\M→Y\M cho
G. Thủ tục này xác định tập các luật sinh được ký hiệu là F\M. Tính F\M đòi
hỏi độ phức tạp O(mn), với m = |F|.
Như vậy β = α\M = (U\M, F\M) được thực hiện với độ phức tạp O(mn),
tức là tuyến tính theo chiều dài dữ liệu vào của hệ sinh α.
Sau khi thực hiện thủ tục G = F\M, nếu:
- G chứa các luật sinh tầm thường (dạng X→Y, X ⊇ Y) thì loại các luật
sinh này khỏi G,
- G chứa các luật sinh trùng lặp thì ta lược bớt các luật sinh này.
Thí dụ
Cho hệ sinh α = (U,F), trong đó:
U = abcdeh
F = {ae → d,
a → dh,
bc → e,
e → bc}.
Với M = adh, ta xác định β = (V,G) = α\M như sau:
Ta có, V = U\adh = abcdeh\adh = bce,


11
G = {e → ∅ (loại), ∅ → ∅ (loại), bc → e, e → bc} ≡ {bc → e, e → bc}.
Nhận xét

Phép thu gọn thỏa tính kết hợp và giao hoán, cụ thể là nếu α là hệ sinh
trên tập U và X, Y là hai tập con rời nhau của U thì:

α\(XY) = (α\X)\Y = (α\Y)\X.
1.8.2. Định lý về công thức biểu diễn ánh xạ đóng theo phép thu gọn hệ sinh
Cho hệ sinh α = (U,F) và hai tập con không giao nhau X và Y trong U.
Khi đó fα(XY) = Xfα\X(Y). [2]
1.8.3. Hệ quả về công thức tính ảnh cho một tập
Cho hệ sinh α = (U, F) và tập X ⊆ U.
Khi đó fα (X) = X fα\X(∅). [2]
Công thức trên được dùng làm cơ sở cho thuật toán tính ảnh của ánh xạ
cảm sinh với thời gian tuyến tính theo kích thước của hệ sinh.
Tư tưởng của thuật toán là: Để tính fα(X) trong hệ sinh α = (U,F) ta
thực hiện phép rút gọn β = α\X.
Trong hệ sinh β ta cần tính fβ(∅).
Dễ thấy rằng fβ(∅) ≠ ∅ khi và chỉ khi trong hệ sinh β có luật sinh dạng
∅ → R với R ≠ ∅.
Nếu có những luật như vậy, ta gom các vế phải R của chúng đưa vào
kết quả và lại thực hiện tiếp các phép rút gọn trên hệ sinh β. Quá trình này sẽ
kết thúc khi trong β không còn luật dạng ∅ → R, R ≠ ∅.
Thí dụ
Cho hệ sinh α = (U,F), trong đó:
U = abcdeh
F = {ae → d,
bc → e,
e → bc}
Tính: 1. fα (ahe) và

2. fα (e) ?

Ta có, theo hệ quả về công thức tính ảnh cho một tập:


12

1. fα(ahe) = ahe fα\ahe(∅);
G = F\ahe = {∅ → d, bc→∅ (loại), ∅→bc}≡ {∅→bcd}.
Từ đây ta tính được fα\ahe (∅) = bcd.
Do đó fα (ahe) = ahebcd = U.
2. fα(e) = e fα\e (∅);
G = F\e = {a→d, bc→∅ (loại), ∅ → bc} ≡ {a →d, ∅ → bc}.
Từ đây ta tính được fα\e(∅) = bc.
Do đó fα (e) = ebc.
1.9. Biểu diễn cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng
1.9.1. Cơ sở của hệ sinh
Định nghĩa [4]
Ta gọi cơ sở của hệ sinh là cơ sở của ánh xạ cảm sinh của hệ sinh đó.
Với mỗi hệ sinh α = (U,F), ta kí hiệu:
- Base(α) là tập các cơ sở của ánh xạ cảm sinh của hệ sinh α.
- UK là tập các phần tử cơ sở của hệ sinh α, tức là tập các phần tử có
trong một cơ sở của α.
- U0 là tập các phần tử phi cơ sở của α, tức là tập các phần tử không có
trong bất kỳ cơ sở nào của α.
- UI là giao các cơ sở của α.
Ta có U = UK | U0 là một phân hoạch của U.
Định lý 1
Cho hệ sinh AXĐ α = (U,F) với n phần tử trong tập U và m luật sinh
trong F. Khi đó có thể xác định giao các cơ sở bằng một thuật toán tuyến tính
theo mn qua công thức:
U I =U \



( R \ L)

L →R∈F

Bổ đề 1
Với mọi AXĐ f trên U và mọi tập con X,Y ⊆ U ta có:


13

f(Xf(Y)) = f(f(X)Y) = f(XY).
Bổ đề 2 [4]
Cho hai hệ sinh α = (U,F), β = (V,G) và X ⊆ U. Biết β = α\X. Khi đó:
(i) Nếu M là siêu cơ sở của α thì M\X là siêu cơ sở của β.
(ii) Nếu Z là siêu cơ sở của β thì XZ là siêu cơ sở của α. Nói riêng, nếu
X ⊆ Uo và Z là siêu cơ sở của β thì Z là siêu cơ sở của α.
Hệ quả 1 [4]
Cho hệ sinh α = (U,F) và tập X ⊆ U. Khi đó nếu Z là siêu cơ sở của hệ
sinh α\ fα(X) thì XZ là siêu cơ sở của hệ sinh α.
Bổ đề 3 [4]
Cho hai hệ sinh α = (U,F), β = (V,G) và tập X ⊆ Uo. Biết β = α\X. Khi
đó:
Base(α) = Base(β)
1.9.2. Hai dạng biểu diễn cơ sở của hệ sinh ánh xạ đóng
• Dạng biểu diễn thứ nhất:
Định lý 2 [4]
(Dạng biểu diễn thứ nhất cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng)

Nếu thu gọn hệ sinh α = (U,F) theo tập X ⊆ U để nhận được hệ sinh
β = α\X thì:
1. Base(α) = Base(β) khi và chỉ khi X ⊆ U0
2. Base(α) = X ⊕ Base(β) khi và chỉ khi X ⊆ UI
Thí dụ
1. Cho hệ sinh α (U,F), trong đó:
U = abcdeh
F = {ae→d,
bc→e}.
Ta tính giao các cơ sở là UI = abcdeh\de = abch.


14
Đặt β = (V,G) với V = U\abch = de, G = F\abch = {e→d, ∅→e}
Ta tính được Base(β) = {∅}.
Vậy Base(α) = abch ⊕ Base(β) = abch ⊕ {∅} = abch
2. Với hệ sinh đã cho ta tính được:
UK = abch nên U0 = U\UK = abcdeh\abch = de.
Đặt λ = α\de = (P, W)
Ta có P = U\de = abch, W = F\de = {a→∅ (loại), bc→∅ (loại)} ≡ ∅
Do đó Base(λ) = abch.
Theo định lý về dạng biểu diễn thứ nhất của cơ sở, vì U0 = de nên
Base(α) = Base(λ) = abch
Hệ quả 2 [4]
(Thu gọn hệ sinh theo các bộ phận không cơ sở và giao các cơ sở)
Cho hệ sinh α = (U,F) và các tập phần tử X ⊆ U0 , Y ⊆ UI .
Nếu thực hiện phép thu gọn theo XY để nhận được hệ sinh β = α\XY thì:
Base(α) = Y ⊕ Base(β).
• Dạng biểu diễn thứ hai
Cho (M, ≤) là một tập hữu hạn có thứ tự bộ phận. Phần tử m trong

Μ được gọi là cực tiểu nếu từ x ≤ m và x ∈ M ta luôn có x = m. Ta ký hiệu
MIN(M) là tập các phần tử cực tiểu của M. Dễ thấy rằng với mỗi phần tử x
trong M luôn tồn tại phần tử m trong MIN(M) thỏa m ≤ x.
Với mỗi họ các tập con của một tập hữu hạn U cho trước ta xét thứ tự
bộ phận ⊆.
Từ thời điểm này trở đi ta luôn giả thiết rằng mọi hệ sinh α = (U, F)
đều có tập U hữu hạn và không rỗng, tập luật sinh F không rỗng và thỏa các
tính chất :
1. F không chứa các luật sinh tầm thường:


15
∀ X,Y ⊆ U: X ⊇ Y ⇒ (X → Y ∉ F)
2. Hai vế trái và phải của mọi luật sinh trong F rời nhau (không giao nhau):
∀ f ∈ F: LS(f) ∩ RS(f) = ∅
3. Các vế trái của mọi luật sinh trong F khác nhau đôi một:
∀ f, g ∈ F: LS(f) = LS(g) ⇔ f = g
Ta ký hiệu ML(F) là tập các vế trái cực tiểu của F,
ML(F) = MIN {LS(f) | f ∈ F}.
Thí dụ 1
Cho hệ sinh α = (U, F), trong đó:
U = abcdeh
F = {ae→d,
a→c,
e→bc,
eh→a,
ac→eh,
bd→c}.
Ta có ML(F) = {a, e, bd}.

Bổ đề 4 [4]
Cho hệ sinh α = (U, F), nếu L ∈ ML(F) thì L ∈ Base(α) khi và chỉ khi
fα(L) = U.
Thí dụ 2
Với hệ sinh cho trong thí dụ 1, α = (U,F), trong đó:
U= abcdeh
F = {ae→d,
a→c,


16

e→bc,
eh→a,
ac→eh,
bd→c}.
Ta có ML(F) = {a, e, bd}.
Ta thấy:
1. fα(a) = acehbd = U. Vậy a là cơ sở của α.
2. fα(e) = ebc ≠ U. Vậy e không phải là cơ sở của α.
3. fα(bd) = bdc ≠ U. Vậy bd không phải là cơ sở của α
Định lý 3 [1]
(Dạng biểu diễn thứ hai cơ sở hệ sinh ánh xạ đóng)
Cho hệ sinh α = (U, F). Khi đó mọi cơ sở K của hệ sinh α đều biểu
diễn được dưới dạng K = LM, trong đó L là một vế trái cực tiểu của F và M là
cơ sở của hệ sinh α\fα(L).
Bổ đề 5 [4]
Cho hệ sinh α = (U, F) và vế trái cực tiểu L. Khi đó nếu K ∈ L ⊕
Base(α\fα(L)) và K không chứa vế trái cực tiểu nào khác ngoài L thì K là cơ sở
của α.

Thí dụ 3
Xét hệ sinh α = (U, F), trong đó:
U = abcdeh
F = {ae → d,
a → c,
e → bc,
eh → a,
ac → eh,


17
bd → c}.
Ta có ML(F) = {a, e, bd}.
Xét vế trái cực tiểu e.
Ta thấy, fα(e) = ebc ≠ U.
Vậy e không phải là cơ sở của α.
Ta thực hiện thu gọn hệ sinh α theo fα(e).
Ta có β = α\fα(e) = (V,G),
V = abcdeh\ebc = adh,
G = F\ebc ={a → d, a → ∅ (loại), ∅ → ∅ (loại), h → a, a → h,
d → ∅ (loại)} ≡ {a → dh, h → a}.
Dễ dàng tính được Base(β) = {a, h}, do đó e ⊕ Base(β)={ea, eh}.
Thành phần eh không chứa thêm vế trái cực tiểu nào khác e, do đó eh là
cơ sở của α.
Bổ đề 6 [4]
Cho hệ sinh α = (U, F) và vế trái cực tiểu L. Khi đó ∀ M ∈
Base(α\fα(L)), mọi cơ sở K của α chứa trong LM đều phải chứa M.
Thí dụ 4
Với hệ sinh cho trong thí dụ 1, α = (U, F), trong đó:
U = abcdeh

F = {ae → d,
a → c,
e → bc,
eh → a,
ac → eh,
bd → c}.
Ta có ML(F) = {a, e, bd}.
Ta thấy, fα(e) = ebc ≠ U.