Hàm RBF và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Trần Đức Thụ

HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

Chuyên nghành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Đặng Quang Á

Thái Nguyên 2009


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT:
IMQ: Inverse Multi Quadric
MQ: Multi Quadric
RBF: Radian Basic Function
DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với ε = 3

11

Bảng 2.1 : So sánh phương pháp trực tiếp và phương pháp nhanh

26

Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy
tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512

33

Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lưu trữ của việc nội suy bằng RBF và các
lưới được suy ra

36

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2.1: Khớp hàm RBF và phục hồi lưới bằng RBF

15

Hình 2.2: Mô tả các điểm ngoài bề mặt

18

Hình 2.3: Khôi phục một bàn tay

18

Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay

20

Hình 2.5: Phương pháp điều chỉnh nhanh

25

Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF

25

Hình 2.7: Rút gọn tâm

28

Hình 2.8: Xấp xỉ dữ liệu LIDAR

31

Hình 2.9: Mức làm trơn

31

Hình 2.10: Gia công đẳng mặt

32

Hình 2.11: Lấp lỗ và ngoại suy bề mặt

34

Hình 2.12: Biểu diễn các đối tượng phức tạp

35

Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros

35

Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào

40


Hình 3.2: Lưới thu được sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số

43

Hình 3.3: Bề mặt đưa vào

44

Hình 3.4: Bề mặt với các đường pháp tuyến

45

Hình 3.5: Bề mặt với các đường pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại
bỏ

46

Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm

48

Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm

49

Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt trên lưới 3D

50

Hình 3.9: Lưới mới được sinh ra

51

Hình 3.10: Lưới đa giác được sinh ra

52


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF)

3

1.1.1. Nội suy dữ liệu rời rạc

3

1.1.2. Ma trận và hàm xác định dương

5

1.1.3. Hàm cơ sở bán kính

6

1.1.4. Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn

6

1.1.5. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều
kiện

7

1.1.6. Ví dụ nội suy bằng RBF

1
0

1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D

11

Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC

BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D

14

2.1. Các bề mặt ẩn

15

2.2. Khớp một hàm ẩn vào bề mặt

16

2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính

23

2.4. Các phương pháp nhanh

26

2.5. Rút gọn tâm

27

2.6. Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF

29

2.7. Tính toán bề mặt

3
0

2.8. Các kết quả

32

2.9. Kết luận

37

Chương 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF

3
8

3.1. Phần mềm FastRBF làm gì

3


8
3.2. Ai có thể sử dụng phần mềm FastRBF

3
8

3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF

3

8

3.4.Các ứng dụng

39

3.5. Các kết quả đạt được khi sử dụng phần mềm FastRBF

39

3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D

39

3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF

41

3.5.1.2. Tính toán lưới 3D

42

3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D

43

3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lưới

43

3.5.2.2. Gia công đẳng mặt

51

3.6. Kết luận

53

KẾT LUẬN

54


1

MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con người
đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy
tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con người trong việc xử lý
dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác.
Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các
phương pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật
thể trong thực tế. Lĩnh vực này được phát triển dựa trên nền tảng của hình học
họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học
của đại số và giải tích, cũng như các thành tựu của phần cứng máy tính.
Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) được đề xuất bởi một
chuyên gia người Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960. Khi đó ông đang
nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing. William
Fetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình người phi công trong
buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ưu cho máy bay Boeing.

Đây là phương pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó.
Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D
là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán
này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập
điểm đã biết thông thường người ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và
các biến dạng của nó. Từ khoảng hai chục năm nay người ta đã và đang phát
triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ
sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phương pháp nội suy này
đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh
và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng
đã được phát triển.
Luận văn gồm có ba chương:


2

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF. Những tính
chất của hàm RBF được áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc. Đây là
những kiến thức cơ sở rất quan trọng. Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tượng 3D.
Chương 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tượng 3D
Chương 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF.
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang
Á đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ
Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trường Cao đẳng Công nghiệp Việt
Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009

TÁC GIẢ


3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở
bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D.
1.1.

Hàm cơ sở bán kính (RBF):

1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc:
Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ
liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu được những kết quả đó), yêu cầu
tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì
vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có
nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là
muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc được tại
những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và
nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lưới chuẩn
thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có:
Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu ( x j , y j ) , j = 1,..., n với x j ∈ Rs, y j ∈ R. Tìm
một hàm (liên tục) Pf thỏa mãn:
Pf ( x j ) = y j , j=1,…,n

(1.1)

Ý tưởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm Pf dưới dạng
n

tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở { Bk } k =1 , nghĩa là:
n

Pf ( x ) = ∑ ck Bk ( x ) , x ∈ Rs
k =1

(1.2)

Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số
n
tuyến tính để xác định các hệ số { ck } k =1 :

Ac = y
T
T
Trong đó A jk = Bk ( x j ) ; j, k = 1,..., n ; c = ( c1 ,..., cn ) ; y = ( y1 ,..., yn )

(1.3)


4

Bài toán 1.1 sẽ được đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi
và chỉ khi ma trận A không suy biến.
Trong trường hợp một chiều, ta luôn xây dựng được đa thức nội suy
bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết
quả phủ định sau:
Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu Ω ⊂ Rs, s ≥ 2 chứa một điểm trong
thì trong Ω không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường
hợp không gian một chiều.

Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B ⊂ C(Ω).
Gọi { B1 , B2 ,..., Bn } là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian
Haar trên Ω nếu det ( A) ≠ 0 với mọi tập các điểm phân biệt { x1 , x2 ,..., xn } ⊂ Ω.
Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi A j ,k = Bk ( x j ) ; j, k = 1,..., n .
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không
gian các đa thức một biến bậc n − 1 chính là không gian Haar n chiều với
tập dữ liệu ( x j , y j ) , j = 1,..., n , x j ∈ R, y j ∈ R. Cơ sở chính tắc của không
gian này là { B1 = 1, B2 = x, B3 = x 2 ,..., Bn = x n−1 } .
Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc
trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trước tập các
hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến
của ma trận A, ta cần một phương pháp khác để xây dựng hàm nội suy.
Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không
phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ
thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ


5

liệu tương ứng. Phương pháp này được đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971
và được gọi là phương pháp hàm cở sở bán kính.
1.1.2 Ma trận và hàm xác định dương:
Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định
dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:
n

n

∑∑ c c A
j =1 k =1

j k

jk

≥0

(1.4)

T
với c = ( c1 ,..., cn ) ∈ Rn. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = ( 0,...,0) T

thì ma trận A được gọi là xác định dương.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giá
trị riêng đều dương và không suy biến.
n
Nếu hệ hàm cơ sở { Bk } k =1 trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy

xác định dương thì bài toán nội suy được đặt đúng. Hàm xác định dương
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục Φ: Rs  R là xác định đương khi và chỉ khi
nó là hàm chẵn và thỏa mãn:

∑∑ c c Φ( x
n

n

j =1 k =1

j k

j

− xk ) ≥ 0

(1.5)

T
với mọi n điểm đôi một khác nhau x1 ,..., xn ∈ Rs và c = ( c1 ,..., cn ) ∈ Rn.

Hàm Φ gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.5) xảy ra khi
và chỉ khi c = ( 0,...,0) T .
Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy, có
thể sử dụng các hàm xác định dương chặt Bk = Φ( x − xk ) làm hệ hàm cơ sở,
và khi đó ta có:
n

Pf ( x ) = ∑ ck Φ( x − xk )
k =1

Ma trận nội suy trở thành:

(1.6)


6

A jk = Bk ( x j ) = Φ ( x j − xk ) ; j , k = 1,..., n

(1.7)

Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian
nhiều chiều. Do đó, thay vì sử dụng hàm đa biến Φ( x ) (độ phức tạp sẽ tăng
lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến ϕ cho tất cả số chiều s.
1.1.3 Hàm cơ sở bán kính:
Định nghĩa 1.4 Hàm Φ: Rs → R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm
một biến ϕ: [0,+∞) → R thỏa mãn:
Φ( x ) = ϕ ( r )

(1.8)

Với r = x và . là một chuẩn nào đó trong Rs (thường dùng chuẩn
Euclidean). Hàm ϕ tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính. Ta nói hàm ϕ là
xác định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm Φ là xác định dương (chặt).
1.1.4 Hàm xác định dương và đơn điệu hoàn toàn:
Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán
kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tương ứng, dựa trên
tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn.
Định nghĩa 1.5 Hàm ϕ ∈ C ∞ ( R>0 ) được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và
chỉ khi ( − 1) l ϕ ( l ) ( t ) ≥ 0

(1.9)

với mọi l = 0,1,..., với mọi t.
Việc xây dựng hàm bán kính xác định dương thông qua hàm đơn điệu
hoàn toàn dựa vào kết quả sau, được đưa ra bởi Schoenberg năm 1938.
Định lý 1.2 Cho ϕ: R+ → R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn. Khi đó

với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ Rs, hàm
bán kính Φ( x ) = ϕ ( r 2 ) , r = x là hàm xác định dương.
Ví dụ 1.1
Xét hàm ϕ(t) = e–αt với α ≥ 0. Ta có: (– 1)lϕ(l)(t) = (α)l e–αt > 0. Suy ra
2

hàm này là đơn điệu hoàn toàn. Do đó hàm Gaussian (GA) ϕ(r)=e–αr có


7

thể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dương của ma
trận nội suy.
Tương tự, hàm ϕ(t) = (t + α2) − β , α,β > 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn
toàn. Hàm cơ sở bán kính ϕ(r) = (r2 + α2) − β , α,β > 0 được gọi là hàm
Inverse Multiquadric (IMQ)
Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có ϕ(t) ≥ 0, ϕ ′ (t) ≤ 0, …
Tuy nhiên nếu có ϕ ′ đơn điệu hoàn toàn ( ϕ ′ (t) ≥ 0, ϕ ′′ (t) ≤ 0, …) ta vẫn có
thể sử dụng được hàm ϕ đảm bảo ma trận không suy biến.
Định lý 1.3 Cho ϕ ∈ C∞[0,+∞) là hàm thỏa mãn ϕ ′ đơn điệu hoàn
toàn, khác hằng số. Giả sử thêm rằng ϕ(0) ≥ 0. Khi đó ma trận nội suy
không suy biến với Φ(x) = ϕ(||x||) = ϕ(r2).
Trong trường hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu
hoàn toàn của ϕ, nghĩa là ϕ(k), k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các
điều kiện nào để sử dụng được ϕ (theo định nghĩa ma trận nội suy tương
ứng không suy biến)?. Vấn đề này đã được Micchelli (1986) nghiên cứu và
đưa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dương có điều kiện.
1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều
kiện:
Định nghĩa 1.6 Hàm Φ: Rs → R được gọi là xác định dương có điều kiện

bậc m nếu
n

∑

j= 1

n

n

j=1

k =1

∑ ∑

cjckΦ(xj – xk) ≥ 0 ∀c ∈ Rn thỏa mãn:

cjp(xj) =0, ∀p∈P ms−1 (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc

≤ m – 1). Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì Φ gọi là xác định dương
chặt có điều kiện.


8

Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc
m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc

( m − 1) triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho. Cụ thể, hàm nội suy với độ chính
xác đa thức được cho dưới dạng:
n

(
)
P
x
=
c j Φ ( x − x j ) + p( x )
∑
 f
j =1

n

c j x αj = 0, α < m
∑
j =1


(1.10)

với các ký hiệu đa chỉ số: α ∈ N , |α| =
8
0

8

∑

1

i= 1

αs

αi, và xα = x 1α .x α2 ..x s .
2

Khi thay điều kiện nội suy ta được hệ phương trình Ac = y. Để xác định
n

hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện

∑

j=1

α

cjx j = 0, |α| < m

(1.11)

Ví dụ 1.2
Xây dựng hàm nội suy trong không gian 2 chiều với tập dữ liệu cho
n

trước {(xj,yj), f(xj,yj)} j =1 , sử dụng hàm xác định dương có điều kiện bậc 2 ta

được:
n

Pf(x,y) =

∑

j=1

cjΦ((x,y) – (xj,yj)) + p(x,y),

(1.12)

trong đó p(x,y) là đa thức hai biến bậc 1 triệt tiêu tại các điểm nội suy,
p ( x, y ) = a1 + a 2 x + a3 y

(1.13)

Cho (1.12) thỏa điều kiện nội suy được hệ:

∑ c Φ( ( x , y ) − ( x , y ) ) = f ( x , y ) ;
n

j

j =1

k

k

j

j

k

k

k = 1, 2, …,n

Để xác định các hệ số a1,a2,a3 sử dụng (1.11), được thêm ba điều kiện
sau:
n

∑

j=1

cj = 0


9

n

∑

j=1

cjxj = 0

n

∑

j=1

cjyj = 0

Vậy ta được hệ n + 3 phương trình n + 3 ẩn. Từ đó có thể tìm được Pf(x,y).
Trong trường hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến
tính sau:
A
PT


P  c   y
.
=
0  d   0 

(1.14)

Trong đó:
n
α
A = ( Φ ( xk − x j ) ) k , j =1 ; P = ( x j ) , j = 1, 2, …, n; d là ma trận các hệ số của p(x)

Việc xây dựng cấu trúc cụ thể của các hàm bán kính xác định dương có

điều kiện Φ(x) = ϕ(r) dựa trên định lý:
Định lý 1.4 Cho ϕ là hàm liên tục và thỏa mãn

k
( − 1) k d ϕ (k r )

dr

, r > 0 là hàm

đơn điệu hoàn toàn khác hằng số. Khi đó, hàm Φ(x) = ϕ(||x||) = ϕ(r2) là hàm
xác định dương chặt bậc k.
Ví dụ 1.3
1. Hàm ϕ(r) = (– 1)  β  (r + α2)β, α > 0, β > 0, β ∉ N thỏa mãn:
ϕ ( k ) ( r ) = ( − 1)   β ( β − 1)...( β − k + 1) ( r + α 2 )
β

β −k

. Vì vậy:

( − 1)  β  ϕ  β  ( r ) = β ( β − 1) ...( β −  β  + 1) ( r + α 2 ) β −  β 

là hàm đơn điệu hoàn

toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥  β  , (– 1)mϕ(m)(r) cũng là hàm đơn điệu
hoàn toàn. Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát
ϕ ( r ) = ( − 1)  β  ( r 2 + α 2 ) là xác định dương chặt có điều kiện bậc m,∀ m ≥  β  .
β

2. Hàm ϕ(r)=(– 1)  β / 2  rβ/2, β > 0, β ∉ 2N thỏa mãn:


10

ϕ (r)=(– 1)
(k)

β

 β / 2

β β  β
 −k
β /2
 − 1... − k + 1r 2 vì vậy (–1)  β / 2  ϕ   (r) là
22
 2


hàm đơn điệu hoàn toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥  β / 2 hàm

( − 1) m ϕ m ( r ) cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Vì vậy, hàm Năng lượng
ϕ ( r ) = ( − 1)  β / 2  r β , β > 0, β ∉ 2N là hàm xác định dương chặt có điều kiện

bậc m,∀ m ≥  β / 2 .
3. Hàm Thin plates spline (TPS) ϕ(r) = (– 1)k+1r2k lnr, k∈ N
Là các hàm xác định dương chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1. Thật
vậy: Xét hàm ϕ(r) = (– 1)k+1(r)k lnr. Khi đó, đào hàm cấp l, l ≤ k của

ϕ(r) là: ϕ(l)(r) = (–1)k+1k(k – 1)…(k – l +1)rk-l lnr + pl(r), trong đó pl(r) là
đa thức bậc k – l. Vì vậy, đạo hàm cấp k sẽ là: ϕ(k)(r) = (–1)k+1k! lnr +C,
và đạo hàm cấp k + 1 là

ϕ ( k +1) (r ) = (−1) k +1

k!
r , là hàm đơn điệu hoàn toàn

trên (0, ∞). Do đó, hàm ϕ(r) = (–1)k+1r2k lnr =

1
ϕ(r2) là hàm xác định
2

dương chặt có điều kiện bậc m ≥ k + 1.
1.1.6 Ví dụ nội suy bằng hàm RBF:
Cho hàm mẫu Franke như sau:


 − ( 9 x +1)
3 −41( 9 x − 2 ) 2 + ( 9 y − 2 ) 2
3
f1 = e
; f 2 = e  49
4
4

2

+

( 9 y +1) 2
10






;

−1
1 4 ( ( 9 x − 7 ) 2 + ( 9 y −3 ) 2 ) f = 1 e − ( ( 9 x − 4 ) 2 + ( 9 y −7 ) 2 )
f3 = e
; 4
;
5
2

f = f1 + f 2 + f 3 + f 4 ;

Cho trước tập giá trị zij = f ( xi , y j ) ; i, j = 1,…,n, trong đó (xi,yj) ∈ [0,1]2 là
tập điểm nội suy. Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lưới đều
trên miền [0,1]2 và tập tâm trùng với tập điểm nội suy.


11

n

Xây dựng hàm nội suy Pj =

∑ ckϕ(||u - uk||). Trong đó uk = (x,y)∈Tập điểm
j= 1

tâm, ϕ được chọn là hàm IMQ.
Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta được hệ n2 phương trình, n2 ẩn. Kết quả
trong một số lưới được cho trong bảng 1.1, với các sai số được định nghĩa
như sau:
1
n2

- Sai số tương đối:

∑ [ P (ξ ) − f (ξ ) ]
n2

j =1

f

j

j

2

=

1
Pf − f
n

( Pf (ξ j ) − f (ξ j ) ) = Pf − f
- Sai số lớn nhất: jmax
=1,...,n
2

2

∞

Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với ε = 3
Lưới

IMQ

MQ

Sai số tương đối Sai số lớn nhất

Sai số tương đối Sai số lớn nhất

7x7

1.211536e-002

8.600572e-002

1.260168e-002

8.722025e-002

10 x 10

1.685702e-003

1.122684e-002

2.241647e-003

1.548224e-002

13 x 13

4.226489e-004

2.856954e-003

4.470312e-004

2.756763e-003

17 x 17

3.761833e-005

3.703740e-004

4.168475e-005

4.447710e-004

20 x 20

4.346574e-006

7.352464e-005

5.739650e-006

6.316986e-005

1.2.

Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D:

Ngày nay, nhờ sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật – công
nghệ mà loài người đã có những bước tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khác
nhau. Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tượng
3D.
Khôi phục đối tượng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong các
lĩnh vực khác nhau như: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết
kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác. Việc tạo
mô hình 3D bằng phương pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chi


12

phí sẽ đắt đỏ. Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục được nghiên
cứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tượng 3D. Các
kỹ thuật này có thể chia thành 2 phương pháp: phương pháp chủ động và
phương pháp bị động [25]. Nhược điểm của các phương pháp chủ động là
quá trình khôi phục có thể trở thành một công trình ngân sách cao. Vì lý
do đó, cách tiếp cận được giới thiệu thuộc về các phương pháp bị động, nó
yêu cầu ít thiết bị hơn và có thể áp dụng một cách tổng quát hơn.
Các phương pháp khôi phục các đối tượng 3D truyền thống không thực
hiện tốt ở hai hướng:
- Thứ nhất: Chúng không thể xử lý các trường hợp có độ phức tạp cao
được tìm thấy trong tự nhiên (Ví dụ: các bộ phận của con người hay
các ảnh cực nhỏ của mô).
- Thứ hai: Chúng không đưa dữ liệu bề mặt vào một định dạng làm
cho gọn và thích hợp để mô phỏng, hiển thị hoặc định vị
Có 5 trường hợp khôi phục các đối tượng 3D [26]. Trường hợp đầu tiên
là với các ảnh được chụp bằng máy ảnh không định cỡ, làm việc với loại
ảnh này có thể khôi phục lại đối tượng so sánh với các phép biến đổi ảnh
xạ. Hai là, khôi phục từ các máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh này có
thể khôi phục lại đối tượng so sánh với các phép biến đổi đồng dạng. Ba
là, các thuộc tính đại số của các hàm đa tuyến tính và các lý tưởng phát
sinh bởi chúng được nghiên cứu. Trường hợp thứ tư sử dụng kỹ thuật khôi
phục Ơ-clít khi một số thông tin của các máy ảnh được đưa ra. Trường hợp
cuối cùng là khôi phục một ảnh của một đối tượng hoặc bản vẽ nét được
biết tới là mảnh 2 chiều.
Như vậy có thể thấy rằng bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng
3D là một bài toán có ý nghĩa rất lớn và quan trọng.


13

Chương 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI
PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG 3D
Chúng ta sử dụng hàm cơ sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lại
các bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập các điểm dữ liệu tập trung và phục hồi các lưới
điểm không đầy đủ. Một bề mặt của đối tượng được định nghĩa hoàn toàn
giống như một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu
bề mặt đã cho. Các phương pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trị
hàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàng
triệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trước một bài toán khó giải.
Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp dữ liệu làm rút gọn số lượng
các tâm RBF yêu cầu để biểu diễn một bề mặt và các kết quả ở dạng nén đáng
kể và hơn nữa là thuận lợi cho tính toán. Đặc trưng cực tiểu hóa năng lượng
của các hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn nhất. Đặc trưng tỷ lệ
điều hòa này là đủ thích hợp để khôi phục các bề mặt từ dữ liệu mẫu không
đều. Các lỗ là sự khớp dữ liệu nhẵn và sự ngoại suy nhẵn các bề mặt. Chúng
ta sử dụng một phép xấp xỉ không nội suy khi dữ liệu là nhiễu. Sự biểu diễn
hàm thực ra mà nói là một mô hình đặc, có nghĩa là độ chênh lệch và chuẩn
bề mặt có thể được phân tích rõ ràng. Sự hỗ trợ này sinh ra các lưới đều và
chúng ta thấy rằng sự biểu diễn RBF có các lợi ích cho việc rút gọn lưới và
sự áp dụng lại lưới.


14

Hình 2.1: (a) Khớp một hàm RBF vào một tập hợp các điểm dữ liệu tập trung
438.000 điểm. (b) Sự phục hồi lưới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa.

2.1.

Các bề mặt ẩn:

Bài toán khôi phục hoặc biểu diễn bề mặt có thể phát biểu như sau:
n
Bài toán 2.1. Cho n điểm phân biệt { ( x i , y i , z i )} i =1 trên một bề mặt M trong

không gian R3, tìm một bề mặt M’ là gần đúng hợp lý với M.
Phương pháp của chúng ta là mô hình bề mặt ẩn bằng một hàm f ( x, y, z ) .
Nếu một bề mặt M gồm có tất cả các điểm ( x, y, z ) thỏa mãn phương trình:
f ( x, y , z ) = 0 ,

(2.1)

thì chúng ta nói rằng hàm f xác định không tường minh bề mặt M. Mô tả
các bề mặt ẩn với rất nhiều loại hàm là một kỹ thuật nổi tiếng [10].
Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) một mô hình ẩn được tạo thành từ
các hàm sơ cấp đơn giản nhờ sự kết hợp của các phép toán Boolean (phép
hợp, phép giao vv..) và các hàm trộn. Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việc
thiết kế các đối tượng trong CAD hơn là phục hồi các đối tượng từ dữ liệu
mẫu. Các mặt đại số bậc thấp từng mẩu, đôi khi được xem như là các
miếng vá ẩn hoặc các tập nửa đại số, cũng có thể được sử dụng để định
nghĩa các bề mặt ẩn.
Chúng ta mong muốn mô hình được toàn bộ đối tượng với một hàm
đơn liên tục và khả vi. Sự mô tả hàm đơn có một số ưu điểm thông qua các


15

bề mặt giới hạn từng mẩu và các miếng vá ẩn. Nó có thể tính toán ở mọi
nơi để sinh ra một lưới đặc biệt, nghĩa là sự biểu diễn một bề mặt đa tạp có
thể được tính toán với cách giải mong muốn khi được yêu cầu. Hiếm khi,

các bề mặt mẫu không đều có thể mô tả một cách đơn giản và bài toán
tham số hóa bề mặt kết hợp với việc khớp từng mẩu các miếng vá hàm
ghép trơn bậc ba là nên tránh.
Carr et al. [11] sử dụng hàm cơ sở bán kính để khôi phục các bề mặt
hộp xương sọ bằng việc nội soi 3D CT. Dữ liệu xung quanh các lỗ lớn
không đều trong hộp sọ được nội suy sử dụng hàm xác định dương chặt
RBF. Tấm titan được đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thành
một hộp sọ giả. Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suy
của hàm RBF hợp lý như các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác định
dương chặt. Tuy nhiên, phương pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà
có thể biểu diễn rõ ràng như một hàm 2 biến. Trong luận văn này chúng tôi
chứng minh được rằng bằng cách sử dụng các phương pháp nhanh, hàm
RBF có thể khớp các tập dữ liệu 3D gồm có hàng triệu điểm không có các
giới hạn trên cấu trúc liên kết bề mặt – loại tập dữ liệu cơ bản của các ứng
dụng công nghiệp.
2.2.

Khớp một hàm ẩn vào một bề mặt

Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tường minh một bề mặt M’
và thỏa mãn phương trình
f ( x i , y i , z i ) = 0,

i = 1,..., n,

n
với {( x , y i , z i } i =1 là các điểm nằm trên bề mặt. Để tránh trường hợp nghiệm

tầm thường mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt được bổ sung vào
dữ liệu vào và chúng đưa ra các giá trị khác 0. Việc này mang đến một vấn

đề nội suy hữu ích hơn: Tìm hàm f như sau:


16

f ( x i , y i , z i ) = 0,
f ( x i , y i , z i ) = d i ≠ 0,
f(x) = 0

i = 1,..., n
i = n + 1,..., N

(các điểm trên bề mặt),
(các điểm ngoài bề mặt).

Đẳng mặt

f(x) > 0

f(x) < 0

Điều này vẫn mang đến một bài toán tạo ra các điểm ngoài bề mặt

{( x , y , z }
i

N
i i =1

và giá trị di tương ứng.

Một sự lựa chọn hiển nhiên cho hàm f là một hàm khoảng cách điểm,
với giá trị di được chọn là khoảng cách tới điểm gần nhất trên bề mặt. Các
điểm bên ngoài đối tượng được gán các giá trị dương, trong khi các điểm
bên trong được gán giá trị âm. Theo Turk &O’Brien những điểm ngoài bề
mặt được sinh ra bởi phần nhô ra dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt.
Các điểm ngoài bề mặt có thể được gán với mỗi mặt của bề mặt như được
minh họa trong hình 2.2.


17

Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt

Các điểm trên bề mặt
Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm được xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng
việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đường pháp tuyến bề mặt.
Những điểm này có thể được định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở
phía nào cả.

Hình 2.3. Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua
các độ dài pháp tuyến

Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệu
hai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt. Trong
hình 2.3 các điểm bề mặt nhận được từ việc quét laser của một bàn tay
được biểu thị bằng màu xanh. Các điểm ngoài bề mặt được mã hóa màu
theo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm được liên kết trên bề mặt
của chúng. Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dương nằm ở bên ngoài bề
mặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong. Có hai bài toán cần giải

18

quyết: xác định các đường pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hình
chiếu thích hợp.
Nếu ta có một lưới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa các
điểm ngoài bề mặt từ đó các đường tiếp tuyến được bao hàm bởi sự liên
kết lưới tại mỗi đỉnh. Trong trường hợp điểm dữ liệu tập trung không có
trật tự, các đường tiếp tuyến có thể được tính toán từ một vùng lân cận của
các điểm. Việc này cầu xác định cả phương pháp tuyến và định rõ hướng
của pháp tuyến. Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặt
phẳng để tính toán phương pháp tuyến và sử dụng tính tương thích và/hoặc
thông tin bổ sung như vị trí máy quét để quyết định hướng của pháp tuyến.
Thông thường, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi.
Tuy nhiên, không giống như các phương pháp khác mà cũng dựa trên việc
tạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán các
đường pháp tuyến ở mọi nơi. Nếu phương pháp tuyến hoặc hướng là
không xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháp
tuyến tại điểm đó. Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu là
một điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó.
Đưa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đưa ra
các điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúng
không cắt các phần khác của bề mặt. Điểm chiếu là được vẽ ra do đó điểm
bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó. Miễn là điều kiện ràng buộc
này thỏa mãn, bề mặt được xây dựng lại là tương đối không nhạy với
khoảng cách hình chiếu. Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểm
ngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đường pháp
tuyến. Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định
tính từ bề mặt. Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân

cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau


19

và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặt
không đúng, cả về điểm và độ lớn. Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của các
khoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểm
ngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt.
Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay. Hình ảnh minh họa
cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối
tượng. Các đẳng đường tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng
hàm tương ứng bên dưới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bề
mặt sinh ra một hàm với một đại lượng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt.

Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay được khôi phục từ tập điểm
tập trung trong hình 2.3. Đẳng đường tương ứng với +1, 0 và -1 được hiển thị
(trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dưới) dọc
theo đường thẳng xuất hiện.


20

2.3.

Nội suy hàm cơ sở bán kính

Cho một tập các điểm bề mặt có giá trị bằng 0 và các điểm ngoài bề
mặt khác 0 bây giờ chúng ta có một bài toán nội suy dữ liệu tán xạ: chúng
ta muốn xấp xỉ hàm khoảng cách điểm f(x) bằng một hàm nội suy s(x). Bài

toán có thể được phát biểu như sau:
N
Bài toán 2.2. Cho một tập hợp các nút riêng biệt X = { xi } i =1 ⊂ R3 và một tập
N
hợp các giá trị hàm { f i } i =1 ⊂ R, tìm một hàm nội suy: R3 → R như sau:

s( xi ) = f i ,

i = 1,..., N .

(2.2)

Chú ý rằng chúng ta sử dụng ký hiệu X = ( x, y, z ) cho các điểm x ∈ R3.
Hàm nội suy sẽ lựa chọn từ BL(2) (R3), không gian Beppo-Levi các hàm
suy rộng trên R3 với bình phương đạo hàm cấp hai khả tích. Không gian
này là đủ lớn để có nhiều lời giải cho bài toán 2.2 và vì vậy chúng ta có thể
định nghĩa không gian affin của các phép nội suy:
S = {s ∈ BL(2) (R3) : s(xi) = fi,

i = 1,…,N}

(2.3)

Không gian BL(2) (R3) được trang bị bởi nửa chuẩn bất biến xoay định
nghĩa bởi
2

s

2

2

2

 ∂ 2 s ( x )   ∂ 2 s( x)   ∂ 2 s ( x) 
 ∂ 2 s ( x) 







= ∫ 
+
+
+
2
∂x 2   ∂y 2   ∂z 2 
 ∂x∂y 
R3 
2

2

2

 ∂ 2 s( x) 
 ∂ 2 s ( x) 

 + 2
 dx.
+ 2
 ∂x∂z 
 ∂y∂z 

(2.4)

Nửa chuẩn này là một độ đo của năng lượng hoặc “độ nhẵn” của các
hàm: các hàm với nửa chuẩn nhỏ là nhẵn hơn so với các hàm có nửa chuẩn
lớn. Duchon [13] chứng tỏ rằng nội suy trơn nhất, nghĩa là:
s * = arg min s ,
s∈S

có dạng đơn giản
N

s * ( x) = p ( x) + ∑ λi x − x i ,
i =1

(2.5)