Phương pháp điểm trong giải quy hoạch tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HỒNG LÊ

PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HỒNG LÊ

PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành:

TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI NÓI ĐẦU

1

Nội dung

5

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

2

3

1.1

Qui hoạch tuyến tính và qui hoạch đối ngẫu

. . . . . . . .

5

1.2

Phương pháp đơn hình và đơn hình đối ngẫu . . . . . . . .

9

1.3

Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4

Ví dụ Klee-Minty về độ phức tạp mũ . . . . . . . . . . . . . 15

PHƯƠNG PHÁP ELLIPSOID

19

2.1

Về hệ bất phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . 20

2.2

Kỹ thuật ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Thuật toán Khachian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4

Áp dụng vào giải qui hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . 29

PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG

30

3.1

Tâm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Đường trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

3.2.1

Đường trung tâm đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2

Đường trung tâm gốc-đối ngẫu

. . . . . . . . . . . 40

Chiến thuật giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1

Phương pháp hàm chắn gốc . . . . . . . . . . . . . . 43

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

3.4

3.3.2

Phương pháp bám đường gốc- đối ngẫu . . . . . . . 45

3.3.3

Phương pháp hàm thế gốc- đối ngẫu . . . . . . . . . 48

3.3.4

Độ phức tạp của mỗi vòng lặp . . . . . . . . . . . . 51

Vấn đề khởi sự và kết thúc thuật toán . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1

Khởi sự thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.2

Kết thúc thuật toán

3.4.3

Thuật toán HSD

. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

64

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

LỜI NÓI ĐẦU
Nhiều bài toán thực tế trong kinh tế, tài chính, công nghiệp và kỹ thuật
có thể diễn đạt như bài toán qui hoạch tuyến tính, tức là dưới dạng bài
toán tìm cực đại (hay cực tiểu) của một hàm tuyến tính với các ràng buộc
đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính.
Phương pháp đơn hình do Dantzig đề xuất từ năm 1947, đến nay vẫn
còn được sử dụng rộng rãi để giải các bài toán qui hoạch tuyến tính. Cách
tiếp này chỉ cần xét các đỉnh của tập đa diện ràng buộc và mỗi lần lặp đi
từ một đỉnh tới một đỉnh kề với nó, thường là tốt hơn đỉnh trước đó (cải
tiến được giá trị của hàm mục tiêu). Cuối cùng, nó đạt tới đỉnh mà từ đó
không thể cải tiến hàm mục tiêu được nữa, đỉnh đó chính là lời giải cần
tìm của bài toán.
Mặc dầu nó rất hiệu quả trong thực tiễn (số lần lặp thường nhỏ hơn

m + n, trong đó m là số ràng buộc tuyến tính và n là số biến của bài toán).
Tuy nhiên, V.Klee và G.Minty(1972) đã đưa ra một bài toán qui hoạch
tuyến tính đặc biệt mà để giải nó cần một thời gian tỉ lệ với hàm mũ của

n. Điều này chứng tỏ về mặt lý thuyết thuật toán đơn hình không phải là
một thuật toán thời gian đa thức.
Vào những năm 1950, người ta đã đề cao tới các phương pháp điểm
trong (đi từ phía trong miền ràng buộc). Tuy nhiên, chúng chưa thành đạt

như phương pháp đơn hình. Năm 1979 [4] Khachian là người đầu tiên đã
chứng minh được rằng có thể giải bài toán qui hoạch tuyến tính trong thời
gian đa thức, bằng cách sử dụng thuật toán điểm trong thích hợp. Mặc
dầu thuật toán Khachian chưa đủ hiệu quả trong thực tiễn, nhưng thành

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

tựu này của Khachian đã làm khởi sắc sự quan tâm trở lại tới các phương
pháp điểm trong giải qui hoạch tuyến tính.
Tiếp đó, năm 1984 [3] Karmarkar đã đề xuất một phương pháp điểm
trong mới giải qui hoạch tuyến tính. Phương pháp này có độ phức tạp đa
thức và nó có hiệu năng thực tiễn cao, đặc biệt đối với các bài toán tuyến
tính cỡ lớn.
Các công trình nghiên cứu của Khachian và Karmarkar là điểm khởi
đầu cho nhiều nghiên cứu về các phương pháp điểm trong giải qui hoạch
tuyến tính. Đó cũng là chủ đề chính của luận văn này. Cách tiếp cận mới
khác cơ bản với phương pháp đơn hình . Thay cho đi trên các cạnh của tập
ràng buộc từ đỉnh này tới đỉnh khác, các điểm lặp (xấp xỉ) đi men theo
“ đường trung tâm” để tới tập lời giải. Có nhiều dạng phương pháp điểm
trong , tiêu biểu nhất là phương pháp chắn gốc, phương pháp bám đường
gốc-đối ngẫu tạo ra lời giải cho cả hai bài toán gốc và đối ngẫu của qui
hoạch tuyến tính, phương pháp hàm thế ,...Trong nhiều năm kể từ 1984,
các thuật toán và phần mềm giải qui hoạch tuyến tính đã trở nên hoàn
toàn tinh xảo và có thể nói rằng đến nay các phương pháp điểm trong đã
thực sự chiếm ưu thế.

Cũng đã có nhiều mở rộng của phương pháp điểm trong để giải các bài
toán tối ưu phi tuyến; qui hoạch lồi toàn phương, qui hoạch nón. . . Chẳng
hạn, Nesterov và Nemirovsky (1994) [6] đã xây dựng cơ sở lý thuyết các
phương pháp điểm trong cho tối ưu hóa lồi.
Luận văn này đề cập tới các phương pháp điểm trong giải qui hoạch
tuyến tính do Khachian và Karmarkar đề xuất. Việc tìm hiểu và nghiên
cứu chủ đề này là rất cần thiết và hữu ích giúp hiểu được các mở rộng và
ứng dụng của phương pháp điểm trong vào các bài toán tối ưu khác. Nội
dung luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1“ Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại tóm tắt một số kiến thức cơ
bản cần thiết về bài toán qui hoạch tuyến tính và lý thuyết đối ngẫu trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

qui hoạch tuyến tính, về phương pháp đơn hình và đơn hình đối ngẫu giải
bài toán qui hoạch tuyến tính .Tiếp đó nêu khái niệm độ phức tạp của
thuật toán, thuật toán thời gian đa thức và nêu ví dụ của Klee- Minty về
phương pháp đơn hình có độ phức tạp mũ. Các kiến thức này sẽ cần đến
ở các chương sau .
Chương 2 “Phương pháp Khachian” giới thiệu thuật toán ellipsoid
do Khachian đề xuất. Về thực chất, thuật toán Khachian qui việc tìm
nghiệm tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính về việc
tìm nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính.Nhiều khái niệm và
sự kiện trình bày ở chương này được minh họa qua các ví dụ và hình vẽ
cụ thể.

Chương 3 “ Phương pháp điểm trong ” trình bày các khái niệm cơ
bản về tâm giải tích, đường trung tâm gốc và đối ngẫu; những nội dung
chính của phương pháp gốc-đối ngẫu, từ ý tưởng phương pháp (đi men
theo đường trung tâm) đến thuật toán cụ thể (thuật toán bám đường).
Phương pháp này được đánh giá là phương pháp điểm trong hiệu quả nhất
giải qui hoạch tuyến tính. Tiếp đó, giới thiệu hai thuật toán bám đường
tiêu biểu: thuật toán dự báo và thuật toán hiệu chỉnh. Vấn đề khởi sự và
kết thúc thuật toán cũng được đề cập tới.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn này mới chỉ đề cập
tới những nội dung cơ bản của phương pháp điểm trong giải qui hoạch
tuyến tính, chưa đi sâu vào các chi tiết thực thi thuật toán. Trong quá
trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh
khỏi những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng
dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm
luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa
học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học-Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác
giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ toán –tin Trường
THPT Ngô Quyền –Thái Nguyên và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia
đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Hồng Lê

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại các kết quả cơ bản về lý thuyết qui hoạch tuyến
tính và phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính, đồng thời nêu
khái niệm độ phức tạp của thuật toán và dẫn ra ví dụ của V. Klee và
G. Minty cho thấy thuật toán đơn hình là thuật toán thời gian mũ (chứ
không phải thuật toán thời gian đa thức!). Nội dung của chương chủ yếu
dựa trên các tài liệu [1], [2], [5] và [7].

1.1

Qui hoạch tuyến tính và qui hoạch đối ngẫu

Qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (cực đại) của một hàm
tuyến tính f (x) trên một tập lồi đa diện D ⊂ Rn . Bài toán thường được
viết ở hai dạng:

• Dạng chuẩn (standard form):
min{f (x) = cT x : Ax ≥ 0, x ≥ 0}.
với A ∈ Rm×n (ma trận m hàng, n cột),b ∈ Rm , c, x ∈ Rn , x ≥ 0, tức là

x ∈ Rn+ .
T là ký hiệu chuyển vị véctơ, D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} là một tập
lồi đa diện.

• Dạng chính tắc (canonical form):

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

min f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0 ,
trong đó các ký hiệu A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c, x ∈ Rn như ở trên. Trong bài
toán này, tập D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện.
Trong hai dạng trên, f gọi là hàm mục tiêu, D gọi là tập ràng buộc
hay miền chấp nhận được. Điểm x = (x1 , . . . , xn )T ∈ D gọi là một
lời giải (điểm, nghiệm)chấp nhận được hay một phương án của bài
toán. Một phương án đạt cực tiểu (cực đại) của hàm mục tiêu gọi là một
lời giải (điểm, nghiệm) tối ưu hay một phương án tối ưu. Bài toán

max cT x : x ∈ D = − min −cT x : x ∈ D .
Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính, chỉ xảy ra một trong ba khả
năng:

a) Bài toán không có lời giải chấp nhận được (tập ràng buộc D rỗng).
b) Bài toán có lời giải chấp nhận được, nhưng không có lời giải tối ưu.
c) Bài toán có lời giải tối ưu (hữu hạn).
Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có lời giải tối
ưu.
Định lý 1.1. Nếu một qui hoạch tuyến tính có lời giải chấp nhận được và
hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền chấp nhận được (đối với bài toán
min) thì qui hoạch đó chắc chắn có lời giải tối ưu.
Định nghĩa 1.1. Một lời giải chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là
đỉnh của D gọi là một lời giải cơ sở, nghĩa là x không thể biểu diễn dưới
dạng một tổ hợp lồi của bất cứ hai lời giải chấp nhận được khác của D.
Nói một cách khác, hễ x = λx1 + (1 − λ) x2 với 0 < λ < 1 và x1 , x2 ∈ D
thì phải có x = x1 = x2 .
Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho lời giải cơ sở của qui hoạch
tuyến tính chính tắc với giả thiết m ≤ n và rank(A) = m.
Định lý 1.2. Để một lời giải chấp nhận được x = {x1 , x2 , . . . , xn } của qui
hoạch tuyến tính chính tắc là lời giải cơ sở, thì cần và đủ là các véctơ cột

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....