Về các điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương của A. D. Ioffe

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THANH LOAN

VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU
ĐỊA PHƯƠNG CỦA A. D. IOFFE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ö❝ ❧ö❝
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶ ✣à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✶

✻

✶✳✶ ✣à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼

✶✳✷ ❳➜♣ ①➾ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✸ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✸✳✶ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ dimY < ∞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✸✳✷ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ F ❦❤↔ ✈✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷

✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❦✐➸✉ ▲❡✈✐t✐♥ ✲ ▼✐❧❥✉t✐♥ ✲ ❖s♠♦❧♦✈s❦✐✐ ✶✺
✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹

❳➜♣ ①➾ ❦✐➸✉ ▲❡✈✐t✐♥ ✲ ▼✐❧❥✉t✐♥ ✲ ❖s♠♦❧♦✈s❦✐✐
✣è✐ ♥❣➝✉ ❤â❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝ü❝ t✐➸✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➼♥❤ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✸ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✷

✶✺
✷✶
✷✸
✷✽

✸✼

✸✳✶ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
✸✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✸✳✷✳✶ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✶

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✸✳✷✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝➜♣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ✣à♥❤ ❧➼ ❤➔♠ ♣❤↕t ❝❤➼♥❤ ①→❝ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✹ ❇➔✐ t♦→♥ trì♥ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✺✸

✷
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✹✵
✹✸
✹✼
✺✷

ỵ tt t tố ữ õ ởt trỏ q trồ tr t
ự ử õ ự ử tr t tt
tố ữ ữớ t tữớ t ủ õ tr
t ỳ t ủ ỡ ỡ tữớ t t
ỗ s õ ử t q t t trỡ
ỗ
ữ r ữỡ tt rt
q ợ ởt q ồ ỡ ữ t t t
t ổ õ r ở tố ữ ữủ tt
ữợ ổ ỳ ừ ử t r ở
t r ở ợ ỵ tữ ữ t t
t t ổ õ r ở ự
t tố ữ t t ss ữợ ổ
ỳ ỹ tr q ồ tr
t t ữủ ữ ự õ ọ sỹ s
ỳ t t t t t t ổ r
ở r ự t tố ữ ổ õ r
ở ợ ử t ủ ừ ởt tử ởt
ữợ t t tố ữ ỷ ử
q ồ tr t q õ ử ữủ t ợ r

3S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❧➼ t❤✉②➳t ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❆✳ ❉✳ ■♦❢❢❡ tr♦♥❣
❬✷❪ ✲ ❬✹❪ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✶ ❞÷î✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝→❝ ①➜♣

①➾ ❝➜♣ ✶✱ ▲▼❖ ✲ ①➜♣ ①➾ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✱ ✈➔ ❝→❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✷ ❝❤♦
❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈î✐ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤↔
✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ♠ët ❤➔♠ ❞÷î✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐
t♦→♥ trì♥ ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥❤í ✤à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥
tr♦♥❣ ❬✷❪✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝
❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝õ❛ ■♦❢❢❡ ❬✷❪ tr➯♥ ❝ì
sð t❤✐➳t ❧➟♣ ♠ët ✤à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥ ✤➸ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❣è❝ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣
❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤÷ñ❝ t❤✐➳t ❧➟♣ ❞÷î✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❞÷î✐ ✈✐
♣❤➙♥ ❝õ❛ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉✱ ❝→❝ ❤➔♠ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈➔ ❤➔♠
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❦✐➸✉ ▲❡✈✐t✐♥ ✲
▼✐❧❥✉t✐♥ ✲ ❖s♠♦❧♦✈s❦✐✐ ❝õ❛ ■♦❢❢❡ ❬✸❪ ❞ü❛ tr➯♥ ❝æ♥❣ ❝ö ▲▼❖ ✲ ①➜♣ ①➾ ✈➔
✤à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥ ❝õ❛ ■♦❢❢❡✳ ❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ♠↕♥❤ t❤➻ s➩ ❦❤æ♥❣ ❝â
sü s❛✐ ❦❤→❝ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❣è❝ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ❝â
r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
❈❤÷ì♥❣ ✸ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✷ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝õ❛ ■♦❢❢❡ ❬✹❪
❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈î✐ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕
❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ♠ët ❤➔♠ ❞÷î✐ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥
❝õ❛ ■♦❢❢❡ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✶ s➩ ❞➝♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➜♣ ✷ ❝➛♥ ✈➔
✤õ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ trì♥ ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳
✹
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ t❤➛② ❣✐→♦ P●❙✳ ❚❙ ✣é ❱➠♥

▲÷✉✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥
❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ t❤✉ë❝ ✣↕✐ ❤å❝
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ò♥❣ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤♦→
❤å❝✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥
❝ò♥❣ ❧î♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✸ ✤➣ ❧✉æ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐
tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✺ t❤→♥❣ ✾ ♥➠♠ ✷✵✶✶
❚→❝ ❣✐↔
❚r➛♥ ❚❤❛♥❤ ▲♦❛♥

✺
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤÷ì♥❣ ✶
✣à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉
❝➜♣ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝õ❛ ■♦❢❢❡ ❬✷❪ tr➯♥ ❝ì
sð t❤✐➳t ❧➟♣ ♠ët ✤à♥❤ ❧➼ q✉② ❣å♥ ✤➸ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❣è❝ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣
❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤÷ñ❝ t❤✐➳t ❧➟♣ ❞÷î✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❞÷î✐ ✈✐
♣❤➙♥ ❝õ❛ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉✱ ❝→❝ ❤➔♠ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈➔ ❤➔♠
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥
♠✐♥✐♠✐③❡f0(x),
✭✶✳✶✮
F (x) = 0,

✭✶✳✷✮

fi (x) ≤ 0, i = 1, ..., n,

✭✶✳✸✮

x ∈ S,

✭✶✳✹✮

tr♦♥❣ ✤â f0, ..., fn ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❣✐→ trà t❤ü❝ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❳✱ ❋
❧➔ →♥❤ ①↕ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❳ ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❨ ✈➔ S ⊂ X ✳
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② t❛ ❝❤➾ q✉❛♥ t➙♠ tî✐ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❉♦ ✈➟②✱
t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ①➨t ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ fi ✈➔ →♥❤ ①↕ F ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥
❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ z ∈ S ✳ ❚❛ ❣✐↔ t❤✐➳t fi ✈➔ F ▲✐♣s❝❤✐t③ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥
✻
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ừ z S S t õ

q ồ
sỷ f st ữỡ t z õ
h f 0 (z; h) = lim sup
uz
t0

f (u + th) f (u)
t

ỗ tử tr t
f (z) = {x X : f 0 (z; h) x , h , h X} = f 0 (z; 0)

rộ t õ ữủ ồ rt s rở ừ f
t z ồ dS (x) tứ x tợ S z S
TS (z) = {h X|d0S (z, h) = 0}

õ ỗ õ ữủ ồ õ t t ừ S t z õ ỹ
NS (z) = {x X | x , h 0, h TS (z)}

ồ õ t ừ S t z ú ỵ r
dS (z) NS (z) dS (z) = NS (z),

tr õ dS (z) õ ừ õ s dS (z)
z ữủ ồ q ừ F ố ợ S tỗ
t U ừ z s ợ ồ x U S
dQ (x) F (x) F (z) ,

tr õ
Q = {x S|F (x) = F (z)}.

7S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




r sỷ z tọ tr trữớ

ủ F (z) = 0
I = {i {1, 2, ..., n}|fi (z) = 0}.

ỵ sỷ q ừ ố ợ õ
ữỡ ữỡ ổ ừ t ợ ồ
r ừ ợ
Mr (x) = max{f0 (x) f0 (z), max fi (x)} + r( F (x) + dS (x))
iI

t ỹ t ữỡ ữỡ t t
ữủ Mr (x) t ỹ t ữỡ t t ợ ởt r
õ t ữỡ ổ ừ t
ự P tự ừ t ự
tự t z ữỡ ữỡ ổ
ừ t t z ữỡ ữỡ ổ
ừ t s
f (x),

F (x) = 0,



x S,



tr õ
f (x) = max{f0 (x) f0 (z), max fi (x)}.
iI

ồ q > 0 V ừ z s ợ ộ x V
u S tọ s

S

tỗ t

f (u) f (z),



F (u) = 0, x u q F (x) .




8S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




●å✐ c > 0 ❧➔ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝õ❛ F ✈➔ f tr➯♥ V ✳ ▲➜② r1 ≥ qc✱ ❦❤✐
✤â ♥➳✉ x ∈ V ∩ S ✈➔ u ∈ S t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✽✮ ✈➔ ✭✶✳✾✮ t❤➻
f (x) ≥ f (x) − f (u) + f (z) ≥ −c x − u + f (z)
≥ −cq F (x) + f (z) ≥ −r1 F (x) + f (z).

✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä z ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿
♠✐♥✐♠✐③❡{f (x) + r1

F (x) : x ∈ S}.

✭✶✳✶✵✮

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ z ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝æ ❧➟♣ ❝õ❛ ✭✶✳✺✮ ✲ ✭✶✳✼✮✱ t❛
❝â t❤➸ ❝❤å♥ r1 ✤➸ z ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝æ ❧➟♣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✵✮✳
❈❤ó þ r➡♥❣ x ∈ S t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ dS (x) = 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä z
❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ dS (.) ✤è✐ ✈î✐ X ✈➔ f (x) + r1 F (x) ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷ñ❝ r2 > 0 s❛♦
❝❤♦ z ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭✤à❛ ♣❤÷ì♥❣❝æ ❧➟♣✮ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿
♠✐♥✐♠✐③❡{f (x) + r1

F (x) + r2 dS (x)}.

❑❤✐ ✤â✱ ✤à♥❤ ❧➼ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ r = max{r1, r2}✳

✶✳✷ ❳➜♣ ①➾ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔ sû f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t❤ü❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠ët

❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ z✳ ❍➔♠ t❤ü❝ φ(x) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ z
♥➳✉
φ(tx) = tφ(x),

✈➔
lim sup
t↓0

∀t ≥ 0,

∀x ∈ X,

f (z + th) − f (z) − tφ(h)
≤ 0,
t

∀h ∈ X.

✭✶✳✶✶✮

✾
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....