TICH LUY CHUYEN MON

MỘT KỸ THUẬT CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN
===========
Trong một số bài toán Bất đẳng thức có một số khá nhiều bài toán chứng minh mà các
ẩn có điều kiện ràng buộc; dạng: “Cho C
≥
D. Chứng minh A
≥
B”
Có một kỹ thuật để chứng minh là ta đi từ chứng minh: (A – B) + (D –C)
≥
0; Khi đó tử
điều kiện C
≥
D ta suy ra được A
≥
B
Sau đây là một số ví dụ:
Bài toán 1: Cho a + b
≥
1. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

≥
1/2
Giải: Ta có (a
2
+ b
2

– 1/2) + (1 – a – b) = a
2
+ b
2
– a – b – 1/2 = (a
2
– a + 1/4) + ( b
2
– b + 1/4) =
(a – 1/2)
2
+ (b – 1/2)
2

≥
0. Mà a + b
≥
1 suy ra: 1 – a – b
≤
0 => a
2
+ b
2
– 1/2
≥
0
Hay a
2
+ b
2

≥
1/2
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a + b
≥
2 thì a
3
+ b
3

≤
a
4
+ b
4
Giải: Ta có: (a
4
+ b
4
– a
3
+ b
3
) + ( 2 – a – b) = a
4
– a
3
– a + 1 + b
4
– b

3
– b + 1 =
= (a – 1)(a
3
– 1) + (b -1)(b
3
– 1) = (a – 1)
2
(a
2
+ a + 1) + (b – 1)
2
(b
2
+ b + 1)
≥
0
Mà a + b
≥
2 => 2 – a – b
≤
0 => a
4
+ b
4
– a
3
+ b
3
≥

0 => a
3
+ b
3

≤
a
4
+ b
4
Bài toán 3: Cho x, y là các số dương thoả mãn: x
3
+ y
4

≤
x
2
+ y
3
. Chứng minh rằng:
x
3
+ y
3

≤
x
2
+ y

2
và x
2
+ y
3

≤
x + y
2
Giải: a/ Ta có: (x
2
+ y
2
– x
3
– y
3
) + (x
3
+ y
4
– x
2
– y
3
) = y
2
– 2y
3
+ y

4
= y
2
(y – 1)
2

≥
0
Mà x
3
+ y
4

≤
x
2
+ y
3
=> x
3
+ y
4
– x
2
– y
3

≤
0 => x
3

+ y
3

≤
x
2
+ y
2
b/ Ta có: (x + y
2
– x
2
+ y
3
) + (x
3
+ y
4
– x
2
– y
3
) = x – 2x
2
+ x
3
+ y
2
– 2y
3

+ y
4
=
= x(1 – x)
2
+ y
2
(y – 1)
2

≥
0 (vì x > 0)
Mà x
3
+ y
4

≤
x
2
+ y
3
=> x
3
+ y
4
– x
2
– y
3

≤
0 => x
2
+ y
3

≤
x + y
2
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu: a + b + c
≥
3 thì a
4
+ b
4
+ c
4

≥
a
3
+ b
3
+ c
3
Giải: Ta có: (a
4
+ b
4

+ c
4
– a
3
– b
3
– c
3
) + (3 – a – b – c) =
= (a – 1)
2
(a
2
+ a + 1) + (b – 1)
2
(b
2
+ b + 1) + (c – 1)
2
(c
2
+ c + 1
≥
0
Mà: a + b + c
≥
3 => 3 – a – b – c
≤
0 => a
4

+ b
4
+ c
4

≥
a
3
+ b
3
+ c
3
Bài toán 5: Cho x, y là các số dương thoả mãn x
3
+ y
3
= x – y.
Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
< 1
Giải: Ta có: 1 – x
2
– y
2
= (1 – x
2
– y
2

) + (x
3
+ y
3
– x + y) = x
4
– x
3
– x + 1 + y
4
– y
3
+ y =
(x – 1)(x
2
– 1) + y(y
2
– y + 1) = (x + 1)(x – 1)
2
+ y(y
2
– y + 1) > 0 ( vì x; y > 0)
=> x
2
+ y
2
< 1
---- ----
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1/ Biết rằng x

2
+ y
2

≤
x + y. Chứng minh rằng x + y
≤
2
2/ Biết rằng ab
≥
1. Chứng minh rằng a
2
+ b
2

≥
a + b
3/ Biết rằng x
2
+ y
2

≤
x. Chứng minh rằng y(x + 1)
≥
-1