TICH LUY CHUYEN MON

MỘT PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI BIẾN SỐ
Đối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức của các biến số
thực a, b, c có tích bằng 1, sẽ dễ dàng hơn khi ta biến đổi về dạng đẳng thức hoặc bất
đẳng thức của các biến số mới x, y, z với a =
x
y
; b =
y
z
; c =
z
x
. Ở đây vì a, b, c khác 0 nên
x, y, z cũng khác 0 và nếu a, b, c dương thì x, y, z cũng dương. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
1/
1
1 a ab+ +
+
1
1 b bc+ +
+
1
1 c ca+ +
= 1 (1)
2/
1
a 1
b
 
− +

 ÷
 
1
b 1
c
 
− +
 ÷
 
1
c 1
a
 
− +
 ÷
 
=
1
a 1
b
 
+ −
 ÷
 
1
b 1
c
 
+ −
 ÷

 
1
c 1
a
 
+ −
 ÷
 
(2)
Giải: Vì abc = 1 nên ta có thể đặt: a =
x
y
; b =
y
z
; c =
z
x
với x, y, z là các số thực khác 0. Khi đó
ta có: Vế` trái của (1) được biến đổi thành:
1/
1
x x
1
y z
+ +
+
1
y y
1

z x
+ +
+
1
z z
1
x y
+ +
=
yz
xy yz zx+ +
+
zx
xy yz zx+ +
+
xy
xy yz zx+ +
=
xy yz zx
xy yz zx
+ +
+ +
= 1
2/ Vế trái của (2) biến đổi thành:
x z
1
y y
 
− +
 ÷

 
y x
1
x z
 
− +
 ÷
 
z y
1
x x
 
− +
 ÷
 
=
. .
x y z y z x z x y
y z x
− + − + − +
=
( )( )( )x y z y z x z x y
xyz
− + − + − +
(*)
Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của (2) về biểu thức (*); Suy ra điều chứng
minh.
Ví dụ 2: (IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:

1

a 1
b
 
− +
 ÷
 
1
b 1
c
 
− +
 ÷
 
1
c 1
a
 
− +
 ÷
 

≤
1
Giải: Vì abc = 1 và a, b, c là các số thực dương nên ta có thể đặt: a =
x
y
; b =
y
z
; c =

z
x
với x, y,
z là các số thực dương. Theo kết quả của ví dụ 1 ta có:
1
a 1
b
 
− +
 ÷
 
1
b 1
c
 
− +
 ÷
 
1
c 1
a
 
− +
 ÷
 

≤
1 <=>
<=>
( )( )( )x y z y z x z x y

xyz
− + − + − +

≤
1 <=> (x – y + z)(y – z + z)(z – x + y)
≤
xyz (*)
Do x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử: x
≥
y
≥
z
≥
0
Như vậy x – y + z > 0 và y – z + x > 0
+ Nếu z – x + y < 0 thì (*) hiển nhiên đúng
+ Nếu z – x + y > 0; p dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:
( )( )x y z y z x x− + − + ≤
;
( )( )y z x z x y y− + − + ≤
và
( )( )z x y x y z z− + − + ≤
Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta suy ra được (*)
Vậy (*) đúng với mọi x, y, z là các số thực dương.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
( )
1
a b 1+
+
( )

1
b c 1+
+
( )
1
c a 1+

≥

3
2
(1)
Giải: Vì abc = 1 và a, b, c là các số thực dương nên ta có thể đặt: a =
x
y
; b =
y
z
; c =
z
x
với x, y,
z là các số thực dương, thì (1) trở thành:
( )
1
x y
1
y z
+
+

( )
1
y z
1
z x
+
+
( )
1
z x
1
x y
+

≥

3
2
<=>
yx zx xy
xy zx yz xy zx yz
+ +
+ + +

≥

3
2
;
Đây chính là bất đẳng thức Nét-sbít cho 3 số dương (xy, yz, zx); Suy ra điều chứng minh.

+Ngược lại: đối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức mà các
biểu thức (hoặc biến đổi của chúng) có chứa các biểu thức
a
b
;
b
c
;
c
a
việc đặt x =
a
b
; y =
b
c
; z =
c
a
với lưu ý rằng xyz = 1 luôn là một phương pháp hữu hiệu.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
1/
b c a
1
a 2b b 2c c 2a
+ + ≤
+ + +
; 2/
a b c
1

a 2b b 2c c 2a
+ + ≥
+ + +
Giải: 1/ Bất đẳng thức cần chứng minh <=>
1 1 1
1
a b c
2 2 2
b c a
+ + ≤
+ + +
(1)
Đặt: x =
a
b
; y =
b
c
; z =
c
a
ta có x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz = 1. Suy ra:
(3) <=>
1 1 1
1
x 2 y 2 z 2
+ + ≤
+ + +

<=> (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2) (x + 2)

≤
(x + 2)(y + 2)(z + 2)
<=> (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12
≤
xyz + 2(xy + yz + xz) + 4(x + y + z) + 8
<=> 4
≤
xyz + xy + yz + xz <=> 3
≤
xy + yz + xz. Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất
đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: xy + yz + xz
≥

( )
2
3
3 xyz
= 3xyz = 3
Suy ra điều chứng minh.
2/ Có thể chứng minh tương tự câu 1 hoặc sử dụng kết quả câu 1 và đẳng thức:
( )
a b c
a 2b b 2c c 2a
+ +
+ + +
+
( )
b c a
2
a 2b b 2c c 2a

+ +
+ + +
= 3 để nhận được bất đẳng thức cần chứng
minh.
Ví dụ 5: Tìm tất cả các số thực dương a, b, c thoả mãn phương trình:
b c a 3
a b b c c a 2
+ + =
+ + +
Giải: Đặt x =
a
b
; y =
b
c
; z =
c
a
; xyz = 1 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình:
1 1 1 3
x 1 y 1 z 1 2
+ + =
+ + +
. Quy đồng mẫu số, khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz =
1) ta được phương trình: (xy + yz + zx) – (x + y + z) = 0
<=> xyz – (xy + yz + zx) + (x + y + z) – 1 = 0
<=> (x – 1)(y – 1)(z – 1) = 0
<=> x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 <=> a = b; b = c; c = a hay a = b = c
Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )

ab bc ca
c c a a a b b b c
+ +
+ + +

≥

a b c
c a a b b c
+ +
+ + +
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
. . .
( ) ( ) ( )
b a c b a c
c c a a a b b b c
+ +
+ + +

≥

a b c
c a a b b c
+ +
+ + +
<=>
. . .
( ) ( ) ( )
b 1 c 1 a 1
c a b

c a b
1 1 1
a b c
+ +
+ + +

≥

1 1 1
c a b
1 1 1
a b c
+ +
+ + +
Đặt x =
a
b
; y =
b
c
; z =
c
a
; xyz = 1 thì:
<=>
y z x
z 1 x 1 y 1
+ +
+ + +

≥

1 1 1
z 1 x 1 y 1
+ +
+ + +

<=> y(x + 1)(y + 1) + z(y + 1)(z + 1) + x(z + 1) (x + 1)
≥
(x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1) (x + 1)
<=> (xy
2
+ yz
2
+zx
2
) + (x
2
+ y
2
+ z
2
) + (xy + yz + zx) + (x + y + z)
≥
(xy + yz + zx) + 2(x + y + z) + 3
<=> (xy
2
+ yz
2
+zx

2
) + (x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
(x + y + z) + 3
<=> (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
+ (z – 1)
2
+ (x + y + z – 3) + (xy
2
+ yz
2
+zx
2
– 3)
≥
0 (**)
p dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương với chú ý xyz = 1, ta có:
x + y + z
≥
3.
3

xyz
= 3 và xy
2
+ yz
2
+zx
2

≥
3.
( )
3
3
xyz
= 3
Từ đó suy ra (**) là bất đẳng thức đúng. Nên ta có điều phải chứng minh.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1/
2 2 2
2 2 2
a b c
a 2bc b 2ca c 2ab
+ + ≥
+ + +
1
2/
2 2 2
bc ca ab
a 2bc b 2ca c 2ab
+ + ≤

+ + +
1
2/ Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a
≥
b
≥

a c
2
+
. Chứng minh rằng:
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +

3
2