Bai tap ve nha giua ky toan roi rac

BÁO CÁO BÀI TẬP VỀ NHÀ
GIỮA KỲ MÔN TOÁN RỜI RẠC
Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Phan Thuận
Các thành viên:
1.Lê Công Hậu - 20151277 - lớp Việt Nhật C - K60
2. Nguyễn Ngọc Trung - 20153979 - lớp Việt Nhật C - K60
3. Lê Trọng Chung - 20150398 - lớp Việt Nhật C - K60
4. Hoàng Mạnh Quân - 20153013 - lớp Việt Nhật C - K60


MỤC LỤC
I. Cơ sở lý thuyết

II. Bài tập.


Phần I: Cơ sở lý thuyết
Giáo trình toán rời rạc phần hệ thức truy hồi và phép qui nạp toán học

Phần II: Bài tập
BTVN 1:
Thử nghiệm bằng tay vài trường hợp:
S(1)=0;
S(2)=2=S1+1.2;
S(3)=8S2+2.3;
S(4)=20=S3+3.4;
Dự đoán công thức đệ quy là :
S(n)=S(n-1)+(n-1)n
Chứng minh:
S(n) = S(n − 1) + (n − 1)n < = > S(n) = S(n − 1) + n2 − n
1

1
1
1
< = > S(n) − n3 + n = S(n − 1) − (n − 1)3 + (n − 1)
3
3
3
3
1
1
= S(n − 2) − (n − 2)3 + (n − 2)
3
3
1 3 1
8 2
= S2 − . 2 + . 2 = 2 − + = 0
3
3
3 3
3
n
n
=> S(n) =
− (∗)
3 3
(∗)đúng với mọi n = 1,2,3,4
Giả sử (*) đúng với mọi n < k-1
Xét n = k => S(k)
Chia k thành 2 phần d và k − d
S(k) = S(d) + S(k − d) − d(k − d)(d + k. d)

d3 d (k − d)3 k − d k 3 k
= − +
−
=
−
3 3
3
3
3 3
=> đúng với n = k => đúng với mọi trường hợp


Vậy ta được công thức cần tìm
S(n) =

n3
3

−

n
3

BTVN 2:
Thử nghiệm vài trường hợp ta có :
S(2)=2
S(3)=3
S(4)=4
Dự đoán công thức tổng quát : S(n)=n (**)
(**) đúng với các trường hợp n=2,3,4

Giả sử (*) đúng với n=2,3,4,…,k-1
Xét n=k. Chia k thành 2 phần d và k-d
1
1
+ )
k−d d
1
1
= (k − d). d. (
+ ) = k => đúng với n = k
k−d d
Vậy S(n) = n
S(k) = S(k − d)S(d) (

BTVN 3:
Dự đoán công thức là S(n)=n! (***)
(***) đúng với n=2,3,4,…,k-1
Xét n=k
Chia k thành 2 phần d và k-d
S(k) = S(d)S(k − d). Ckd = d!. (k − d)!.
=> (∗∗∗)đúng với n = k
Vậy S(n)=n!

k!
= k!
d!. (k − d)!