CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 7 HAY NHẤT

DÃY SỐ THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau
a. 2, 5, 10, 17, 26,...
b. 6, 14, 24, 36, 50,...
c. 4, 28, 70, 130, 208,...
d. 2, 5, 9, 14, 20,...
e. 3, 6, 10, 15, 21,...
f. 2, 8, 20, 40, 70,...
Đáp số:
a. 1 + n²
b. n(n + 5)
c. (3n – 2)(3n + 1)
d. n(n + 3)/2 e. (n + 1)(n + 2)/2
f. n(n + 1)(n + 3)/3
Bài 2: Tính
a. A = 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n
b. A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100
Đáp số:
a. n(n + 1)/2 b. A = 333300
Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
Hướng dẫn:
A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1)
A = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Bài 4: Tính A = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ... + 97.100
Bài 5: Tính A = 4 + 12 + 24 + 40 + ... + 19800
Hướng dẫn:
(1/2)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 99.100
A = 666600
Bài 6: Tính A = 1 + 3 + 6 + 10 + 14 + ... + 4950

Hướng dẫn: nhân 2
Bài 7: Tính A = 6 + 16 + 30 + 48 + ... + 19998
Bài 8: Tính A = 2 + 5 + 9 + 14 + ... + 4949 + 5049
Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100
Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + ... + 98.99.100.(101 – 97)
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + ... + 98.99.100.101 – 97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²
Hướng dẫn:
A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + ... + 99(98 + 1) + 100(99 + 1)
A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + ... + 98.99 + 99 + 99.100 + 100
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát: 1² + 2² + 3² + ... + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²
Hướng dẫn:
A = 2²(1² + 2² + 3² + ... + 49² + 50²)
Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + ... + 97² + 99²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²)
A = (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + ... + 49² + 50²)
Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – ... + 99² – 100²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²)
Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + ... + 98.99²
Hướng dẫn:
A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + ... + 98.99(100 – 1)

A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + ... + 98.99.100 – 98.99
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99)


Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 97.99 + 99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + ... + 97(97 + 2) + 99(99 + 2)
A = (1² + 3² + 5² + ... + 97² + 99²) + 2(1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99)
Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + 98.100 + 100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + ... + 98(98 + 2) + 100(100 + 2)
A = (2² + 4² + 6² + ... + 98² + 100²) + 4(1 + 2 + 3 + ... + 49 + 50)
Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + ... + 99³ + 100³
Hướng dẫn:
A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + ... + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1)
A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + ... + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + ... + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + ... + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99) (1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100²)
Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + ... + 98³ + 100³
Bài 19: Tính A = 1³ + 3³ + 5³ + ... + 97³ + 99³
Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Tính chất:
a c
Tính chất 1: Nếu = thì ad = bc
b d
Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau
a c a b d c d b
= , = , = , =
b d c d b a c a

a c a +c a −c
=
Tính chất 3: = =
b d b+d b−d
a c e a +b+c a −b+c
=
= ... (với giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)
Tính chất trên còn mở rộng: = = =
b d f b+d +f b−d+f
a b c
Chú ý: Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Có thể viết a : b : c = 2 : 3 : 5.
2 3 5
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC
x y
Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết = và x + y = 20.
2 3
Giải: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
x y x + y 20
= =
=
=4
2 3 2+3 5
Do đó: x = 8 và y = 12
x y y z
Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết = ; = và 2x – 3y + z = 6
3 4 3 5
x y
z
=
Theo đề ta suy ra =

(*)
9 12 20
x y
z 2x 3y z
2x − 3y + z 6
=
=
=
=
=
= =3
→ =
9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2
Do đó: x = 27, y = 36, z = 60
x y
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết = và xy = 40.
2 5
Hiển nhiên x ≠ 0
x y
x 2 xy 40
Nhân cả hai vế của = với x =>
=
=
=8
2 5
2
5
5
Suy ra x² = 16 nên x = 2 hoặc x = –2
+ Với x = 4 ta có y = 10

+ Với x = –4 ta có y = –10


BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng
x y z
= =
a.
và 5x + y – 2z = 28
10 6 21
2x 3y 4z
=
=
c.
và x + y + z = 49
3
4
5
x y
e. = và x² – y² = 4
5 3
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng
a. 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32.
c. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95

x y y z
= ; = và 2x + 3y – z = 124
3 4 5 7
x y
d. = và xy = 54

2 3
x
y
z
=
=
= x+y+z
f.
y + z +1 z + x +1 x + y − 2
b.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và 2x + 3y – z = 50
2
3
4
x y z
d. = = và xyz = 810
2 3 5
b.

y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=
=
f. 10x = 6y và 2x² – y² = –28
x

y
z
x + y+z
1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y
=
=
Bài 3: Tìm x, y biết rằng
18
24
6x
a
b
c
d
=
=
=
Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ 0 và
. Tìm giá trị của
b+c+d a +c+d a +b+d a +b+c
a +b b+c c+d d+a
A=
+
+
+
c+d a +d a +b b+c
Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng
x 7
x
y

=
a. = và 5x – 2y = 87
b.
và 2x – y = 34
y 3
19 21
2x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1
x 3 y3
z3
=
=
c.
và x² + y² + z² = 14.
d.
=
=
5
7
6x
8 64 216
Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 7: Tìm các số x, y, z biết
a. x: y: z = 3: 4: 5 và 5z² – 3x² – 2y² = 594.
b. x + y = x: y = 3(x – y)
Đáp số: a. x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = – 9; y = – 12; z = – 15.
b. x = 4/3; y = 2/3.
Bài 8. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng?
DS: a = –2,25; b = 0,75.
a
b

c
=
=
Bài 9: Cho
. Biết a + b + c ≠ 0. Tìm giá trị mỗi tỉ số đó.
b+c c+a a +b
Bài 10. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8. Biết rằng số học sinh
khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) +
2(ab + 1)] = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
a c
a +b c+d
=
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức = . Chứng minh
b d
a −b c−d
a c
a b
Ta có = => =
b d
c d
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a b a +b a −b
= =
=
c d c+d c−d
a +b c+d
=
Vậy

(đpcm)
a −b c−d
e.


a c
ab a 2 − b 2
= . Chứng minh rằng:
=
b d
cd c 2 − d 2
a c
a b
ab a 2 b 2 a 2 − b 2
Từ giả thiết: = => = =>
=
=
=
b d
c d
cb c 2 d 2 c 2 − d 2
ab a 2 − b2
Vậy
(đpcm)
=
cd c 2 − d 2
BÀI TẬP VẬN DỤNG
a c
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: = . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau
b d

3a + 5b 3c + 5d
(a + b) 2 a 2 + b 2
a −b c−d
=
= 2
=
a.
b.
c.
2
2
3a − 5b 3c − 5d
(c + d)
c +d
a +b c+d
ab (a − b) 2
2a + 5b 2c + 5d
7a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
=
=
d.
e.
g.
=
cd (c − d) 2
3a − 4b 3c − 4d
7a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd
a b c
a+b+c 3 a
) =

Bài 2: Cho = = . Chứng minh rằng (
b c d
b+c+d
d
a
b
c
=
=
Bài 3: Cho
. Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)²
2003 2004 2005
a
a + a + a + ... + a 2014 2014
a1 a 2 a 3
a
=
=
= ... = 2014 . Chứng minh 1 = ( 1 2 3
)
Bài 4: Cho
a 2 a3 a 4
a 2015
a 2015
a 2 + a 3 + a 4 + ... + a 2015
a
a
a1 a 2
=
= ... = 8 = 9 và a1 + a2 + ... + a9 ≠ 0. Chứng minh a1 = a2 = ... = a9.

Bài 5: Cho
a 2 a3
a 9 a1
a c
a 2 + b2 a
=
Bài 6: Chứng minh nếu
thì 2
=
b d
b + d2 d
a +b c+a
=
Bài 7: Chứng minh nếu
thì a² = bc.
a −b c−a
a c
a 2 + b 2 ab
Bài 8: Cho tỉ lệ thức 2
. Chứng minh rằng: = .
=
2
b d
c +d
cd
u +2 v+3
u v
=
Bài 9: Chứng minh rằng nếu
thì =

u −2 v−3
2 3
Bài 10: Chứng minh nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có
y−z
z−x
x−y
=
=
×
a(b − c) b(c − a) c(a − b)
a c
xa + yb xc + yd
=
Bài 11: Cho = . Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0. Chứng minh
b d
za + tb zc + td
Bài 12: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³ ≠ 0. Chứng minh
a 3 + b3 + c3 a
=
b 3 + c3 + d 3 d
a b c
ax 2 + bx + c
Bài 13: Cho P =
. Chứng minh nếu = = thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
2
d e f
dx + ex + f
a b'
b c'
+ = 1 . Chứng minh abc + a’b’c’ = 0

Bài 14: Cho + = 1 và
a' b
b' c
2a + 13b 2c + 13d
a c
=
Bài 15: Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh rằng =
3a − 7b
3c − 7d
b d
bz − cy cx − az ay − bx
x y z
=
=
Bài 16: Cho dãy tỉ số
. Chứng minh = =
a
b
c
a b c
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Nếu a ≥ 0 → |a| = a
Nếu a < 0 → |a| = –a
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức


Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; và x ≤ a => |x – a| = a – x
* Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
|a| = 0 <=> a = 0

|a| ≠ 0 <=> a ≠ 0
|a| = |b| <=> a = b or a = –b
–|a| ≤ a ≤ |a|
|a| = –a <=> a ≤ 0; |a| = a <=> a ≥ 0
Nếu a < b < 0 → |a| > |b|
Nếu 0 < a < b → |a| < |b|
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
|A|² = A²
|a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ 0
Nếu k > 0 thì |A(x)| = k <=> A(x) = k hoặc A(x) = –k
Bài 1: Tìm x, biết
a. |2x – 5| – 4 = 0
b. 1/3 – |5/4 – 2x| = 1/4
c. 1/2 – |x + 4/3| = –1/3
d. 3 – 4|2x + 1| = 7
Bài 2: Tìm x, biết
a. 2|2x – 3| = 1/2
b. 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5
c. |x + 0,25| – |–3,75| = –2
Bài 3: Tìm x, biết
a. 2|3x – 1| + 1 = 5
b. |x/2 – 1| = 3/2
c. |–x + 2/5| + 1/2 = 3,5
Bài 4: Tìm x, biết
3
1
−5
3 4
3 7

3 1
5 5
x+ =
a. 2 − x − =
b. + x − =
c. 4,5 −
2
4
4
2 5
4 4
4 2
3 6
Bài 5: Tìm x, biết
11 3
1 7
9
+ : 4x − =
a. 6,5 − : x + 1 = 2
b.
4 2
5 2
4
Bài 6: Tìm x, biết
a. |5x – 4| = |x + 2|
b. |2x – 3| – |3x + 2| = 0
c. |2 + 3x| = |4x – 3| d. |7x + 1| – |5x + 6| = 0
Bài 7: Tìm x, biết
5
7 5

3
a. |3x + 8| = |4x – 1|
b. x − − x + = 0
4
2 8
5
Bài 8: Tìm x, biết
a. |x + 2| = 3 – 2x
b. 2|x| – 3x + 15 = 0 c. |7 – x| = 5x + 1
Bài 9: Tìm x, biết
a. |9 + x| – 2x = 0
b. |5x| – 3x – 2 = 0
c. |x + 6| – 9 = 2x
d. |2x – 3| + x = 21
Bài 10: Tìm x, biết
a. |3x – 1| + 2 = x
b. |x + 15| + 1 = 3x c. |2x – 5| + x = 2
Bài 11: Tìm x, biết
a. |2x – 5| = x + 1
b. |3x – 2| – 1 = x
c. |3x – 7| = 2x + 1
Bài 12: Tìm x, biết
a. |x – 5| + 5 = x
b. |x + 7| – x = 7
c. |3x – 4| + 4 = 3x
Ví dụ: Tìm x biết rằng |x – 1| + |x – 3| = 2x – 1
(1)
Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không
chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó sẽ tìm được x.
x – 1 = 0 <=> x = 1

x – 3 = 0 <=> x = 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây
x
1
3
x–1 –
0
+
|
+
x–3 –
|
–
0
+
Xét x < 1 ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1
<=> x = 5/4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét 1 ≤ x ≤ 3 ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x = 3/2 (giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Xét x > 3 ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – 1
<=> –4 = –1
Vậy x = 3/2
Bài 13: Tìm x, biết
a. |x| + 2|x – 5| = 8
b. 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = 9


1
1
1
1

1
c. 2 − x + x − + 8 = 1
d. 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x
5
5
2
2
5
Bài 14: Tìm x, biết
a. |x + 5| + |x – 3| = 9
b. |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = 2
c. |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = 7
d. 2|x + 2| + |4 – x| = 11
Bài 15: Tìm x, biết
a. |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9
b. |x + 1| – |x + 2| – 1 = 0
c. |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = 4
d. |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = 0
e. |x| – |2x + 3| – x + 1 = 0
f. |x| + |1 – x| = x + |x – 3|
Bài 16: Tìm x, biết
a. |x – 3| + |x + 5| – 8 = 0
b. |2x – 1| + |2x – 5| – 4 = 0
c. |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = 8
Bài 17: Tìm x, biết
a. |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – 4
b. |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x
c. |x + 2| + |x + 3/5| + |x + 2/5| = 4x – 3
d. |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5
Bài 18: Tìm x, biết

1
2
3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
a. x +
101
101
101
101
1
1
1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100x
b. x +
1.2
2.3
3.4
99.100
1
1
1
1

+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 50x
c. x +
1.3
3.5
5.7
97.99
Bài 19: Tìm x, biết
a. ||2x – 1| + 1/2| = 3
b. |4x² + |2x + 1|| = 4x² + 2
c. |x²|x + 3/4|| = x²
Bài 20: Tìm x, biết
a. |2|2x – 1| – 1| – 2/5 = 0
b. |2|x + 2| – 3| = 8/5
c. |x|x² + 3/4|| = x
Bài 21: Tìm x, biết
1
3
3
1
3
3
a. |x(x² – 3/4)| = x
b. (x + ) 2x − = 2x −
c. x − 2x − = 2x −
2
4
4

2
4
4
Bài 22: Tìm x, biết
a. ||2x – 3| – x + 1| = 4x – 1 b. ||x – 1| – 1| = 2
c. ||3x + 1| – 5| = 2
Bài 23: Tìm x, y thỏa mãn
a. |3x – 4| + |3y + 5| = 0
b. |x – 2y| + |y + 1,5| = 0
c. |3 – 2x| + |4y + 5| = 0
Bài 24: Tìm x, y thỏa mãn
2 1 1
7 5
a. |15 – x| + (y – 12)² = 0
b. − + x + 1,5 − + y = 0
c. |2x – 2014| + |5y – 2015| = 0
3 2 3
5 6
Bài 25: Tìm x, y thỏa mãn
a. |5x + 10| + |6y – 9| ≤ 0
b. |x + 2y| + |2y – 3| ≤ 0
c. |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ 0
Bài 26: Tìm x, y thỏa mãn
a. |12x + 8| + |11y – 5| ≤ 0
b. |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ 0
c. |x – 2| + |xy – 10| ≤ 0
Bài 27: Tìm x, y thỏa mãn
a. |x – 3y|11 + (y + 4)12 = 0
b. (x + y)2016 + 2017|y – 1|³ = 0
c. |x – y – 5| + 2015(y – 3)2016 = 0

Bài 28: Tìm x, y thỏa mãn
a. (x – 1)² + (y + 3)4 = 0
b. 2(x – 5)6 + 5|2y – 7|5 = 0
c. |x + 3y – 1| + (3y – 2)2016 = 0
Bài 29: Tìm x, y thỏa mãn
1 2016 12
a. 3|x – y|5 + 10|y + 2|7 ≤ 0 b. (x − ) + |4y – 6/5| ≤ 0
2
13
Bài 30: Tìm x, biết
a. |x + 5| + |3 – x| – 8 = 0
b. |x – 2| + |x – 5| – 3 = 0
c. |x – 5| + |x + 1| – 6 = 0
d. 2|x + 3| + |2x + 5| = 11
e. |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f. |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = 2.
g. |x – 4| + |x – 6| – 2 = 0
h. |x + 1| + |x + 5| – 4 = 0
i. |3x + 7| + 3|2 – x| = 13
j. |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = 0
k. |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = 3
ℓ. |x – 2| + |x – 7| – 4 = 0
Bài 31: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x – y – 2| + |y + 3| = 0
b. (x + y)² + 2|y – 1| = 0


Bài 32: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x – 3y|5 + |y + 4| = 0
b. |x – y – 5| + (y – 3)4 = 0
c. |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = 0

Bài 33: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x + 4| + |y – 2| – 3 = 0
b. |2x + 1| + |y – 1| – 4 = 0
c. |3x| + |y + 5| = 5
d. |5x| + |2y + 3| = 7
Bài 34: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. 3|x – 5| + |y + 4| – 5 = 0
b. |x + 6| + 4|2y – 1| = 12
c. 6|x| + |y + 3| = 10 d. 12|x + 1| + |2y + 3| = 21
Bài 35: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. y² = 3 – |2x – 3|
b. y² = 5 – |x – 1|
c. 2y² = 3 – |x + 4|
d. 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1|
Bài 36: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. |x| + |y| ≤ 3
b. |x + 5| + |y – 2| ≤ 4 c. |2x + 1| + |y – 4| – 3 ≤ 0
d. |3x| + |y + 5| ≤ 4.
Bài 37: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. 5|x + 1| + |y – 2| – 7 ≤ 0
b. 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ 5
c. 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ 3
d. 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤ 7
Bài 38: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a. |x – 1| + |4 – x| = 3 b. |x + 2| + |x – 3| = 5 c. |x + 1| + |x – 6| = 7 d. |2x + 5| + |2x – 3| = 8.
Bài 39: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau
a. x + y = 4; |x + 2| + |y| = 6
b. x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = 5
c. x – y = 3; |x| + |y| = 3
d. x – 2y = 5 và |x| + |2y – 1| = 6

Bài 40: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời
a. x + y = 5 và |x + 1| + |y – 2| = 4
b. x – y = 3 và |x – 6| + |y – 1| = 4
c. x – y = 2 và |2x + 1| + |2y + 1| – 4 = 0
d. 2x + y = 3 và |2x + 3| + |y + 2| – 8 = 0
Bài 41: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a. (x + 2)(x – 3) < 0
b. 3(2x – 1)(2x – 3) < 0
c. 4(3x + 1)(5 – 2x) > 0
Bài 42: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. (2 – x)(x + 1) = |y + 1|
b. (x + 3)(1 – x) – 2|y| = 0
c. (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – 2 = 0
Bài 43: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a. (x + 1)(3 – x) = 2|y| + 1
b. (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = 1 c. (x – 3)(5 – x) = |y + 2|
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
30
a. |x + 2| + |x – 1| = 3 – 2(y + 2)²
b. |3x + y + 2| + 5 =
y+5 +6
6
10
c. |y – 4| + 5 =
d. |x – 1| + |3 – x| =
2
2y − 8 + 3
(x + 1) + 2
16
3

e. |2x + 3| + |2x – 1| =
f.
|x
+
3|
+
|x
–
1|
=
y−2 + y+2
(y − 5) 2 + 2
20
12
g. |3x + 1| + |3x – 5| =
h. |2x – y| + 5 =
2
y−4 +4
(y + 3) + 2
14
20
i. (x + y – 2)² + 7 =
j. (x – 2)² + 4 =
y −1 + y − 3
3 y + 2 + 3y + 1
Bài 45: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b. B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25
c. C = 3x² – 2x + 1 với |x| = 1/2.
Bài 46: Tính giá trị của biểu thức
a. A = 6x³ – 3x² + 2|x| + 4 với x = –2/3

b. B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3
c. C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = 4
Bài 47: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 x +2
a. A = 0,5 – |x – 3,5|
b. B = –|1,4 – x| – 2
c. C =
4 x −5
d. D =

2 x +3
3 x −1

e. E = 5 – |2x – 1,5|

g. G = 4 – |5x – 2| – (3y + 12)²

h. H =

12
x +5 +4

f. F = –|10,2 – 3x| + 14.
i. I =

1
x −2 +3


Bài 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a. A = 1,7 + |3,4 – x|
b. B = |x + 2,8| – 3,5
c. C = |3x + 8,4| – 14,2
d. D = |4x – 3| + |5y + 7| + 7 e. E = 2(3x – 1)² – 4
Bài 49: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
15
4
20
2
21
a. A = 5 +
b. B = +
c. C = +
2
4 3x + 7 + 3
5 3x + 5 + 4y + 5 + 8
3 (x + 3y) + 5 x + 5 + 14
Bài 50: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 7x + 5 + 11
2y + 7 + 13
15 x + 1 + 32
a. A =
b. B =
c. C =
7x + 5 + 4
2 2y + 7 + 6
6 x +1 + 8
Bài 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = |x + 5| + 2 – x
b. B = |2x – 1| + 2x + 6

c. C = |4x + 3| + 4x – 5
d. D = 2|x – 3| + 2x + 5
e. E = 5|x – 1| + 4 – 5x
f. F = 4|x + 5| + 4x
Bài 52: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a. A = –|x – 5| + x + 12
b. B = –|2x + 3| + 2x + 4
c. C = –|3x – 1| + 7 – 3x
d. D = –2|x – 5| + 2x + 1
e. E = –3|x – 4| + 8 – 3x
f. F = –5|5 – x| + 5x + 7
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = |x + 1| + |x – 5| + 1
b. B = |x – 2| + |x – 6| + 5
c. C = |2x – 4| + |2x + 1|
d. D = |x + 2| + |x – 3| – 1
e. E = |2x – 4| + |2x + 5|
d. F = 3|x – 2| + |3x + 1|
Bài 54: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7|
b. B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + 5
c. C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3|
d. D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + 3
Bài 55: Cho x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1| + |y – 2|
Bài 56: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị của biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1|
Bài 57: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y|
Bài 58: Cho 2x + y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12
DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012
Bài 2: Cho biểu thức A = 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 99 – 100.

a. Tính A.
b. A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?
c. A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên?
Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + ...
a. Biết rằng A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng?
b. Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n?
Bài 4: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + ...
a. Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b. Tìm số hạng thứ 2012 của A.
Bài 5: Tìm giá trị của x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + ... + (x + 47) = 655
Bài 6:
a. Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2012) = 2012.2013
b. Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2012. 2013
Bài 7: Tính tổng S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001
Bài 8: Cho A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3100. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n.
Bài 9: Cho A = 3 + 3² + 3³ + ... + 32004.
a. Tính tổng A.
b. Chứng minh A chia hết cho 130.
c. A có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 10:
a. Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + ... – 32015 + 32016. Chứng minh 4A – 1 là lũy thừa của 3.
b. Chứng minh B + 2 là luỹ thừa của 2 biết B = 2 + 2² + 2³ + ... + 22016.
Bài 11:
a. Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 260. Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
b. Chứng minh rằng tổng 2 + 2² + 2³ + … + 22016 chia hết cho 42.
Bài 12: Cho A = 2 + 2² + 2³ + ... + 299 + 2100. Chứng minh A chia hết cho 31.


Bài 13: Cho S = 5 + 5² + 5³ + .... + 596.
a. Chứng minh S chia hết cho 126

b. Tìm chữ số tận cùng của tổng S
Bài 14: Cho A = 1.2.3...29.30 và B = 31.32.33...59.60
a. Chứng minh B chia hết cho 230.
b. Chứng minh B – A chia hết cho 61.
2015
Bài 15: Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2 và B = 22016. So sánh A và B.
Bài 16: Cho M = 3 + 3² + 3³ + ... + 3100.
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao?
b. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M + 3 = 3ⁿ.
Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3119.
a. Thu gọn biểu thức M.
b. Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
1 1 1
2
2015
=
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: + + + ... +
3 6 10
n(n + 1) 2016
Bài 19:
2
2
2
2
+
+
+ ... +
a. Tính A =
1.3 3.5 5.7
99.101

3
3
3
3
+
+
+ ... +
b. Cho S =
với n là số tự nhiên. Chứng minh: S < 1.
1.4 4.7 7.10
n(n + 3)
2
2
2
5
5
5
+
+ ... +
+
+ ... +
Bài 20: So sánh A =
và B =
60.63 63.66
117.120
40.44 44.48
76.80
Bài 21: Tính
1 1
1

1
1
1
1
1
1
+
+ +
+
+
+
+ ...... +
a. A =
b. B =
10 40 88 154 238 340
1.2.3 2.3.4
98.99.100
1 1 1
1
Bài 22: So sánh A = 1 + + 2 + 3 + ... + 100 và B = 2.
2 2 2
2
Bài 23: Tính
2 2
2
2
2
+ + + +
a. A =
15 35 63 99 143

3
3
3
3
+
+
+ ... +
b. B = 3 +
1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + ... + 100
1 1
1
1 + + + ... +
3 5
99
Bài 24: Tính giá trị các biểu thức A =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.99 3.97 5.95
99.1
1 1 1
1
+ + + ... +
2
3 4

100
Bài 25: Tính B =
99 98 97
1
+ + + ... +
1
2
3
99
1 1
1
1 2 3
99
) = + + + ... +
Bài 26: Chứng minh rằng: 100 – (1 + + + ... +
2 3
100
2 3 4
100
1 1 1
1
1
2
3
198 199
+
+
+ ... +
+
Bài 27: Tính B/A biết A = + + + ... +

và B =
2 3 4
200
199 198 197
2
1
1 1 1
1
1
Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy số 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;...
3 8 15 24 35
1 1 1
1
;
;...
Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: ; ;
6 66 176 336
A
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1
+
+
+ ... +
+
+ + + ... + +

Bài 30: Tính
biết A =
và B =
B
1.2 3.4 5.6
17.18 19.20
11 12 13
19 20
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
)x =
+
+ .... +
Bài 31: Tìm x, biết (
1.101 2.102
10.110
1.11 2.12
100.110


Bài 32: Tính
a. S = 1 + a + a² + a³ + ... + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
b. S1 = 1 + a² + a4 + ... + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
c. S2 = a + a³ +a5 + ... + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 499, B = 4100. Chứng minh rằng 3A < B.
Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:
a. A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
b. B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9
(50 chữ số)
(200 chữ số)
Bài 35: Tính |x| biết
1
1
1
1
1
1
1
x
+
+ ... +
=
+
+ ..... +
=
a.
b.
1.3 3.5
47.49 x
1.4 4.7
97.100 2
4
4
4

2x + 5
1
1
1
1
1
+
+ ... +
=
)+x = 2
c.
d. (1 − )(1 − )(1 − )...(1 −
1.5 5.9
97.101
101
2
3
4
100
5
f. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100 = 11x – 1
g. (1² + 2² + 3² + ... + 49²)(2 – x) = –11/5
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI
Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài 2: Tính
a. 10,(3) + 0,(4) – 8,(6)
b. [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21)
c. 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)
116

Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số
dưới dạng số thập phân vô hạn tuần
99
hoàn.
Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn đến hàng đơn vị
(11,81 + 8,19).2, 25
(4, 6 + 5 : 6, 25).4
a. A =
b. B =
6, 75
4.0,125 + 2,31
0,5 + 0, (3) − 0,1(6)
Bài 6: Rút gọn biểu thức M =
2,5 + 1, (6) − 0,8(3)
Bài 7: Chứng minh 0,(27) + 0,(72) = 1.
Bài 8: Tìm x biết
3
0,1(6) + 0, (3)
0, (3) + 0, (384615) + x
x = 0, (2)
a.
b.
13 = 50
0, (3) + 1,1(6)
0, 0(3)
85
c. [0,(37) + 0,(62)]x = 10
d. 0,(12): 1,(6) = x: 0,(4)
3

m + 3m 2 + 2m + 5
Bài 9: Cho biểu thức A =
(m là số tự nhiên)
m(m + 1)(m + 2) + 6
a. Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b. Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
Bài 10: So sánh các số 25 + 9 và 25 + 9
c. Chứng minh với a, b > 0 thì a + b < a + b
Bài 11: Tìm x biết
a. (x – 3)² = |3 – x|
b. (x – 1)² + |2 – 2x| = 0
Bài 12: Tìm x biết
a. x − 2 x = 0
b. 16(x – 1)² = 9
x +1
. Chứng minh rằng với x = 16/9 hoặc x = 25/9 thì A có giá trị nguyên
x −1
Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
7
3
x −1
a. A =
b. B = 1 +
c. C = 2 +
x
x −1
x −3
Bài 13: Cho A =

Bài 15: Cho A =

x +1
Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
x −3

(x − 2) 2 + (y + 2) 2 + |x + y + z| = 0
1
1
1
) với n là số nguyên dương.
Bài 17: Tính A = (1 − )(1 − )...(1 −
2
3
n +1
1
1
1
Bài 18: Tính A = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 16)
2
3
16
Bài 19: Tìm x biết
3 1
3
a. (5x + 2)(–2x + 3) = 0
b. + : x =
7 7
14
1

1
1
1
1
Bài 20: Cho A = ( − 1)( − 1)( − 1)...( − 1) . Hãy so sánh A và −
2
3
4
10
9
1
1
1
1
11
− 1) . So sánh B với −
Bài 21: Cho B = ( − 1)( − 1)( − 1)...(
4
9
16
100
21
1,11 + 0,19 − 13.2 1 1
7
1
23
− ( + ) : 2 và B = (5 − 2 − 0,5) : 2
Bài 22: Cho A =
2, 06 + 0,54
2 4

8
4
26
a. Rút gọn A và B.
b. Tìm số nguyên x để A < x < B
1 1 1 3 3 3
3
− −
− − −
5
Bài 23: Tính giá trị các biểu thức A = 3 7 13 ×4 16 64 256 +
2 2 2
1 1 1
8
− −
1− − −
3 7 13
4 16 64
Bài 24: Tìm x, biết
a. (x + 3)² = –|x + 3|
b. |x² – 3x| + |(x + 1)(x – 3)| = 0
Bài 25. Tìm số nguyên x sao cho
a. |2x – 5| < 6
b. |10x + 7| < 37
c. |4x + 3| + 4|x – 1| < 8
Bài 26. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
a. 2|x| + 3|y| = 8
b. 2|x| + 3|y| < 4
c. 4x² + 5|y| = 13
Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC

Bài 1. Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360°.
Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB. Vẽ phân giác AD, D thuộc BC. Chứng minh góc ADC – góc ADB = góc B
– góc C.
Bài 3. Cho ΔABC có góc A = 60°. Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại O.
a. Tính góc BOC.
b. Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I. Tính góc BIC.
Bài 4: Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC. Biết góc A – góc B = góc B – góc C = 20°.
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60°. Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ
tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng góc BDC = góc ACB.
Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A gấp 2 lần góc B và góc B gấp 2 lần góc C.
a. Tính góc A; B; C.
b. Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Tính góc AEC?
Bài 7: Cho ΔABC có các góc A; B; C lần lượt tỷ lệ với 3; 2; 1. Hỏi ΔABC là tam giác như thế nào?
Bài 8: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm. Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA. Tìm
độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.
Bài 9: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy A, B và trên Oy lấy C, D sao cho OA = OC; AB = CD. Chứng minh
a. ΔABC = ΔCDA
b. ΔABD = ΔCDB
Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm và CA = 4 cm. Gọi đường thẳng qua A và song
song với BC là a. Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c. Gọi
M, N, P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c; a và c; a và b. Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP.
Bài 11: Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC, kẻ BH vuông góc với AM và CK vuông góc với
AM. Chứng minh
Bài 16: Tìm ba số x, y, z thỏa mãn


a. BH // CK
b. M là trung điểm của HK
c. HC // BK
Bài 12: Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn. Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA;

MNB và NLC. Chứng minh LB = MC = NA.
Bài 13: Cho tam giác ABC có góc  = 90°; góc B = 60°. Phân giác góc B và phân giác góc C cắt nhau tại I
và AI cắt BC tại M.
a. Chứng minh góc BIC là góc tù.
b. Tính góc BIC.
Bài 14: Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20°. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số đo các góc
ADC và góc ADB.
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C khác phía
đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B khác phía đối với AC). Chứng minh
a. DC = BE
b. DC vuông góc với BE.
Bài 16: Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Trên tia đối BD lấy
điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK.
Bài 17: Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC. Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao
cho KM = KC. Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh A là trung điểm của MN.
Bài 18: Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ΔADB; ΔACE. Kẻ
AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH. Chứng minh
a. DM = AH
b. MN đi qua trung điểm của DE.
Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi D trung điểm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm
của DF. Chứng minh rằng
a. DB = CF
b. ΔDBC = ΔFCD
c. 2DE = BC.
Bài 20: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song
song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh DM + EN = BC.
Bài 21: Cho tam giác ABC có góc A = 60°. Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại I và cắt AC; AB theo
thứ tự D; E. Chứng minh ID = IE
Bài 22: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác góc ACE và DBE cắt nhau ở K.
Chứng minh rằng góc BKC = (góc BAC + góc BDC)/2.

Bài 23: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC. Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông
góc AB và lấy D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy
AE = AC. Chứng minh
a. AM = ED / 2.
b. AM vuông góc với DE
Bài 24: Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho góc xOz = (1/2)yÔz. Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông
góc Ox cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA. Chứng minh rằng tam giác AOD cân.
Bài 25: Cho góc xÔz = 120°. Oy là tia phân giác xÔz; Ot là tia phân giác của góc xÔy. M là điểm miền
trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc Ox, vẽ MB vuông góc Oy, vẽ MC vuông góc Ot. Chứng minh rằng OC =
MA – MB.
Bài 26: Cho tam giác cân ABC có Â = 100°. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD.
Bài 27: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD, CE. Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy
điểm K sao cho BI = AC, CK = AB. Chứng minh rằng ΔAIK vuông cân
Bài 28: Cho góc xÔy = 90°. Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy. Lấy điểm E trên tia đối Ox và điểm F
trên tia Oy sao cho OE = OB và OF = OA.
a. Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF.
b. Gọi M, N là trung điểm AB, EF. Chứng minh tam giác OMN vuông cân.
Bài 29: Cho tam giác đều ABC. Trên 2 cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN. Gọi O
là giao điểm CM và BN. Chứng ninh rằng:
a. CM = BN
b. Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN.


Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45°. Vẽ phân giác AD. Trên tia đối AD lấy AE = BC.
Trên tia đối CA lấy CF = AB. Chứng minh
a. BE = CF
b. BE = BF.
Bài 31: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. M trung điểm BC; D trung điểm BM. Chứng minh AC = 2AD.
Bài 32: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B = 60°. Vẽ tia Cx vuông góc với BC và lấy CE = CA (CE
và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA. Chứng minh

a. ΔACE đều
b. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường song
song BC, cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng
a. Góc BOC không đổi.
b. DE = DB + EC
Bài 34: Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối BA lấy
BE = BH. Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh: FH = FA = FC.
Bài 35: Cho tam giác ABC có góc A = 90°. Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD tại B,
ACF tại C.
a. Chứng minh rằng D, A, F thẳng hàng.
b. Từ D và F kẻ các đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC. Chứng minh DD’ + FF’ = BC.
Bài 36: Cho ΔABC có góc BAC = 120°. Kẻ AD phân giác góc A. Từ D hạ DE vuông góc với AB tại E; DF
vuông góc với AC tại F.
a. Tam giác DEF là tam giác gì?
b. Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, ACM là tam giác gì?
Bài 37: Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác
góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh
a. BE = CF
AB + AC
AB − AC
b. AE =
và BE =
2
2
1
c. góc BME = (góc ACB – góc ABC)
2
Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60°. Đường cao BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB; AC.
a. Xác định dạng của tam giác BMD và tam giác AMD

b. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AN. Chứng minh CE vuông góc AB.
Bài 39: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M, N sao cho BM = BA; CN = CA. Tính
góc MÂN.
Bài 40: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b. Tam giác ABM là tam giác đều.
Gợi ý: a. Vẽ MI vuông góc AC.
Bài 41: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 60°. Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD = (1/2)BC.
Tính góc ADB.
Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC.
Bài 42: Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm và AC = 32 cm. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM
= 7 cm. Chứng minh rằng
a. Tam giác ABC vuông
b. góc AMB = 2 góc ACB
Bài 43: Cho tam giác ABC có AB = 25 cm; AC = 26 cm. Đường cao AH = 24 cm. Tính BC trong hai trường
hợp góc B là góc nhọn và góc B là góc tù.
Bài 44: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh
góc vuông.
Bài 45: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho
HE = AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh EB vuông góc EF
Bài 46: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cách gốc 3m. Hỏi điểm gãy cách gốc
bao nhiêu?
Bài 47: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5; 4); B(2; 3) và C(6; 1). Tính các góc ΔABC.


Bài 48: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác.
a. Chứng minh tam giác ABC cân.
b. Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm. Tính độ dài BC.
Bài 49: Cho tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau.
a. Chứng minh tam giác đó đều.

a 3
b. Cho biết mỗi đường cao có độ dài
. Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó.
2
Bài 50: Cho tam giác ABC cân tại A và Â = 80°. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC =
30°; góc OCB = 10°. Chứng minh tam giác COA cân.
Gợi ý: Vẽ thêm tam giác đều BCM sao cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC.
Bài 51: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100°. Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho
góc CBO = 30°. Tính góc CAO.
Gợi ý: Vẽ tam giác đều BCM sao cho M, A cùng nửa mặt phẳng bờ BC.
Bài 52: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. Hai
đường này cắt nhau tại D.
a. Chứng minh AD là phân giác góc A.
b. Hãy so sánh AD và CD.
Bài 53: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho
AD = AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM = CN.
Bài 54: Cho góc xÔy trên Ox lấy điểm A. Trên Oy lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường
thẳng AE; BF cùng vuông góc với tia OM. Chứng minh AE = BF
Bài 55: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc
với AC, AB, BC.
a. Chứng minh OE = OF = OG.
b. Tia AO cắt BC tại D. Chứng minh rằng góc BOD = góc COG
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
4x − 9 4y + 9
−
Bài 1: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức: B =
(x ≠ –3y; y ≠ –3x)
3x + y 3y + x
x 2 (x 2 + 2y)(x 2 − 2y)(x 4 + 2y 4 )(x 8 + 2y8 )
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức A =

với x = 4; y = 8
x16 + 2y16
Bài 3: Tìm các giá trị của biến để
a. A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị bằng 0
b. B = x² – 12x + 7 có giá trị bằng 7
2
5x + 3y 2
x y
=
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức A =
2
2 biết
10x − 3y
3 5
z
x
y
Bài 5: Cho x, y, z ≠ 0 và x = y + z. Tính giá trị của biểu thức B = (1 − )(1 − )(1 + )
x
y
z
5−x
Bài 6: Cho biểu thức E =
. Tìm các giá trị nguyên của x để E có
x−2
a. giá trị nguyên
b. giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b là các số nguyên. Chứng minh không thể đồng thời có f(17) = 71 và
f(12) = 35.
Bài 8: Cho f(x) = ax² + bx + c. Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi

x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000.
Bài 9: Chứng minh biểu thức P = x8 – x5 + x² – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức x² + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 11*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết
1
2
a. x + =1
b. x + = 5 c. x 3 + 3 = y 3 − x d. (x – 2) 25n 2 + 5 + y – 2 = 0 (n là số tự nhiên)
x
x
Bài 12: Tìm x, y là các số nguyên sao cho
x+2
2x − 3
a. y =
b. y =
x −1
x +1
Bài 13: Cộng và trừ các đơn thức


a. 3a² b + (–a²b) + 2a²b – (–6a²b)
b. (–7y²) + (–y²) – (–8y²)
c. (–4,2p²) + (–0,3p²) + 0,5p² + 3p² d. 5an + (–2an) + 6an.
Bài 14: Cho các đơn thức A = x²y và B = xy². Chứng tỏ rằng nếu x, y nguyên và x + y chia hết cho 13 thì A
+ B chia hết cho 13.
Bài 15: Cho biểu thức P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1 (n là số tự nhiên). Với giá trị nào của a thì P >
0.
Bài 16: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk (k là số tự nhiên). Với giá trị nào của x và k
thì Q < 0.
Bài 17: Tìm x biết: xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 (n là số nguyên dương)

Bài 18: Rút gọn biểu thức
a. 2n+3 + 2n+2 – 2n+1 + 2n.
b. 90.10k – 10k+2 + 10k+1.
c. 2,5.5n–3.10 + 5n – 6.5n–1.
Bài 19: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 20: Cho A = 8x5y³; B = –2x6y³; C = –6x7y³. Chứng minh rằng: Ax² + Bx + C = 0
Bài 21: Chứng minh rằng với n nguyên dương
a. 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng 0.
b. 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25.
c. 4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300.
Bài 22: Cho A = (– 3x5y³)4 và B = (2x²z4)5. Tìm x, y, z biết A + B = 0
Bài 23: Rút gọn
a. M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – 4
b. 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b²
Bài 24: Tìm x, biết (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
Bài 25: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) sao cho: abc + bca + cab = 666
Bài 26: Có số tự nhiên abc mà tổng abc + bca + cab là một số chính phương không?
−2x
x −2 5x x 4
+ 3x( − ) − ( − )
Bài 27: Rút gọn biểu thức D =
3
6 9
2 5 5
Bài 28: Tìm x, biết
1
1 1
1
a. x + 2x + 3x + 4x + ….. + 100x = –213
b. x − = x −

2
3 4
6
x − 6 x − 7 x − 8 x − 9 x − 10 x − 11
x + 32 x + 23 x + 38 x + 27
+
+
=
+
+
+
−
−
=0
c.
d.
7
8
9
10
11
12
11
12
13
14
e. 3|x – 2| + |4x – 8| = 2
g. (x – 1)³ = (x – 1) h. (x + 3)y+1 = (2x – 1)y+1 với y là số tự nhiên.