Thiết kế bộ điều khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm số cho đối tượng bồn nước đôi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP.HCM
--------- oOo --------

LÊ THÁI DŨNG

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN THÍCH
NGHI THUẬT TOÁN ĐIỀU CHỈNH HÀM
SỐ CHO ĐỐI TƯỢNG BỒN NƯỚC ĐÔI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

TP. HCM 12 - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP.HCM
--------- oOo --------

LÊ THÁI DŨNG

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN THÍCH
NGHI THUẬT TOÁN ĐIỀU CHỈNH HÀM
SỐ CHO ĐỐI TƯỢNG BỒN NƯỚC ĐÔI

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
MÃ SỐ: 60520216

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VÕ CÔNG PHƯƠNG

TP. HCM 12 - 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi là: LÊ THÁI DŨNG
Sinh ngày 25 tháng 10 năm 1981
Học viên lớp cao học TĐH11. Khoá 2011-2013 – Chuyên ngành: Kỹ
thuật điều khiển và tự động hóa.
Tôi xin cam đoan đề tài “Thiết kế bộ điều khiển thích nghi thuật toán
điều chỉnh hàm số cho đối tượng bồn nước đôi” do TS. Võ Công Phương
hướng dẫn, là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu để xây dựng
mô hình điều khiển và những kết quả thu được trong luận văn là hoàn toàn
trung thực. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ.
Tác giả xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội
dung trong đề cương và các yêu cầu của thầy hướng dẫn. Nếu sai tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.

TP.HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2013
Người viết cam đoan

Lê Thái Dũng

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt, ký hiệu
Danh mục bảng biểu
Danh mục các hình vẽ
Chương 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ĐỀ TÀI ........................................ 1
1.1. Đặt vấn đề................................................................................................... 1
1.2. Mục tiêu nghiên cứu................................................................................... 2
1.3 Công việc cần thực hiện .............................................................................. 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................ 3
1.5. Tóm lược nội dung luận văn ...................................................................... 3
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA ĐỐI TƯỢNG HỆ BỒN
NƯỚC ............................................................................................................... 5
2.1. Mô hình hệ bồn nước đơn ............................................................................ 5

2.2. Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp .............................................................. 6
2.3. Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp tại điểm làm việc .................... 10
2.3.1. Tuyến tính hóa mô hình trạng thái ........................................................ 10
2.3.2. Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp .............................................. 13
CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................ 17
3.1. Lý thuyết điều khiển phản hồi biến trạng thái dùng phương pháp gán cực17


3.1.1. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp gán cực .................... 18
3.1.2. Điều kiện cần và đủ để đặt cực tùy ý .................................................... 20
3.1.3. Các bước thiết kế đặt cực ...................................................................... 24
3.2. Lý thuyết điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính với phiếm hàm dạng toàn
phương (Linear Quadratic Regulator – LQR)................................................. 27

3.2.1. Ổn định Lyapunov đối với hệ thống tuyến tính .................................... 27
3.2.2. Điều khiển tối ưu hệ tuyến tính với chỉ tiêu chất lượng dạng toàn
phương – Phương trình Ricati đối với hệ liên tục........................................... 29
3.2.3. Các bước giải bài toán toàn phương tuyến tính ..................................... 32

3.3. Lý thuyết điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss sử dụng hàm
Lyapunov ......................................................................................................... 33
3.3.1. Đối tượng phi tuyến và khái niệm về điều khiển thích nghi ................. 33
3.3.2. Hệ thống thích nghi sử dụng mô hình tham chiếu – MRAS................. 35
3.3.3. Hệ thống điều khiển thích nghi trực tiếp thuật toán hàm Gauss sử dụng
hàm Lyapunov ................................................................................................. 37
CHƯƠNG 4: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ BỒN NƯỚC ĐÔI
NỐI TIẾP ....................................................................................................... 53
4.1. Thiết kế bộ điều khiển phản hồi biến trạng thái dùng phương pháp gán

cực cho đối tượng hệ bồn nước đôi nối tiếp.................................................... 53
4.2. Thiết kế bộ điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR cho đối tượng
bồn nước đôi .................................................................................................... 58
4.3. Thiết kế bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss cho đối tượng hệ
bồn nước đôi nối tiếp....................................................................................... 67


4.3.1. Mô hình chuẩn....................................................................................... 67
4.3.2. Thiết kế bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss ...................... 71
CHƯƠNG 5: THIẾT KẾ, THI CÔNG VÀ ĐIỀU KHIỂN MÔ HÌNH
THỰC HỆ BỒN NƯỚC ĐÔI NỐI TIẾP .................................................... 82
5.1. Giới thiệu về mô hình ............................................................................... 82

5.2. Mô tả cấu trúc phần cứng ......................................................................... 83
5.2.1. Cảm biến áp suất ................................................................................... 83

5.2.2. Bơm nước DC ....................................................................................... 85
5.2.3. Bo công suất .......................................................................................... 87
5.2.4. PLC S7-200 và Module analog EM235 ................................................ 87
5.3. Điều khiển mô hình thực và so sánh các kết quả điều khiển ................... 88
5.3.1. Điều khiển mô hình thực với thuật toán phản hồi biến trạng thái bằng
phương pháp gán cực ...................................................................................... 90
5.3.2. Điều khiển mô hình thực với bộ điều khiển LQR................................. 92
5.3.3. Điều khiển mô hình thực với bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm
Gauss ............................................................................................................... 95
CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI... 98
6.1. Kết quả đạt được ....................................................................................... 98

6.2. Hạn chế của đề tài .................................................................................... 98
6.3. Hướng phát triển của đề tài ...................................................................... 99
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 100


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU
x   x1 ... xn 

Vector trạng thái của hệ thống

u(t)

Tín hiệu điều khiển

K

Ma trận phản hồi trạng thái

M

Ma trận điều khiển

V(x)

Hàm Lyapunov xác định dương

J

Chỉ tiêu chất lượng

Q

Ma trận vuông xác định dương

LQR

Linear Quadratic Regulator_Điều khiển tối ưu toàn
phương tuyến tính

STR

Self Tuning Regulator_Bộ tự chỉnh định

MRAS

Model Reference Adaptive systems_Hệ thích nghi
mô hình tham chiếu.

e(t)

Sai số giữa ngõ ra và tín hiệu đặt

xm (t )

Vector trạng thái của mô hình chuẩn

ua(t)

Tín hiệu điều khiển thích nghi

Фi ( x )

Hàm Gauss

x ci

Trọng tâm

i

Độ rộng

u0(t)

Tín hiệu đặt trước

δ( x )

Hàm nhiễu

Γ A , Γ B , Γδ

Các hệ số khuếch đại dương của bộ hiệu chỉnh

T


A , B , δ

Các hệ số hiệu chỉnh vô hướng

qin

Lưu lượng nước chảy vào bồn

qout

Lưu lượng nước chảy ra khỏi bồn

Kp1, Kp2

Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 1 và máy
bơm 2

h1(t), h2(t)

Chiều cao mực nước bồn 1 và bồn 2

A1, A2

Diện tích mặt cắt ngang của bồn 1 và bồn 2

Cd1, Cd2

Hệ số van xả của bồn 1 và bồn 2

a1, a2

Tiết diện van xả của bồn 1 và bồn 2

g

Gia tốc trọng trường

xv

Điểm làm việc

xe

Điểm cân bằng

xd

Điểm dừng

f (x), g (x)

Hàm phi tuyến mô tả đặc tính động học của hệ
thống


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1: Thông số kỹ thuật hệ bồn nước đôi nối tiếp ..................................... 9


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 2.1: Mô hình hệ bồn nước đơn ................................................................. 5
Hình 2.2: Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp ..................................................... 7
Hình 3.1 (a). Hệ thống điều khiển vòng hở..................................................... 19
Hình 3.1 (b). Hệ thống điều khiển vòng kín ................................................... 19
Hình 3.2. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển thích nghi ..................................... 35
Hình 3.3. Sơ đồ khối hệ thống thích nghi MRAS ........................................... 36
Hình 3.4. (a). Trạng thái cân bằng ổn định .................................................... 37
Hình 3.4. (b). Trạng thái cân bằng tiệm cận .................................................. 37
Hình 3.4. (c). Trạng thái cân bằng không ổn định ......................................... 37
Hình 3.5. Sơ đồ khối của đối tượng bậc nhất.................................................. 47
Hình 3.6. Sơ đồ khối mô hình tham chiếu cho đối tượng bậc nhất ................ 47
Hình 3.7. Sơ đồ mô phỏng hệ thống thích nghi không có hàm Gauss ........... 48
Hình 3.8. Sơ đồ cơ cấu hiệu chỉnh thích nghi không có hàm Gauss .............. 48
Hình 3.9. Sơ đồ luật điều khiển thích nghi không có hàm Gauss ................... 49
Hình 3.10. Đồ thị đáp ứng ngõ ra hệ thống thích nghi không có hàm Gauss . 49
Hình 3.11. Sơ đồ mô phỏng hệ thống thích nghi thuật toán hàm Gauss ........ 50
Hình 3.12. Sơ đồ luật điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss ................ 51
Hình 3.13. Sơ đồ cơ cấu hiệu chỉnh thích nghi thuật toán hàm Gauss ........... 51
Hình 3.14. Đồ thị đáp ứng ngõ ra hệ thống thích nghi thuật toán hàm Gauss 52
Hình 4.1: Sơ đồ khối hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển gán cực .... 56

Hình 4.2: Sơ đồ bộ điều khiển gán cực ........................................................... 57
Hình 4.3: Sơ đồ đối tượng hệ bồn nước đôi nối tiếp....................................... 57
Hình 4.4: Kết quả mô phỏng điều khiển gán cực............................................ 57
Hình 4.5: Sơ đồ khối hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển LQR ......... 64
Hình 4.6: Sơ đồ bộ điều khiển LQR ............................................................... 65
Hình 4.7: Sơ đồ đối tượng hệ bồn nước đôi nối tiếp....................................... 65
Hình 4.8a: Kết quả mô phỏng điều khiển LQR với hệ số xả của van
Cd1 = 0,3 và Cd2 = 0,6 ...................................................................................... 66
Hình 4.8b: Kết quả mô phỏng điều khiển LQR với hệ số xả của van
Cd1 = 0,5 và Cd2 = 0,7 ...................................................................................... 66
Hình 4.9: Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái........................................... 69
Hình 4.10: Sơ đồ Simulink của mô hình chuẩn .............................................. 71
Hình 4.11: Sơ đồ khối mô phỏng hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển
thích nghi thuật toán hàm Gauss ..................................................................... 79
Hình 4.12: Sơ đồ khối mô hình tham chiếu .................................................... 79
Hình 4.13: Sơ đồ khối bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss ......... 79
Hình 4.14: Sơ đồ khối cơ cấu hiệu chỉnh thuật toán hàm Gauss .................... 80
Hình 4.15a: Đồ thị kết quả mô phỏng với hệ số xả của van Cd1 = 0,3 và Cd2 =
0,6 .................................................................................................................... 80
Hình 4.15b: Đồ thị kết quả mô phỏng với hệ số xả của van Cd1 = 0,5 và Cd2 =
0,7 .................................................................................................................... 81
Hình 5.1: Mô hình thực hệ bồn nước đôi nối tiếp........................................... 82
Hình 5.2: Khối nguồn và mạch công suất ....................................................... 83


Hình 5.3: Cảm biến áp suất nước MPVZ5004GW7U .................................... 84
Hình 5.4: Sơ đồ chân của cảm biến................................................................. 84
Hình 5.5: Mạch lọc ngõ vào và ngõ ra cho cảm biến ..................................... 85
Hình 5.6: Bơm nước DC ................................................................................. 85

Hình 5.7: Sơ đồ nguyên lý bo công suất ......................................................... 86
Hình 5.8: Bo công suất điều khiển hai bơm nước........................................... 86
Hình 5.9: Module analog EM235 ................................................................... 87
Hình 5.10: PLC S7-200 CPU226 .................................................................... 88
Hình 5.11: Công cụ OPC Toolbox trong Matlab simulink ............................. 89
Hình 5.12: Chương trình điều khiển với bộ điều khiển gán cực trên Matlab
simulink ........................................................................................................... 91
Hình 5.13: Bộ điều khiển gán cực................................................................... 91
Hình 5.14: Kết quả điều khiển trên mô hình thực........................................... 92
Hình 5.15: Chương trình điều khiển với bộ điều khiển LQR trên Matlab
simulink ........................................................................................................... 93
Hình 5.16: Bộ điều khiển LQR ....................................................................... 94
Hình 5.17: Kết quả điều khiển trên mô hình thực........................................... 94
Hình 5.18: Chương trình điều khiển với bộ điều khiển thích nghi thuật toán
hàm Gauss trên Matlab simulink .................................................................... 95
Hình 5.19: Bộ điều khiển thích nghi ............................................................... 96
Hình 5.20: Mô hình chuẩn .............................................................................. 96
Hình 5.21: Cơ cấu hiệu chỉnh ......................................................................... 96
Hình 5.22: Kết quả điều khiển trên mô hình thực........................................... 97


1

CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ĐỀ TÀI

1.1 Đặt vấn đề
Điều khiển tự động đã và đang phát triển mạnh mẽ và rộng rãi trên toàn
thế giới, nhằm đáp ứng cho nhu cầu bùng nổ của các hệ thống khoa học tiên
tiến, máy móc phức tạp, đòi hỏi phải điều khiển một cách tinh vi, chi tiết với

độ chính xác cao.
Điều khiển mực chất lỏng trong bồn chứa là quá trình rất phổ biến trong
đời sống và công nghiệp như quá trình xử lý nước thải, lọc dầu hay hệ thống
hóa học thực phẩm… Trong quá trình vận hành, mực chất lỏng trong các bồn
chứa cần phải được điều khiển và giám sát chặt chẽ. Việc điều khiển và giám
sát một cách chính xác là rất quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng
hệ thống và sản phẩm đầu ra.
Yêu cầu đặt ra là thiết kế được bộ điều khiển, điều khiển mực chất lỏng
theo điều kiện cho trước và đảm bảo tính chính xác.
Hệ bồn nước là một hệ phi tuyến, vì hệ có nhiều sự tác động và ảnh
hưởng như môi trường, nhiễu bên ngoài, nhiễu của hệ thống… Do đó, bộ điều
khiển cần phải có khả năng tự điều chỉnh các thông số nhằm thích nghi với
những tác động bên ngoài sao cho đáp ứng ra của hệ thống đạt được một cách
tốt nhất.
Trong quá trình hoạt động, khi các thông số của đối tượng thay đổi thì
một số bộ điều khiển không thể đáp ứng kịp với sự thay đổi đó. Với bộ điều
khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm số sẽ cho ra được đáp ứng mong
muốn khi các thông số của đối tượng thay đổi.


2

Ngày nay, khoa học kỹ thuật phát triển không ngừng, đặc biệt là trong
lĩnh vực điều khiển tự động. Các lý thuyết điều khiển hiện đại như: Điều
khiển tối ưu (Optimal Control), điều khiển bền vững (Robust Control), điều
khiển thích nghi (Adaptive Control), điều khiển trên cơ sở logic mờ (Fuzzy
Logic) đang ngày càng được hoàn thiện phù hợp với tốc độ của chíp vi xử lý.
Trong đề tài này, chúng ta sẽ xây dựng bộ điều khiển thích nghi thuật
toán hàm Gauss dựa trên thuyết ổn định Lyapunov điều khiển đối tượng bồn
nước đôi.

1.2 Mục tiêu nghiên cứu
Giữ ổn định mức nước đặt trước trong hai bồn của hệ bồn nước đôi nối
tiếp.
Nghiên cứu trạng thái ổn định của hệ thống bồn nước đôi khi thay đổi
các thông số của hệ thống và nhiễu tác động.
1.3 Công việc cần thực hiện:
Nghiên cứu đối tượng hệ bồn nước đôi nối tiếp.
Xây dựng mô hình toán hệ bồn nước đôi nối tiếp.
Nghiên cứu giải thuật điều khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm
số, ứng dụng điều khiển hệ bồn nước đôi nối tiếp.
Xây dựng sơ đồ Simulink và mô phỏng trên phần mềm Matlab Simulink.
Nghiên cứu ứng dụng điều khiển trên mô hình thực hệ hai bồn nước đôi
nối tiếp.


3

1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được áp dụng để thực hiện luận văn này là
phân tích lý thuyết, mô phỏng trên máy tính và áp dụng kết quả để điều khiển
đối tượng thực.
Phân tích lý thuyết: nghiên cứu các lý thuyết cơ sở liên quan đến việc
thiết kế bộ điều khiển, dựa trên cơ sở lý thuyết này sẽ phân tích cho mô hình
cụ thể được sử dụng trong luận văn.
Mô phỏng trên máy tính: Sau khi đã xây dựng xong các thuật toán điều
khiển dưới dạng lý thuyết ta sẽ tiến hành mô phỏng trên Matlab để kiểm
chứng sự hoạt động của bộ điều khiển.
Điều khiển thực: Tiến hành xây dựng bộ điều khiển cho đối tượng thật.
1.5 Tóm lược nội dung luận văn
Luận văn gồm 6 chương với nội dung như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan đề tài.
Chương 2: Giới thiệu mô hình toán học hệ bồn nước.
Chương 3: Giới thiệu cơ sở lý thuyết của đề tài bao gồm lý thuyết về
phương pháp điều khiển gán cực, lý thuyết điều khiển tối ưu toàn phương
tuyến tính LQR và phương pháp điều khiển thích nghi dựa trên thuyết ổn định
Lyapunov.
Chương 4: Thiết kế và mô phỏng các thuật toán điều khiển như điều
khiển gán cực, điều khiển LQR và điều khiển thích nghi áp thuật toán hàm
Gauss để điều khiển đối tượng bồn nước đôi. Tiến hành so sánh kết quả đáp
ứng của các phương pháp điều khiển.


4

Chương 5: Ứng dụng các bộ điều khiển: Điều khiển gán cực, điều khiển
LQR, điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss điều khiển mô hình thực
đối tượng bồn nước đôi nối tiếp.
Chương 6: Tổng kết lại kết quả đạt được, nêu lên một số hạn chế và đưa
ra hướng phát triển của đề tài.


5

CHƯƠNG 2
MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA ĐỐI TƯỢNG HỆ BỒN NƯỚC

2.1 Mô hình hệ bồn nước đơn
Trong hệ bồn nước đơn, nước được bơm từ bể chứa lên bồn nước, nước
trên bồn chảy xuống bể chứa thông qua một van có thể thay đổi được góc mở.
Mực nước trong bồn được đo bằng cảm biến áp suất nước. Bài toán đặt ra là

điều khiển cân bằng mực nước trong bồn bằng với mực nước mong muốn.
Theo TLTK [8], [9], [10].

Hình 2.1: Mô hình hệ bồn nước đơn
Lưu lượng nước chảy vào bồn:
qin  K pu (t )

Lưu lượng nước chảy ra khỏi bồn:

qout  Cd a 2 gh(t )


6

Phương trình vi phân mô tả động học của bồn nước:

A

h(t )
 qin  qout  K pu (t )  Cd a 2 gh(t )
t

 h(t ) 

1
K pu (t )  Cd a 2 gh(t ) 
A

Trong đó:
Kp: Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm (cm3/sec.V)

u(t): Điệp áp cấp vào máy bơm (V)
h(t): Chiều cao mực nước trong bồn (cm)
A: Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước (cm2)
Cd: Hệ số van xả của bồn nước
a: Tiết diện van xả của bồn nước (cm2)
g: Gia tốc trọng trường (cm/s2)
2.2 Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp
Hệ bồn nước đôi nối tiếp gồm hai bồn nước, một bồn ở trên và một bồn
ở dưới. Sử dụng 2 bơm để bơm nước vào hai bồn. Nước ở bồn trên chảy
xuống bồn dưới thông qua một van có thể điều chỉnh được góc mở, nước ở
bồn dưới chảy xuống bể chứa. Mực nước trong hai bồn được đo bằng hai cảm
biến áp suất nước. Bài toán đặt ra là điều khiển cân bằng mực nước ở hai bồn
bằng với mực nước mong muốn. Theo TLTK [8], [9], [10].


7

Hình 2.2: Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp
Lưu lượng nước chảy vào bồn 1:
qin1  K p1u1 (t )

Lưu lượng nước chảy ra bồn 1:

qout1  Cd 1a1 2 gh1 (t )
Lưu lượng nước chảy vào bồn 2:
qin 2  K p 2u2 (t )  Cd1a1 2 gh1 (t )


8

Lưu lượng nước chảy ra bồn 2:

qout 2  Cd 2a2 2 gh2 (t )
Phương trình vi phân mô tả động học của bồn 1:

A1

h1 (t )
 qin1  qout1  K p1u1 (t )  Cd 1a1 2 gh1 (t )
t

 h1 (t ) 

1
K p1u1 (t )  Cd 1a1 2 gh1 (t ) 

A1

(2.1)

Phương trình vi phân mô tả động học của bồn 2:

A2

h2 (t )
 qin 2  qout 2  K p 2u2 (t )  Cd1a1 2 gh1 (t )  Cd 2a2 2 gh2 (t )
t

 h2 (t ) 

1 
K p 2u2 (t )  Cd 1a1 2 gh1 (t )  Cd 2a2 2 gh2 (t ) 
A2 

(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) ta có hệ phương trình vi phân mô tả hệ bồn nước đôi
nối tiếp:
1

h
(
t
)

K p1u1 (t )  Cd 1a1 2 gh1 (t ) 
1


A

1

h (t )  1  K u (t )  C a 2 gh (t )  C a 2 gh (t ) 
2
p2 2
d1 1
1
d2 2
2



A2 


Trong đó:
Kp1: Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 1 (cm3/sec.V)
Kp2: Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 2 (cm3/sec.V)
u1(t): Điệp áp cấp vào máy bơm 1 (V)
u2(t): Điệp áp cấp vào máy bơm 2 (V)
h1(t): Chiều cao mực nước trong bồn 1 (cm)


9

h2(t): Chiều cao mực nước trong bồn 2 (cm)
A1: Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước 1 (cm2)
A2: Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước 2 (cm2)
Cd1: Hệ số của van xả bồn 1
Cd2: Hệ số của van xả bồn 2
a1: Tiết diện của van xả bồn 1 (cm2)
a2: Tiết diện của van xả bồn 2 (cm2)
g: Gia tốc trọng trường (cm/s2)
Bảng 2.1: Thông số kỹ thuật hệ bồn nước đôi nối tiếp
Ký hiệu

Mô tả

Giá trị

Đơn vị

Kp1

Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 1

15

cm3/sec.V

Kp2

Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 2

15

cm3/sec.V

u1(t)

Điệp áp cấp vào máy bơm 1

0  24

V

u2(t)

Điệp áp cấp vào máy bơm 2

0  24

V

h1(t)

Chiều cao mực nước trong bồn 1

0  30

cm

h2(t)

Chiều cao mực nước trong bồn 2

0  30

cm

A1

Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước 1

13

cm2

A2

Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước 2

13

cm2

Cd1

Hệ số của van xả bồn 1

0.3


10

Cd2

Hệ số của van xả bồn 2

0.6

a1

Tiết diện của van xả bồn 1

0.8

cm2

a2

Tiết diện của van xả bồn 2

0.8

cm2

g

Gia tốc trọng trường

981

cm/s2

2.3 Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp tại điểm làm việc
2.3.1 Tuyến tính hóa mô hình trạng thái
Về bản chất của tuyến tính hóa xấp xỉ mô hình hệ thống xung quanh
điểm làm việc x v ta có thể hình dung giống như việc thay một đoạn đường
cong f(x) trong lân cận điểm x0 bằng một đoạn thẳng tiếp xúc với đường cong
đó tại x0. Như vậy, việc tuyến tính hóa một hệ phi tuyến xung quanh điểm làm
việc đồng nghĩa với sự xấp xỉ gần đúng hệ phi tuyến trong lân cận điểm trạng
thái cân bằng hoặc điểm dừng bằng một mô hình tuyến tính. Theo TLTK [3].
Sau đây, khái niệm điểm làm việc x v sẽ được hiểu chung là điểm cân
bằng x e hoặc điểm dừng x d . Điều này có nghĩa là khi không bị kích thích, tức
là khi tín hiệu vào u(t )  0 thì điểm làm việc x v sẽ chính là điểm cân bằng x e
và trong trường hợp ngược lại với u(t )  u0 là hằng số thì x v chính là điểm
dừng x d .
x 
Sau đây ta sử dụng ký hiệu  v  để chỉ điểm làm việc. Với ký hiệu này

 u0 

x 
thì điểm cân bằng sẽ là  e  .
 0


11

Cho một hệ phi tuyến tự trị có mô hình:
 dx
  f (x, u)
 dt

y  g (x, u)

(2.3)

Trong đó:
x(t )   x1, x2 ,....., xn  : là vector biến trạng thái
T

u(t )   u1, u2 ,....., um  : là vector các tín hiệu đầu vào
T

y(t )   y1, y2 ,....., yr  : là vector các tín hiệu đầu ra
T

f (x, u)   f1 ( x, u), f 2 ( x, u),....., f n ( x, u)  và
T

g(x, u)   g1 ( x, u), g2 ( x, u),.....g r ( x, u)  : là các vector hệ thống
T

x 
Giả thiết rằng hệ có điểm làm việc  v  , tức là tại đó có:
 u0 

f ( xv , u 0 )  0
Với xv  ( x1v , x2v ,...., xnv )T và u0  (u10 , u20 ,...., un0 )T : là những vector hằng
(phần tử là hằng số).
Chú ý: Ký hiệu v hay 0 ở vị trí lũy thừa của xkv và ui0 là phần tử của
vector x v và u 0 .
Khai triển các hàm f1 ( x, u), f 2 ( x, u),....., f n ( x, u) thuộc vector f (x, u)
cũng như các hàm g1 ( x, u), g2 ( x, u),.....gr ( x, u) của (2.3) thành chuỗi Taylor
tại điểm xv , u0 , sau đó với giả thiết sai lệch x  xv và u  u0 là đủ nhỏ để có


12

thể bỏ qua tất cả các thành phần bậc cao trong chuỗi, cũng như f (xv , u0 )  0 ,
ta sẽ được:
 dx
  A(x  xv )  B(u  u 0 )
 dt

y  g(xv , u 0 )  C(x  xv )  D(u  u 0 )

(2.4)

Trong đó:

 f 
A 
 x xv ,u0

 g 
C 
 x xv ,u0

 f1
 x
 1


 f n
 x
 1
 g1
 x
 1


 g s
 x
 1

...

...

...

...

f1 
 f1

 u
xn

 1
 f 

; B 


u




xv ,u0
f n 
 f n
 u

xn x ,u
 1
v 0

g1 
 g1
 u
xn 

 1
 g 

; D 


u
  xv ,u0 

g s 
 g s
 u

xn x ,u
 1
v 0

...

...

f1 
ur 




f n 
ur x ,u
v

...

...

g1 
ur 



g s 
ur x ,u
v

Và được gọi chung là ma trận Jacobi của các vector hàm f (x, u) và
g(x, u) .

Nếu để ý rằng x v là vector hằng (phần tử của chúng là hằng số), tức là:

dx d (x  xv )

dt
dt
Cũng như sử dụng các ký hiệu:

x  x  xv ; u  u  u0 và y  y  g(xv , u0 )

0

0


13

Thì từ (2.4), ta sẽ trở về dạng mô hình tuyến tính dạng quen biết trong
Lý thuyết điều khiển tuyến tính:
 dx
  Ax  Bu
 dt

y  Cx  Du

(2.5)

Chú ý: Để có được mô hình tuyến tính (2.5) từ mô hình phi tuyến (2.3)
x 
bằng cách xấp xỉ trong lân cận điểm làm việc  v  như trên thì cần thiết các
 u0 

vector hàm f (x, u) và g(x, u) phải khả vi tại xv , u0 .
2.3.2 Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp
Hệ phương trình vi phân mô tả hệ bồn nước đôi nối tiếp:
1

h
(

t
)

K p1u1 (t )  Cd 1a1 2 gh1 (t ) 
1

A1 


h (t )  1  K u (t )  C a 2 gh (t )  C a 2 gh (t ) 
2
p2 2
d1 1
1
d2 2
2


A2 


Hệ phương trình trạng thái hệ bồn nước đôi nối tiếp:

x(t )  f (x(t ), u(t ))

y (t )  g(x(t ), u(t ))
Trong đó:
1 



 A  K p1u1 (t )  Cd 1a1 2 gx1 (t ) 

1

f (x(t ), u(t ))  
1 

 A  K p 2u2 (t )  Cd 1a1 2 gx1 (t )  Cd 2a2 2 gx2 (t )  
 2


 x (t ) 
g(x(t ), u(t ))   1  ;
 x2 (t ) 

x1 (t )  h1 (t ), x2 (t )  h2 (t )