Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN HƯỞNG

PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Thái Nguyên, năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ô❝ ❧ô❝

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

✸

▼ë ➤➬✉

✹

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

✶✳✶✳

❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr♦♥❣

➤

✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✷✳✸✳ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✶✳✷✳✹✳ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✶✳✸✳ ❚❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥

❍➭♠ ❧å✐
✶✳✷✳✶✳

➤

Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✶✳✷✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

❇➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐

✷✷

❇➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠

✷✳✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉

✷✳✷✳

✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✶✳✶✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t

✷✳✶✳

✺

❚❐♣ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳

✶✳✷✳

Rn

✷✳✷✳✶✳ ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐
✷✳✷✳✷✳ ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ❦❤➯ ✈✐

✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤➢➡♥❣ ✸✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐

✸✶

✸✳✶✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ♣❤➵t ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✸✳✷✳

❍➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥

✸✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑Õt ❧✉❐♥

✹✺

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✹✻

✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
❚r➢í❝ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❦❤ã❛ ❧✉❐♥✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣
❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➟ ❉ò♥❣ ▼➢✉✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐ó♣ ➤ì ❡♠
tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤Ó ❡♠ ❝ã t❤Ó ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤ã❛
❧✉❐♥ ♥➭②✳
❊♠ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ tí✐ ❝➳❝ q✉ý t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ✲ ❱✐Ö♥
❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠✱ ➤➲ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥
❧î✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❡♠ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
❊♠ ①✐♥ tr➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ t❐♣ t❤Ó ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲
❧✉➠♥ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt
q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦❤ã❛ ❧✉❐♥ tèt ♥❣❤✐Ö♣✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❤Õt sø❝ ❝è ❣➽♥❣✱ ♥❤➢♥❣ ❞♦ ♥➝♥❣ ❧ù❝ ✈➭ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ
♥➟♥ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ó tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❱× ✈❐② ❡♠ ♠♦♥❣ ♥❤❐♥
➤➢î❝ sù ❣ã♣ ý✱ ❜➯♦ ❜❛♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ✈➭ ➤é❝ ❣✐➯
q✉❛♥ t➞♠✳
❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥❣➭② ✶✵ t❤➳♥❣ ✼ ♥➝♠ ✷✵✶✷
❚➳❝ ❣✐➯

◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❍➢ë♥❣

✸

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ở
ồ ột ớ t q trọ ủ tố ó ớ
t ó ề ứ ụ tr ĩ ự tế ĩ
tt ệ
ột tí t q trọ ủ t q ồ ệ tố
ị ũ ệ tố t ụ í t é
ụ ị ủ tí ớ ó tể sử ụ
ệ q tr ớ t q ồ ề tí ì s ớ
t q ồ ó t ý tết ũ
ỉ
ột q trọ ệ q ề t tí t ớ
t q ồ ể tr
ụ í ủ trì ể tr ể
t q ồ ệ tì ể ứ ủ ề rt tết
ữ í ể ể ợ ở rộ ứ ụ ủ ể
tr t tố
ồ
ớ tệ ữ ế tứ t ề tí ồ ó
t ồ t ồ ệ ồ tí tụ ủ ồ ớ
ủ ồ í ụ ọ ú ợ sử ụ ở tế
t
rì ệ t q ồ tí t
ủ t q ồ ó sự tồ t ệ tố ề
ệ tố ủ t q ồ
í ủ rì ể
tr t q ồ í ụ ọ tí ồ t
tt t ố

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn






ồ ồ tr Rn
r ú t sẽ trì ữ ế tứ ề
tí ồ tr ữ ề

Rn

ế tứ sẽ ợ sử

ụ tr s ộ ủ ợ trí từ t
ệ t





[1], [2] [3]

ồ



ị ĩ

a, b tr Rn ờ t q
n
ể a b t tt ể x tr R ó

ị ĩ

ể

x = a + (1 )b, R

t ố ể a, b t ợ ể ó
x = a + (1 )b, [0; 1]
ị ĩ

ột t

C Rn

ợ ọ ột t ồ ế

t q ể t ì ủ ó ứ

C

C

ứ ọ

ồ ỉ

x, y C, [0; 1] = x + (1 )y C
t ó

x tổ ợ ồ ể t x1 , x2 , ..., xk
k

ế

k
j

j x , j > 0, j = 1, ..., k,

x=
j=1

j = 1.
j=1



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳

▼ét t❐♣

D

t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ❦ú

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ❛❢❢✐♥❡ ♥Õ✉

D

❝❤ø❛ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣

x, y ∈ D✱ tø❝ ❧➭

∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D
✶✳✶✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t

C ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭ C ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳

❚❐♣ ❤î♣

♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛

k

k
1

∀x ∈ N, ∀λ1 , ..., λk > 0,

k

λj xj ∈ C.

λj = 1, ∀x , ..., x ∈ C =⇒
j=1

j=1

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤✐Ò✉

❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ sè ➤✐Ó♠✳ ❱í✐

k = 2✱ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s✉②

r❛ ♥❣❛② tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ tæ ❤î♣ ❧å✐✳ ●✐➯ sö ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐

k − 1 ➤✐Ó♠✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤ó♥❣ ✈í✐ k ➤✐Ó♠✳
1
k
●✐➯ sö x ❧➭ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ k ➤✐Ó♠ x , ..., x ∈ C ✳ ❚ø❝ ❧➭
k

k
j

∀j = 1, ..., k,

λj x , λj > 0

x=

λj = 1.
j=1

j=1
➜➷t

k−1

λj .

ξ=
j=1
❑❤✐ ➤ã

0 < ξ < 1 ✈➭
k−1

k−1
j

x=

k

λj x + λ k x = ξ
j=1

❉♦

j=1
k−1

j=1
λj
✈➭
ξ

λj j
x + λk x k .
ξ

λj
=1
ξ

> 0 ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, .., k − 1✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ ➤✐Ó♠
k−1

y :=
j=1

λj j
x ∈ C.
ξ

✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ó

x = y + k xk .


> 0, k > 0
k

+ k =

j = 1,
j=1

y

ột tổ ợ ồ ủ ể
ệ ề

ế

A, B



xk

t ồ tr

ề tộ

Rn C

C x C

t ồ tr

Rm tì

t s ồ

A B := {x|x A, x B}
A + B := {x|x = a + b, a A, b B, , R}
A ì C := {x Rn+m |x = (a; c), a A, c C}
ứ ễ ợ s r trự tế từ ị ĩ
ệ ề

D=

t ỉ ó ó

a Rn M
t ợ ọ s s ủ D
ớ

M

ủ

Rn



D = M +a

ợ ị

ồ ệ

ị ĩ

tr

Rn

ột tổ ợ ể ó

{x Rn |aT x = }
tr ó

a Rn

ột t tế ủ s ột s sẽ

t ử
ị ĩ

ử ột t ợ ó

{x|aT x }
tr ó

a = 0 R ử ó
{x|aT x > }

ử ở



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




ột s t ử
ỗ ử ở ề ột í ủ s ế ử
ó tì ủ ú í s ó
ị ĩ

ột t ợ

S Rn

ợ ọ ột ì ó tứ

ó ọ ì ế

k+1

S

tổ ợ ồ ủ

t ộ t ọ ỉ ủ ì í ụ

ột t tr ề ì ợ

k
k

Sk := {x R |x 0,

xj 1}
j=1

ợ ọ ì t tr
ị ĩ

Rk

ột t ợ ọ t ồ ệ ế ó ủ ột

số ữ ử ó

t ị ĩ ột t ồ ệ t ệ ủ ột
ệ ữ t trì tế tí tờ ủ ột t

ồ ệ ợ s

D := {x Rn | aj , x bj , j = 1, ..., m}
A tr ó m t aj , j = 1, ..., m
T
t b = (b1 , ..., bm ) tì ệ tr ợ ết
ế t í ệ

D = {x Rn |Ax b}
ú ý r ột trì

a, x = b
ó tể ết ột t ớ t trì

a, x b, a, x b
t ệ ủ ột ệ ữ trì t trì
ột t ồ ệ



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




D ❧➭ ❣✐❛♦
D✳ ❇❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ t❐♣ D ➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ coD✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽✳

❇❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ♠ét t❐♣

❇❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ♠ét t❐♣

D

❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❝❤ø❛

❧➭ t❐♣ ❧å✐ ♥❤á ♥❤✃t ❝❤ø❛

D✳

a ❝ñ❛ ♠ét t❐♣ ❧å✐ D ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐
♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ D ➤Ò✉ ❝ã ♠ét sè λ > 0 s❛♦ ❝❤♦ a + λ(x − a) ∈ D ✳ ❚❐♣ ❝➳❝

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾✳

▼ét ➤✐Ó♠

➤✐Ó♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝ñ❛
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵✳

D

❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

D

▼ét t❐♣

riD✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♥Õ✉

∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D.
▼ét ♥ã♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥ ♥Õ✉ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣✳ ▼ét ♥ã♥ ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ♥Õ✉ ♥ã ➤å♥❣ t❤ê✐ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ◆Õ✉ ♥ã♥ ❧å✐ ♥➭② ❧➵✐ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐
➤❛ ❞✐Ö♥ t❤× t❛ ♥ã✐ ♥ã ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✶✳

❈❤♦

D ⊆ Rn

❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ✈➭

x0 ∈ D.

✭✐✮ ❚❐♣

ND (x0 ) := {ω ∈ Rn : ω, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ D.
❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ♥❣♦➭✐ ❝ñ❛
♣❤➳♣ t✉②Õ♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛

D

t➵✐

D

t➵✐

x0

✈➭ t❐♣

−ND (x0 )

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥

x0 ✳

✭✐✐✮ ❚❐♣

NDε (x0 ) := {ω ∈ Rn : ω, x − x0 ≤ ε, ∀x ∈ D.
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥

❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥

ε ❝ñ❛ D

0 ∈ ND (x0 )

t➵✐

x0 ✳

✈➭ ❞ï♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã

ND (x0 )

❧➭ ♠ét ♥ã♥

❧å✐ ➤ã♥❣✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✷✳

❈❤♦ ❤❛✐ t❐♣

C

✈➭

D✱ t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣

H := {x : v, x = λ}
✐✮ t➳❝❤ ❤❛✐ t❐♣

C

✈➭

D

♥Õ✉

v, a ≤ λ ≤ v, b , ∀a ∈ C, b ∈ D.

✾

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....