Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp 2 trong không gian Holder

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THÚY MAI

BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THÚY MAI

BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
TRONG KHÔNG GIAN HOLDER

Chuyên ngành:

GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên - Năm 2012

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
Mở đầu
1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Công thức tích phân từng phần . . . . . .
1.2 Công thức Green thứ nhất . . . . . . . .
1.3 Công thức Green thứ hai . . . . . . . . .
1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số . . . .
1.5 Lớp hàm Holder . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton
1.7 Phương pháp liên tục . . . . . . . . . . .
1.8 Phương pháp làm trơn hàm số . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai
2.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . .
2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
3
4
4
6
7
10
11

14
14
19
26
27

Kết luận

28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

29

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mở đầu

1. Lý do chọn Luận văn
Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có một đặc điểm quan trọng là:
khi vế phải và các hệ số của phương trình là các hàm liên tục thì nghiệm
cổ điển lớp C 2 của nó nói chung là không tồn tại. Nhà toán học Schauder
đã có một phát hiện quan trọng là khi vế phải và các hệ số của phương
trình thuộc lớp Holder C α thì nghiệm luôn tồn tại trong lớp C 2,α . Do đó
cần phải trình bày một cách hệ thống lý thuyết Schauder về tính giải được
của phương trình elliptic cấp hai trong không gian Holder.
2. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chính được sử dụng trong Luận văn là các đánh giá
tiên nghiệm đối với thế vị Newton và sử dụng phương pháp liên tục để
chuyển các kết quả cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổng
quát.
3. Mục đích của Luận văn
Trình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
cấp hai dạng tổng quát.
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kết
quả chính của Luận văn. Trước hết trình bày công thức tích phân từng
phần, sau đó trình bày các công thức Green thứ nhất, công thức Green
thứ hai và công thức tích phân từng phần. Tiếp theo giới thiệu về lớp hàm
Holder, đánh giá của Schauder đối với thế vị Newton và hai phương pháp
quan trọng là phương pháp liên tục và phương pháp làm trơn hàm số.
Chương 2. Giới thiệu các đánh giá của Schauder đối với nghiệm của

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bài
toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tiếp theo
trình bày về tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
Poisson và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
cấp hai dạng tổng quát.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo
của PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng
biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến
Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại
học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập
tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn.

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn
nên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng
góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Tác giả
Trần Thị Thúy Mai

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Công thức tích phân từng phần

Giả sử Ω ⊂ Rd là miền bị chặn trong Rd với biên ∂Ω. Với x ∈ ∂Ω ta
ký hiệu νx = (ν1 , ν2 , ..., νd ) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x, dσ(x)
là phần tử diện tích của ∂Ω.
Với u(x), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta có công thức tích phân từng phần
sau đây:

∂u(x)
v(x)dx = −

∂xk
Ω

1.2

u(x)

∂v(x)
dx +
∂xk

Ω

u(x)v(x)νk dσ(x).

(1.1)

∂Ω

Công thức Green thứ nhất

Bổ đề 1.2.1. Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω),
d

∆u =
k=1

∂2u
.
∂x2k

Khi đó ta có công thức Green thứ nhất

∇u(x).∇v(x)dx =

v(x)∆u(x)dx +
Ω

trong đó ∇u =

Ω
∂u
∂u
( ∂x
, ..., ∂x
)
1
d

v(z)

∂u
(z)dσ(z),
∂νz

(1.2)

∂Ω

,

∂u
∂νz

d

=
k=1

∂u
∂xk νk

= (∇u, νz ) là đạo hàm của

u theo hướng νz .

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Chứng minh. Ta có:
d

v(x)∆u(x)dx =
Ω

v(x)

k=1

Ω
d

= −
Ω k=1

= −

∂ ∂u
(
)dx
∂xk ∂xk
d

∂u ∂v
dx +
∂xk ∂xk

v(z)
k=1

∂Ω

∇u(x).∇v(x)dx +
Ω

v(z)

∂u(z)
νk dσ(z)
∂xk

∂u
(z)dσ(z).
∂νz

∂Ω

Do đó ta có công thức (1.2).

1.3

Công thức Green thứ hai

Bổ đề 1.3.1. Giả sử u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), ta có công thức Green
thứ hai:
∂u
∂v
− u(z)
(z) dσ(z).
{v(x)∆u(x) − u(x)∆v(x)}dx =
v(z)
∂νz
∂νz
Ω

∂Ω

(1.3)
Chứng minh. Theo công thức Green thứ nhất ta có:

∇u(x).∇v(x)dx =

v(x)∆u(x)dx +
Ω

Ω

v(z)

∂u
(z)dσ(z).
∂νz

u(z)

∂v
(z)dσ(z).
∂νz

∂Ω

Đổi vai trò hàm u(x) và v(x) ta có:

∇v(x).∇u(x)dx =

u(x)∆v(x)dx +
Ω

Ω

∂Ω

Trừ các vế của hai phương trình trên ta có (1.3).

1.4

Công thức Green biểu diễn hàm số

Định lý 1.4.1. Nếu u ∈ C 2 (Ω), ta có:
∂Γ
∂u
u(y) =
u(x)
(x, y) − Γ(x, y)
(x) do(x) +
∂νx
∂νx
∂Ω

Γ(x, y)∆u(x)dx,
Ω

(1.4)

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5

trong đó

Γ(x, y) = Γ(|x − y|) =

1
2π

log |x − y|
với d = 2
1
2−d
với d > 2
d(2−d)ωd |x − y|

(1.5)

và ωd là thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd .

> 0 đủ nhỏ, tồn tại hình cầu tâm y bán kính

Chứng minh. Với

B(y, ) ⊂ Ω
(vì Ω mở ). Áp dụng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) và Ω \ B(y, ). Do Γ là hàm
điều hòa theo biến x trong Ω \ {y}, ta thu được:

Γ(x, y)∆u(x)dx =

Γ(x, y)

∂Γ(x, y)
∂u
(x) − u(x)
dσ(x)
∂νx
∂νx

∂Ω

Ω\B(y, )

+

Γ(x, y)

∂Γ(x, y)
∂u
(x) − u(x)
dσ(x).
∂νx
∂νx

∂B(y, )

(1.6)
Trong tích phân thứ hai trên biên, ν là pháp tuyến ngoài của Ω \ B(y, ),

do vậy là pháp tuyến trong của B(y, ).
Ta lấy giới hạn từng tích phân trong công thức khi → 0. Do u ∈ C 2 (Ω),
∆u bị chặn. Do Γ là khả tích nên vế trái của (1.6) trở thành:

Γ(x, y)∆u(x)dx.
Ω

Trên ∂B(y, ), ta có Γ(x, y) = Γ( ). Vì vậy khi

Γ(x, y)

∂u
(x)dσ(x) ≤ dωd
∂νx

d−1

→ 0,

Γ( ) sup |∇u| → 0.
B(y, )

∂B(y, )

Ngoài ra,

−

u(x)

∂Γ(x, y)
∂
dσ(x) =
Γ( )
∂νx
∂

∂B(y, )

u(x)dσ(x)

∂B(y, )

=

1
dωd

u(x)dσ(x) → u(y).

d−1
∂B(y, )

8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

(do ν là pháp tuyến trong của B(y, )).
Do vậy, ta có (1.4).

1.5

Lớp hàm Holder

Định nghĩa 1.5.1. Cho f : Ω → R, x0 ∈ Ω, 0 < α < 1. Hàm f được gọi
là liên tục Holder tại x0 với số mũ α nếu

sup
x∈Ω

|f (x) − f (x0 )|
< ∞.
|x − x0 |α

(1.7)

Hơn nữa f được gọi là liên tục Holder trong Ω nếu nó liên tục tại mọi
x0 ∈ Ω (với số mũ α). Khi đó ta viết f ∈ C α (Ω).
Nếu f liên tục Holder tại x0 thì f liên tục tại x0 .
Trong (1.7) nếu α = 1 thì f được gọi là liên tục Lipschitz tại x0 .
Ta định nghĩa chuẩn:

|f (x) − f (y)|
|x − y|α
x,y∈Ω

|f |C α (Ω) = sup

f

C α (Ω)

= f

C 0 (Ω)

(1.8)

+ |f |C α (Ω)

(1.9)

Không gian C α (Ω) với chuẩn (1.9) là không gian Banach.
Ví dụ 1.5.2. Hàm f trên B1 (0) được cho bởi f (x) = |x|β , 0 < β < 1,
liên tục Holder với số mũ β tại x = 0 và liên tục Lipschitz khi β = 1.
Định nghĩa 1.5.3. C k,α (Ω) là không gian các hàm f ∈ C k (Ω) mà đạo
hàm cấp k liên tục Holder với số mũ α.
Khi đó

f

C k,α (Ω)

= f

C k (Ω)

|Dα f |C α (Ω) .

+

(1.10)

|α|=k

Ta thường viết C α thay cho C 0,α .
Không gian C k,α (Ω) với chuẩn (1.10) là không gian Banach.
Bổ đề 1.5.4. Nếu f1 , f2 ∈ C α (G) trên G ⊂ Rd . Khi đó f1 f2 ∈ C α (G) và:

|f1 f2 |C α (G) ≤

sup |f1 | |f2 |C α (G) +
G

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

sup |f2 | |f1 |C α (G) .
G




7

Chứng minh. Ta có:

|f1 (x)f2 (x) − f1 (y)f2 (y)| |f1 (x) − f1 (y)|
≤

|f2 (x)|
|x − y|α
|x − y|α
|f2 (x) − f2 (y)|
|f1 (x)|.
+
|x − y|α
Suy ra điều phải chứng minh.

1.6

Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton

Định nghĩa 1.6.1. Cho Ω ∈ Rd là mở và bị chặn. Thế vị Newton của f
là hàm số u trên Rn được định nghĩa bởi:

u(x) =

Γ(x, y)f (y)dy,

(1.11)

Ω

trong đó Γ(x, y) được xác định bởi (1.5).
Định lý 1.6.2.
a. Nếu f ∈ L∞ (Ω) (tức sup |f (x)| < ∞), thì u ∈ C 1,α (Ω) và:
x∈Ω

u

C 1,α (Ω)

≤ c1 sup |f |

với α ∈ (0; 1).

(1.12)

b. Nếu f ∈ C0α (Ω), thì u ∈ C 2,α (Ω) và:

u

C 2,α (Ω)

≤ c2 f

C α (Ω)

với α ∈ (0; 1),

(1.13)

trong đó C0α (Ω) gồm các hàm thuộc C α (Ω) và bằng không trong lân cận
của biên ∂Ω.
Các hằng số trong (1.12) và (1.13) phụ thuộc vào α, d và |Ω|.
Chứng minh. a. Đạo hàm cấp một v i =

xi − y i
f (y)dy

|x − y|d

i

v (x) =

∂u
∂xi

của u được cho bởi:

(i = 1, 2, ..., d).

Ω

Trong công thức trên đã bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vào d. Từ đó
ta có công thức:

xi2 − y i
xi1 − y i
−
dy.
|x1 − y|d |x2 − y|d

|v i (x1 ) − v i (x2 )| ≤ sup |f |.
Ω

(1.14)

Ω

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....