Tải bản đầy đủ (.doc) (4 trang)

ĐỀ THI và ĐÁP ÁN HSG KHỐI 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (105.89 KB, 4 trang )

SỞ GDVĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III.
ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (3 đ)
1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 2
2 8 2 2 0x x x x m+ − + − + =
.
2. Giải hệ phương trình :







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x


x
x
y
y
Câu 2: (3 đ)
Cho hình lăng trụ ABCD. A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60BAD =
.
Gọi M là trung điểm cạnh AA

và N là trung điểm cạnh CC’.
1. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng.
2. Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Câu 3: (2đ)
1. Giải bất phương trình :
( )
2
1
ln ln 1 0
2
x
x x
+
− − + >
2. Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn :
( )
yyxx
y

3732log
2
8
2
2
2
+−≤++
+
Câu 4 : (2 đ).
1. Giải phương trình :
cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
2. Gọi α, β,  là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC nhìn xuống 3
cạnh BC, CA, AB.
Giả sử: sinα.sinβ.sin =
8
33
. Chứng minh ∆ABC là tam giác đều.
(Hết)
SỞ GDVĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.
Câu 1 : (3 đ).
1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 2
2 8 2 2 0x x x x m+ − + − + =
.
Đặt
2

8 2 3x x t o t+ − = ⇒ ≤ ≤
. Khi đó Pt
( )
2
2 8 1
0 3
t t m
t

− − =



≤ ≤


Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t
2
– 2t – 8 và d: y = m. trên hệ trục toạ độ
Oty. Dựa vào đồ thi ta có:
• m > - 5 ∨ m < - 9 thì không
có nghiệm t nên không có nghiệm x.
• m = - 5 có 1 nghiệm x.
• - 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1
nghiệm t nên có 2 nghiệm x.
• - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên
có 4 nghiệm x.
2. Giải hệ phương trình:









+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
Cách 1 :
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2
2

2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 2
3
3 2 3 2
3 2
2
3 2 3 3
3
0
3 2
3 2
0
3 2
0
. 3 0
3 2
3 0
y
x y y
y
x y y x y y
x

xy x
x
xy x x y xy y x
x
xy
y
x y y
x y y
x y
x y y
x y
x y xy x y
x y y
xy x y

+

= +
=

 
= + = +

  
⇔ = + ⇔ ⇔
   
+
= + − = −
 
  

=






= +

 
= +
− =
= +
  

⇔ ⇔ ⇔
− =



− + + =

= +





+ + =



v
1x y


⇔ = =


>

« ngiÖm do xy 0

Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0. ⇒
2
2
2
2
+
+
=
x
y
y
x
Giả sử 0 < x ≤ y ⇒
11
2
2
2
2

==⇒=
+
+
=
yx
y
y
y
x
t
y
y ≥ -5
y = -5
-8 ≤ y ≤ -5
y = -8
y = -9
y ≤ -9
O
-8
-9
SỞ GDVĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III.
Câu 2 : (3 đ).
1. Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Ta có A

M //= NC ⇒ A

MCN là hình bình hành ⇒ A


C & MN cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Mặt khác A

B

CD là hình bình hành ⇒ A

C & B

D cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường ⇒ B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành
2. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Ta có AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông ⇔
MN ⊥ B

D & MN = B

D =
3a
.
Khi đó MN ⊥ (BDD

B

) ⇒ AC

⊥ (BDD

B


) = (α) . Vậy cứ mỗi ∆BDB

được xác
định trên mf (α) cố định thì ta có một độ dài BB

= AA



aaAAaaBDDBAABDDB
+≤≤−⇔+≤≤−
33
''''
.
Câu 3: (2đ)
1. Giải bất phương trình :
( )
2
1
ln ln 1 0
2
x
x x
+
− − + >
D = R
*
( ) ( )
1.211ln

2
1
ln
22
+−>+⇔+−>
+

xxxxx
x
 Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x
2
– 3x + 1 < 0 ⇔ 1/ 2 < x < 1. Thoả mãn
 Nếu x + 1 < 0 ⇔ x < -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x
2
– x + 3 < 0 ⇔ Bpt vô nghiệm.
Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1).
2. Ta có : x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 ≥ 2, ∀x và y
2
+ 8 > 0, ∀y. ⇒
( ) ( )
82log).8(32log).8(32log
2
2
22
2
2

8
2
2
2
+=+≥+++=++
+
yyxxyxx
y
⇒ y
2
+ 8 ≤ 7 – y
2
– y ⇒ 2y
2
– 3y + 1 ≤ 0 ⇒ 1/2 ≤ y ≤ 1. Vì y ∈ Z ⇒ y = 1.
Với y = 1 ⇒ BPt ⇔
( )
1232932log
2
9
2
2
−=⇔≤++⇔≤++
xxxxx
Kiểm tra lại đúng ⇒ Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1.
Câu 4 : (2 đ).



D


A

B’
C’
C
D
A
B
M
N
I
SỞ GDVĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III.
1. Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
 Nếu x = k2π ⇒ pt ⇔ 5 = - 1/2 Vậy x = k2π không là nghiệm của pt.
 Nếu x ≠ k2π nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt ⇔
11
2
0
2
11
sin
2
sin
2
9
sin
2
11

sin
2
7
sin
2
9
sin
2
5
sin
2
7
sin
2
3
sin
2
5
sin
2
sin
2
3
sin
π
k
x
xxxx
xxxxxxxx
=⇔=⇔−=−+

+−+−+−+−
 Vì x ≠ k2π ⇒ nghiệm của pt là: x =
;
11
2
π
k
Với k
/
M
11.
2. Ta có:
sinα.sinβ.sin =
8
33

( )
0
3 3
sin .sin .sin 180
8
A B C do A B C
α β γ
⇔ = + = + = + =
( )
3
3
1 1 3 3 3 3
sin .sin .sin sin sin sin .
27 27 2 8

VT A B C A B C
 
= ≤ + + ≤ =
 ÷
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC là tam giác đều.

×