Một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ ÁNH HỒNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN
HỖN HỢP MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36

Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN, 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mục lục
Mở đầu

2

1 Các kiến thức cơ bản

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . .
¯ . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian C k (Ω)
1.1.2 Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . .
1.1.4 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . .
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . .
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
5
6
10
10
12
13

2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị
2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với
điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với điều kiện
biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 Bài toán Crack và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho bài toán song
điều hòa với điểm đứt gãy kì dị . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị . . . . . . . . . .

27

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



15
15
17
22
22
22

27
28
30


MỤC LỤC

3.2

3.1.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp chia miền giải bài toán crack
3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền . . . . . . . . .
3.2.2 Các kết quả thực nghiệm . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Tài liệu tham khảo

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

.
.
.
.

.
.
.
.

31
37

37
39
46




Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ Vinh
Quang. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Vũ Vinh Quang, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả.
Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều
kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành
bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường
THPT Chu Văn An - Thái Nguyên và các bạn trong lớp Cao học K4A, đã
động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Mở đầu
Khi nghiên cứu bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, thông qua việc
mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic
cấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hòa với các hệ số điều kiện

biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài toán đang
xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tác
giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như
phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn... Tuy nhiên, trong
trường hợp khi trên biên tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa
các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường xảy ra đối với
mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi thì chúng ta sẽ gặp các
bài toán elliptic hoặc các bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị.
Khi đó các phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn. Đối với các
bài toán này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng một phương
pháp đó là phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạng
khai triển thông qua các hệ hàm cơ sở. Một hướng nghiên cứu thứ hai đó
là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền.
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán vết nứt hay còn gọi
là bài toán crack được các tác giả trên thế giới đưa ra. Mô hình toán học
của bài toán là bài toán song điều hoà với điều kiện biên kì dị. Trình bày
cơ sở của phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này đồng
thời xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự
hội tụ của các phương pháp lặp và so sánh tính hiệu quả của hai phương
pháp đã đưa ra. Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và
đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm
về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sự
hội tụ của sơ đồ lặp.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền để giải bài toán
biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và cơ sở của phương
pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp.
Chương 3: Nghiên cứu mô hình bài toán vết nứt, trình bày cơ sở phương
pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này. Trên cơ sở của phương
pháp chia miền giải phương trình cấp 2 và phương pháp lặp giải phương
trình cấp 4, luận văn đưa ra sơ đồ lặp giải bài toán vết nứt, tiến hành thực
nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp đưa ra. Từ đó đưa ra kết
luận so sánh giữa hai phương pháp.
Trong luận văn, các chương trình thực nghiệm được lập trình trên ngôn
ngữ Matlab chạy trên máy tính PC.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện.

Tác giả

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1

Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan

trọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm
yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lý
thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử.

1.1

Các kiến thức cơ bản về các không gian
hàm

1.1.1

¯
Không gian C k (Ω)

¯
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và Ω
¯
là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C k (Ω)(k
= 0, 1, 2, ...) là tập các hàm có đạo
¯ Ta đưa vào C k (Ω)
¯ chuẩn
hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω.
max |Dα u(x)|,

||u||C k (Ω)
¯ =
|α|=k

¯
x∈Ω

(1.1)

trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ) được gọi là đa chỉ số véc tơ với các tọa độ
nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + ... + αn ,
∂ α1 +...+αn u
D u = α1
∂x1 ...∂xαn n
α

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

¯ của các hàm và tất
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω
¯ với chuẩn
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C k (Ω)
(1.1) là không gian Banach.

1.1.2

Không gian Lp(Ω)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương. Ta kí hiệu Lp (Ω)
là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

|f (x)|p dx < ∞.

(1.2)

Ω

Trong Lp (Ω ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của Lp (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa
mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
|f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p )
nên rõ ràng Lp (Ω) là một không gian véc tơ.
Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm || · ||p được xác định bởi

||u||p =





1.1.3

|u(x)|p dx
Ω

1/p


.

(1.3)



Không gian W 1,p(Ω)

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong Rn . Hàm u(x) được gọi là
khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm trong Ω và với mỗi
x0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x0 để u(x) khả tích trong Ω.
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một miền trong Rn . Giả sử u(x), v(x) là hai
hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

Ω

∂kϕ
u k1
dx = (−1)k
kn
∂x1 ...∂xn

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vϕdx,
Ω




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + ... + kn , ki ≤ 0(i = 1, 2, ..., n). Khi đó,
v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Kí hiệu
∂ku
v(x) = k1
.
∂x1 ...∂xknn
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là một miền
trong Rn . Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như sau:
W 1,p (Ω) = {u|u ∈ Lp (Ω),

∂u
∈ Lp (Ω), i = 1, 2, ..., n},
∂xi

trong đó các đạo hàm trên là các đaọ hàm suy rộng.
Với p = 2, ta kí hiệu W 1,p (Ω) = H 1 (Ω), nghĩa là
H 1 (Ω) = {u|u ∈ L2 (Ω),

∂u
∈ L2 (Ω), i = 1, 2, ..., n}.
∂xi

Bổ đề 1.1.4. i) Không gian W 1,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn
n

||u||W 1,p (Ω) = ||u||Lp (Ω) +

||

i=1

∂u
||Lp (Ω) .
∂xi

ii) Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
n

(u, v)H 1 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) +
i=1

1.1.4

∂u ∂v
,
∂xi ∂xi

, ∀u, v ∈ H 1 (Ω).
L2 (Ω)

Khái niệm vết của hàm

Định nghĩa 1.1.5. Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W 1,p (Ω).
Không gian H01 (Ω) được định nghĩa bởi
H01 (Ω) = W01,2 (Ω).
Định lý 1.1.6. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) là:

1
1 1
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p∗ ), trong đó ∗ = − .
p
p n
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1. Các kiến thức cơ bản

- Nhúng liên tục với q = p∗ .
ii) Nếu p = n thì W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
¯ là nhúng compact.
iii) Nếu p > n thì W01,p (Ω) ⊂ C 0 (Ω)
Định lý 1.1.7 (Định lý vết). Giả sử Ω là tập mở trong Rn với biên ∂Ω là
liên tục Lipschitz. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H 1 (Ω) → L2 (∂Ω)
¯ ta có γ(u) = u|∂Ω . Hàm γ(u) được
sao cho với bất kì u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω)
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian
H 1/2 (∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H 1/2 (∂Ω) = γ(H 1 (Ω)).
Định lý 1.1.9. i) Kí hiệu H 1/2 (∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
||u||2H 1/2 (∂Ω)

|u(x) − u(y)|2

dSx dSy .
|x − y|n+1

2

|u(x)| dSx +

=
∂Ω

∂Ω ∂Ω

ii) Tồn tại một hằng số Cγ (Ω) sao cho:
||γ(u)||H 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω)||u||H 1 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω).
Khi đó, Cγ (Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.1.10. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω)
có các tính chất sau:
i) Tập {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật trong H 1/2 (∂Ω).
ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H 1/2 (∂Ω) → ug ∈ H 1 (Ω)
với γ(ug ) = g và tồn tại hằng số C1 (Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
||u||H 1 (Ω) ≤ C1 (Ω)||g||H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω).
Bổ đề 1.1.11. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H01 (Ω) = {u|u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0}.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not

read....