Phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC
VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC
VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian C
k
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian L
P
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lý nhúng . . 7
1.1.5 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm H
−1
(Ω) và H
−1/2
(∂Ω)
10
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . 12
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . 14
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử . . . . . 17
2 Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 2 20
2.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31
3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
3.2 Mô hình thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Mô hình thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Các sơ đồ lặp dựa trên chia miền . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Một số kết quả thực nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Các ký hiệu
L Toán tử elliptic.
R
n
Không gian Euclide n chiều.
Ω Miền giới nội trong không gian R
n
.
∂Ω Biên trơn Lipschitz.
C
k
(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
L
2
(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.
W
1,p
(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p.
H
1/2
(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2.
H
1
0
(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω.
H
−1

(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H
1
0
(Ω).
H
−1/2
(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H
1/2
(∂Ω).
 . 
V
Chuẩn xác định trên không gian V .
(.)
V
Tích vô hướng xác định trên không gian V .
C
γ
(Ω) Hằng số vết.
C
Ω
Hằng số Poincare.
E Ma trận đơn vị.
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, qua việc
mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic
cấp hai với các hệ điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi môi
trường đang xét đối với các bài toán thực tế là môi trường đồng nhất thì
ta thường nhận được các dạng phương trình elliptic với hệ số là các hàm

liên tục. Đối với các dạng phương trình này, đã có nhiều phương pháp của
các tác giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng
như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn với tư tưởng là
chuyển bài toán vi phân về bài toán sai phân trong không gian hữu hạn
chiều và từ đó xác định nghiệm xấp xỉ bằng các thuật toán trên cơ sở
giải các hệ đại số tuyến tính. Tuy nhiên trong trường hợp khi môi trường
đang xét là các môi trường không đồng nhất thì ta sẽ gặp bài toán biên
elliptic với hệ số là các hàm số gián đoạn trong miền đang xét. Bài toán
này thường gặp trong các mô hình truyền dẫn nhiệt, khuyếch tán hoặc
tĩnh điện trong môi trường phân lớp không đồng nhất. Năm 2006, các tác
giả Z.Muradoglu Seyidmamedo và Ebsu Ozbilge đã mô tả mô hình bài
toán biên elliptic với hệ số gián đoạn qua mặt phân cách trong môi trường
không đồng nhất và đưa ra phương pháp sai phân trên lưới không đều.
Việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn cũng
có thể xác định được bằng việc xây dựng các sơ đồ lặp trên cơ sở của lý
thuyết chia miền.
Nội dung chính của luận văn là mô tả mô hình toán học của bài toán
biên elliptic với hệ số gián đoạn trong môi trường không thuần nhất trong
hai mô hình, mối quan hệ giữa hai mô hình cơ bản, khái niệm về nghiệm
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
yếu của các bài toán và xây dựng các sơ đồ lặp xác định nghiệm gần đúng
của bài toán trên tư tưởng chia miền. Tiến hành thực nghiệm tính toán
và so sánh với phương pháp sai phân trên lưới không đều . Luận văn được
viết gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và
đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm
về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sự
hội tụ của sơ đồ lặp. Các kiến thức này là cơ sở để trình bày các nội dung
quan trọng trong chương 2.

Chương 2: Luận văn đưa ra 2 sơ đồ chia miền dựa trên hai tư tưởng
hiệu chỉnh hàm và hiệu chỉnh đạo hàm trên biên phân cách đối với bài toán
biên elliptic với hệ số là liên tục cùng với việc chứng minh sự hội tụ của
các sơ đồ lặp. Các kết quả này đã được các tác giả công bố trong những
năm trước đây. Đây chính là các sơ đồ lặp quan trọng làm cơ sở cho việc
mở rộng các kết quả tương ứng trong trường hợp khi hệ số là gián đoạn.
Chương 3: Luận văn đưa ra mô hình toán học của bài toán biên elliptic
với hệ số gián đoạn trong môi trường không đồng nhất, mối quan hệ giữa
các mô hình, khái niệm nghiệm yếu của bài toán với hệ số gián đoạn. Trên
cơ sở các kết quả trong chương 2 và mô hình bài toán elliptic với hệ số
gián đoạn đã được đưa ra, luận văn đề xuất hai sơ đồ lặp chia miền trên
tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm hoặc đạo hàm trên biên phân cách để
chuyển bài toán trong miền không đồng nhất về hai bài toán trong miền
đồng nhất. Tiến hành tính toán thử nghiệm trên các ví dụ cụ thể, từ đó
so sánh tốc độ và độ chính xác của hai sơ đồ lặp cũng như so sánh kết
quả với phương pháp sai phân trên lưới không đều do tác giả đã đưa ra
trong tài liệu [1]. Từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương pháp
chia miền. Các kết quả số trong luận văn được lập trình trên môi trường
Matlab version 7.0
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ
Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng tôi trình bày những kết quả lý thuyết quan
trọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm
nghiệm yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare,
lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử Những kiến thức
cơ sở và kết quả được tham khảo từ các tài liệu [ 2, 3, 4, 10, 11, 12].
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm
1.1.1 Không gian C
k
(Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n
và
Ω là bao đóng của Ω. Ta ký hiệu C
k
(Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C
k
(Ω)
chuẩn
||u||
C
k
(Ω)
=


|α|=k
max
x∈Ω
|D
α
u(x)|, (1.1)
trong đó α = (α
1
, , α
n
) được gọi là đa chỉ số là vectơ với các tọa độ
nguyên không âm, |α| = α
1
+ + α
n
,
D
α
u =
∂
α
1
+ +α
n
u
∂x
α
1
1
∂x

α
n
n
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C
k
(Ω) với chuẩn
(1.1) là một không gian Banach.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
1.1.2 Không gian L
P
(Ω)
Giả sử Ω là một miền trong R
n
và p là một số thực dương. Ta ký hiệu
L
P
(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

Ω
|f(x)|
p
dx < ∞ (1.2)
Trong L
P
(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của L
P
(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa

mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
|f(x) + g(x)|
p
≤ (|f(x) + g(x)|)
p
≤ 2
p
(|f(x)|
p
+ |g(x)|
p
)
nên rõ ràng L
P
(Ω) là một không gian vectơ.
Ta đưa vào L
P
(Ω) phiếm hàm ||.||
p
được xác định bởi
||u||
p
= {

Ω
|u(x)|
p
dx}
1/p

(1.3)
Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoder) . Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L
P
(Ω), v ∈
L
P
(Ω) thì uv ∈ L
P
(Ω) và

Ω
|u(x)v(x)|dx ≤ ||u||
p
||v||
p

(1.4)
trong đó p

= p/(p − 1), tức là 1/p + 1/p

= 1, p

được gọi là số mũ liên
hợp đối với p.
Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski) . Nếu 1 < p < ∞ thì
||f + g||
p
≤ ||f||
p

+ ||g||
p
(1.5)
Định lí 1.3 Không gian L
P
(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ là một không gian Banach.
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω)
Định nghĩa 1.1 Cho Ω là miền trong R
n
. Hàm u(x) được gọi là khả
tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm trong Ω và với mỗi x
0
∈ Ω
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
đều tồn tại một lân cận ω của x
0
để u(x) khả tích trong ω.
Định nghĩa 1.2 Cho Ω là miền trong R
n
. Giả sử u(x), v(x) là hai hàm
khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức

Ω
u
∂
k
ϕ

∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
dx = (−1)
k

Ω
vϕdx
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k
1
+ + k
n
, k
i
≤ 0(i = 1, 2, , n). Khi đó,
v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Kí hiệu
v(x) =
∂
k
u
∂x

k
1
1
∂x
k
n
n
.
Định nghĩa 1.3 Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là miền trong
R
n
. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như sau:
W
1,p
(Ω) = {u|u ∈ L
P
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
P
(Ω), i = 1, 2, , n},
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2, ta kí hiệu W
1,p
(Ω) = H
1

(Ω), nghĩa là
H
1
(Ω) = {u|u ∈ L
2
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n}.
Bổ đề 1.1
i) Không gian W
1,p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
||u||
W
1,p
(Ω) = ||u||
L
p
(Ω) +
n

i=1
||
∂u
∂x
i

||
L
P
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
H
1
(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1
(
∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i
)
L

2
(Ω)
, ∀u, v ∈ H
1
(Ω).
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz. Định lý nhúng
Định nghĩa 1.4 Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nó
giới nội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các tọa độ
địa phương x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n
và m hàm a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1

), r = 1, 2, , m
liên tục trong các khối n chiều K
(r)
|x
(r)
i
| < α, i = 1, 2, , n − 1
sao cho
i) Mỗi điểm x của biên ∂Ω có thể biểu diễn trong ít nhất một hệ tọa độ
dạng
x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
, a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1

)).
ii) Các điểm x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
, x
(r)
n
) thỏa mãn
|x
(r)
i
| < α, i = 1, 2, , n − 1
và
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1

) < x
(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) + β
hoặc
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) − β < x
(r)
n

< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
)
nằm trong hoặc nằm ngoài Ω.
iii) Mỗi hàm a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
), r = 1, 2, , m thỏa mãn điều kiện Lips-
chitz trên khối K
(r)
, tức là với mọi (x
(r)
1

, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1
) ,(y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
) ∈
K
(r)
, tồn tại hằng số dương L sao cho
a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, , x
(r)
n−1

) − a
r
(y
(r)
1
, y
(r)
2
, , y
(r)
n−1
) ≤
≤ L[(x
(r)
1
− y
(r)
1
)
2
+ + (x
n
− 1
(r)
− y
n
− 1
(r)
)
2

]
1/2
.
Định lí 1.4Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).

iii) Nếu p > n thì W
1,p
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) là nhúng compact.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
1.1.5 Khái niệm vết của hàm
Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như
các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong
Ω tương ứng với chuẩn của W
1,p
(Ω).
Không gian H
1
0
(Ω) được định nghĩa bởi
H
1
0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
Định lí 1.5 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó:
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
0

(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0

(Ω) là nhúng compact.
Định lí 1.6(Định lý vết)
Giả sử Ω là tập mở trong R
n
với biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó,
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H
1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kì u ∈ H
1
(Ω)

C
0
(Ω) ta có γ(u) = u|
∂Ω
. Hàm γ(u) được
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.6 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω)
được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H
1/2
(∂Ω) = γ(H
1
(Ω)).

Định lí 1.7
i) Kí hiệu H
1/2
(∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn
||u||
2
H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
| u(x) |
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
| u(x) − u(y) |
2
| x − y |
n+1
dS
x
dS
y
.

ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) sao cho:
||γ(u)||
1/2
H
(∂Ω) ≤ C
γ
(Ω)||u||
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Khi đó, C
γ
(Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.2 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω) có
các tính chất sau:
i) Tập {u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R
n

)} trù mật trong H
1/2
(∂Ω).
ii) Nhúng H
1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1/2
(∂Ω) → u
g
∈ H
1
(Ω)
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho
||u||
H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)||g||
H
1/2

(∂Ω)
, ∀g ∈ H
1/2
(∂Ω).
Bổ đề 1.3 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H
1
0
(Ω) = {u|u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
Định lí 1.8 (Bất đẳng thức Poincare)
Tồn tại hằng số C
Ω
sao cho:
||u||
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
||∇u||
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Chứng minh

Giả sử I là một khoảng trong R
n
chứa Ω, u ∈ H
1
0
(Ω). Ta kí hiệu u là
mở rộng bởi 0 của u vào I. Ta có u ∈ H
1
0
(I) và
||u||
L
2
(Ω)
= ||u||
L
2
(I)
; ||∇u||
L
2
(Ω)
= ||∇u||
L
2
(I)
. (1.6)
Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kì trong R
n
, không

mất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)
n
.
Với ∀u ∈ C
∞
0
(Ω) ta có
u(x) = u(x

, x
n
) =

x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t) dt.
Ta lại có
|u(x)|
2
=|

x
n
0

∂u
∂x
n
(x

, t).1 dt |
2
≤
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
≤ x
n

x
n
0
|
∂u
∂x
n
(x

, t) |
2
dt ≤
≤ x
n

a
0

|
∂u
∂x
n
(x

, t) |
2
dt.
Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên Ω ta được:

Ω
u
2
dx ≤ a
2

Ω
|
∂u
∂x
n
|
2
dx ≤ a
2

Ω
|∇u|
2

dx,
tức là
||u||
L
2
(Ω)
≤ a||∇u||
L
2
(Ω)
, ∇u ∈ C
∞
0
(Ω).
Do đó đẳng thức trên đúng với ∀u ∈ H
1
0
(Ω).
Nếu Ω là một tập mở giới nội bất kỳ, luôn tồn tại khoảng I với các
cạnh phụ thuộc vào đường kính của Ω thỏa mãn Ω ⊂I.
Theo trên, định lý đúng với khoảng I, kết hợp với (1.6) ta suy ra định
lý đúng với Ω.
Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng: ||u|| = ||∇u||
L
2
(Ω)
là một chuẩn trên H
1
0
(Ω), tương đương với chuẩn của H

1
(Ω) được xác
định bởi
||u||
2
H
1
(Ω)
= ||u||
2
L
2
(Ω)
+ ||∇u||
2
L
2
(Ω)
.
Định lí 1.9 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng)
Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ
1

Γ
2
, trong đó Γ
1
, Γ
2
là các

tập đóng, rời nhau, Γ
1
có độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số C
(
Ω) sao
cho
||u||
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
||∇u||
L
2
(Ω)
∀u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0 trên Γ
1
.
1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm H
−1
(Ω) và H
−1/2
(∂Ω)
Định nghĩa 1.7 Kí hiệu H
−1/2
(∂Ω) là không gian Banach được định
nghĩa bởi

H
−1
(∂Ω) = (H
1
0
(Ω))

,
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
tức là không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H
−1
(Ω)
được các định như sau
||F ||
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω){0}
| < F, u >
H
−1
(Ω),H

1
0
(Ω)
|
||u||
H
1
0
(Ω)
,
trong đó
< F, u >
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
=

Ω
F u dx.
Bổ đề 1.4 Cho F ∈ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại n + 1 hàm f
0
, f
1
, , f
n

trong
L
2
(Ω) sao cho
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
. (1.7)
Hơn nữa
||F ||
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=1
||f
i
||
2
L

2
(Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả vectơ (f
0
, f
1
, , f
n
) trong [L
2
(Ω)]
n+1
thỏa
mãn điều kiện (1.7).
Định nghĩa 1.8 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Kí hiệu H
−1/2
(∂Ω)
là không gian Banach được định nghĩa bởi
H
−1/2
(∂Ω) = (H
1/2
(∂Ω))

.
tức là không gian đối ngẫu của không gian H
1/2
(∂Ω). Chuẩn của phần tử
F ∈ H

−1/2
(∂Ω) được xác định như sau
||F ||
H
−1/2
(Ω)
= sup
H
1/2
(∂Ω){0}
| < F, u >
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
|
||u||
H
1/2
(∂Ω)
.
trong đó
< F, u >
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
=


∂Ω
F u dS.
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình
−u = f. (1.8)
Giả sử u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.8) thỏa mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8).
Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C
∞
0
(Ω) nhân với hai vế của (1.8) rồi
lấy tích phân ta được
−

Ω
uϕ dx =

Ω
fϕ dx. (1.9)
Áp dụng công thức Green vào (1.9) và kết hợp với điều kiện ϕ|
∂Ω
= 0
ta có


Ω
n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u
∂x
i
dx =

Ω
fϕ dx, (1.10)
hay

Ω
∇u∇ϕ dx =

Ω
fϕ dx.
Như vậy, nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8) thì có (1.10).
Nhưng nếu f∈C(Ω) thì phương trình (1.8) không có nghiệm cổ điển. Vậy,
ta cần mở rộng khái niệm khi f ∈ L
2
(Ω).
Định nghĩa 1.9 Giả sử u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2

(Ω), u được gọi là nghiệm yếu
của phương trình (1.8) nếu (1.10) được thỏa mãn.
Mệnh đề 1.1 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.8) và u ∈
C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −u = f.
Chứng minh
Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.8), tức là u ∈ H
1
(Ω) và ta
có (1.10) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C
2
(Ω) ta suy
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
ra

Ω
(u + f)ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Vì D(Ω) trù mật trong L
2
(Ω), u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên
u + f = 0 trong L
2
(Ω). Nhưng vì u liên tục nên u + f ≡ 0 trong
C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8). 
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên
Bài toán Dirichlet
Xét bài toán


−u = f, x ∈ Ω
u = ϕ, x ∈ ∂Ω.
(1.11)
trong đó f ∈ L
2
(Ω).
Hàm u ∈ H
1
(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.11) nếu
u − w ∈ H
1
0
(Ω). (1.12)
trong đó w là hàm thuộc H
1
(Ω), có vết bằng ϕ và

Ω
∇u∇v dx =

Ω
fv dx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω). (1.13)
Nhận xét 1.2
-Nghiệm yếu của bài toán (1.11) là nghiệm yếu của phương trình −u =
f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u ∈ H
1
(Ω)

thỏa mãn (1.13) với mọi v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω).
- Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.11) và u, f, ϕ đủ trơn thì u là nghiệm
theo nghĩa cổ điển.
Bài toán Neumann
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω
∂u
∂ν
= h, x ∈ ∂Ω.
(1.14)
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), u ∈ C
2
(Ω) là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình −u = f với v ∈ H
1
(Ω) rồi lấy tích
phân ta được
−

Ω
vu dx =


Ω
vf dx. (1.15)
Áp dụng công thức Green vào (1.15) ta có
−

∂Ω
v
∂Ω
∂ν
dS +

Ω
∇u∇v dx =

Ω
vf dx.
kết hợp với (1.14) ta suy ra

Ω
∇u∇v dx =

Ω
fv dx +

∂Ω
hv dS, ∀v ∈ H
1
(Ω). (1.16)
Định nghĩa 1.10 Nếu h ∈ L

2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.14) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn (1.16).
1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lí 1.10 (Lax-Milgram)
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (v, u). B(v, u) là dạng
song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H, tức là tồn tại
k > 0 sao cho
|B(v, u)| ≤ k||v||||u||, ∀u, v ∈ H
và tồn tại α > 0 sao cho
B(v, u) ≥ α||v||
2
, ∀v ∈ H
Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn trong
dạng
F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và
||z|| ≤
1
α
||F ||.
(Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, u) = F (v) có
duy nhất nghiệm z ∈ H thỏa mãn ||z|| ≤
1

α
||F ||.).
Bài toán Dirichlet thuần nhất
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω
u = 0, x ∈ ∂Ω.
(1.17)
trong đó f ∈ L
2
(Ω). Bài toán (1.16) có nghiệm yếu là hàm u ∈ H
1
0
(Ω)
thỏa mãn
B(u, v) = F (v), ∀v ∈ H
1
0
(Ω). (1.18)
trong đó
B(u, v) =

Ω
∇u∇vdx, F(v) =

Ω
fvdx.
Kiểm tra các điều kiện của định lý Lax-Milgram : Ta thấy, B(u, v) là
dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục. Từ bất đẳng thức Fridrich
C


Ω
|∇v|
2
dx ≥

Ω
|v|
2
dx
suy ra
(1 + C)

Ω
|∇v|
2
dx ≥ ||v||
2
H
1
(Ω)
.
Do đó
B(v, v) =

Ω
|∇v|
2
dx ≥
1

1 + C
||v||
2
H
1
(Ω)
.
Như vậy B(u, v) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định
dương trên H.
Theo định lý Lax-Milgram, bài toán (1.18) có nghiệm duy nhất u ∈
H
1
0
(Ω) thỏa mãn
||u||
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)||F ||.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Vì ||v||
L
2
(Ω)
≤ ||v||
H
1
0
(Ω)

nên
||F || = sup
v=0
|F (v)|
||v||
H
1
0
(Ω)
≤ sup
v=0
||F ||
L
2
(Ω)
||v||
L
2
(Ω)
||v||
H
1
0
(Ω)
≤ ||f||
L
2
(Ω)
.
Do đó

||u||
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)||f||
L
2
(Ω)
.
Bài toán Dirichlet không thuần nhất
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω
u = ϕ, x ∈ ∂Ω.
(1.19)
trong đó ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω) nên tồn tại w ∈ H
1
(Ω) sao cho w|
∂Ω
= ϕ.
Khi đó, nghiệm yếu của bài toán (1.19) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn
điều kiện u − w = H
1
0
(Ω) và
B(u, v) = (f, v)

L
2
(Ω)
, ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
trong đó
B(v, u) =

Ω
∇u∇v dx.
Theo định lý Lax-Milgram, tồn tại duy nhất z ∈ H
1
0
(Ω) sao cho
B(z, x) = (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v). (1.20)
Khi đó, hàm u = w + z là nghiệm yếu của bài toán (1.19). Thật vậy,
ta có u − w ∈ H
1
0
(Ω) và B(u, v) = B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v) =
B(w, v)+(f, v)
L
2
(Ω)

−B(w, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
, tức là tồn tại duy nhất nghiệm
yếu của bài toán (1.19).
Ta đi đánh giá nghiệm : Theo định lý Lax-Milgram, từ (1.20) ta có
||z||
H
1
0
(Ω)
≤
1
α
[sup
v=0
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
||v||
H
1
0
(Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)

||v||
H
1
0
(Ω)
].
Ta thấy
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
||v||
H
1
0
(Ω)
≤ ||f||
L
2
(Ω)
,
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
B(w, v)
||v||
H
1
0
(Ω)

≤ k
||w||
H
1
0
(Ω)
||v||
H
1
0
(Ω)
||v||
H
1
0
(Ω)
= k||w||
H
1
0
(Ω)
.
Từ đó suy ra
||z||
H
1
0
(Ω)
≤
1

α
(||f||
L
2
(Ω)
+ k||w||
H
1
0
(Ω)
).
Do đó
||u||
H
1
0
(Ω)
≤ ||z||
H
1
0
(Ω)
+ ||w||
H
1
0
(Ω)
≤
1
α

||f||
L
2
(Ω)
+ (1 +
k
α
)||w||
H
1
0
(Ω)
Do ánh xạ vết liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho
||w||
H
1
0
(Ω)
≤ C||ϕ||
H
1/2
(Ω)
.
Kết hợp các điều trên ta suy ra
||u||
H
1
0
(Ω)
≤ C

1
||f||
L
2
(Ω)
+ C
2
||ϕ||
H
1/2
(∂Ω)
.
1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản
1.3.1 Phương pháp lặp giải phương trình toán tử
Lược đồ lặp hai lớp
Xét bài toán
Au = f, (1.21)
trong đó A : H → H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
N chiều H với tích vô hướng (, ) và chuẩn ||y|| =

(y, y).
Giả sử A là toán tử đối xứng, các định dương, f ∈ H là vectơ tùy ý.
trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y
0
bất kỳ thuộc H, người ta đưa
ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2
, , y

k
, của phương trình (1.22). Các
xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2,
Bản chất của những phương pháp này là giá trị y
k+1
có thể được tính
thông qua các giá trị lặp trước : y
k
, y
k+1
,
Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước
nếu xấp xỉ y
k+1
có thể tính được thông qua một hoặc hai giá trị trước đó.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là
B
k
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.22)
Lược đồ (1.23) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình

Au = f với bất kỳ toán tử B
k
và cách chọn tham số θ
k+1
.
+Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.23) được gọi là lược đồ lặp hiển
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.23)
Trong trường hợp θ
k
= θ là hằng số, lược đồ (1.29) còn được gọi là lược
đồ lặp đơn giản.
+ Nếu B
k
= E thì lược đồ lặp (1.23) được gọi là lược đồ ẩn.
Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp
Lược đồ lặp (1.23) với toán tử B
k
= B, tham số θ
k+1
= θ không đổi

(k = 0, 1, 2, ) còn được gọi là lược đồ lặp dừng .
B
y
k+1
− y
k
θ
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, (1.24)
Định lí 1.11 Nếu A là toán tử đối xứng , xác định dương thì
B >
1
2
θA hay (Bx, x) >
1
2
θ(Ax, x), ∀x ∈ H (1.25)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.30) trong không gian H
A
với tốc độ hội tụ cấp số nhân
||z
k+1
||
A
≤ ρ||z
k
||
A
, k = 0, 1, 2, , ρ < 1, (1.26)

trong đó
ρ = (1 −
2θδ
∗
δ
||B||
2
)
1/2
, δ = min
k
λ
k
(A), δ
∗
= min
k
λ
k
(B
0
−
1
2
θA),
B
0
=
B + B
∗

2
là phần đối xứng của toán tử B.
Nhận xét
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Với B
k
= B cố định, định lý đã đưa ra qui tắc lựa chọn giá trị θ để
lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E , điều kiện hội tụ sẽ được
đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn
λ
k
(E −
1
2
θA) = 1 −
1
2
θλ
k
(A) > 0.
hay
1 −
1
2
θ||A|| > 0.
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi θ <
2
||A||
.

Kết luận :
Nội dung chương 1 đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các không
gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và định lý
tồn tai duy nhất nghiệm Lax-Milgram, các bất đẳng thức Poincare , lý
thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. Những kiến thức
quan trọng này làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương
tiếp theo của luận văn.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Phương pháp chia miền giải phương
trình elliptic cấp 2
2.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω
u = ϕ, x ∈ ∂Ω.
(2.1)
trong đó Ω là miền d chiều (d = 2, 3) với biên ∂Ω liên tục Lipschitz, f là
hàm thuộc không gian L
2
(Ω), ϕ là hàm thuộc không gian H
1/2
(∂Ω).
Giả sử miền Ω được chia thành hai miền con không giao nhau Ω
1
, Ω
2
.
Ta kí hiệu: Γ = Ω

1

Ω
2
, Γ
1
= ∂Ω
1
\Γ, Γ
2
= ∂Ω
2
\Γ. Ta cũng giả sử Γ là
biên liên tục Lipschitz (d - 1) chiều.
Hình 2.1:
Kí hiệu u
i
là giá trị của nghiệm u của bài toán (2.1) trong miền Ω
i
, n
i
là hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ω
i

Γ(i = 1, 2).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên