Về một số lớp bất phường trình hàm

Header Page 1 of 145.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


ĐINH THÁNH ĐUA

VỀ MỘT SỐ LỚP
BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Footer Page 1 of 145.


Header Page 2 of 145.
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu
Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 145.


1
Header Page 3 of 145.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với phương trình hàm, bất phương trình hàm là dạng toán
thường có mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và
Olympic toán quốc tế. Đây là những dạng toán thường là rất khó.
Những dạng toán tìm các hàm số thỏa mãn những bất đẳng thức
hàm cho trước được xem là những bài toán giải bất phương trình
hàm.
Lý thuyết và các bài giảng về bất phương trình hàm sẽ được đề
cập sâu hơn ở các giáo trình cơ bản bậc đại học. Tuy nhiên, các tài
liệu về bất phương trình hàm như là một chuyên đề chọn lọc cho
giáo viên và học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông, ngoài tài
liệu [3], vẫn chưa có nhiều, còn chưa được hệ thống theo dạng toán
cũng như phương pháp giải.
Năm 2011, luận văn thạc sĩ [2] (cùng người hướng dẫn khoa học
luận văn này) đã được bảo vệ, chủ yếu đề cập đến một số dạng bất
phương trình hàm cơ bản, tương tự như những dạng phương trình
hàm Cauchy. Nhiều dạng toán tổng hợp khác, liên quan đến bất

phương trình hàm chưa được đề cập. Luận văn [2] cũng chưa khảo
sát các dạng toán liên quan trên tập số nguyên.
Tiếp nối hướng nghiên cứu ấy, luận văn này tiếp tục khai thác
các dạng tổng hợp khác của các bài toán giải bất phương trình hàm.
Các dạng toán liên quan trên tập số nguyên cũng sẽ được luận văn
nghiên cứu. Nhiều phương pháp giải các bài toán khó trong các đề
thi học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế đã được đề cập.

Footer Page 3 of 145.


2
Header Page 4 of 145.
Do đó, đề tài là có cơ sở khoa học và mang tính thực tiễn đối với
chương trình toán học phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán,
phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài sẽ đề cập đến một số lớp bất phương trình hàm trên tập số
thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp dụng của chúng trong
việc giải nhiều dạng toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế. Nhiều dạng toán và các
phương pháp giải khác nhau sẽ được trình bày trong luận văn.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số lớp bất phương trình hàm trên tập số thực và tập số
nguyên.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Từ các tài liệu sưu tầm được, dưới sự định hướng của người

hướng dẫn khoa học, luận văn sẽ đề cập đến một số lớp bất phương
trình hàm trên tập số thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp
dụng của chúng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Với mục đích nghiên cứu nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn
là có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên
ngành Phương pháp Toán sơ cấp.
Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho giáo viên,
học sinh và bạn đọc quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

Footer Page 4 of 145.


3
Header Page 5 of 145.
6. Cấu trúc luận văn
Với mục đích nêu trên, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham khảo theo quy định, nội dung chính của luận văn được chia
thành 3 chương sau đây:
Chương 1: Một số dạng bất phƣơng trình hàm
Nội dung chương này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất
phương trình hàm một biến và nhiều biến tự do, cùng một số định lý
và hệ quả có liên quan, áp dụng cho việc giải các bài tập cụ thể.
Chương 2: Một số hệ bất phƣơng trình hàm dạng tuyến tính
Chương này ta chủ yếu trình bày các định lý và hệ quả liên
quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát của hệ bất phương
trình hàm tuyến tính, từ đó có thể giải được các bài tập cụ thể.
Chương 3: Một số bất phƣơng trình hàm trên tập số nguyên
Nội dung của chương này là trình bày một số bài toán trên tập số
nguyên và các phương pháp giải đặc trưng trên tập số nguyên.

Footer Page 5 of 145.


4
Header Page 6 of 145.

CHƢƠNG 1
MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM
Nội dung chương này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phương
trình hàm nhiều biến tự do và các bài toán về bất phương trình hàm
một biến số.
1.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO
Bài toán 1.1. Xác định các hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
(i)

f ( x  y)  f ( x)  f ( y) , x, y  ;

(ii) f  x   0 , x  .
Bài toán 1.2. Cho trước a  . Xác định các hàm số f  x  thỏa
mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i)

f  x  y   f  x   f  y  , x, y  ;

(ii) f  x   ax , x  .
Bài toán 1.3. Cho trước a  0 . Xác định các hàm số f  x  thỏa
mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i)

f  x  y   f  x  f  y  , x, y  ;

(ii) f  x   a x , x  .
Bài toán 1.4. Xác định các hàm số f : U   thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
(i)

f  x  y   f  x  f  y  , x, y U ;

(ii) f  x   1  x , x U .

Footer Page 6 of 145.


5
Header Page 7 of 145.
Định lí 1.1. Nếu hàm số f : U   thỏa mãn đồng thời các điều
kiện sau
(i)

f  x  y   f  x  f  y  , x, y U ;

(ii) f  x   g  x  , x U ;
trong đó g  x  là hàm số cho trước khả vi tại 0 , g  0   1 ,
g ' 0  k , thì f x  ekx .

 

 

Hệ quả 1.1. Giả sử f : U   thỏa mãn điều kiện (i) với mọi
x, y U . Nếu f khả vi tại 0, f  0   1 và f '  0   k thì
f x  ekx , x U .

 

Hệ quả 1.2. Giả sử F là hàm xác định trên khoảng mở U chứa 0
và thỏa mãn
F  x  y  F  x  F  y

với mọi x, y U sao cho x  y U . Nếu F bị chặn trên bởi một
hàm G khả vi tại 0 và thỏa mãn G  0   1 , thì F  x   kx , x U ,
trong đó k là một hằng số.
Định lí 1.2. Nếu hàm số f : U   thỏa mãn điều kiện sau
f  x  y   f  x  g  y  , x, y U ,

trong đó g  x  là hàm số cho trước khả vi tại 0 , g  0   1 ,

g '  0   k , thì mọi nghiệm của bất phương trình hàm trên đều có
dạng f x  Cekx , C là hằng số.

 

Hệ quả 1.3. Ta có f  x   ekx và g  x   ekx là nghiệm duy nhất
của hệ bất phương trình hàm

Footer Page 7 of 145.

6
Header Page 8 of 145.

 f  x  y   f  x g  y ;


g  x  y   g  x f  y ,

với điều kiện f  0   1 , g  x  là khả vi tại 0, g  0   1 và g '  0   k .
Định nghĩa 1.1. Hàm g ( x) xác định trên một khoảng mở U chứa 0
được gọi là hàm tựa bởi l tại 0 nếu tồn tại một hàm k  x  xác định
trên U sao cho k  0   g  0  , k '  0   l tồn tại và k  x   g  x  với
mọi x U .
Hệ quả 1.4. Bất phương trình hàm
f  x  y  f  x g  y  ,

trong đó g là một hàm cho trước xác định trên I với g  0   1 và là
hàm tựa bởi l tại 0 , có nghiệm không âm f khi và chỉ khi
elx  g  x  trên I và trong trường hợp này mọi nghiệm không âm
đều có dạng f x  Celx , trong đó C  0 là hằng số.

 

Bài toán 1.5. Tìm tất cả các hàm số f  x  , xác định trên khoảng mở

 e ;   , thỏa mãn hệ bất phương trình hàm sau:

 f  x  y   f  x  .log f  y  ;



 f  x   x  e.

Bài toán 1.6. Trên khoảng mở chứa 0 có một nghiệm của hệ bất
phương trình hàm

f  y
;
 f  x  y   f  x  .e

 f  x   x2 .


Footer Page 8 of 145.


7
Header Page 9 of 145.
Định lí 1.3. Xét bất phương trình hàm
f  x  y   f  x  g  y   f  y  g  x  , x, y U ,

trong đó g  x  là một hàm giới nội, khả vi tại 0, g  0   1 và

g '  0   k . Thế thì f  x   0 là hàm số duy nhất thỏa mãn bất

phương trình đã cho, với điều kiện
lim
x 0

f  x
x

 0.

Bài toán 1.7. (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 1998) Chứng minh rằng
không tồn tại hàm số f :    thỏa mãn:
f 2 ( x)  f ( x  y )  f ( x)  y  ,

(1.1)

với mọi cặp số thực dương x, y.
Bài toán 1.8. (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 2008) Tìm tất cả các hàm
f :    thỏa mãn:

f ( x  y 2 )  ( y  1) f ( x) ,

(1.5)

với mọi cặp số thực x, y.
Bài toán 1.9. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2013) Cho hàm số f
xác định trên tập  và nhận giá trị trong tập  thỏa mãn đồng
thời các điều kiện sau:
(i) f ( x) f ( y)  f ( xy) với mọi x, y  ;

(1.8)


(ii) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) với mọi x, y  ;
(iii) tồn tại một số hữu tỉ a  1 sao cho f (a)  a.


Chứng minh rằng f ( x)  x với mọi x  .

Footer Page 9 of 145.

(1.9)
(1.10)


8
Header Page 10 of 145.
Bài toán 1.10. Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn đồng thời
các điều kiện:
(i) f ( x  1)  f ( x)  1 với mọi x ;

(1.13)

(ii) f ( xy)  f ( x) f ( y) với mọi x, y .

(1.14)

Bài toán 1.11. (Olympic Toán Liên Bang Nga, 2000) Tìm tất cả các
hàm số

f :  

thỏa mãn điều kiện

:

f ( x  y)  f ( y  z)  f ( z  x)  3 f ( x  2 y  3z ), x, y, z . (1.18)

Bài toán 1.12. Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn các điều
kiê ̣n sau:
f ( x  y)  f ( x)  f ( y),  x, y ;

(1.21)

f ( x)  f (0),  x .

(1.22)

Bài toán 1.13. (Olympic Toán châu Á Thái Bình Dương, 1994) Tìm
tấ t cả các hàm số f :    thỏa mãn các điều kiện sau:
f ( x)  f ( y)  1  f ( x  y),  x, y ;

(1.23)

f ( x  y)  f ( x)  f ( y),  x, y ;

(1.24)

f ( x)  f (0),  x  (0;1);

(1.25)

f (1)  1; f (1)  1.

(1.26)

Bài toán 1.14. Cho k là số thực dương . Tìm tất cả các hàm số

f :    thỏa mãn điều kiện: Với mọi số thực x, y, z thì

3
.
4k
(1.28)

f ( xy)  f ( yz )  f ( zx)  k[ f ( x) f ( yz )  f ( y) f ( zx)  f ( z ) f ( xy)] 

Footer Page 10 of 145.


9
Header Page 11 of 145.
Bài toán 1.15. (Học sinh giỏi Việt Nam , 1991) Tìm tất cả các hàm
số f :    thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
f ( xy)  f ( xz )  f ( x) f ( yz )  ,  x, y, z   .
2
2
4

(1.31)

Bài toán 1.16. (Toán học và tuổi trẻ số 435 - 2014) Tìm tất cả các
hàm số f , g :    thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
f ( x)  2 g ( x)  g ( y)  4 y,  x, y ;

(1.34)

f ( x) g ( x)  33x2 ,  x  .

(1.35)

Bài toán 1.17. (Cuộc thi toán vùng Flanders nước Bỉ, 1999) Tìm tất
cả các hàm số f , g :    thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) 2 f ( x)  g ( x)  f ( y)  y,  x, y  ;

(1.36)

(ii) f ( x) g ( x)  x  1,  x  .

(1.37)

Bài toán 1.18. Tìm các hàm số f :[0;1]   thỏa mãn điều kiện sau
x  y  f ( x)  f ( y)  x  y ,  x, y [0;1].
2

(1.39)

Bài toán 1.19. (Thi học sinh giỏi Toán Rusia) Tồn tại hay không
hàm số f :    thỏa mãn điều kiện:
f ( x  y)  sin x  sin y  2.

(1.44)

Bài toán 1.20. Gọi X là tập tất cả các số thực lớn hơn 1 . Tìm tất cả
các hàm số f xác định trên tập X sao cho

1

1

f ( x a y b )  ( f ( x)) 4 a ( f ( y)) 4b .

Với mọi x  1, y  1 và mọi số thực dương a, b.

Footer Page 11 of 145.

(1.45)


10
Header Page 12 of 145.

Bài toán 1.21. (Thi học sinh giỏi Trung Quốc, 1993) Cho hàm số
f :    thỏa mãn:
f ( xy)  f ( x) f ( y)

(1.47)

với mọi x, y  0. Chứng minh rằng với mọi x  0 và n  thì
f ( xn )  f ( x) f ( x 2 ) 3 f ( x3 )  n f ( x n ) .

(1.48)

Bài toán 1.22. Tìm tất cả các số a  0 sao cho tồn tại hằng số
K  0 và hàm f :    thỏa mãn:

f ( x)  f ( y )

2

a
 x y
f
K x y .
 2 

Bài toán 1.23. Cho hàm số f :[0;1]   thỏa điều kiện:
(i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) ;  x, y, x  y [0;1] ;
(ii) f ( x)  0,  x [0;1] ;
(iii) f (1)  1.
Chứng minh rằng f ( x)  2 x,  x [0;1].
Bài toán 1.24. Cho số a  1 và hàm số f :    thỏa mãn điều
kiện:
n

1   a k  f ( x  ky )  f ( x  ky )  1, n  * và x, y  .

(1.54)

k 1

Xác định hàm số f ( x).
Bài toán 1.25. Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
(i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y),  x, y ;
(ii) lim

x 0

Footer Page 12 of 145.

f ( x)
 a ( a  0 ), x  .
x

(1.57)
(1.58)


11
Header Page 13 of 145.
Bài toán 1.26. Tìm hàm số f :    thỏa mãn điều kiện sau:
f ( x)  f ( y)  x  y ,  x, y  , k   và k  3 .
2

k

(1.59)

Bài toán 1.27. Tìm các hàm số f , g :    thỏa mãn điều kiện:
f ( y)  f ( x)  g ( x)( x  y)  M x  y

2 a

,

(1.60)

với mọi x, y  và M , a là các số dương.
Bài toán 1.28. Tìm tất cả hàm số f :    thỏa mãn các điều kiện:
(i)

f ( x  y)  f ( x)  f ( y) ,  x, y  ;

(1.63)

(ii)

f ( x)  e  1,  x  .

(1.64)

x

Bài toán 1.29. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f :   
các điều kiện:
(i) f (0)  0 ;

(1.68)

(ii) f ( x  y)  f ( x)  yf ( f ( x)) ,  x, y  .

(1.69)

1.2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ
Bài toán 1.30. (Toán học và tuổi trẻ tháng 6/1995) Tìm các hàm số
liên tục f :[0;1]   thỏa mãn điều kiện:

f ( x)  2 xf ( x 2 ),  x [0;1] .

(1.73)

Bài toán 1.31. Cho hàm số f xác định trên tập số thực  thỏa mãn
điều kiện:
3 f ( x)  3 f ( x) 

9
4

4 
f  x   1,  x   .
3 

Tìm số thực a lớn nhất để có: f ( x)  a,  x  .

Footer Page 13 of 145.

(1.82)


12
Header Page 14 of 145.
Bài toán 1.32. Cho hàm số f :    thỏa mãn:
f ( x)  f (q)  m( x  q)2 , m  * , q   và  x  .

Chứng minh f là hàm hằng.
Bài toán 1.33. Tìm tất cả các hàm số f :[1; )  [1; ) thỏa mãn

các điều kiện:
(i) f ( x)  2(1  x),  x [1; ) ;
(ii) xf (1  x)  f 2 ( x)  1,  x [1; ) .
Bài toán 1.34. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2003)
Đặt F  {f :    f (3x)  f ( f (2 x))  x,  x   } .
Tìm giá trị lớn nhất của  sao cho với mọi f  F ta luôn có
f ( x)   x .
Bài toán 1.35. (Thi học sinh giỏi Belarus, 1997) Cho hàm số
f :    thỏa mãn:

f (2 x)  x  f ( f ( x)),  x  .
Chứng minh rằng f ( x)  x,  x  .
Bài toán 1.36. (Thi học sinh giỏi Trung Quốc, 1998) Cho hàm số
f :    thỏa mãn các điều kiện:
 x
(i) f 2 ( x)  2 x 2 f   ,  x   ;
2
(ii) f ( x)  1,  x  (1;1) .
x2
Chứng minh rằng f ( x)  ,  x   .
2

Footer Page 14 of 145.


13
Header Page 15 of 145.
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM
DẠNG TUYẾN TÍNH

Chương này ta chủ yếu trình bày các định lí, bổ đề và hệ quả liên
quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát, từ đó có thể giải
được các bài tập cụ thể. Các kiến thức trong chương được tham khảo
trong các tài liệu [1], [2], [3].
Ta xét các hệ bất phương trình hàm dạng tuyến tính, với các dạng
tổng quát sau đây:


 f  a  x     f  x  , x  ;
- Dạng 1: 

 f  b  x     f  x  , x  .

 f  a  x    f  x  , x  ;
- Dạng 2: 

 f  b  x    f  x  , x  .


 f  ax     f  x  , x  ;
- Dạng 3: 

 f  bx     f  x  , x  .
 f  ax    f  x  , x  ;

- Dạng 4: 

 f  bx    f  x  , x  .

trong đó a, b,  ,  là các số thực cho trước.

Chú ý rằng, nếu   f  a  ,   f  b  , thì hệ bất phương trình hàm
dạng 1 trở thành bất phương trình hàm Cauchy cổ điển
f  x  y   f  x   f  y  , x, y  .

Trước hết, ta nhắc lại rằng, một tập hợp M trù mật trong tập số
thực  nếu như trong mọi lân cận của một điểm tùy ý của tập 
đều có ít nhất một điểm của tập M . Chẳng hạn, tập  các số hữu tỷ
là tập trù mật trong tập  .

Footer Page 15 of 145.


14
Header Page 16 of 145.
Tính chất sau đây là một kết quả quen thuộc (Định lí Kronecker),
có thể tìm thấy chứng minh ở các tài liệu lý thuyết cơ bản:
“Nếu a và b là các số thực không thông ước với nhau, thì tập
A  ma  nb ; m, n  trù mật trong  ”.
Hơn nữa, ta có thể chứng minh được các kết quả sau đây
Bổ đề 2.1. Giả sử a, b và a  0  b là các số cho trước. Ký hiệu
A  ma  nb ; m, n  .

1) Nếu

b
  , thì tập A trù mật trong  .
a

2) Nếu

b
  , thì tồn tại d  0 sao cho: A  kd ; k  .
a

Bổ đề 2.2. Giả sử a, b và 0  a  1  b là các số cho trước. Ký
hiệu





M  a mbn ; m, n   .

1) Nếu

log b
 , thì tập M trù mật trong  0,  .
log a

2) Nếu

log b
 , thì tồn tại d  0 sao cho: M  d k ; k  .
log a





Định lí 2.1. Giả sử a, b,  ,  là các số thực cho trước thỏa mãn

a0b,


a




b

và giả sử rằng hàm f :    liên tục tại ít nhất một điểm.
1) Nếu

b
  , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm
a

Footer Page 16 of 145.


15
Header Page 17 of 145.

 f  a  x     f  x  , x  ;


 f  b  x     f  x  , x  .
khi và chỉ khi f  x   px  f  0 , x  , trong đó p :

(2.1)


a

.

b
  , thì tồn tại duy nhất một nghiệm là hàm liên tục
a
f :    của hệ phương trình hàm tương ứng

2) Nếu

 f  a  x     f  x  , x  ;



 f  b  x     f  x  , x  .

(2.2)

0,d   f0 , trong đó
d : min ma  nb  0 ; m, n 
tồn tại, là số dương và f0 : 0, d    là hàm liên tục cho trước thỏa
sao cho f

mãn điều kiện
f0  d  



a

d  f0  0 .

Hơn nữa, nếu f 0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f
trên đoạn 0, d  .
Định lí 2.2. Giả sử a, b và  ,   0 là các số cho trước thỏa
mãn
a0b,

log  log 

a
b

và giả sử rằng hàm f :    liên tục tại ít nhất một điểm.
1) Nếu

b
  , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm
a

Footer Page 17 of 145.


16
Header Page 18 of 145.

 f  a  x    f  x  , x  ;



 f  b  x    f  x  , x  .

khi và chỉ khi f  x   f  0  e

px

(2.5)

, x  , trong đó p :

log 
.
a

b
  , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục
a
f :    của hệ phương trình hàm tương ứng

2) Nếu

 f  a  x    f  x  , x  ;



 f  b  x    f  x  , x  .

(2.6)

0,d   f0 , trong đó
d : min ma  nb  0 ; m, n 
tồn tại, là số dương và f0 : 0, d    là hàm liên tục cho trước thỏa
sao cho f

mãn điều kiện
log 
d
f0  d   f0  0 e a
.

Hơn nữa, nếu f 0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f

trên đoạn 0, d  .

Định lí 2.3. Giả sử a, b,  ,  là các số thực cho trước thỏa mãn
0  a 1 b ,


log a




log b

và giả sử rằng hàm f : I   liên tục tại ít nhất một điểm.
1) Nếu

log b

 , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm
log a

Footer Page 18 of 145.


17
Header Page 19 of 145.

 f  ax     f  x  , x  I ;


 f  bx     f  x  , x  I .

(2.8)

thì
i) Trường hợp I   0,   :
f  x   p log x  f 1 , x  0 ,

ii) Trường hợp I   ,0  :
f  x   p log   x   f  1 , x  0 ,



trong đó p :

log a

.

log b
 , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục
log a
f : I   của hệ phương trình hàm tương ứng

2) Nếu


 f  ax     f  x  , x  I ;


 f  bx     f  x  , x  I .

sao cho f

1,d   f0 , trong đó



(2.9)



d : min a mbn  1 ; m, n  

tồn tại, lớn hơn 1 và f0 : 1, d    là hàm liên tục cho trước thỏa
mãn điều kiện
f0  d  


log a

.log d  f 0 1 .

Hơn nữa, nếu f 0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f
trên đoạn 1, d  .

Footer Page 19 of 145.


18
Header Page 20 of 145.
Hệ quả 2.1. Giả sử a, b,  ,   thỏa mãn các giả thiết của Định
lý 2.1, phần 1. Nếu hàm f :  ,0    0,     thỏa mãn hệ bất
đẳng thức (2.8) và trong mỗi khoảng  ,0  ,  0,  tồn tại ít nhất
một điểm mà tại đó hàm f liên tục, thì

 f 1 ,
 p log x
f  x  

 p log   x   f  1 ,

trong đó p :


log a

khi x   0,   ,

khi x   ,0  ,

.

Chú ý 2.1. Giả sử a, b,  ,  là các số thực cho trước thỏa mãn
0  a  1  b và



log a
nào thỏa mãn hệ (2.8).




log b

. Nếu 0  I , thì không tồn tại hàm

Định lí 2.4. Giả sử a, b,  ,  là các số thực cho trước thỏa mãn
a 1 b ,

log  log 

log a log b

và giả sử rằng hàm f : I   liên tục tại ít nhất một điểm.
1) Nếu

log b

 , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm
log a


 f  ax    f  x  , x  I ;


 f  bx    f  x  , x  I .

thì
i) Trường hợp I   0,   :

p
f  x   f 1 x , x  0 ,

ii) Trường hợp I   ,0  :
f  x   f  1  x  p , x  0 ,

Footer Page 20 of 145.

(2.11)


19
Header Page 21 of 145.

trong đó p :

log 
.

log a

log b
 , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục
log a

2) Nếu

f : I   ( I   0,   hoặc I   ,0  ) của hệ phương trình hàm
tương ứng


 f  ax    f  x  , x  I ;


 f  bx    f  x  , x  I .

(2.12)

1,d   f0 , trong đó

sao cho f





d : min a mbn  1 ; m, n  

tồn tại, lớn hơn 1 và f0 : 1, d    là hàm liên tục cho trước thỏa

mãn điều kiện

f 0  d   f 0 1 d

log 
log a

.

Hơn nữa, nếu f 0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f
trên đoạn 1, d  .

Chú ý 2.2. Giả sử a, b,  ,  là các số thực cho trước thỏa mãn
log  log 
0  a  1  b và
. Nếu I   hoặc I  0,   hoặc

log a log b
I   ,0 và f : I   thỏa mãn hệ (2.11), thì f  0   0 .

Chú ý 2.3. i) Giả sử f : 0,     thỏa mãn hệ (2.11). Nếu
f

 0, 

và a, b,  ,  thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lí 2.1,

phần 1, thì

Footer Page 21 of 145.

20
Header Page 22 of 145.

 f 1 x p khi x   0,   ,
f  x    
khi x  0,

0

trong đó p :

log 
.
log a

ii) Giả sử f :  ,0   thỏa mãn hệ (2.11). Nếu f

 ,0 

và

a, b,  ,  thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lí 2.1, phần 1, thì


 f 1  x p khi x   ,0  ,
f  x      
khi x  0,


0

trong đó p :

log 
.
log a

Hệ quả 2.2. Giả sử a, b,  ,   thỏa mãn các giả thiết của Định
lí 2.1, phần 1.
i) Nếu hàm f :  ,0    0,     thỏa mãn hệ bất đẳng thức
(2.11) và trong mỗi khoảng  ,0  ,  0,  tồn tại ít nhất một điểm
mà tại đó hàm f liên tục, thì
f 1 xp
khi x   0,   ,
  
f  x  
p

 f  1  x  khi x   ,0  ,

trong đó p :

log 
log a

.

ii) Nếu hàm f :    thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.11) và trong
mỗi khoảng  ,0  và  0,  tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó hàm

f liên tục, thì

Footer Page 22 of 145.


21
Header Page 23 of 145.
f 1 xp
khi x   0,   ,
  

f  x   0
khi x  0,

p
 f  1  x  khi x   ,0  ,

trong đó p :

log 
log a

.

Chú ý 2.4. Ta luôn có các định lí tương tự như các Định lí 2.1- Định
lí 2.4, với hàm f thỏa mãn các bất đẳng thức có dấu ngược lại.

Footer Page 23 of 145.

22
Header Page 24 of 145.
CHƢƠNG 3
MỘT SỐ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
Bất phương trình hàm trên tập số nguyên là những dạng toán rất
khó, thường gặp trong các kì thi Olympic toán quốc tế. Lý do là, các
phương pháp thông thường như sử dụng giới hạn hàm số, dãy
số,…thường không thể giải được bài toán. Phương pháp giải bất
phương trình hàm loại này thường là bất quy tắc, chủ yếu sử dụng
tính quy nạp và một số phương pháp giải mang tính đặc trưng trên
tập số nguyên. Dưới đây là một số bài toán minh họa cho một số
phương pháp đó.
Bài toán 3.1. Với mỗi hàm g :    , g (1)  1 cho trước, chứng
minh rằng luôn tồn tại hàm số f :    thỏa mãn
f (n)  g (n)

với mọi n  và
f (mn)  f (m) f (n)

với mọi cặp số nguyên dương m, n nguyên tố cùng nhau.
Bài toán 3.2. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 1977) Cho hàm số
f : *  * thỏa mãn điều kiện sau:
f ( f (n))  f (n  1), n * .

Chứng minh rằng: f (n)  n, n * .

Footer Page 24 of 145.

(3.1)

23
Header Page 25 of 145.
Bài toán 3.3. Tìm hàm f : *  * sao cho:

k  , k  2 : f (n  1)  f k (n), n  * .

(3.6)

với f k (n)  f ( f ...( f (n))...) với k lần f .
Bài toán 3.4. Tìm tất cả các hàm số f : *  * thỏa mãn:

f ( xy)  f ( xz)  f ( x) f ( yz)  1,  x, y, z * .

(3.10)

Bài toán 3.5. Tìm tất cả các hàm số f : *  * thỏa mãn:
i) f (2)  2 ;
ii) f (mn)  f (m) f (n), m, n * thỏa mãn (m, n)  1 ;
iii) f (m)  f (n) với mọi m  n.
Bài toán 3.6. Cho D  {1,2,3,...,2010} . Hàm số f : D   thỏa
mãn với mọi m, n  D mà m  n  2010 thì

f (m)  f (n)  f (m  n)  f (m)  f (n)  1.
Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho với mỗi n  D, thì

f (n)  [nx], (với [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a ).

Footer Page 25 of 145.