cac dang bai tap ve the tich khoi da dien

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A.LÝ THUYẾT
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a. Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c là 3 kích thước của khối hộp
chữ nhật
b. Thể tích khối chóp : V = Sđáy. h. Với h là chiều cao của khối chóp
c. Thể tích của khối lăng trụ V = Sđáy. h; h là chiều cao của khối lăng trụ
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
* PHƯƠNG PHÁP: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể
+ Áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+ Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được tích
bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích.
* CÁC BÀI TẬP
Về thể tích của khối chóp
+ Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp
dụng công thức V = Sđáy. h
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
a. Cạnh đáy bằng a, góc ̂ = 600
b. AB = a, SA = 1
c. SA = 1, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ỏ
Giải

a. Gọi O là tâm tam giác ABC đều

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1

SABC = a.

√

=

√

Tam giác ABC có SA = SB; ̂ = 600
SA = AB = SB =a
SO OA (vì SO (ABC)) tam giác vuông SOA có
√

SO2 = SA2 – OA2 = a2 – (

)2 = a 2 –

=

SO = a √
Vậy VSABC = sABC. SO = .

√

.a√ .√

b. Tương tự câu a đáp số : VSABC = .

√

.a√ .√

c. Gọi O là tâm tam giác ABC, Gọi A’ là trung điểm của BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = ̂ = o’
Tam giác vuông SOA có SO2 = 12 – OA2 = 12 – AA’2
Tam giác vuông SOA’ có sin =

.sin = l2

SO =

AA’2 (sin2o’ + 4) = 9l2
AA’ = √
SABC = AA’. BC = . √
SO = . √

.

√ √

=

√

. sin = √

VSABC = . SABC. SO =

√

√

Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, tam giác ABC vuông tại A, AB
= a, AC = a√ . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC
theo a

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Giải

Gọi H là trung điểm của BC suy ra A’H

(ABC) (gt)

2

Ta có SABC = AB. AC = . a . √
Vì A’H

(ABC)

A’H

AH

Tam giác vuông A’HA có A’H2 = A’A2 – AH2 = (2a)2 - .(a2 + 3a2)
Hay A’H2 = 4a2 – a2 = 3a2

A’H = a√

VA’ABC = . SABC. A’H = . . a2. √ a√ =
Bài 3: Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông cân
có AB = BC = a, B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC
a. Tính VSABC
b. Chứng minh rằng AB (AB’C’). Tính VSAB’C’
Giải
a. SABC = . BA . BC =
VSABC = . SABC. SA =

2

; SA = a
3

b. Tam giác SAB có AB = SA = a

tam giác SAB cân tại A và B’S = B’B(1)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


{

(SAB)

BC

(SAC)

{

AB’

Kết hợp (1)(2)

AB’ (2)
SC

(AB’C’)

Cách 1:
AB’ = SB = . √
Vì AB’

(SBC)

SC’ =

=

=

√

B’C’; SC = √

AB’

=√ a

√

B’C’2 = SB’2 – SC’2 =
SABC = AB.BC = .
VAB’C’ = .

B’C’ =
√

.

√

=

√

√

. =

Cách 2:
√

=

√

=
VSA’B’C’ = .

=
=

√

√

a3 =

Bài 4: Hình chóp SABC có SA (ABC). Tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của
BC, AD = a , (SB,(ABC)) = ỏ; (SB,(SAD)) = õ. Tính VSABC
Giải

Dễ thấy (SB,(ABC)) = ỏ = ̂
(SB,(SAD)) = õ = ̂

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Tam giác ABC cân; DB = DC
SAB Có cos ỏ =

BC

(1)

{

BC

Tam giác vuông SB có sin õ =
Từ (1)(2)

AD

=

AB2 (

=

(SAD)
(2)

√

=

-a2

SSAB = BD.AD =

SD

.a2.

AB = √

. AD.AB =

.

=

√

√

Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng
một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với A trên Ax, điểm N không trùng với
C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.
Giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD
}

Ta có
BI =

=

BD

(AMNC)

BI

(AMNC)

√
√

Diện tích AMNC là S =
Vậy VAMNC= . SAMNC . BI = .

√

.

√

=

(m+n)

* Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân
đường cao trên đáy

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5

Ta có một số nhận xét sau:
- Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân
đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt
bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
- Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình
chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
- Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối
chóp sẽ song song hoặc nằm trên đường thẳng đó.
- Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt
phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh
vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
* Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp
Bài 6: SABCD có đáy là tam giác cân tại A, BC = a, ̂ = ỏ, các cạnh bên nghiêng trên
đáy một góc ỏ. Tính VSABC.
Giải

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Ta có ABC = AB.AC.sin
Mà BC2 = 2AB2 – 2AB2 cos ỏ = 2AB2(1-cos ỏ) = a2
SABC = . AB2. Sin = .
HA = R =

.

=

AB = a√

. cos

=

Tam giác vuông có tan ỏ =

SH =

tan =

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


VSABC = SABC. SH = .

. cos .

=

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = √ và góc giữa 2 đường chéo
= 600, các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 450. Tính VSABCD
Giải

Hạ SO (ABCD)
Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy suy ra O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh
A, B, C, D suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD
Đặt AC = BD = x

√

√

Ta có ShcnABCD = AC. BD . sin600 = . x2. = x2
x =3
(SA,(ABCD)) = (SA, AO) = ̂ = 450 = ̂ = (SC,(ABCD))

ASC vuông cân tại S

√

VSABCD = . √ .1 =
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a, ̂ = 600; ̂ = 900; ̂ = 1200
a. Chứng minh rằng ABC vuông
b. Tính VSABC
Giải
SO = AC = 1

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


a.
{̂

AB = a

Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

Tam giác SAC có AC2 = a2 + a2 – 2a2 cos 1200 = 2a2 – 2a2 (- ) = 3a2
Tam giác có AC2 = AB2 + BC2
Tam giác ABC vuông tại B
b. Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL
HA = HB = HC; tam giác ABC vuông tại B
điểm AC
Tam giác vuông SHB có SB = a; BH =
SH2 = SB2 – BH2 =

√

SH =

(Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều
VSABC = SABC. SH =

=

H là trung

SH =

= )

AB.BC.SH = a. a√ .

√

=

√

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 900. Tam giác
SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = √ . Tính thể tích khối chóp SABCD
Đáp số: VSABCD =

√

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a.
Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


Hạ SH (ABCD), H (ABCD)
Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là tâm
đường tròn nội tiếp đáy.
Gọi K là hình chiếu của H lên AD
Ta có HK =

=a

Tam giác vuông SHK có HK = a; SK = 2a

√

= a√ (vì SAD đều)

SH = √
= a√
Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC = 5a
SABCD =

=

= 5a2

VSABCD = SABCD. SH = . 5a2 . √ =

√

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a√ ;
(SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


{

SH

(ABCD)

SBMDN = SABCD = . 2a. 2a = 2a2

SCDN = SMDA = sABCD

SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2
+

=

+

(BMDN)

=

SAB vuông tại S
SH =

VSBMDN = sBMDN . SH = . 2a2 .

√

√

=

√

Bài 12: SABCD có ABCD là hình thang với AB = BC = CD =

AD. Tam giác SBD

vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB = 8a, SD = 15a.
Giải

Trong
Tam giác vuông SBD có

}

SH

(ABCD)

+

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Hay

hay SH = √

+

a=

Vì hình thang có AB = BC = CD = AD

a
̂ = ̂ = 600, ̂ = ̂ = 1200

Tam giác SBD có BD2 = SB2 + SD2 = 289a2

BD = 17 a

CBD có BD2 = 2BC2 (1+ ) = 3 BC2 = 289a2

BC =

SABCD = BC2 sin 1200 = .
√

SABCD = 3SABC =

a2 .

√

=

√

a

√

VSABCD = . SABCD . SH = .

√

.

= 170 √ a3

Bài 13: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Tam giác SAB có SA = a, ̂ = 2 ỏ và nằm trong
mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Giải

Trong
}

}

H là trung điểm CD

SH

(ABCD)

Gọi K là trung điểm AB ta có HK AB; AB SH (vì SH (ABD))
AB (SKH)
AB SK
SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB, (SCD)) = ̂ = ỏ
Tam giác SAB có Sk = a cos ỏ; AB = 2AK = 2a. sin ỏ
SHK vuông tại H có SH = SK. Cos ỏ = a cos2 ỏ

KH = SK. sin ỏ = a sin ỏ cos ỏ. SABCD = AB. BC = 2a sin ỏ a sinỏ cosỏ
= 2a. 2 sin2ỏ cosỏ
VSABCD =

. SABCD = a3. sin2 ỏ

Bài 14: Hình chop SABCD có tam giác ABC vuông tại B,
= a, SA = a√ , M là trung điểm SB. Tính VMABC
Giải

̂

; ̂ = 600. BC

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


Cách 1: SA (ABC). Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H suy ra MH
Vì M là trung điểm SB
MH = . SA =

(ABC)

. SABC = AB. AC = . a tan 600 = a2 √

VMABC = SABC = . a2 √ .

√

=

Cách 2:
=

= , VMABC = VSABC

Mà VSABC = SA. SABC = a√ . a2 √ =

a3 √

VMABC = a3
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√ , SA =
a, SA

(ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC. {I} = BM

AC.

Tính thể tích hình chóp ANIB
Giải
{ }

}

ON

ON (AIB)

Ta có NO = SA =
ABD có I là trọng tâm suy ra SABI = SABO = . . SABCD = a.a√ =

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


SANIB = . NO. SAIB = . .

√

√

Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)

(ABCD)

, tam giác SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Tính thể tích
hình chóp CMNP.
Giải

Gọi E là trung điểm AD. (CNP)

(ABCD)

}

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD)

Ta có MF = SE = .

√

=

MF

// SE. Dễ thấy F

√

SCNP = SCBD = SABCD = . a2
VCMNP =

SNCP = . . a2.

√

=

√

Nhận xét: có thể dùng phương pháp tọa độ để giải với gốc tọa độ O
Ox
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng
chiều cao bằng a. trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B sao
cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB.
Giải

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’. H là hình chiếu của B trên
A’D
Ta có

}

BH

(AOO’A’)

BH là đường cao của tứ diện BAOO’

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


SAOO’ =

, A’B = √

= a√

Tam giác A’BD vuông ở B suy ra BD = a
√

Tam giác O’BD đều suy ra BH =

√

VBAOO’ = . BH . SAOO’ =

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a; AD = 2a, SA
(ABCD), (SA, (ABCD)) = 600. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =

√

. (BCM)

SD =

{N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
Ta có ̂ = 600. Tam giác SAB vuông tại A có AM =

̂ = 300. Kẻ SH

√

; AB = a

BM thì SH là đường cao của hình chóp S.BCMN

Ta có SH = SB sin 300 = a
BC // (SAD)

MN // BC

=

SBCMN = (MN + BC)BM =
VSBCMN = . SH. SBCMN =

MN =

√
√

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang, ̂
AB = BC = a; AD = 20; SA

̂

;

(ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm của

SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15

S.BCNM.
Giải
Ta có BC // AD; BC = AD; MN // AD ; MN = AD
BC

AB; BC

SA

BC

BC = MN; BC // MN (1)

(SAB) BCAM (2)

Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH

BM ; SH

(BCNM)

VSBCNM = SBCNM . SH = . BC. NM. SH =
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông; AB = AC = a, AA1 = a√ . M là
trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1.
Hướng dẫn:
+ Chọn mặt đáy tích hợp

V=

√

+ Có thể dùng cả phương pháp tọa độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1
a. Tính thể tích tứ diện theo x
b. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16


Cách 1: Gọi H là hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1
tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại H CC’ với C’ là trung điểm AB
SABC = CC’. AB = . √

.x =

√

.x

Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2 – DC2 = 1HD = √

VABCD = SABC. HD = .

H là tâm đường

=
√

√

.x. √

=

√

Cách 2:

Gọi M là trung điểm CD

CD

Vì tam giác ACD và ABCD đều

ABM
AM = BM =

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17

VABCD = 2 VCBMA = 2. . CM. SABC = . . SABM
SABM = . MC’. AB = . x √
VABCD = . √
b. SACD =

√

c. VABCD =

=

√

= √

√

.x

d(B, (ACD)) =
√

Dấu “=” xảy ra

.x

√

√

.x

.

x2 = 3 – x2

x = √ và thể tích lớn nhất là

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt đáy ABCD và SA = h. Điểm M thuộc cạnh CD. Đặt CM = x, Hạ SH vuông góc với
BM. Tính thể tích khối tứ diện SABH. Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
Giải

Ta có BM

SH (gt); BM

SA (vì SA

(ABCD)

BM

AH

SABM = . SABCD = . a2
Mà SABM = . AH. BM

AH =

=√

Tam giác SAH vuông ở A có SH = √

=√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18


=√

Tam giác BAH vuông ở H có BH = √

-√

SABH = AH. BH = . √
VSABH = . SABH. SA = . √

.

=

a3 h

Dấu bằng xảy ra khi a = x tức M trùng D
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy

ABC và SA = a. Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng . Hạ SH vuông góc với
CM.
a. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b. Hạ AI vuông góc với SC, AK vuông góc với SH. Tính thể tích khối tứ diện SAKI.
Đáp số: a. Vmax =

; b. VSAKI =

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối một bằng nhau AB = CD = a; AC = BD
= b; AD = BC = c. Tính thể tích ABCD
Giải

+ Dựng tam giác PQR sao cho B, C, H là trung điểm của PQ; QR, PR
SDCR = SBCQ = SPDB = SPQB

SABCD = . SPQR

AD = BC = PR; H là trung điểm PR suy ra AH
Tương tự AP

AQ; AQ

AP

AR

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

19

VAPQR = . SPQR. AR
Bài 26: VABCD =

.

AD. BC. MN. Sin ỏ. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của

đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, ỏ =(AD, BC)
Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều
bằng ỏ. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC.
Giải

Dễ thấy tam giác SAB, CAB là các tam giác cân tại S và C
}

Gọi E là trung điểm của AB

AB

(SCE)

VSABC = VASEC + VBSEC = . SSEC(AE + BE) = . SSEC. AB
Tam giác SEC cân tại E vì ES = EC (tam giác SAB = tam giác ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC

EF

SC

Tam giác SBC cân tại B vì BC = BS (vì tam giác SAB = tam giác CAB (g.c.g)); FS = FC
FBC =
Tam giác vuông EBC có CE = . tan
Tam giác vuông FBC có BC = √

=(

=

=

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

20


sin =

FC = BC. sin =

. sin

Tam giác vuông EFC có EF2 = EC2 – FC2
=

tan2

S
SEC

= . EF. SC = È.FC =

=
VSABC =

.

=

-

(
.√

.

.

.√
.

.√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

21