Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực

Header Page 1 of 145.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


NGUYỄN HẠ VY

PHƢƠNG PHÁP GIẢI
VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN
VỀ DÃY SỐ THỰC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Footer Page 1 of 145.


Header Page 2 of 145.
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 145.


1

Header Page 3 of 145.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dãy số là một phần cơ bản của giải tích toán học, các vấn đề
cơ bản về dãy số bao gồm: khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn của
dãy, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy.
Một trong những yêu cầu của đề thi học sinh giỏi các cấp là
các câu hỏi trong đề thi phải mới, không được lấy ở bất kỳ nguồn
tài liệu nào. Vì thế kỹ năng sáng tạo các bài toán mới về dãy số
cũng là một yêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên.
Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và sáng tạo
các bài toán về dãy số, tôi quyết định chọn đề tài : “Phương pháp
giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực” cho luận văn thạc sĩ
của mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tổng hợp, sắp xếp lại lý thuyết và các phương pháp

giải các bài toán về dãy số. Luận văn cũng tập trung vào nghiên
cứu một số cách thức sáng tạo ra các bài toán về dãy số.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, các phương pháp giải và
sáng tạo các bài toán về dãy số thực.

4. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy
số thực” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau :

Footer Page 3 of 145.


2

Header Page 4 of 145.
+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.
+ Áp dụng các phương pháp giải đã có trong bài toán về dãy.
+ Sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên bài toán gốc.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn. Có thể sử dụng
làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên giảng
dạy toán và các đối tượng quan tâm đến các bài toán dãy số.

6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn
được chia thành ba chương, trong đó:
Chương 1: Trình bày sơ lược các kiến thức bổ trợ về dãy số,

tính đơn diệu, tính bị chặn của dãy số, sự hội tụ của dãy số, khái
niệm về sai phân, phương trình sai phân.
Chương 2: Trình bày các phương pháp giải các bài toán tìm
số hạng tổng quát của dãy, các bài toán về tính đơn điệu, tính bị
chặn của dãy số, các bài toán chứng minh sự hội tụ và tìm giới
hạn của dãy số.
Chương 3: Trình bày một số phương pháp sáng tạo ra các bài
toán mới như: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quát
hóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp khảo sát tính đơn
điệu của hàm số.
Cùng với sự hướng dẫn của Thầy giáo TS. Phạm Quý Mười, tôi đã
chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC" cho luận văn thạc sĩ của mình.

Footer Page 4 of 145.


3

Header Page 5 of 145.
CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC
Trong chương này, trình bày các khái niệm cơ bản về dãy số,
dãy đơn điệu, dãy bị chặn, giới hạn của dãy, các tính chất liên quan
đến giới hạn dãy số, một số dãy đặc biệt và sơ lược về phương trình
sai phân.

1.1. DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN
Định lý 1.1. Cho f : I → I là một ánh xạ, xét dãy số un+1 =

f (un ) , n ∈ N.

1) Trường hợp f tăng trên I
- Nếu u0
un

n∈N

u1 thì un

n∈N

là dãy tăng, nếu u0

u1 thì

là dãy tăng, nếu u0

u2 thì

là dãy tăng, nếu u1

u3 thì

là dãy giảm.

2) Trường hợp f giảm trên I
- Nếu u0
u2n

n∈N

n∈N

là dãy giảm.

- Nếu u1
u2n+1

u2 thì u2n

n∈N

u3 thì u2n+1

n∈N

là dãy giảm.

1.2. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Định lý 1.2. Cho dãy số un

n∈N

. Khi đó,

1) Nếu un

n∈N

hội tụ đến l1 và hội tụ đến l2 thì l1 = l2 .

2) Nếu un

n∈N

hội tụ đến l thì mọi dãy con trích từ un

n∈N

cũng hội tụ đến l.
3) Dãy un

n∈N

hội tụ đến l.

Footer Page 5 of 145.

hội tụ đến l khi và chỉ khi u2n

n∈N

và u2n+1

n∈N


4

Header Page 6 of 145.
Định lý 1.3. (Định lý Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Nhận xét
Cho dãy số un+1 = f (un ) , n ∈ N. Nếu f liên tục trên I và
lim un = l thì f (l) = l.

n→+∞

1.3. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
1.4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
1.4.1. Sai phân
1.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.4.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
Định nghĩa 1.11. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
là phương trình sai phân dạng:
u1 = α, aun+1 + bun = f (n) , n ∈ N∗ ,

(1.4)

trong đó α, a = 0, b = 0 là các hằng số và f (n) là biểu thức của n
cho trước.

1.4.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai
Định nghĩa 1.12. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
là phương trình sai phân dạng:
u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n) , n ∈ N∗ ,

(1.5)

trong đó a, b, c, λ, β là các hằng số, a = 0, c = 0 và f (n) là biểu
thức của n cho trước.

Footer Page 6 of 145.


5

Header Page 7 of 145.
CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trong chương này trình bày một số phương pháp giải các bài
toán về dãy số: xét tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh sự hội
tụ và tìm giới hạn của dãy số.

2.1. TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2.1.1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát và
chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Ví dụ 2.1.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:
1
u1 = ,
2
un = 2u2n−1 − 1, n ∈ N, n

2.

Ví dụ 2.1.6. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:
1
u1 = ,
2
un = 4u3n−1 + 3un−1 , n ∈ N, n

2.

2.1.2. Sử dụng phương trình sai phân để tìm số
hạng tổng quát
Ví dụ 2.1.9. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) biết:
u1 = 1,
un = un−1 − 2n + 5, n

2, n ∈ N.

(2.9)

Ví dụ 2.1.11. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) biết:
u1 = −2,
un = 3un−1 − 5.3n , n

Footer Page 7 of 145.

2, n ∈ N.

(2.11)


6

Header Page 8 of 145.
Ví dụ 2.1.16. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) , biết:
u0 = 8, u1 = 145,
un − 11un−1 + 28un−2 = 6.7n , n ∈ N, n

2.

(2.16)

2.1.3. Sử dụng dãy số phụ để tìm số hạng tổng
quát
Ví dụ 2.1.19. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ), biết:
x0 = 2,
xn+1 =

2xn + 1
, n ∈ N.
xn + 2

(2.19)

2.2. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦA
DÃY SỐ
2.2.1. Sử dụng phương pháp quy nạp để xét tính
đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
Ví dụ 2.2.2. Cho dãy số (an ) , biết:
a1 = 1, a√2 = 2, √
an+1 = an−1 + an , n

2, n ∈ N. .

Chứng minh rằng (an ) bị chặn và tăng ngặt.

2.2.2. Dựa vào số hạng tổng quát để xét tính đơn
điệu, tính bị chặn của dãy số
Ví dụ 2.2.6. Cho dãy số (xn ) , biết:
x0 = 2
xn+1 =

2xn + 1
, n ∈ N.
xn + 2

Chứng minh rằng (xn ) giảm và bị chặn.

Footer Page 8 of 145.

(2.27)


7

Header Page 9 of 145.
2.2.3. Sử dụng phương pháp hàm số để xét tính
đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
Ví dụ 2.2.8. Cho dãy số (un ) biết: un =

ln n
, n ∈ N∗ .

n

Chứng minh rằng (un ) giảm.
Ví dụ 2.2.10. Cho dãy số (un ) , biết:
u1 = 1
un+1 =

2 + un
, n ∈ N∗ . .
1 + un

Chứng minh rằng u2n−1 tăng, u2n giảm, (un ) bị chặn.

2.3. CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ VÀ TÍNH GIỚI
HẠN CỦA DÃY SỐ
2.3.1. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
Ví dụ 2.3.2. (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1988)
Cho (un ) là dãy bị chặn, thỏa: 2un+2

un+1 + un , n ∈ N∗ .

Dãy (un ) có nhất thiết hội tụ không ?.

2.3.2. Xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn
Ví dụ 2.3.7. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh 2013)
Cho dãy số (an ), tìm lim an , biết:
3
4
(n + 2)2 an = n2 an+1 − (n + 1) an .an+1 , n ∈ N∗ .

a1 =

Footer Page 9 of 145.


8

Header Page 10 of 145.
2.3.3. Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minh
dãy số có giới hạn
Ví dụ 2.3.9. Cho (xn ) biết:
3
x1 =
2
√
xn = 3xn−1 − 2, n = 2, 3, ...

(2.31)

Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn khi n → +∞, tìm giới hạn đó.
√
Giải Xét hàm số f (x) = 3x − 2.
3
3
; +∞ .
Ta có: f (x) = √
> 0, ∀x ∈
2
2 3x − 2
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: f : (1; 2) → (1; 2) và f (x) đồng
biến trên (1; 2).
3
5
Mà x1 = , x2 =
∈ (1; 2), x1 < x2 , nên dãy (xn ) tăng.
2
2
Và x1 ∈ (1; 2) nên xn = f (xn−1 ) ∈ (1; 2), n = 2, 3, ....
Vậy (xn ) bị chặn. Suy ra (xn ) hội tụ.
Giả sử lim xn = L, cho n → +∞ trong biểu thức (2.31) ta có:
√
L=1
L = 3L − 2. Ta được : L = 2 .
3
Vì dãy (xn ) tăng nên L ∈
; 2 . Vậy lim xn = 2.
2

Footer Page 10 of 145.


9

Header Page 11 of 145.
CHƯƠNG 3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SÁNG TẠO
CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

3.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT HÓA
3.1.1. Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp một
Từ phương trình sai phân cấp một: un = aun−1 + f (n) , n ∈
N∗ ,

ta cho u1 , a các giá trị cụ thể, f (n) là hàm số cụ thể ta được

các bài toán khác nhau.
Ví dụ 3.1.2. Cho u1 = 2, a = 1, f (n) = 3n ta có bài toán
sau:
Cho dãy số (un ) biết:
u1 = 2
un = un−1 + 3n , n ≥ 2, n ∈ N∗ .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ).
un+1
b) Tính lim
.
n→+∞ un
Ví dụ 3.1.3. Cho u1 = 2016, a = 1, f (n) =

(3.2)

1
ta có
n (n + 2)

bài toán sau:
Cho dãy số (un ) biết:
u1 = 2016

un+1 = un +

1
, n ∈ N∗ .
n (n + 2)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ).

Footer Page 11 of 145.

(3.3)


10

Header Page 12 of 145.
3.1.2. Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp hai
Từ phương trình sai phân cấp hai: a.un+2 + b.un+1 + c.un =
f (n) , n ∈ N∗ , ta cho u1 , u2 , a, b, c các giá trị cụ thể, f (n) là hàm

số cụ thể ta được các bài toán khác nhau.
Ví dụ 3.1.8. Cho u1 = 2, u2 = −1, a = 1, b = −2,
c = −4, f (n) = 0 ta được bài toán sau:

Cho dãy số (un ) biết:
u1 = 2, u2 = −1
un − 2un−1 − 4un−2 = 0, n

(3.8)

3, n ∈ N.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ).
Ta thấy rằng (un ) là dãy số nguyên nên từ ví dụ 3.1.8 ta có bài
toán sau:
Ví dụ 3.1.9. Cho dãy số (xn ) biết:
√
√
√ n 25 + 13 5
√
−25 + 13 5
xn =
1+ 5 −
1− 5
40
40

n

, n ∈ N∗ .

(3.9)

Chứng minh rằng dãy (xn ) là dãy số nguyên.

3.2. PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA
Ví dụ 3.2.2. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2015)
Cho dãy số (un ) biết:
u1 = 2
un+1 =

√
1
un + 2 4un + 1 + 2 , n ∈ N∗ .
9

(3.12)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ).
Trong quá trình giải ví dụ 3.2.2 ta biến đổi biểu thức truy hồi đề
cho về dạng:
2

aun+1 + b = α

Footer Page 12 of 145.

aun + b + β

, α > 0.

(3.13)


11

Header Page 13 of 145.
√
Biến đổi (3.13) ta được un+1 = α1 .un + α2 aun + b + α3 ,
2αβ

αb + αβ 2 − b
với α1 = α; α2 =
; α3 =
.
a
a
Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.2.2. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = c
√
un+1 = α1 .un + α2 aun + b + α3 , n ∈ N∗ .

Với α1 = α > 0; α2 =

2αβ
αb + αβ 2 − b
; α3 =
, ac+b
a
a

(3.14)

0, a, b, c, α, β

là số thực bất kỳ.
Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ).
Ví dụ 3.2.3. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội
2015)

Cho dãy số (un ) biết:
u1 = 4
un+1 = 2un +

3u2n + 1, n ∈ N∗ .

(3.15)

a) Chứng minh rằng un+2 = 4un+1 − un , n ∈ N∗ .
b) Chứng minh rằng u2015 chia hết cho 5.
Trong quá trình giải ví dụ 3.2.3 ta thấy bài toán được giải quyết
khi hệ số của u2n bằng 1.
Vậy ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.2.3. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 = aun +

với a > 1, a2 − b = 1, bα2 + c

bu2n + c, n ∈ N∗ .

0, a, b, c, α là số thực bất kỳ.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ).

Footer Page 13 of 145.

(3.17)

12

Header Page 14 of 145.
Ví dụ 3.2.5. (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ T8/298)
Cho dãy số (xn ) biết:


 x0 = 1, x1 = 1
2
xn+1 .xn

, n ∈ N∗ .
 xn+2 =
2002xn+1 + 2001xn + 2000xn+1 xn

(3.19)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).
Từ ví dụ 3.2.5 ta thấy rằng từ phương trình sai phân cấp 2 đặt:
un =

1
, n ∈ N∗ .
xn

Ta có:
aun + bun−1 + cun−2 = f (n)
b
c
a

+
+
= f (n)
⇔
xn xn−1 xn−2
axn−1 xn−2
⇔xn =
,n
f (n) xn−1 xn−2 − bxn−2 − cxn−1

3, n ∈ N.

Ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.2.5. Cho dãy số (xn ) biết:
x1 = α, x2 = β
axn−1 xn−2
xn =
,n
f (n) xn−1 xn−2 − bxn−2 − cxn−1

3, n ∈ N.

(3.20)
Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).

3.3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT DÃY SỐ PHỤ
3.3.1. Từ cấp số nhân
Cho (un ) là một cấp số nhân với u1 và công bội q. Ta có:
un = qun−1 , n ∈ N∗

Footer Page 14 of 145.


13

Header Page 15 of 145.
Ta đặt un = vn + c, n ∈ N∗ ta được dãy: vn = qvn−1 + p, n ∈ N∗ .
Nhưng dãy này chưa mới, đó là phương trình sai phân cấp 1 ta đã
1
có phương pháp giải. Tiếp tục đặt vn =
, n ∈ N∗ , ta được:
xn
xn =

xn−1
, n ∈ N∗ .
pxn−1 + q

(3.21)

Ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.3.1. Cho dãy số (xn ) biết:
x1 = α, α = 0
xn−1
xn =
,n
cxn−1 + d

2, n ∈ N.

(3.22)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).
Phương pháp giải
Vì x1 = α, α = 0 nên xn = 0, n ∈ N∗ .
xn−1
1
d
Từ đó ta có: xn =
⇔
=c+
, n 2, n ∈ N.
cxn−1 + d
xn
xn−1
1
1
, n ∈ N∗ , ta được: vn = dvn−1 +c, n ∈ N∗ , với v1 = .
Đặt vn =
xn
α
Dãy (vn ) có dạng phương trình sai phân cấp 1 ta đã biết cách giải.
Tiếp tục đặt xn = yn + λ, n ∈ N∗ , ta có:
xn =

xn−1
yn−1 + λ
⇔ yn + λ =
pxn−1 + q
p (yn−1 + λ) + q

yn−1 (1 − pλ) − λ2 p + λq + λ
⇔ yn =
.
pyn−1 + λp + q

Đặt a = 1 − pλ, b = −λ2 p + λq + λ, c = p, d = λp + q , ta có:
yn =

ayn−1 + b
, n ∈ N∗ .
cyn−1 + d

(3.23)

Như vậy vấn đề đặt ra ở đây là khi cho dãy số có công thức truy
hồi dạng (3.23) làm sao để đưa về dạng (3.21). Từ (3.21) ta đặt

Footer Page 15 of 145.


14

Header Page 16 of 145.
xn = yn + λ, n ∈ N∗ ta được (3.23) nên muốn từ (3.23) đưa về

(3.21) ta chỉ cần đặt ngược lại: yn = xn − λ = xn + α, n ∈ N∗ .
Đặt yn = xn + α, n ∈ N∗ thay vào (3.23) ta có:
xn +α =

a (xn + α) + b

(a − αc) xn − cα2 + (a − d) α + b
⇔ xn =
.
c (xn + α) + d
c (xn + α) + d

Muốn đưa về được (3.21), chọn α thỏa −cα2 + (a − d) α + b = 0.
Để phương trình trên có nghiệm thì (a − d)2 + 4bc ≥ 0.
Ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.3.2. Cho dãy số (yn ) biết:
y1 = α
ayn−1 + b
yn =
,n
cyn−1 + d

2, n ∈ N.

(3.24)

Trong đó (a − d)2 + 4bc ≥ 0.
Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn ).
Phương pháp giải
Đặt yn = xn + α, n ∈ N∗ ,
với α là nghiệm của phương trình −cα2 + (a − d) α + b = 0.
Biến đổi thu gọn về bài toán 3.3.1.

3.3.2. Từ bài toán có công thức truy hồi cấp một
có dạng lượng giác
Trước tiên ta xét dãy số có công thức truy hồi cấp một

có dạng công thức cos2a.
Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 = 2u2n − 1, n ∈ N∗ .

(3.26)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un )
Bài toán này đã được trình bày phương pháp giải ở các ví dụ 2.1.2

Footer Page 16 of 145.


15

Header Page 17 of 145.
và 2.1.3.
Ở đây ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán trên thành các bài
toán phức tạp hơn.

1
Đặt un = kvn , n ∈ N∗ , ta được: vn+1 = 2kvn2 − , n ∈ N∗ .
k
1
Đặt a = 2k, b = − , nên ab = −2. Ta có bài toán tổng quát sau:
k
Bài toán 3.3.3. Cho dãy số (vn ) biết:
v1 = α
vn+1 = avn2 + b, n ∈ N∗ .

(3.27)

Trong đó ab = −2 hoặc b = 0.
Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn ).
Phương pháp giải
2

n

2
Nếu b = 0 thì: vn+1 = avn2 = a.a2 vn−1
= ... = a2

−1 .α2n , n

∈ N∗ .

Nếu ab = −2 thì đặt vn = −bun , n ∈ N∗ .
Trong bài toán 3.3.3 tiếp tục đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗ , ta có:
vn+1 = a1 vn2 + b1 , n ∈ N∗
⇔xn+1 + λ = a1 (xn + λ)2 + b1 , n ∈ N∗
⇔xn+1 = a1 x2n + 2a1 λxn + a1 λ2 + b1 − λ, n ∈ N∗ .

Đặt a = a1 , b = 2a1 λ, c = a1 λ2 − λ + b1 , ta có:
xn+1 = ax2n + bxn + c, n ∈ N∗ .

Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c đều có thể đưa về bài toán
3.3.3, ta tìm mối quan hệ giữa a, b, c.
Ta có a1 b1 = −2 hoặc b1 = 0. Nên:
4a2 λ2 − 4a1 λ + 4a1 b1

b2 − 2b − 8
c = a1 λ2 − λ + b1 = 1
=
,a = 0
4a1
4a
b2 − 2b
hoặc c =
, a = 0.
4a
Ta có bài toán tổng quát sau:

Footer Page 17 of 145.


16

Header Page 18 of 145.
Bài toán 3.3.4. Cho dãy số (xn ) biết:
x1 = α
xn+1 = ax2n + bxn + c, n ∈ N∗ .

(3.30)

b2 − 2b − 8
b2 − 2b
hoặc c =
.
4a
4a

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).

Trong đó a = 0, c =

Phương pháp giải
Nhận xét rằng từ bài toán 3.3.3 ta đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗ , ta
b
đưa về bài toán 3.3.4 mà theo biến đổi trên ta có λ =
, vậy để
2a
b
đưa bài toán 3.3.4 về bài toán 3.3.3 ta đặt xn = vn − , n ∈ N∗ .
2a
1
∗
Trong bài toán 3.3.4 tiếp tục đặt xn = , n ∈ N , ta có:
yn
1
yn+1

=

a
b
yn2
+
+
c
⇔
y

=
, n ∈ N∗ .
n+1
yn2
yn
cyn2 + byn + a

Ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.3.5. Cho dãy số (yn ) biết:

 y1 = α = 0
yn2
, n ∈ N∗ .
 yn+1 = 2
cyn + byn + a

(3.33)

b2 − 2b − 8
b2 − 2b
hoặc c =
.
4a
4a
Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn ).

Trong đó a = 0, c =

Phương pháp giải
1

, n ∈ N∗ , biến đổi đưa về bài toán 3.3.4.
Đặt yn =
xn
Ta xét tiếp dãy số có công thức truy hồi cấp một có dạng
công thức cos3a.
Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 = 4u3n ± 3un , n ∈ N∗ .

Footer Page 18 of 145.

(3.34)


17

Header Page 19 of 145.
Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) Bài toán này đã được trình
bày phương pháp giải ở các ví dụ 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6.
Ở đây ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán trên thành các bài
toán phức tạp hơn.
Đặt un = kvn , n ∈ N∗ , ta được: vn+1 = 4k 2 u3n ± 3un , n ∈ N∗ .
Đặt a = 4k 2 . Ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.3.6. Cho dãy số (vn ) biết:
v1 = α
vn+1 = avn3 ± 3vn , n ∈ N∗ , a > 0.

(3.35)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn ).

Phương pháp giải
2
Đặt vn = √ un , n ∈ N∗ .
a
Trong bài toán 3.3.6 tiếp tục đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗ , ta có:
xn+1 = ax3n + 3aλx2n + 3 aλ2 ± 1 xn + aλ3 ± 3λ − λ, n ∈ N∗

Đặt b = 3aλ, c = 3 aλ2 ± 1 , d = aλ3 ± 3λ − λ, ta có:
xn+1 = ax3n + bx2n + cxn + d, n ∈ N∗ .

Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c, d đều có thể đưa về bài toán
3.3.6, ta tìm mối quan hệ giữa a, b, c, d.
b
, a = 0. Nên ta có:
Ta có b = 3aλ ⇔ λ =
3a
c=3

b2
b3
b
b
± 1 ,d =
± − .
9a
27a2 a 3a

Ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 3.3.7. Cho dãy số (xn ) biết:
x1 = α

xn+1 = ax3n + bx2n + cxn + d, n ∈ N∗ .

Footer Page 19 of 145.

(3.37)


18

Header Page 20 of 145.
b2
b
b3
b
± − , a = 0, b tùy ý.
± 1 ,d =
2
9a
27a
a 3a
Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).

Trong đó c = 3

Phương pháp giải
Nhận xét rằng từ bài toán 3.3.6 ta đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗ , để
b
đưa về bài toán 3.3.6 mà theo biến đổi trên ta có λ =
, vậy để
3a

b
đưa bài toán 3.3.7 về bài toán 3.3.6 ta đặt xn = vn − , n ∈ N∗ .
3a

3.3.3. Một số ví dụ khác
Ví dụ 3.3.7. Từ ví dụ 3.1.1 ta đặt un =

n
vn , n ∈ N∗ ta
n+1

có bài toán sau:
Cho dãy số (vn ) biết:

 v1 = 2
(2n + 3) (n + 2)
n (n + 2)
, n ∈ N∗ .
 vn+1 =
2 vn +
n+1
(n + 1)

(3.39)

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn ).
vn
b) Tính lim 2 .
n→+∞ n

3.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
ax + b
Trong phần này chỉ khảo sát bốn hàm số f (x) =
,
cx + d
√
2
3
2
f (x) = ax + b, f (x) = ax + bx + c, f (x) = ax + bx + cx + d

để minh họa cho phương pháp này.

3.4.1. Từ hàm số f (x) =

ax + b
cx + d

Với hàm số này ta có bài toán tổng quát sau:

Footer Page 20 of 145.


19

Header Page 21 of 145.
Bài toán 3.4.1. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 =

aun + b
, n ∈ N∗ .
cun + d

(3.42)

Xét sự hội tụ của dãy (un ).
Chọn a, b, c, d sao cho hàm số f (x) đồng biến, ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4.1. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 =

3un + 2
, n ∈ N∗ .
un + 2

Xét sự hội tụ của dãy (un ).
Giải
Ta có: u1 = α, u2 =
Suy ra:

3α + 2
.
α+2

u2 − u1 > 0 ⇔ α ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 2)
u2 − u1 < 0 ⇔ α ∈ (−2; −1) ∪ (2; +∞) .
3x + 2
4
, f (x) =

> 0, ∀x = 2.
x+2
(x + 2)2
x = −1
Ta có: f (x) = x ⇔ x = 2
Bảng biến thiên:

Xét hàm số f (x) =

Footer Page 21 of 145.

(3.43)


20

Header Page 22 of 145.
• Trường hợp 1: u1 = α ∈ (2; +∞)

Ta có: f : (2; +∞) → (2; 3) , (2; 3) ⊂ (2; +∞).
Ta có: u1 ∈ (2; +∞) nên un ∈ (2; 3) , ∀n ∈ N∗ .
Vậy dãy (un ) bị chặn.
Mặt khác u1 , u2 ∈ (2; +∞), u1 > u2 mà hàm số f(x) đồng biến
trên (2; +∞) nên (un ) là dãy số giảm.
Vậy dãy (un ) hội tụ. Giả sử lim un = l.
n→+∞

3l + 2
=l⇔
l+2

mà un ∈ (2; 3) , ∀n ∈ N∗ , nên lim un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có:

l = −1
l=2 .

n→+∞

• Trường hợp 2: u1 = 2

Ta có: u2 = 2, quy nạp ta có: un = 2, ∀n ∈ N∗ .Vậy lim un = 2.
n→+∞

• Trường hợp 3: u1 = α ∈ (−1; 2)

Ta có: f : (−1; 2) → (−1; 2).
Ta có: u1 ∈ (−1; 2) nên un ∈ (−1; 2) , ∀n ∈ N∗ .
Vậy dãy (un ) bị chặn.
Mặt khác u1 , u2 ∈ (−1; 2), nên u1 < u2 mà hàm số f(x) đồng biến
trên (-1;2) nên (un ) là dãy số tăng.
Vậy dãy (un ) hội tụ. Giả sử lim un = l.
n→+∞

3l + 2
l = −1
=l⇔ l=2 .
l+2
Mà un ∈ (−1; 2) , ∀n ∈ N∗ , (un ) là dãy tăng nên lim un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có:

n→+∞

• Trường hợp 4: u1 = −1

Ta có: u2 = −1, quy nạp ta có: un = −1, ∀n ∈ N∗ .
Vậy lim un = −1.
n→+∞

Footer Page 22 of 145.


21

Header Page 23 of 145.
• Trường hợp 5: u1 = α ∈ (−∞; −2) ∪ −2; −

6
5

6
.
5
Nên u2 ∈ (−∞; −2), u3 ∈ (3; +∞).

Ta có: u1 ∈ (−∞; −2) ∪ −2; −
Suy ra: un ∈ (2; 3)∀n

4, n ∈ N, vậy (un ) bị chặn.

Mặt khác u3 , u4 ∈ (2; +∞), nên u3 > u4 mà hàm số f(x) đồng
biến trên (2; +∞) nên dãy (un ) là giảm từ số hạng thứ 3 trở đi .
Vậy dãy (un ) hội tụ. Giả sử lim un = l.
n→+∞

3l + 2
=l⇔
l+2
4, n ∈ N, nên lim un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có:
mà un ∈ (2; 3) , ∀n

l = −1
l=2 .

n→+∞

• Trường hợp 6: u1 = α ∈

6
− ; −1
5

6
6
− ; −1 , giả sử un ∈ − ; −1 , ∀n ∈ N∗ .
5
5

Suy ra (un ) bị chặn dưới.
6
Mặt khác u1 , u2 ∈ − ; −1 , u1 > u2 , f(x) đồng biến trên
5
6
− ; −1 nên dãy (un ) giảm.
5
Vậy (un ) hội tụ. Giả sử lim un = l.

Ta có: u1 = α ∈

n→+∞

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có:
Vì (un ) giảm và un ∈
Vậy phải ∃n0 , un0 ∈
Nếu un0 = −

3l + 2
=l⇔
l+2

l = −1
(vô lý).
l=2

6
− ; −1 , ∀n ∈ N∗ .
5
6

−2; − .
5

6
thì dãy (un ) không xác định từ n0 + 1 trở đi.
5

Footer Page 23 of 145.


22

Header Page 24 of 145.
Nếu un0 ∈

−2; −

6
5

thì ta có:

un0 +1 ∈ (−∞; −2) , un0 +2 ∈ (3; +∞) , un0 +3 ∈ (2; 3)

nên un ∈ (2; 3) , ∀n

n0 + 3, n ∈ N.

Vậy dãy (un ) bị chặn.
Mặt khác un0 +2 , un0 +3 ∈ (2; +∞) nên un0 +2 > un0 +3 mà hàm số

f (x) đồng biến trên (2; +∞) nên dãy (un ) giảm từ số hạng n0 + 2

trở đi .
Vậy dãy (un ) hội tụ. Giả sử lim un = l.
n→+∞

3l + 2
=l⇔
l+2
n0 + 3, n ∈ N, nên lim un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có:
mà un ∈ (2; 3) , ∀n

l = −1
l=2 .

n→+∞

Như vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác
nhau.
Cho a, b, c, d sao cho hàm số f(x) nghịch biến, ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4.2. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = 2
un+1 =

un + 2
, n ∈ N∗ .
un + 1

(3.44)

a) Chứng minh dãy (un ) bị chặn.
b)Chứng minh (u2n ) là dãy số tăng, (u2n+1 ) là dãy số giảm.
c)Xét sự hội tụ của dãy (un ).

3.4.2. Từ hàm số f (x) =

√

ax + b

Chọn a, b sao cho hàm số f(x) đồng biến, ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4.3. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α √
un+1 = 2un + 3, n ∈ N∗ .

Footer Page 24 of 145.

(3.45)


23

Header Page 25 of 145.
Xét sự hội tụ của dãy (un ).
Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau.
Chọn a, b sao cho hàm số f(x) nghịch biến, u1 = 0 giá trị cụ thể
ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4.4. Cho dãy số (un ) biết:

u1 = 0 √
un+1 = 2 − un , n ∈ N∗ .

(3.47)

Xét sự hội tụ của dãy (un ).

3.4.3. Từ hàm số f (x) = ax2 + bx + c
Cho a, b, c các giá trị cụ thể, ta có các bài toán khác nhau, ví
dụ cho a = 1, b = −2, c = 2 ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4.5. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 = u2n − 2un + 2, n ∈ N∗ .

(3.48)

Xét sự hội tụ của dãy (un ).
Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau.

3.4.4. Từ hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Cho a, b, c, d các giá trị cụ thể, ta có các bài toán khác nhau,
ví dụ cho a = 2, b = −5, c = 4, d = 0 ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4.6. Cho dãy số (un ) biết:
u1 = α
un+1 = 2u3n − 5u2n + 4un , n ∈ N∗ .

(3.49)

Xét sự hội tụ của dãy (un ).
Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau.

Footer Page 25 of 145.