Bài tập Lý thuyết độ đo và tích phân

A. Bài tập phần độ đo
Bài 1 Cho X là 1 tập khác rỗng
a) Chứng minh {∅, X} là một σ-đại số trên X.
b) Chứng minh P(X) là một σ-đại số trên X.
c) Cho một ví dụ về σ-đại số trên X khác với 2 câu trên.
Bài 2 Cho X là một tập khác rỗng và {Mi }i∈I là một họ các σ-đại số trên X. Chứng minh
Mi là một σ-đại số trên X.

rằng
i∈I

Định nghĩa: Cho X là tập khác rỗng và M ⊂ P(X). Ta nói giao của tất cả các σ-đại số trên
X chứa M là một σ-đại số sinh bởi M và kí hiệu là σ(M).
Bài 3 Chứng minh rằng:
a) Nếu M là một σ-đại số thì σ(M) = M.
b) Tìm σ(M) với M = {∅} và M = {K}.
c) Nếu M1 ⊂ M2 ⊂ σ(M1 ) thì σ(M2 ) = σ(M2 ).
Bài 4 Cho ε là một σ-đại số trên X và X0 ⊂ X.
a) Chứng minh rằng M1 = {A ∩ X0 |A ∈ ε} là một σ-đại số trên X0 .
b) Chứng minh rằng nếu ε = σ(M) thì M1 = σ(M0 ) khi M0 = {A ∩ X0 |A ∈ M}.
Bài 5 Cho X là một tập khác rỗng và ε là một σ-đại số lớn nhất trên X. Đặt µ(A) = |A| (bản
số của A, cardinal of A). Lúc đó µ có là độ đo dương trên ε hay không?
Bài 6 Cho X là một không gian đo được với σ-đại số ε và µ là độ đo dương trên ε, A là một
phần tử của ε. Ta đặt M = {A ∩ N : N ∈ ε} và µ1 (K) = µ(K) với mọi K ∈ M.
Chứng minh rằng: (A, M, µ1 ) là một không gian đo được.
1


Bài 7 Cho X là một tập khác rỗng và x ∈ X. Với mỗi A ∈ P(X) ta được




 1 nếu x ∈ A
δx (A) =


 0 nếu x ∈
/A
Chứng minh δx (A) là độ đo dương.
Bài 8 Cho X là không gian đo được với σ-đại số ε và độ đo dương µ. A và B là các phần tử
của ε sao cho A ⊂ B. Chứng minh rằng µ(A)

µ(B).

Bài 9 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và f là một song ánh từ X vào Y . Ta đặt
M = {f (B) : B ∈ ε} và µ1 (A) = µ(f −1 (A)), ∀A ∈ M.
Chứng minh (Y, M, µ1 ) là một không gian đo được.
Bài 10 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và {Bn }n∈N ⊂ ε thoả mãn
B1 ⊂ B2 ⊂ ... ⊂ Bn ⊂ ... Chứng minh
+∞

µ

Bk

= lim µ(Bn ).
n→+∞

k=1

Bài 11 Cho X = N và đặt Ck = {m

k : m ∈ N} với mọi k

1. Khi đó đẳng thức

+∞

µ

Ck
k=1

= lim µ(Cn ) có đúng không? Vì sao?
n→+∞

Bài 12 Cho (X.ε, µ) là một không gian đo được và {Dn } ⊂ ε thoả mãn µ(D1 ) < +∞ và
D1 ⊃ D2 ⊃ ... ⊃ Dm ... Chứng minh
+∞

µ

Dk

= lim µ(Dn ).
n→+∞

k=1

Bài 13 Chứng minh mọi hàm đơn đều là ánh xạ đo được
Bài 14 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và f là một ánh xạ đo được trên (X, ε). Giả

sử f (x) là một tập hữu hạn các phần tử trong R. Chứng minh f là một hàm đơn.
Bài 15 Cho (X, ε) là một không gian đo được và fm là một dãy các ánh xạ đo được trên (X, ε)
trên R. Chứng minh các ánh xạ
g(x) = sup fm (x), h(x) = inf fm (x) và u(x) = lim inf fm (x) đo được.
m 1

m 1

m→∞

2


Bài 16 Cho f là một hàm đo được. Chứng minh rằng |f |, f + , f − đo được.
Bài 17 Chứng minh mọi hàm liên tục hầu khắp nơi trên R đều đo được.
Bài 18 Cho f là hàm đo được và g là hàm liên tục trên R. Chứng minh g ◦ f là hàm đo được.
Bài 19 Cho ánh xạ

f (x) =




 x−3 nếu x = 0

và g(x) =





 (x − 1)−1 nếu x = 1


 −∞ nếu x = 1



 0 nếu x = 0
có là ánh xạ đo được trên (R, B) không?

Chú ý: B là σ-đại số Borel trên R gồm các khoảng mở trong R.
Bài 20 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và f là một ánh xạ đo được từ (X, ε) vào
[0; ∞]. Chứng minh có một dãy các hàm đơn {sm } trên X sao cho
i) 0

s1 (x)

s2 (x)

...

f (x), ∀x ∈ X.

ii) sm (x) → f (x), ∀x ∈ X.

3


Bài tập phần lý thuyết tích phân
Bài 1 Phát biểu và chứng minh định lý Hội tụ đơn điệu.

Bài 2 Phát biểu và chứng minh định lý Hội tụ bị chận.
Bài 3 Phát biểu và chứng minh Bổ đề Fatou.
Định nghĩa: Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và một tính chất P = {P (x) : x ∈ X}.
Ta nói P đúng hầu khắp nơi trên X theo độ đo µ( viết là µ − h.k.n hay h.k.n trên X), nếu có
một tập A ∈ ε và µ(A) = 0 sao cho P (x) đúng với mọi x ∈ X\A.
Ví dụ: Ta có f = g h.k.n nếu tập A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} có µ(A) = 0
Bài 4 Chứng minh (L1 (X, µ) , . ) là một không gian Banach. Trong đó
f

|f |dµ , ∀f ∈ L1 (X, µ)

=

1

X

Bài 5 Cho (X, ε, µ) làm một không gian đo được, A ∈ ε và {λm } là các hàm đo được không
âm. Chứng minh rằng
+∞

+∞

λm dµ

λm dµ =
m=1 A

A m=1

Bài 6 Cho f là một hàm số đo được và g là một hàm số khả tích trên không gian đo được
(X, ε, µ). Giải sử |f | ≤ g. Chứng minh f là một hàm số khả tích trên X.
Bài 7 Cho f là một hàm khả tích không âm trên R. Đặt K = {x ∈ K : f (x) < +∞}. Chứng
minh rằng tập R\A có độ đo không.
1

Bài 8 Cho hàm số f : [0; 1] → R với f (0) = 0 và f (x) = x− 2 khi x > 0. Chứng minh rằng f
1

khả tích trên [0; 1] và tính

f (x)dx.
0
+∞

Bài 9 Cho dãy {fm } các hàm số không âm và khả tích Lebesgue trên R và thoả mãn
+∞

fm khả tích Lebesgue trên R và

hội tụ trong R. Chứng minh rằng
m=1

+∞

+∞

fm dx =
R

fm dx
m=1 R

m=1

fm dx
m=1

4

R


Bài 10 Cho hàm số g : Rd × (a; b) → R (d ∈ R) và giả sử rằng
i) Với mỗi y ∈ (a; b) thì hàm số x → g(x, y) khả tích Ledesgue trên Rd ;
ii) Tồn tại hàm số ϕ : Rs → R sao cho ϕ(x) = lim− g(x, y), với mọi x ∈ Rd ;
y→b

iii) Tồn tại số thực dương M sao cho với mọi y ∈ (a; b) thì
g(x, y)dx

M;

Rd

iv) g(x, y1 ) ≤ g(x, y2 ) nếu y1 ≤ y2 , với mọi x ∈ Rd và
lim

g(x, y)dx =

y→b−
Rd

ϕ(x)dx.
Rd

Bài 11 Cho hàm số f : Rd × (a; b) → R, yo ∈ [a; b] và giả sử rằng
i) Với mỗi y ∈ (a; b), hàm số x → f (x, y) đo được trên R;
ii) Tồn tại g : Rd → R khả tích Lebesgue và thoả mãn với mọi y ∈ (a; b), |f (x, y)| ≤ g(x),
với mọi x ∈ Rd ;
iii) Tồn tại hàm ϕ : Rd → R sao cho ϕ(x) = lim f (x, y), với mọi x ∈ Rd . Chứng tỏ rằng ϕ
y→y0

khả tích Lebesgue trên Rd và
lim

ϕ(x)d(x).

f (x, y) =

y→y0
Rd

Rd

Bài 12 Cho hàm số g : Rd × (a; b) → R và giả sử rằng
i) Với mỗi y ∈ (a; b), hàm số y → g(x, y) khả tích Lebesgue trên Rd ;
ii) Với mỗi x ∈ Rd , hàm số y → g(x, y) khả vi trên (a; b);
iii) Tồn tại hàm số ϕ : Rd → R khả tích Lebesgue sao cho
∂

g(x, y)
∂y

ϕ(x) , với mọi (x, y) ∈ Rd × (a; b).
5


Chứng tỏ rằng hàm số y → G =

g(x, y)dx khả vi trên (a; b) và
Rd

d
G(y) =
dy

∂
g(x, y)dx.
∂y
Rd

Bài 13 Cho số thực α > 1 và hàm số f đo được trên R thoả mãn
|f (x)| ≤

1
h.k.n trên R
1 + |x|α

Chứng minh rằng f khả tích Lebesgue trên R.
Bài 14 Cho 0 < α < 1 và hàm số f đo được trên đoạn [a; b]. Cho x0 ∈ (a; b) và giả sử tồn tại

số thực dương M sao cho
|f (x)| ≤

M
|x − x0 |α

∀x ∈ [a; b] ·

Chứng ming rằng f khả tích Lebesgue trên [a; b] .
Bài 15 Chứng minh rằng hàm đo được f trên đoạn [−a; a] (a > 0) thoả mãn
|f (x)| ≤

3
h.k.n trên [−a; a]
2|x|α

không khả tích Lebesgue trên [−a; a] khi α ≥ 1.
Bài 16 Chứng tỏ rằng hàm số

sin x



nếu x > 0
x
f (x) =


 1 nếu x = 0
không khả tích Lebesgue trên [0; +∞).

Bài 17 Chứng minh các hàm số sau khả tích trên tập xác định tương ứng
a) f (x) =

sin x
x

2

, x ∈ R.

b) f (x) = e−k|x| , x ∈ R và k > 0.
c) f (x) = x−α , x ∈ (1; +∞) và α > 1.
6


Bài 18 Các hàm số sau đây có khả tích Lebesgue trên miền xác định tương ứng hay không?
Vì sao?
a) f (x) = 1, x ∈ (0; +∞).
b) f (x) = x, x ∈ [−1; 1) .
ex
c) f (x) = √ , x ∈ (0; 1).
x
d) f (x) = e−x , x ∈ (0; +∞).
2

e) f (x) = e−x , x ∈ R.
f) f (x) =

√

x, x ∈ (0; +∞).

1
g) f (x) = √
, x ∈ (1; +∞).
3
x2
1
h) f (x) = √ , x ∈ (0; +∞).
x x
i) f (x) = x. cos4 x, x ∈ (1; +∞).
j) f (x) = 3 −

cos x
, x ∈ (1; +∞).
x

1
k) f (x) = χ(0;1) (x) · √ + χ[1;+∞) (x) · x, x ∈ (0; +∞).
x
Bài 19 Tính các tính phân sau dưới dạng chuỗi số:
1

a)
0
1

b)
0

ex − 1
dx.
x
sin x
dx.
x

Bài 20 Chứng minh các hàm số sau liên tục:
1

sin(tx(s))ds, với s → x(s) là hàm đo được trên (0; 1).

a) A(t) =
0
1

x(s) sin(ts)ds, với s → x(s) là hàm khả tích Lebesgue trên (0; 1).

b) B(t) =
0

7


+∞

x(s) sin(ts)ds, với s → x(s) khả tích Lebesgue trên (0; +∞).

c) C(t) =
0

+∞

f (x) exp {−itx} dx, t ∈ R. Chứng

Bài 21 Cho f khả tích Lebesgue trên R. Đặt f (t) =
−∞

minh rằng
a) t → f (t) là hàm liên tục trên R.
b) lim f (t) = lim f (t) = 0.
t→+∞

t→−∞

8