Bài tập Lý thuyết sai số và bình sai potx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
BỘ MÔN TRẮC ĐỊA
TS Vũ Thặng
BÀI TẬP

Lý thuyết sai số
và bình sai
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên : ………
Lớp : …………
…… Mã số SV : ….……
Số thứ tự : ………
1. Ma trận và ứng dụng
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

1.1. Nhân ma trận
Cho ma trận A
5x8
và ma trận B
8x4
. Tính tích của hai ma trận:
C
5.4
= A
5x8
.B
8x4
Bảng 1.1.1.
A =
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
B =

11 12 13 14
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 21 22 23 24
3.1 3.2 19 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 31 32 33 34
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 41 42 43 44
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 51 52 53 54
61 62 62 64
71 72 73 74
81 82 83 84
Theo số thứ tự (No) thay vào phần tử thứ (No) tính từ trái sang phải từ trên
xuống dưới của ma trận A với giá trị bằng (No) rồi tính tích của hai ma trận.
Ví dụ trên bảng là số thứ tự No = 19
Điền kết quả tính vào bảng ma trận C
Giải:
Kết quả tính ma trận C được điền vào bảng 1.1.2.
Bảng 1.1.2.
C =
A
4x8
.B
8x5
1.2. Tính định thức của ma trận
Cho ma trận A
6x6
ở bảng 1.2.1. hãy tính định thức của ma trận A theo số thứ
tự.
Bảng 1.2.1.
2
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

A
6x6
=
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3.1 3.2 3.3 3.4 35 3.6
19 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Giải:
Kết quả tính định thức của ma trận A, D
A
là:
D
A
=
1.3. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận A
6x6
ở bảng 1.3.1.

Hãy tính ma trận nghịch đảo A
-1
theo số thứ
tự (No).
Bảng 1.3.1.
A
6x6
=
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3.1 3.2 3.3 3.4 35 3.6
19 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Giải:
Kết quả tính ma trận nghịch đảo A
-1
ghi trong bảng 1.3.2.:
Bảng 1.3.2.
A
-1
6x6
=
1.4. Ứng dụng ma trận để giải hệ phương trình
Cho ma trận A ở bảng 1.3.1, ma trận B ở bảng 1.4.1. Hãy giải hệ phương
trình (1.1.4)
A.X = B (1.1.4)
Theo số thứ tự (No) rồi điền kết quả vào bảng 4.1.1.
Giải:
3
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

Bảng 1.4.1.
X =
x
1
=
B =

1.0
x
2
=
2.0
x
3
=
3.0
x
4
=
4.0
x
5
=
5.0
x
6
=
6.0
2. Sai số trong hàm các đại lượng đo
2.1. Tính sai số xác định diện tích hình chữ nhật
Hình chữ nhật được đo cạnh S
A
= [100,00(m) + (No)m] = m,
Cạnh S
B
= 200,00m với sai số trung phương đo các cạnh m
SA

= m
SB
= ±5,0cm. Hãy tính
sai số xác định diện tích hình chữ nhật.
Giải:
1. Công thức tính diện tích hình chữ nhật
2. Công thức tính sai số diện tích hình chữ nhật
3. Sai số tính diện tích hình chữ nhật m
P
=
2.2. Tính sai số đo góc bằng
Góc bằng AOB được đo một vòng đo với máy kinh vĩ có độ chính xác bằng
số thứ tự tính theo giây, m
máy
= 0,1”(No). Hãy tính độ chính xác kết quả một vòng
đo của góc bằng.
Giải:
1. Sai số đo của máy theo số thứ tự No, m
máy


= ”
2. Công thức tính góc bằng
3. Công thức tính sai số trung phương đo góc bằng
4
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

4. Sai số đo góc bằng m
β

=
2.3. Sai số trong đo cao hình học từ giữa
Trong đo cao hình học từ giữa, nếu sai số đọc số trên mia,
m
Đọc
= ±[1mm + 0,1mm x(No)] = mm, Hãy tính sai số trung phương xác
định chênh cao một lần đo h, theo số thứ tự.
Giải:
1. Công thức tính chênh cao một trạm, đo một lần trong đo cao hình học từ
giữa
2. Công thức tính sai số trung phương một trạm, đo một lần trong đo cao hình
học từ giữa
3. Sai số trung phương một trạm, đo một lần trong đo cao hình học từ giữa
m
h
= ± mm
2.4. Sai số trong đo cao lượng giác bằng máy toàn đạc điện tử
Độ cao điểm 1 được xác định theo phương pháp đo cao lượng giác bằng
máy toàn đạc điện tử. Đo khoảng cách nghiêng D = [100,000m + (No)m] =
đo góc thiên đỉnh Z = [100
o
00’ 10” – (No)
o
] = với các sai số trung
phương cạnh m
S
= [2mm + (No).10
-6
.S] = mm và sai số trung phương đo
góc m

Z
= ± 2”, các sai số khác không tính.
Tính sai số trung phương xác định độ cao điểm 1.
Giải:
1. Công thức tính độ cao điểm 1, trong đo cao lượng giác
2. Công thức tính sai số trung phương điểm 1, trong đo cao lượng giác

3. Sai số trung phương xác định điểm 1, trong đo cao lượng giác
m
H1
= ± mm
5
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

2.2.5. Lập bài toán tính sai số trung phương của đại lượng cần xác định là
hàm số của các đại lượng đo với các sai số trung phương tương ứng và giải
bài toán đó.
1. Tính độ chính xác của khoảng cách và độ cao trong đo cao lượng giác
bằng máy kinh vĩ và mia, nếu sai số đọc mia m
đọc
= ±2mm, sai số đo góc
m
γ
= ±10”, các sai số khác không tính.
3. Xác định trọng số
3.1. Xác định trọng số trong đo cao hình học
1- Xác định trọng số theo số trạm đo
Độ cao điểm nút 1 được xác định từ 3 mốc độ cao hạng trên là mốc A, mốc
B và mốc C. Đường đo A1 có (5 + No) = trạm máy, đường B1 có 13 trạm

máy, đường đo C1 có 15 trạm máy. Hãy xác định trọng số các đường đo, nếu sai
số trạm đo là m
o
.
6
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

Giải:
1. Công thức tính trọng số các đường đo:
P
i1
=
2. Trọng số các đường đo:
P
i1
= ; P
B1
= ; P
C1
= .
2- Xác định trọng số theo chiều dài đường đo
Độ cao điểm nút 1 được xác định từ 3 mốc độ cao hạng trên là mốc A, mốc
B và mốc C. Đường đo A1 có chiều dài là (10. No) = m, đường B1 có chiều
dài là (15. No) = m, đường đo C1 có có chiều dài là (20. No) = m. Hãy
xác định trọng số các đường đo.
Giải:
1. Công thức tính trọng số các đường đo:
P
i1

=
3. Trọng số các đường đo:
P
i1
= ; P
B1
= ; P
C1
= .
3.2. Xác định trọng số trong đo hướng
Hai trạm đo góc có 5 hướng và 7 hướng, được đo 5 vòng và 3 vòng. Sai số
trung phương kết quả đo hướng của hai trạm là m
1
= ± 2,5” và m
2
= ± 1,9”. Xác
định trọng số các hướng trong hai trạm đo.
Giải:
1. Công thức tính trọng số của hướng đo
2. Chọn hằng số C = ……………
7
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

3. Trọng số các hướng đo
P
1
= , P
2
= .

3.3. Xác định trọng số trong đo góc
Xác định trọng số các góc đo β
i
, i = 1-3; được đo n
i
lần bằng cùng phương
pháp, cùng loại máy trong cùng điều kiện, với n
1
= 4 lần, n
2
= 7 lần và n
3
= 6
lần.
Giải:
1. Công thức tính trọng số
2. Trọng số của các góc:
P
1
= ; P
1
= ; P
1
= .
3.4. Xác định trọng số đo cạnh
Xác định trọng số các cạnh đo bằng toàn đạc điện tử (TĐĐT):
S
1
= [100,000m + (No)]m = ,
S

1
= [300,000m - (No)]m = ,
S
1
= 500,000m, với sai số (3mm + 5ppm).
Giải:
1. công thức tính trọng số cạnh đo
2. Chọn hằng số C =
3. Trọng số của các cạnh
P
1
= ; P
2
= ; P
3
= .
3.5. Xác định trọng số trong lưới đo góc cạnh
Trong lưới đo hỗn hợp các hướng, góc và cạnh với các sai số trung phương
tương ứng:
- - Sai số trung phương đo hướng i: m
H
= m
1i
”,
- Sai số trung phương đo góc j: m
β
i
= m
2j
”

- Sai số đo cạnh k: m
Sk
= (2mm + 2ppm).
8
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

Xác định trọng số các đại lượng đo khi đưa vào bình sai hỗn hợp.
Giải:
4. TÍNH KẾT QUẢ ĐO
4.1. Tính dẫy kết quả đo nhiều lần có cùng độ chính xác
1. Trình tự và công thức tính
2. Ví dụ tính
4.2. Tính dẫy kết quả đo nhiều lần theo trọng số
1. Trình tự và công thức tính
2. Ví dụ tính
4.3. Tính dẫy kết quả đo kép
1. Trình tự và công thức tính
2. Ví dụ tính
5. BÌNH SAI GIÁN TIẾP – Theo đồ hình nhỏ 2-5 ẩn và số liệu cho trước
5.1. Bình sai gián tiếp phương trình một ẩn số
5.1. 1. Tính bình sai đoạn thẳng đo n lần, n = N
o

Dẫy trị đo L
i
, có trọng số p
i
tương ứng. Tính sai số trung phương đơn vị
trọng số, các kết quả đo và ẩn số.

Ví dụ:
9
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

5.1. 2. Bình sai gián tiếp điểm nút độ cao nối 3 mốc
Mốc độ cao A, B và C: H
A
= 11,000(m); H
B
= 10,000(m); H
C
= 15,000(m);
Bảng 5.5.
No
Chênh cao
h
i
’ (m)
Khoảng cách
S
i
(km)
Hình 5.1.
1
2
3
1,010
- 2,020
- 3,030

0,1.(No) =
………… .
2,0
3,0
Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số.
5.2. Bình sai gián tiếp hệ phương trình 2 ẩn
5.2.1. Bình sai trạm đo góc có 3 hướng, đo 3 góc
Bảng 5.2.
No
Góc
β
i
’
1
2
3
10
o
00’ 01,0”
20
o
00’ 02,0”
30
o
00’ 00,0”
Hình 5.2
Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số.
5.2.2. Bình sai đường chuyền kinh vĩ nối 2 mốc
Bảng 5.3.
Mốc X

i
Y
i
A
B
2000,00
2000,00
3000,00
3300,00
10
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

Hình 5.3.
Đo
Cạnh
S
1
S
2
Góc
β
1
300,000 + No mm
………………
300,005

60
o
00’ 01,0”

Sai số
±5mm
±5mm

±3”
Tính sai số trung phương đơn vị trọng số, các kết quả đo và ẩn số.
5.3. Bình sai gián tiếp hệ phương trình 3 ẩn số
5.3.1. Bình sai trạm đo góc có 4 hướng, đo 6 góc
Bảng 5.4.
No
Góc
β
i
’
Số lần
đo
1
2
3
4
5
6
10
o
00’ 00,0”
20
o
00’ 00,0”
30
o

00’ 00,0”
30
o
00’ 01,0”
60
o
00’ 03,0”
50
o
00’ 02,0”
1
2
1
3
2
2
Hình 5.4.
5.3.2 Tình sai lưới độ cao có bốn vòng khép kín
Mốc độ cao A: H
A
= 54,000 (m)
Bảng 5.5.
No
Chênh cao
h
i
’ (m)
Khoảng cách
S
i

(km)
Hình 5.5.
1
2
3
4
5
1,010
2,020
- 3,030
1,000
1,000
0,1.(No) =
………… .
2,0
3,0
2,0
1,0
11
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

6 2,020 2,0
5.4. Bình sai gián tiếp hệ phương trình 4 ẩn
5.4.1. Bình sai đường chuyền độ cao nối hai điểm mốc
Vẽ sơ đồ, trình tự lập và các bước tính bình sai đường chuyền độ cao nối
hai điểm mốc, xác định 4 điểm mới.
5.4.2. Bình sai gián tiếp tứ giác trắc địa đo 8 góc và 5 cạnh
Bảng 4.?.
No

Góc
β
i
’
Số lần
đo No
Cạnh
S
i
m
Sai số
m
s
= 3 + 3.10
-6
.S
1
2
3
4
5
6
7
8
56
o
18’ 35,0”
+ 0,1”.No =

33

o
41’ 24,4”
33
o
41’ 24,2”
56
o
18’ 35,3”
56
o
18’ 35,7”
33
o
41’ 24,6”
33
o
41’ 24,0”
56
o
18’ 35,5”
1
2
1
3
2
2
2
3
1
2

3
4
5
200,003
360,056
360,059
300,007
200,043
Mốc X Y
A 2 000,000 3 000,000 Hình 5.6
B 2 200,000 3 223,606
6. BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
6.1. Phương trình 1 điều kiện
6.1.1. Bình sai trạm đo góc có 3 hướng, đo 3 góc (hình 5.2)
Bảng 6.1.
No
Góc
β
i
’
1
2
3
10
o
00’ 01,0”
20
o
00’ 02,0”
30

o
00’ 00,0”
6.1.2. Bình sai lưới độ cao có một vòng khép kín
12
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

Bảng 6.2.
No
Chênh cao
h
i
’ (m)
Khoảng cách
S
i
(km)
Hình 6.1.
1
2
3
1,010
2,020
- 3,000
0,1.(No) =
………… .
2,0
3,0
6.1.3. Bình sai đường chuyền kinh vĩ nối 2 mốc (Hình 5.3)
Bảng 6.3.

Mốc X
i
Y
i
A
B
2000,00
2000,00
3000,00
3300,00
Đo
Cạnh
S
1
S
2
Góc
β
1
300,000 + No mm
………………
300,005

60
o
00’ 01,0”
Sai số
±5mm
±5mm

±3”
6.2. Hệ phương trình 2 điều kiện
6.2.1. Bình sai trạm đo góc có 4 hướng, đo 5 góc (hình 5.4)
Bảng 6.4.
No
Góc
β
i
’
Số lần
đo
1
2
3
4
5
10
o
00’ 00,0”
20
o
00’ 00,0”
30
o
00’ 00,0”
60
o
00’ 06,0”
50
o

00’ 03,0”
1
1
1
1
1
6.2.2. Bình sai điểm nút độ cao nối 3 mốc
Mốc độ cao A, B và C: H
A
= 11,000(m); H
B
= 10,000(m); H
C
= 15,000(m);
Bảng 6.5.
Chênh cao Khoảng cách
13
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

No h
i
’ (m) S
i
(km)
1
2
3
1,010
- 2,020

- 3,030
0,1.(No) =
………… .
2,0
3,0
5.3. Hệ phương trình 3 điều kiện
5.3.1. Bình sai trạm đo góc có 4 hướng, đo 6 góc
Bảng 5.6.
No
Góc
β
i
’
Số lần
đo
Hình 6.2
1
2
3
4
5
6
10
o
00’ 00,0”
20
o
00’ 00,0”
30
o

00’ 00,0”
30
o
00’ 01,0”
60
o
00’ 03,0”
50
o
00’ 02,0”
1
2
1
3
2
2
6.3.2. Bình sai lưới độ cao có bốn vòng khép kín (hình 5.5)
Mốc độ cao A: H
A
= 54,000 (m)
Bảng 6.7.
No
Chênh cao
h
i
’ (m)
Khoảng cách
S
i
(km)

Hình 6.7.
1
2
3
4
5
6
1,010
2,020
- 3,030
1,000
1,000
2,020
0,1.(No) =
………… .
2,0
3,0
2,0
1,0
2,0
6.4.1. Bình sai tứ giác trắc địa đo 8 góc và 5 cạnh(hình 5.6)
Bảng 6.8.
No
Góc
β
i
’
Số lần
đo No
Cạnh

S
i
m
Sai số
m
s
= 3 + 3.10
-6
.S
14
Bµi tËp lín Lý thuyÕt sai sè
Hä vµ tªn: …………………………………………………….………. Sè thø tù : ………. Líp: ……

1
2
3
4
5
6
7
8
56
o
18’ 35,0”
+ 0,1”.No =

33
o
41’ 24,4”
33

o
41’ 24,2”
56
o
18’ 35,3”
56
o
18’ 35,7”
33
o
41’ 24,6”
33
o
41’ 24,0”
56
o
18’ 35,5”
1
2
1
3
2
2
2
3
1
2
3
4
5

200,003
360,056
360,059
300,007
200,043
Hình 6.8
6.5. Xác số lượng và dạng phương trình điều kiện lưới tam giác đo góc
Giáo viên hướng dẫn - Sinh viên tự lập sơ sồ lưới và các phương trình điều
kiện- trong lớp không trùng nhau
6.6. Ví dụ tính bình sai điều kiện theo đồ hình và số liệu cho trước
Bình sai lưới đo góc cạnh, có 32 trị đo, xác định 4 điểm mới từ 3 điểm gốc
15