Xây dựng chương trình giải phương trình poisson với điều kiện biên dirichlet trên miền 2d có hình học phức tạp bởi nội suy RBF

LỜI CAM ĐOAN

Để hoàn thành đồ án tốt nghiệp đúng thời gian quy định và đáp ứng
được yêu cầu của đề tài, bản thân em đã cố gắng tìm hiểu và nghiên cứu, học
tập và làm việc trong thời gian dài. Nội dung đồ án hoàn toàn không sao chép
từ các đồ án khác. Toàn bộ đồ án là do bản thân em nghiên cứu và xây dựng
dưới sự hướng dẫn của cô giáo.
Em xin cam đoan những lời trên là đúng, nếu có thông tin sai lệch em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng.

Thái Nguyên, ngày 11 tháng 06 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Lê Đình Dương

1


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện đồ án tốt nghiệp ngoài sự cố gắng hết
mình của bản thân, em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình từ phía nhà trường,
thầy cô gia đình và bạn bè.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy – cô trường Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thông đã truyền đạt những kiến thức quý báu
cho em trong suốt quá trình học tập.
Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Công nghệ thông tin và
bộ môn Khoa học máy tính đã tạo điều kiện để em có thể hoàn thành đồ án
này.
Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS. Đặng Thị Oanh mặc dù bận
nhiều công việc nhưng đã dành thời gian hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình
trong quá trình làm đồ án tốt nghiệp.
Em cũng xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, động

viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em để em có được điều kiện tốt nhất để
hoàn thành đồ án này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái nguyên, ngày 11 tháng 06 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Lê Đình Dương

2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................... 1
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ 2
Bảng danh mục các từ viết tắt......................................................................... 5
Bảng danh mục các hình ................................................................................ 6
Bảng danh mục các bảng ................................................................................ 7
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................... 8
Chương 1 ....................................................................................................... 9
CƠ SỞ LÝ THUYẾT ..................................................................................... 9
1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng ................................................. 9
1.2 Một số bài toán từ thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng .......... 10
1.2.1 Mở đầu .......................................................................................... 10
1.2.2 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất ..................................... 10
1.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng ............................... 13
1.2.4 Phương trình truyền nhiệt dừng ..................................................... 14
1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính............................................ 16
1.4 Khái niệm bài toán biên ....................................................................... 19
1.4.1 Mở đầu .......................................................................................... 19
1.4.2 Thí dụ ............................................................................................ 19
1.5 Nội suy hàm cơ sở bán kính RBF (Radial Basic Function) .................. 22

1.5.1 Một số định nghĩa và khái niệm..................................................... 22
1.5.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian  d ............................. 24
Chương 2 ..................................................................................................... 27
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ
DỤNG NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D ........................................... 27
2.1 Phát biểu bài toán ................................................................................ 27
2.2 Rời rạc phương trình poisson trên các tâm phân bố không đều ............ 27
2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn ...................................................... 27
2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn ....................................................... 29
2.3 Phương pháp sử dụng nội suy hàm RBF ( Radial Basic Function ) ...... 31
2.4 Rời rạc hóa miền khảo sát ................................................................... 33
2.5 Xác định tâm và các điểm lân cận ....................................................... 34
2.6. Tính véc tơ trọng số ............................................................................ 34
2.6.1 Véc tơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân bố không đều ...... 34
3


2.6.2 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính .............................. 36
2.6.3 Véc tơ trọng số đơn điểm .............................................................. 38
2.7 Tính nghiệm sai số của phương trình ................................................... 40
2.8 Tính A vế trái của phương trình Aui = F ............................................. 40
Chương 3 ..................................................................................................... 41
3.1 Giới thiệu về Matlab ............................................................................ 41
3.2 Các bước giải bài toán ......................................................................... 46
3.3 Thử nghiệm ......................................................................................... 49
KẾT LUẬN .................................................................................................. 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 62
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN .......................................... 63

4

Bảng danh mục các từ viết tắt
Viết tắt

Diễn giải

RBF

Radial Basis Function (hàm cơ sở bán kính)

MQ

Multiquadric

IMQ

Inverse multiquadric

Gauss

Gaussian

W33

Wendland’C6

SPHH
HV

Sai phân hữu hạn
Hình vuông

HCN

Hình chữ nhật

PTHH

Phần tử hữu hạn

API

Matlab application program

5


Bảng danh mục các hình
Tên hình

Diễn giải

Hình 1.1

Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất

Hình 1.2

Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng

Hình 1.3

Phương pháp truyền nhiệt dừng

Hình 2.1

Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm
ảnh hưởng của phương pháp sai phân hữu hạn
khuôn 5 điểm.

Hình 2.2

Trang

10

13

14

33

Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm
ảnh hưởng của phương pháp PTHH với quy tắc cầu
phương cho điểm giữa.

Hình 2.3

Miền khảo sát

Hình 2.4

Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm

33

37

ảnh hưởng của phương pháp PTHH với quy tắc cầu

38

phương cho điểm giữa.
Hình 2.5

Bộ tâm rời rạc. trùng khớp và ảnh hưởng của

44

phương pháp đơn điểm.

Hình 3.1
Hình 3.2

Hình 3.3

Matlab Desktop

43

M-file Editor

44

Giao diện chương trình
50

Hình 3.4

File help hỗ trợ người dùng

6

50


Bảng danh mục các bảng
Tên bảng

Bảng1.1

Diễn giải

Trang

Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo,

27

trong đó r  x  xk .
Bảng 1.2

Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình
dạng  >0.

Bảng 3.1
Bảng 3.2

Bảng các hàm thử và laplac tương ứng
Bảng các miền hình học

7

28

51
51


LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, công nghệ thông tin phát triển, con người đã ứng dụng
nó vào nhiều lĩnh vực khác nhau. Nhiều hiện tượng khoa họa kỹ thuật
dẫn đến bài toán biên của phương trình vật lý. Giải các bài toán đó đến
đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Có rất nhiều
bài toán phức tạp, xử lý trên không gian nhiều chiều và miền bất kỳ
như: khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D, mạng nơ-ron, khôi phục
và nhận dạng ảnh…. cần độ sai số thấp. Do đó kỹ thuật nội suy mới có
độ chính xác cao hơn, đó là nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis
Functions) viết tắt là RBF.

Dưới sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS. Đặng Thị Oanh, em đã
tiến hành nghiên cứu và thực hiện đồ án tốt nghiệp, với nội dung: “Sử
dụng matlab giải phương trình poisson với điều kiện biên Dirichlet bởi
nội suy hàm RBF trên miền 2D”.
Nội dung đề tài gồm có 3 chương:
 Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
 Chương 2: Giải phương trình Poisson với điều kiện
biên Dirichlet sử dụng nội suy hàm RBF trên miền 2D.
 Chương 3: Chương trình thử nghiệm.

8


Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng
Với hàm số một biến số y  y  x  ta có khái niệm đạo hàm y’(x):
y '  x  = lim
x0

y ( x  x)  y ( x)
x

khái niệm phương trình vi phân y’ = f  x, y  và khái niệm bài toán Cauchy:
Tìm hàm số y = xác định tại x   x0 ,   sao cho:

y ' = f  x, y  , x0 < x

 , y  x0   

trong đó f  x, y  là hàm số cho trước. x0 , , là những số cho trước.
Với hàm số nhiều biến số ta cũng gặp những khái niệm và những bài
toán tường tự.
Xét hàm số hai biến số u   x, y  , ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với

x:

u  x  x , y   u  x , y 
u
 lim
x x  0
x
đạo hàm riêng cấp 1 đối với y :

u  x, y  y   u  x, y 
u
 lim
y x 0
x
và các đạo hàm riêng cấp hai:

 2 u   u   2 u   u 
  

x 2 x  x  , y 2 y  y 
2
  u 
2u
  u   u


  ,
 
xy y  x  y x x  y 

Nếu các đạo hàm riêng

2u
2u
và
là những hàm liên tục thì chúng
xy
yx

bằng nhau.
9


Phươngtrình:
  x, y 

2u
2u
2u
u


x
,
y


C
x
,
y
+ D  x, y 




2
2
x y
x
x
y
u
+ E  x, y 
+ F  x, y  u  f  x, y 
y

là phương trình đạo hàm riêng của u . Nó có cấp hai, nghĩa là chứa đạo hàm
của u cấp cao nhất là hai. Nó là một phương trình tuyến tính, nghĩa là bậc
nhất đối với u và các đạo hàm của u .
1.2 Một số bài toán từ thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng
1.2.1 Mở đầu
Nhiều hiện tượng thay đổi tùy thuộc hoặc nhiều biến không gian, hoặc
cả biến không gian và biến thời gian, được mô tả bằng các phương trình đạo
hàm riêng. Sau đây là một vài thí dụ.
1.2.2 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất
Xét một thanh vật chất đồng chất, độ dài L  cm  , có thiết diện thẳng nhỏ

không đổi là S  cm 2  , có khối lượng riêng là   g / cm 2  , có nhiệt dung là
C  cal / g . 0C  . Xét một bộ phận vật chất có thể tích V  cm3  . Nếu bộ phận đó có

nhiệt độ không đổi thì nhiệt độ u  0C  và nhiệt lượng H  cal  của nó liên hệ
với nhau bở công thức:

H  u  CV

(1.1)

Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt
lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh. Ta gọi suất
khuếch tán nhiệt là k  cm2 / s 
Chú ý 1.
Đôi khi người ta cũng gọi c  k  C là suất dẫn nhiệt  cal /  s.cm. 0C  của
vật chất.
Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung
quanh, trừ tại hai đầu mút. Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố
nhiệt độ trong thanh.

10


Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x  a đến x  a  L
như
hình 1.1

Hình 1.1 Bài toán thanh vật chất
Gọi u ( x, t ) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t.
Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn. Sự lan truyền

nhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x . Nó tuân theo định
luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:
Luồng nhiệt q  cal /  cm 2 .s   theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch
tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ trrong một đơn vị thời
gian ) tỉ lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ dọc theo phương x , tức là tỉ lệ
với

u
:
x

q  k  C

u
x

(1.2)

Dấu trừ ( - ) ở vế phải ý nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm dần của
nhiệt độ.
Do có luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân
tố nhỏ S x của thanh từ x đến x  x trong thời gian l . Sự cân bằng này
diễn đạt bằng công thức:
Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trong phân tố
Nhiệt truyền vào phân tố là q  x, t  S t
Nhiệt ra khỏi phân tố là q  x  x, t  S t
Nhiệt tích lũy trong phân tố là S x  C u
Trong đó là biến thiên của nhiệt độ trong thời gian t . Vậy có:
q  x, t  S t - q  x  x, t  S t = S x  C u

Chia cho S xt ta được:
11


q  x , t   q  x  x , t 
x

 C

u
t

Chuyển qua giới hạn (bằng cách cho x  0, t  0 ) ta có:


q
u
 C
x
t

Áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra:

k

q u

x t

a  x  b , t  0 , k  const  0

(1.3)

Phương trình (1.3) mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất
đồng chất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh. Còn gọi là phương
trình truyền nhiệt một chiều.
Chú ý 2.
Khi k  const thì phương trình (1.3) có dạng:

  u  u
, a  x  b, t  0
k  
x  x  t

(1.4)

Nói chung k phụ thuộc x, t, u, nghĩa là k  k  x, t , u  và phương trình
truyền nhiệt trong thanh vật chất có dạng:

 
u  u
k
x
,
t
,
u




, a  x  b, t  0
x 
x  t

(1.5)

Tổng quát hơn, khi trong thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt (sinh
hay hấp thụ nhiệt) đặc trưng bởi hàm f ( x, t ) thì ta có phương trình:
 
u 
u
k  x, t , u    f  x, t , u  
, a  x  b, t  0

x 
x 
t

(1.6)

Nếu k và f không phụ thuộc u thì ta có phương trình truyền nhiệt
tuyến tính:
u  
u 
  k  x, t    q  x, t  u  f ( x, t ) , a  x  b, t  0
t x 
x 

(1.7)

Nếu trong môi trường truyền nhiệt còn có hiện tượng đối lưu thì có
phương trình:

12


u  
u 
u

k
x
,
t

r
(
x
,
t
)
 q  x, t  u  f ( x, t )


t x 
x 
x

a  x  b, t  0
trong đó số r ( x, t )

(1.8)

u
hạng mô tả hiện tượng đối lưu.
x

1.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng
Nay ta thay thanh vật chất bằng một “bản mỏng” vật chất  . Có đường
biên là một đường cong khép kín  . Đặt trong mặt phẳng (hình 1.2)

Hình 1.2 bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng
Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng chất:

 2 u  2u 
u
 k  2  2  ,  x, y   , t  0, k  const
t
y 
 x

(1.9)

hay trong trường hợp tổng quát hơn:

u  
u   
u 

k

x
,
y
,
t
,
u

k
x
,
y
,
t
,
u
 f ( x, y, t , u )




1
2

t x 
x  y 
y 

( x , y )  , t  0

(1.10)

hay khi k1 , k2 , f không phụ thuộc thì có phương trình tuyến tính:

u  
u   
u 

k
x
,
y
,
t
,
u

k
x
,
y
,
t
,
u
 q ( x, y , t )u  f ( x, y, t , u )





1
2

t x 
x  y 
y 

( x , y )  , t  0
13

(1.11)


Các phương trình (1.9), (1.10), (1.11) còn được gọi là phương trình truyền
nhiệt hai chiều.
1.2.4 Phương trình truyền nhiệt dừng
Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản mỏng
vật chất, khối vật chất đã ổn định không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói
hiện tượng truyền nhiệt đã dừng. Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời
gian nên

u
 0 , và do đó ta có các phương trình truyền nhiệt dừng như sau:
t

Trong trường hợp một chiều ta có:

d 2u
 0, a  x  b
d2x

(1.12)

hay:

d 
u 
k
(
x
,
u
)
 f  x, u  , a  x  b
dx 
x 

(1.13)

d 
u 
k
(
x
)
 q ( x)u  f ( x) , a  x  b
dx 
x 

(1.14)

hay:

Hình 1.3 bài toán truyền nhiệt dừng

14


Trong trường hợp hai chiều ta có:

 2u 2 u

 0 , ( x, y )  
x 2 y 2

(1.15)

hay:

d 
u  d 
u 
k
(
x
,
y
,
u
)


k
(
x
,
y
,
u
)
 f ( x, y, u ) , ( x, y )   (1.16)
1
2
dx 
x  dy 
y 
hay:

d 
u  d 
u 
k
(
x
,
y
)

k
(
x

,
y
)
 q( x, y)u  f ( x, y) , ( x, y )  
1
2

dx 
x  dy 
y 

(1.17)

Trong trường hợp ba chiều ta có:

2u 2u 2u


 0 , ( x, y , z )  v
x 2 y 2 z 2

(1.18)

hay:
d 
u  d 
u  d 
u 
k
(

x
,
y
,
z
,
u
)

k
(
x
,
y
,
z
,
u
)

k
(
x
,
y
,
z
,
u
)

 f ( x, y, z, u)
1
2
2


dx 
x  dy 
y  dz 
z 

( x, y, z)  v

(1.19)

hay:

d
u  d 
u  d 
u 
k
(
x
,
y
,
z
)


k
(
x
,
y
,
z
)

k
(
x
,
y
,
z
)
 q(x, y, z)u  f (x, y, z, u)
1
2
2
dx 
x  dy 
y  dz 
z 

( x, y, z)  v

(1.20)

Các phương trình (1.18) và (1.21) còn có tên là phương trình Laplace
hai chiều và ba chiều.
Khi vế phải của (1.18) và (1.21) khác 0 ta có các phương trình:

2u 2u

 f (x, y) , ( x, y )  
x2 y2
 2u 2 u  2 u


 f ( x, y , z ) , ( x , y , z )  v
x 2 y 2 z 2
15

(1.21)

(1.22)


Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều và ba chiều.
1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính
Giả sử u  u ( p, q ) là hàm số của hai biến đọc lập p, q .
Kí hiệu:

up 

uqq

u

u
u
, uq 
, u pp  2
p
q
p

 2u
 2u
 2 , u pq  uqp 
q
qq

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai á tuyến:

Au pp  Buqp  Cuqq  F

(1.23)

trong đó A, B, C, F là những hàm số phụ thuộc p , q , u p , u q .
Giả sử phương trình (1.23) có nghiệm u  u ( p, q ) đủ trơn. Xét  là
một đường cong nào đó của mặt phẳng ( p, q) nằm trong miền xác định của
hàm u ( p, q) và có phương trình q  q( p) hay  ( p, q )  0 . Ta có:

d (u p )  u pp dp  u pq dq ; d (uq )  uqp dp  uqq dq
vậy có hệ:

 Au pp  2 Buqp  Cuqq  F ( p, q, u , u p , uq )


u pp dp  u pq dq  d (u p )

uqp dp  uqq dq  d (uq )
hay ở dạng ma trận:

 A 2 B C   u pp   f




 dp dq 0  u

d
(
u
)




pq
p


 0 dp dq 
 


  uqq   d (uq ) 

Hệ này luôn có nghiệm vì ta đã giả sử phương trình (1.23) có nghiệm

u  u ( p, q ) đủ trơn.
Xét ma trận của hệ:

16


 A

M   dp
 0


2B
dq
dp

C 

0 
dq 

Nếu det( M )  0 trên  thì hệ trên có nghiệm duy nhất trên  . Nghĩa là trên 
các đạo hàm cấp hai của u được xác định một cách duy nhất theo vế phải.
Nếu det( M )  0 trên  thì hệ trên vẫn có nghiệm trên  vì ta đã xuất phát từ
giả thiết phương trình (1.23) có nghiệm u, nhưng nghiệm đó không duy nhất
nữa, nghĩa là trên  các đạo hàm cấp hai của u xác định một cách không duy
nhất theo vế phải. Trong trường hợp này t gọi  là một “đường đặc trưng”
của phương trình đạo hàm riêng (1.23).

Như vậy đường đặc trưng xác định bởi điều kiện det( M )  0 . Điều kiện này
viết như sau:

det( M )  A(dq)2  2 Bdpdq  C (dp)2  0

(1.24)

hay:
2

 dq 
dq
A    2B
C  0
dp
dp
 

(1.25)

Trong dó dq / dp là hệ số góc của tiếp tuyến của đường đặc trưng, người ta
gọi dq / dp là phương trình đặc trưng tại điểm

 p, q  . Vậy phương trình

(1.25) xác định các phương đặc trưng. Nó là phương trình vi phân của đường
đặc trưng.
Phương trình (1.25) là một phương trình bậc hai đối với dq / dp .
Xét biệt thức:   B 2  AC
2

Nếu B  AC  0 tại

 p, q   miền

 nào đó thì phương trình đặc

trưng (1.25) có hai nghiệm thực khác nhau tại  p, q    :
dq B  B 2  AC

dp
A

Khi đó tại mỗi  p, q    có hai phương trình đặc trưng thực khác
nhau. Ta nói phương trình (1.23) thuộc loại hypebol trong  :

17


Nếu B 2  AC = 0 tại  p, q   miền  nào đó thì phương trình đặc trưng
(1.25) có hai nghiệm thực trùng nhau tại  p, q    :

dq B

dp A
Khi đó tại mỗi  p, q    có hai phương trình đặc trưng thực trùng
nhau. Ta nói phương trình (1.23) thuộc loại parabol trong  :
Nếu B 2  AC  0

tại

 p, q   miền

 nào đó thì phương trình đặc

trưng (1.25) không có nghiệm thực nào mà chỉ có hai nghiệm phức liên hợp
tại  p, q    :
dq B  i B 2  AC

dp
A

Khi đó tại mỗi  p, q    không có phương đặc trưng thực nào mà chỉ
có hai phương đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.23) thuộc loại
elip trong  .
Thí dụ 1. Phương trình Laplace:

 2u  2u
u  2  2  0
x
y
Và phương trình Poisson:

2 u  2u
u  2  2  Q ( x , y )
x
y
Có A = C = 1, B = 0, do đó có B 2  AC  0  1.1  0 tại mọi ( x, y) , nên là
phương trình loại elip trong cả mặt phẳng ( x, y) .
Thí dụ 2. Phương trình truyền nhiệt

 2 u u
c

x 2 x
2

2

Có A = c , C = B = 0, do đó B 2  AC  0 tại mọi ( x, y) nên là phương trình
loại parabol trong cả mặt phẳng ( x, y) .
Chú ý 3.
18


Phân loại trên rất quan trọng. Ba loại phương trình khác nhau có những
tính chất rất khác nhau. Cho nên người ta phải áp dụng những phương pháp
giải cũng rất khác nhau trong nghiên cứu lý thuyết cũng như trong cách tìm
nghiệm gần đúng.
1.4 Khái niệm bài toán biên
1.4.1 Mở đầu
Ta biết rằng một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm. Phải
thêm một hay nhiều điều kiện phụ nữa thì bài toán mới có nghiệm duy nhất.
Một phương trình vi phân thường cấp một kèm thêm một điều kiện phụ
tại một điểm:

y ' = f  x, y  , x0 < x  , y  x0   
tạo nên một bài toán hoàn chỉnh, có tên là bài toán Cauchy hay bài toán trị
ban đầu, điều kiện y  x0    gọi là điều kiện Cauchy hay điều kiện ban đầu.
Một phương trình vi phân thường cấp hai kèm thêm hai điều kiện phụ
tại hai điểm khác nhau:

y ''  f  x, y  , a  x  b

y (a )   , y (b )  

tạo nên một bài toán hoàn chỉnh có tên là bài toán biên (loại một), điều kiện

y (a )   , y (b )   gọi là điều kiện biên (loại một).
Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự. Muốn nó có
nghiệm duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kèm theo một số điều
kiện phụ. Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán biên riêng.
1.4.2 Thí dụ
a.

Đối với phương trình truyền nhiệt dừng một chiều (1.17):

 k  x  u ' ' q( x)u  f ( x) ,

a xb

điều kiện phụ cho tại hai đầu mút của thanh vật chất là:
Điều kiện phụ: u(a)  ga và u (b)  gb

(1.26)

gọi là điều kiện biên loại một. Nó ấn định nhiệt độ ở hai đầu mút của thanh.
Điều kiện phụ: k (a)u '(a)   a u(a)  ga , k (b )u '(b )   b u (b )  g b (1.27)
19


gọi là điều kiện biên loại ba. Nó ấn định quan hệ giữa luồng nhiệt và nhiệt độ

ở hai đầu mút của thanh.
Bài toán tìm hàm u  u ( x ) thỏa mãn phương trình (1.17) và điều kiện
biên (1.30) gọi là bài toán biên loại một đối với phương trình truyền nhiệt
dừng (1.17).
b.

Đối với phương trình truyền nhiệt không dừng một chiều (1.17):
u
 
u 

 k  x , t    q ( x , t )u  f ( x, t ) , a  x  b , t  0
t x 
x 

điều kiện phụ cho tại hai đầu mút x  a , x  b và tại t  0 .
Điều kiện phụ: u (a, t )  g a (t ) , u (b, t )  gb (t ) , t  0

(1.28)

gọi là điều kiện biên loại một. Nó ấn định quy luật thay đổi nhiệt độ theo thời
gian tại hai đầu mút của thanh.
Điều kiện phụ: k (a, t )u '(a, t )   a (t )u (a, t )  g a (t )

k (b, t )u '(b, t )   b (t )u (b, t )  gb (t )

(1.29)

gọi là điều kiện loại ba. Nó ấn định sự thay đổi theo thời gian của quan hệ
giữa luồng nhiệt và nhiệt độ ở hai đầu mút của thanh vật chất.

Điều kiện phụ: u ( x , 0)  g ( x ) , a  x  b

(1.29)

gọi là điều kiện ban đầu. Nó ấn định tình trạng phân bố nhiệt độ lúc ban đầu t=0.
Bài toán tìm hàm nhiệt độ u  u ( x, t )

thỏa mãn phương trình (1.7)

cũng với điều kiện ban đầu (1.29) và điều kiện biên (1.32) gọi là bài toán biên
loại một đối với phương trình truyền nhiệt không dừng (1.7).
Nó là mô hình toán học của hiện tượng truyền nhiệt trong một thanh vật
chất dài từ x  a đến x  b có suất truyền nhiệt là k. Có phân bố nhiệu độ
ban đầu tại thời điểm t  0 là g ( x ) , đặt cô lập với môi trường nhiệt bên
ngoài trừ tại hai đầu mút ở đó nhiệt độ thay đổi phụ thuộc theo thời gian theo
những qui luật định trước g a (t ) và gb (t ) .
Bài toán tìm hàm nhiệt độ u  u ( x, t ) thỏa mãn phương trình (1.7)
cùng với điều kiện ban đầu (1.34) và điều kiện biên (1.33) gọi là bài toán biên
loại ba đối với phương trình truyền nhiệt không dừng (1.7).
20


Nó là mô hình toán học của hiện tượng truyền nhiệt trong một thanh vật
chất dài từ x  a đến x  b có suất truyền nhiệt là k . Có phân bố nhiệt độ
ban đầu tại thời điểm t  0 là g ( x) , đặt cô lập với môi trường nhiệt bên
ngoài trừ tại hai đầu mút ở đó có quan hệ giữa luồng nhiệt và nhiệt độ thay
đổi phụ thuộc thời gian theo những qui luật định trước.
c.

Đối với phương trình Poisson hai chiều (1.24):

 2u  2 u

 f ( x, y ) ,
x 2 y 2

điều kiện phụ cho bài toán tại biên  của miền  .
Điều kiện phụ: u ( x, y )  g ( x, y ) , ( x, y )  

(1.30)

gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện biên Dirichlet.
Bài toán tìm hàm số u ( x, y) thỏa mãn phương trình (1.24) và điều kiện
biên (1.35) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với
phương trình Poisson (1.24).
Một ý nghĩa vật lý của bài toán này là:
Nó mô tả sự phân bố nhiệt độ đã ổn định trong miền phẳng  khi phân
bố nhiệt độ tại biên  của miền  ấn định là g ( x, y ) .
Điều kiện phụ:

 u



(
x
,
y
)
u
  n



( x , y )

 g (x, y)

( x , y )

,  là biên của 

(1.31)

Trong đó n là pháp tuyến (hướng ra) ngoài của biên  , gọi là điều kiện loại
ba.
Về mặt vật lý điều kiện biên này mô tả quan hệ giữa luồng nhiệt và
nhiệt độ ở biên của bản mỏng vật chất  .
Bài toán tìm u  u ( x, y ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng (1.24)
và điều kiện biên (1.36) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình
Poisson.
d.

Đối với phương trình truyền nhiệt không dừng trong mặt phẳng (1.11):

21


u 
u 
u
 (k1 (x, y, t) )  (k2 ( x, y, t) )  q( x, y, t)u  f (x, u, t)

t x
x y
y
( x, y )   , t  0

điều kiện phụ cho tại biên  của  và tại t  0 .
Điều kiện phụ:

u  x, y , t   g ( x , y , t )

( x, y )   , t  0

(1.32)

gọi là điều kiện biên loại một. Nó ấn định qui luật thay đổi nhiệt độ theo thời
gian tại biên  của miền  .
Điều kiện phụ:

u  x, y , t     x , y , t  u  x , y , t    ( x , y , t )
n
( x, y )   , t  0

(1.33)

Trong đó n là pháp tuyến (hướng ra) ngoài của biên  , gọi là điều
kiện loại ba. Nó ấn định sự thay đổi theo thời gian của quan hệ giữa luồng
nhiệt và nhiệt độ tại biên  của miền  .
Điều kiện phụ:

u  x, y, t    ( x, y )

,

( x, y )  

(1.26)

gọi là điều kiện ban đầu. Nó ấn định tình trạng phân bố nhiệt độ lúc ban đầu
t  0.

Bài toán tìm hàm số u  x, y, t  thỏa mãn phương trình (1.11) và các điều kiện
(1.37) (1.39) gọi là bài toán biên loại một đối với phương trình (1.11).
Bài toán tìm hàm số u  x, y, t  thỏa mãn phương trình (1.11) và các điều kiện
(1.38) (1.39) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình (1.11).
1.5 Nội suy hàm cơ sở bán kính RBF (Radial Basic Function)
1.5.1 Một số định nghĩa và khái niệm
Cho miền  trong không gian Ơcơlit  d với biên  . Ta sẽ dùng thuật
ngữ “Tâm” như là một điểm thuộc miền .
Định nghĩa 1.1. (Véc tơ trọng số (Stencil)) Cho D là toán tử vi phân tuyến
tính và X   x1 , x2 ..., xn  là bộ tâm phân tán đã được chọn trong không gian
 d . Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với toán tử D.
22


n

Du  x    w i  x  u  xi 

(1.29)

i 1



được xác định bởi các trọng số w i  w i  x  . Khi đó w   w1 , w 2 ..., w n  được
gọi là véc tơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với toán tử vi phân D.
Định nghĩa 1.2. (Bộ tâm trùng khớp) Trong cách tiếp cận địa phương, với
mỗi  , ta chọn được một bộ tâm  

mà dựa vào bộ tâm này có thể tính

được véc tơ trọng số. Ta có hai cách chọn bộ tâm 

tương ứng với các

phương pháp cụ thể như sau:
Phương pháp đơn điểm hoặc SPHH:     .
Phương pháp đa điểm hoặc PTHH: Tập  là bộ trọng tâm của các tam giác,
trong đó quy tắc xây dựng các tam giác dựa vào   như sau: đặt  là
“tâm”, các điểm còn lại xung quanh  được xếp theo chiều ngược kim đồng
hồ và tạo thành các tam giác có chung đỉnh  .
Khi đó, ta gọi  là bộ tâm trùng khớp và được xác định bởi:

 : 

với    int .



Định nghĩa 1.3. (Hàm bán kính) Hàm  :  d   được gọi là hàm bán kính

nếu tồn tại hàm một biến  : 0,     sao cho   x     x



với mọi x   d .

Định nghĩa 1.4. (hàm xác định dương) Hàm  :  d   liên tục, được gọi là
xác định dương trên  d nếu và chỉ nếu nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm
phân biệt từng đôi một X   x1 , x2 ,..., xn    d , n  

và mọi véc tơ

c   c , c2 ,..., cn    n thì dạng toàn phương:
n

n

c c  x  x   0
j k

j

k

(1.30)

j1 k 1

Và công thức (1.30) là đẳng thức khi và chỉ khi c và véc tơ 0.
Định nghĩa 1.5. hàm một biến  : 0,     được gọi là xác định dương trên

 d nếu hàm nhiều biến tương ứng   x     x  , x   d là xác định dương.

23


1.5.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian  d
Cho bộ dữ liệu  x1 , y 2  , i  1, 2,..., n , xi   d , yi   , trong đó xi là các
vị trí đo, yi là các kết quả tại vị trí đo. Cho B1 , B2 ,..., Bn là các hàm cơ sở của
không gian tuyến tính các hàm liên tục d biến. Ký hiệu:

n

F  span B1 , B2 ,..., Bn   ck Bk , ck  
 k1

Bài toán nội suy: Tìm hàm Pf  F sao cho

Pf  xi   yi ,

i  1, 2,.., n

(1.31)

Pf  x    ck Bk ( x ) , x   d

(1.32)

Vì Pf  F nên
n
k 1

Từ (1.31) và (1.32) ta có

Ac  y

(1.33)

Trong đó
 B1 ( x1 )  Bn ( x1 ) 


A   ....
....
.... 
 B (x )  B (x ) 
 1 n
n
n 


c   c1 ,..., cn  . y   y1 ,..., yn 

(1.34)



Hệ phương trình (1.33) và (1.34) có nghiệm duy nhất nếu det A  0 câu
hỏi đặt ra là chọn cơ sở B1 , B2 ,..., Bn  như thế nào để điều kiện trên được thỏa
mãn? Trong trường hợp này d  1 thì ta có thể chọn cơ sở sau:

 B1 , B2 ,..., Bn   1, x, x 2 ,..., x n1  .
Định nghĩa 1.6. Cho   d và F  C () là không gian tuyến tính hữu hạn
chiều có cơ sở là B1 , B2 ,..., Bn  . Ta nói F là không gian Haar trên  nếu
det A  0 với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một x1 , x2 .,.., xn trong  , trong

đó ma trân A được định nghĩa bởi (1.34).

24


d
Định lý 1.1. (Mairhuber Curtis) [24, trang 19] Giả sử rằng    , d  2 ,

chứa một điểm trong. Khi đó không tồn tại không gian Haar của các hàm liên
tục trên  .
Định lý Mairhuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán
nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ
liệu. Để thu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét
các hàm xác định dương và ma trận xác định dương.
1.5.2.1 Nội suy với hàm cơ sở bán kính
Ta ký kiệu

 k ( x)   ( x  xk )    x  xk

 với

k  1, 2,..., n , x   d

(1.35)

Khi đó, nội suy hàm số dựa trên các hàm cơ sở bán kính có nghĩa là tìm hàm:
n

n

Pf ( x)   ck  k  x    c k || x – x k || 
k 1

k 1

thỏa mãn điều kiện (2.13).
Lưu ý 1.1
hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu. Vì vậy, để giải phương
trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính phải là các hàm khả vi liên
tục và thậm chí là khả vi liên tục vô hạn lần.
Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phù hợp sao cho
det A ≠ 0.
Bảng1.1 Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó
r  x  xk .
Tên hàm

Viết tắt

Định nghĩa

Multiquadric

MQ

mq(r)= 1  r 2

Inverse Multiquadric

IMQ

imq(r) = 1/ 1  r 2

Gaussian

Gauss

g(r) = e r

Wendland’C6

W33

w33(r)=(1-r)8+(32r3+25r2+8r+1)

25

2