phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của phương trình laplace với điều kiện biên kì dị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM THỊ ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM
GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU
KIỆN BIÊN KÌ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM THỊ ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM
GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU
KIỆN BIÊN KÌ DỊ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian C
k
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian L

p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . . . 8
1.2 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 10
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . . 10
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . 13
1.3 Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng nghiệm yếu . . 16
2 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) đối với bài toán
biên có biên kì dị 20
2.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Cơ sở phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Các phương pháp BAMs . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Ứng dụng của phương pháp BAMs cho bài toán Motz . . . 24
2.3.1 Các phương pháp BAMs . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
2.4.1 Penalty BAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Hybrid BAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Penalty/Hybrid BAM . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh 37
3.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz 44

3.4 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát 47
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Các ký hiệu
L Toán tử elliptic.
R
n
Không gian Euclide n chiều.
Ω Miền giới nội trong không gian R
n
.
∂Ω Biên trơn Lipschitz.
C
k
(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.
L
2
(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.
W
1,p
(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p.
H
1/2
(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2.
H
1
0
(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω.
H

−1
(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H
1
0
(Ω).
H
−1/2
(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H
1/2
(∂Ω).
 . 
V
Chuẩn xác định trên không gian V .
(.)
V
Tích vô hướng xác định trên không gian V .
C
γ
(Ω) Hằng số vết.
C
Ω
Hằng số Poincare.
E Ma trận đơn vị.
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Khi mô hình bài toán mô tả các quá trình trong các môi trường liên tục
thường dẫn đến các bài toán biên với các loại điều kiện biên khác nhau.
Trong trường hợp khi trên một biên chỉ gồm một loại điều kiện biên, ta
sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp yếu. Đối với bài toán này đã có nhiều công

trình nghiên cứu về các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ như phương
pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn của các tác giả trên thế giới
công bố nhiều năm qua. Tuy nhiên trong trường hợp khi trên một đoạn
biên gồm hai loại điều kiện biên được phân cách tại một điểm nào đó trên
biên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay còn gọi là bài toán biên
với điều kiện biên kì dị. Do tính chất thay đổi của điều kiện biên sẽ sinh
ra điểm kì dị tại điểm phân chia. Đối với bài toán này, các phương pháp
thông thường này sẽ gặp khó khăn. Năm 2006, các tác giả Z. C. Li, Y. L.
Chan, G. C. Georgiov, C. Xenophontos khi nghiên cứu về bài toán Motz
đã đưa ra các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường được gọi là các
phương pháp BAMs [1]. Ngoài phương pháp trên việc tìm nghiệm xấp xỉ
đối với bài toán với biên kì dị có thể sử dụng các sơ đồ lặp trên cơ sở của
phương pháp chia miền [2, 3, 4].
Nội dung chính của luận văn là trình bày cơ sở của phương pháp xấp
xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của bài toán biên với điều kiện biên
kì dị bằng các phương pháp BAMs, đánh giá sai số của các phương pháp
tương ứng cùng các kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz, đồng thời
đưa ra phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm của
bài toán Motz tương ứng cũng như trường hợp tổng quát, tiến hành thực
nghiệm tính toán, so sánh độ chính xác giữa hai phương pháp xấp xỉ biên
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
theo BAMs và phương pháp chia miền đối với bài toán Motz. Luận văn
gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau:
Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức quan trọng về các không
gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản,
khái niệm về nghiệm yếu, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu,
phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thông qua bài toán cực trị
phiếm hàm. Đây là các kiến thức quan trọng để trình bày các nội dung
trong chương 2 của luận văn.

Chương 2: Luận văn trình bày cơ sở toán học của các phương pháp xấp
xỉ biên đặc biệt (các phương pháp BAMs) bao gồm mối quan hệ giữa bài
toán Galerkin và bài toán cực trị phiếm hàm, ứng dụng của các phương
pháp BAMs đối với các bài toán Motz đồng thời đưa ra các kết quả đánh
giá sai số của phương pháp, các kết quả thực nghiệm trong các trường hợp
cụ thể. Các kết quả này đã được đưa ra trong tài liệu [1].
Chương 3: Luận văn trình bày phương pháp chia miền giải bài toán
biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, sự hội tụ của phương pháp. Xuất
phát từ sơ đồ lặp chia miền tổng quát, luận văn đưa ra kết quả áp dụng
thuật toán chia miền giải bài toán Motz, tiến hành tính toán thử nghiệm
trên máy tính điện tử để xác định tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ
đồ lặp, so sánh kết quả với các phương pháp BAMs do các giả đã đưa ra
trong tài liệu [1]. Mở rộng việc áp dụng thuật toán trong trường hợp tổng
quát từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương pháp chia miền
trong việc xác định nghiệm xấp xỉ đối với các bài toán biên với điều kiện
biên kì dị. Các kết quả được tính toán số trong luận văn được lập trình
trên môi trường Matlab version 7.0 chạy trên máy tính PC.
Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn
thiện.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ
Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
văn.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm
1.1.1 Không gian C
k
(Ω)
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R
n
và
Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C
k
(Ω), (k = 1, 2, ) là tập các hàm có đạo
hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C
k
(Ω) chuẩn
 u 
C
k
(Ω)
=

α=k
max | D
α
u(x) |, (1.1)
trong đó α = (α
1
, α
2

, , α
n
) là vecto với các tọa độ nguyên không âm,
| α |= α
1
+ α
2
+ + α
n
, D
α
u =
∂
α
1
+α
2
+ +α
n
u
∂x
α
1
1
∂x
α
n
n
.
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong

Ω của các hàm và tất
cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k. Tập C
k
(Ω) với chuẩn (1.1) là
một không gian Banach.
1.1.2 Không gian L
p
(Ω)
Giả sử Ω là một miền trong R
n
và p là một số thực dương. Ta ký hiệu
L
p
(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trong Ω sao cho

Ω
| f(x) |
p
dx < ∞. (1.2)
Trong L
p
(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như
vậy các phần tử của L
p
(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên
Ω. Vì
| f(x) + g(x) |

p
≤ (| f(x) | + | g(x) |)
p
≤ 2
p
(| f(x) |
p
+ | g(x) |
p
)
nên rõ ràng L
p
(Ω) là một không gian vectơ.
Ta đưa vào L
p
(Ω) phiếm hàm  . 
p
được xác định bởi
 u 
p
=


Ω
| f(x) |
p
dx

1
p

.
Định lí 1.1. (Bất đẳng thức H¨oder) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L
p
(Ω), v ∈
L
p
(Ω) thì uv ∈ L
p
(Ω) và

Ω
| u(x)v(x) | dx ≤ u(x) 
p
.  v(x) 
p

,
trong đó p

=
p
p −1
, tức là
1
p
+
1
p

= 1, p


được gọi là số mũ liên hợp đối
với p.
Định lí 1.2. ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1 < p < ∞ thì
 f + g 
p
≤ f 
p
+  g 
p
.
Định lí 1.3. Không gian L
p
(Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach.
1.1.3 Không gian W
1,p
(Ω)
Định nghĩa 1.1. Cho Ω là miền trong R
n
. Hàm u(x) được gọi là khả tích
địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x
0
∈ Ω
đều tồn tại một lân cận ω của x
0
để u(x) khả tích trong Ω.
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền trong R
n
. Giả sử u(x), v(x) là hai hàm
khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức


Ω
u
∂
k
ϕ
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
dx = (−1)
k

Ω
vϕ dx
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
đối với mọi ϕ(x) ∈ C
k
0
(Ω), k = k
1
+ k
2
+ + k
n

, k
i
≥ 0 (i = 1, 2, , n).
Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x).
Ký hiệu
v(x) =
∂
k
u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
Thường ký hiệu
D
0
u = u; D
k
u =
∂
k
u
∂x
k
1
1

∂x
k
n
n
Định nghĩa 1.3. Giả sử p là một số thực, 1 ≤ p < ∞, Ω là miền trong
R
n
. Không gian Sobolev W
1,p
(Ω) được định nghĩa như sau
W
1,p
(Ω) = {u | u ∈ L
p
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
p
(Ω), i = 1, 2, , n},
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2, ta ký hiệu W
1,2
(Ω) = H
1
(Ω), nghĩa là
H
1
(Ω) = {u | u ∈ L

2
(Ω),
∂u
∂x
i
∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, , n}.
Bổ đề 1.1.
i) Không gian W
1,p
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
 u 
W
1,p
(Ω)
= u 
L
p
(Ω)
+
n

i=1

∂u
∂x
i

L

p
(Ω)
.
ii) Không gian H
1
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
H
1
(Ω)
= (u, v)
L
2
(Ω)
+
n

i=1
(
∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i
)
L
2
(Ω)

, ∀u, v ∈ H
1
(Ω).
1.1.4 Vết của hàm
Định nghĩa 1.4. Không gian Sobolev W
1,p
0
(Ω) được định nghĩa như các
bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
tương ứng với chuẩn của W
1,p
(Ω).
Không gian H
1
0
(Ω) được định nghĩa bởi H
1
0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Định lí 1.4. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
i) Nếu 1 ≤ p < n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q

(Ω) là:
- Nhúng compact đối với q ∈ [1, p
∗
), trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhúng liên tục với q = p
∗
.
ii) Nếu p = n thì W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞).
iii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) là nhúng compact.
Định lí 1.5. (Định lý vết)

Giả sử Ω là tập mở trong R
n
sao cho biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi
đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
γ : H
1
(Ω) −→ L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kỳ u ∈ H
1
(Ω) ∩C
0
(Ω) ta có γ(u) = u |
∂Ω
. Hàm γ(u) được
gọi là vết của u trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.5. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω)
được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là
H
1/2
(∂Ω) = γ(H
1
(Ω)).
Định lí 1.6.
i) H
1/2
(∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn

 u 
H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
| u(x) |
2
dS
x
+

∂Ω

∂Ω
| u(x) − u(y) |
2
| x − y |
n+1
dS
x
dS
y
.
ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) sao cho
 γ(u) 
H

1/2
(∂Ω)
≤ C
γ
(Ω)  u 
H
1
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
(Ω).
Khi đó, C
γ
(Ω) được gọi là hằng số vết.
Bổ đề 1.2. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
1/2
(∂Ω) có
các tính chất sau:
i) Tập {u |
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R
n
)} trù mật trong H
1/2
(∂Ω).
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
ii) Nhúng H

1/2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact.
iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1/2
(∂Ω) −→ u
g
∈ H
1
(Ω)
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc miền Ω sao cho
 u
g

H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)  g 
H
1/2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H

1/2
(∂Ω).
Bổ đề 1.3. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó
H
1
0
(Ω) = {u | u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0}.
Định lí 1.7. (Bất đẳng thức Poincaré)
Tồn tại hằng số C
Ω
sao cho:
 u 
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
 u 
L
2
(Ω)
.
Nhận xét 1.1. Bất đẳng thức Poincaré có ý nghĩa rằng
 u = u 
L
2
(Ω)
là một chuẩn trên H

1
0
(Ω) được xác định bởi
 u 
2
H
1
(Ω)
= u 
2
L
2
(Ω)
+  u 
2
L
2
(Ω)
.
Định lí 1.8. ( Bất đẳng thức Poincaré mở rộng)
Giả sử biên Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
, trong đó Γ
1
, Γ
2
là các
tập đóng , rời nhau, Γ

1
có độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số C
Ω
sao
cho
 u 
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
 u 
L
2
(Ω)
,
∀u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0 trên Γ
1
.
1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm
Định nghĩa 1.6. Ký hiệu H
−1
(Ω) là không gian Banach được định nghĩa
bởi
H
−1
(Ω) = (H
1

0
(Ω))

,
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
tức là không gian đối ngẫu của H
1
0
(Ω). Chuẩn của phần tử F ∈ H
−1
(Ω)
được xác định như sau
 F 
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}



F, u

H
−1
(Ω),H

1
0
(Ω)


 u 
H
1
0
(Ω)
,
trong đó

F, u

H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
=

Ω
F u dx.
Bổ đề 1.4. Cho F ∈ H
−1
(Ω). Khi đó tồn tại n+1 hàm f
0
, f

1
, , f
n
trong
L(Ω) sao cho
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
. (1.3)
Hơn nữa
 F 
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=1
 f
i

2

L
2
(Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả các vecto (f
0
, f
1
, , f
n
) trong [L
2
(Ω)]
n+1
thoả mãn điều kiện (1.3).
Định nghĩa 1.7. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
−1/2
(∂Ω)
là không gian Banach được định nghĩa bởi
H
−1/2
(∂Ω) = (H
1/2
(∂Ω))

,
tức là không gian đối ngẫu của không gian H
1/2
(∂Ω). Chuẩn của phần tử
F ∈ H

−1/2
(∂Ω) được xác định như sau
 F 
H
−1/2
(∂Ω)
= sup
H
−1/2
(∂Ω)\{0}



F, u

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)


 u 
H
1/2
(∂Ω)
,
trong đó

F, u


H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
F u dS.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Bổ đề 1.5. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H
−1/2
(∂Ω)
có các tính chất sau
i) Nhúng L
2
(∂Ω) ⊃ H
−1/2
(∂Ω) là compact.
ii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
v ∈ H(Ω, div) −→ v.n ∈ H
−1/2
(∂Ω),
với không gian H(Ω, div) = {v|v ∈ L
2
(Ω), divv ∈ L
2
(Ω)}.

Hơn nữa, nếu v ∈ H(Ω, div) và w ∈ H
1
(Ω) thì
−

Ω
(divv)w dx =

Ω
vw dx +

v.n, w

H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
.
1.2 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình
Elliptic cấp hai
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình
−u = f (1.4)
Giả sử u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.4) thoả mãn trong
miền Ω. Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C
∞

0
(Ω) nhân với hai vế của (1.4) với
ϕ rồi lấy tích phân trong miền Ω ta được
−

Ω
uϕ dx =

Ω
fϕ dx. (1.5)
Áp dụng công thưc Green vào (1.5) và kết hợp với điều kiện ϕ|
∂Ω=0
ta
có

Ω
n

i=1
∂ϕ
∂x
i
∂u
∂x
i
dx =

Ω
fϕ dx, (1.6)
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
hay

Ω
uϕ dx =

Ω
fϕ dx.
Như vậy, nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4) hệ thức (1.6)
thỏa mãn. Nhưng nếu f /∈ C(Ω) thì phương trình (1.4) không có nghiệm
cổ điển. Vậy, ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L
2
(Ω).
Định nghĩa 1.8. Giả sử u ∈ H
1
(Ω), f ∈ L
2
(Ω), u được gọi là nghiệm yếu
của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thoả mãn.
Mệnh đề 1.1. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và u ∈
C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −u = f.
Chứng minh.
Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.4), tức là u ∈ H
1
(Ω) và ta
có (1.6) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C
2
(Ω) ta suy

ra

Ω
(u + f)ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
Vì D(Ω) trù mật trong L
2
(Ω), u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên
u + f = 0 trong L
2
(Ω). Nhưng vì u liên tục nên u + f ≡ 0 trong
C(Ω). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên
• Bài toán Dirichlet
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.7)
trong đó f ∈ L
2
(Ω).
Hàm u ∈ H
1
(Ω) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.7) nếu
u −w ∈ H
1
0
(Ω),
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12

trong đó w là hàm thuộc H
1
(Ω), có vết bằng ϕ và

Ω
uv dx =

Ω
fv dx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω) (1.8)
Nhận xét 1.2.
- Nghiệm yếu của bài toán (1.7) là nghiệm yếu của phương trình −u =
f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u ∈ H
1
(Ω)
thoả mãn (1.8) với mọi v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω).
- Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.7) và u, f, ϕ đủ trơn thì u là
nghiệm theo nghĩa cổ điển.
• Bài toán Neumann
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,

∂u
∂ν
= h, x ∈ ∂Ω,
(1.9)
trong đó h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(
¯
Ω), u ∈ C
2
(
¯
Ω) là nghiệm cổ điển.
Nhân hai vế của phương trình −u = f với v ∈ H
1
(Ω) rồi lấy tích
phân ta được
−

Ω
vu dx =

Ω
vf dx. (1.10)
Áp dụng công thức Green vào (1.10) ta có
−

∂Ω
v
∂u
∂ν
dS +


Ω
uv dx =

Ω
vf dx,
kết hợp với (1.9) ta suy ra

Ω
uv dx =

Ω
fv dx +

∂Ω
hv dS, ∀v ∈ H
1
(Ω). (1.11)
Định nghĩa 1.9. Nếu h ∈ L
2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm yếu của bài
toán Neumann (1.9) là hàm u ∈ H
1
(Ω) thoả mãn (1.11).
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Nhận xét 1.3. Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ cho
một loại điều kiện biên. Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn hợp






−u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ Γ
1
,
∂u
∂ν
= h, x ∈ Γ
2
.
Trong trường hợp này, ta đưa vào không gian
V = {v ∈ H
1
(Ω), v|
Γ
1
= 0}.
Giả sử w ∈ H
1
(Ω) : w|
Γ
1
= ϕ. Khi đó, nghiệm yếu của phương trình
−u = f với các điều kiện biên trên là hàm u ∈ H
1
(Ω) sao cho u−w ∈ V

và

Ω
uv dx =

Ω
vf dx +

Γ
2
vh dS, ∀v ∈ V.
1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lí 1.9. (Định lý Lax-Milgram)
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (v, u). B(v, u) là dạng
song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định dương trên H, tức là tồn tại
k > 0 sao cho
|B(v, u)| ≤ k  v  u , ∀u, v ∈ H
và tồn tại α > 0 sao cho
B(v, u) ≥ α  v 
2
, ∀v ∈ H.
Khi đó, mỗi phiếm hàm tuyến tính F giới nội trên H có thể biểu diễn
trong dạng
F (v) = B(v, z), ∀v ∈ H,
trong đó z ∈ H là duy nhất được xác định bởi F và
 z ≤
1
α
 F  .
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
( Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, z) = F (v) có
duy nhất nghiệm z ∈ H thoả mãn  z ≤
1
α
 F ).
• Bài toán Dirichlet thuần nhất
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,
u = 0, x ∈ ∂Ω,
(1.12)
trong đó f ∈ L
2
(Ω). Bài toán (1.12) có nghiệm yếu là hàm u ∈ H
1
0
(Ω)
thoả mãn
B(u, v) = F (v), ∀v ∈ H
1
0
(Ω) (1.13)
trong đó
B(u, v) =

Ω
uv dx, F (v) =

Ω

fv dx.
Kiểm tra các điều kiện của định lý Lax-Milgram ta thấy B(u, v) là dạng
song tuyến tính đối xứng, liên tục. Từ bất đẳng thức Fridrich
C

Ω
|v|
2
dx ≥

Ω
|v|
2
dx
suy ra
(1 + C)

Ω
|v|
2
dx ≥ v 
2
H
1
(Ω)
.
Do đó
B(v, u) =

Ω

|v|
2
dx ≥
1
1 + C
 v 
2
H
1
(Ω)
.
Như vậy B(u, v) là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục, xác định
dương trên H.
Theo định lý Lax-Milgram, bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất u ∈ H
1
0
thoả mãn
 u 
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)  F  .
Vì  v 
L
2
(Ω)
≤ v 
H
1
0

(Ω)
nên
 F = sup
v=0
|F (v)|
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ sup
v=0
 f 
L
2
(Ω)
 v 
L
2
(Ω)
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ f 
L
2
(Ω)
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Do đó
 u 
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)  f 
L
2
(Ω)
.
• Bài toán Dirichlet không thuần nhất
Xét bài toán

−u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.14)
trong đó ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω).
Vì ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω) nên tồn tại w ∈ H
1
(Ω) sao cho w|
∂Ω
= ϕ.
Khi đó, nghiệm yếu của bài toán (1.14) là hàm u ∈ H

1
(Ω) thoả mãn
điều kiện u − w ∈ H
1
0
(Ω) và
B(u, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
, ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
trong đó
B(u, v) =

Ω
uv dx.
Theo định lý Lax-Milgram, tồn tại duy nhất z ∈ H
1
0
(Ω) sao cho
B(z, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v).
Khi đó, hàm u = w + z là nghiệm yếu của bài toán (1.14). Thật vậy,
ta có u − w ∈ H

1
0
(Ω) và
B(u, v) = B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v)
= B(w, v) + (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
,
tức là tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.14).
Ta đánh giá nghiệm: Theo định lý Max-Milgram ta có
 z 
H
1
0
(Ω)
≤
1
α

sup
v=0
|(f, v)
L
2
(Ω)

|
 v 
H
1
0
(Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)
 v 
H
1
0
(Ω)

.
Ta thấy
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ f 
L
2

(Ω)
,
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
B(w, v)
 v 
H
1
0
(Ω)
≤ k
 w 
H
1
0
(Ω)
 v 
H
1
0
(Ω)
 v 
H
1
0
(Ω)
= k  w 
H
1
0

(Ω)
.
Từ đó suy ra
 z 
H
1
0
(Ω)
≤
1
α
( f 
L
2
(Ω)
+k  w 
H
1
0
(Ω)
).
Do đó
 u 
H
1
0
(Ω)
≤ z 
H
1

0
(Ω)
+  w 
H
1
0
(Ω)
≤
1
α
 f 
L
2
(Ω)
+(1 +
k
α
)  w 
H
1
0
(Ω)
.
Do ánh xạ vết liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho
 w 
H
1
0
(Ω)
≤ C  ϕ 

H
1/2
(∂Ω)
.
Kết hợp các điều trên ta suy ra
 u 
H
1
0
(Ω)
≤ C
1
 f 
L
2
(Ω)
+C
2
 ϕ 
H
1/2
(∂Ω)
.
1.3 Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng
nghiệm yếu
Nghiệm yếu được xác định bởi bài toán sau: Tìm u ∈ V sao cho
B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V (1.15)
trong đó V là không gian Hilbert đầy đủ, B là dạng song tuyến tính đối
xứng, xác định dương và liên tục, F là dạng tuyến tính liên tục.
Định lí 1.10. u là nghiệm của bài toán (1.15) khi và chỉ khi u là nghiệm

của bài toán cực trị
J(v) = B(v, v) − 2F (v) −→ min, v ∈ V (1.16)
Chứng minh. Sự tồn tại của nghiệm cuả (1.15) được khẳng định bởi định
lí Lax - Milgram. Giả sử u là nghiệm của (1.15), lấy v ∈ V , giả sử v = u
ta cần chứng tỏ J(u) < J(v).
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Đặt v = u + h, h = 0, ta có
J(v) = J(u + h) = B(u + h, u + h) −2F (u + h)
= B(u, u) + 2B(u, h) + B(h, h) −2F (u) − 2F (h)
Vì B(u, u) = F (u) và B(u, h) = F (h) nên
J(v) = B(h, h) −F (u) > −F(u) do B(h, h) > 0
Hay J(v) > −F (u) = B(u, u) −F (u) − F (u) = J(u)
Vậy J(v) > J(u), ∀v = u
Ngược lại: Nếu u là nghiệm của bài toán cực trị J(v) −→ min, ta cần
chứng tỏ B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V .
Xét J(u + tv) như là hàm của t ∈ (−∞, +∞). Khi đó hàm đạt cực tiểu
tại t = 0
⇐⇒
dJ(u + tv)
dt


t=0
= 0
Vì
J(u + tv) = B(u + tv, u + tv) − 2F (u + tv)
= t
2
B(v, v) + 2t(B(u, v) −F (v)) + B(u, u) −2F (u)

Suy ra
dJ
dt
= 2tB(u, u) + 2(B(u, v) −F (v))
dJ
dt


t=0
= 2(B(u, v) − F (v)) = 0
⇐⇒ B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
Nhận xét 1.4. Định lí 1.10 cho phép đưa việc tìm nghiệm yếu của bài
toán: Tìm u ∈ V sao cho B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V
về bài toán
J(v) = B(v, v) − 2F (v) −→ min
• Phương pháp xây dựng nghiệm gần đúng của (1.16)
Giả sử e
1
, e
2
, , e
n
, là một hệ cơ sở của không gian V. Kí hiệu V
n
là
không gian con với cơ sở e
1
, e
2
, , e

n
. Ta có V
1
⊂ V
2
⊂ ⊂ V
n
⊂ ⊂ V
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Kí hiệu v
n
=
n

i=1
α
(n)
i
e
i
là nghiệm của bài toán cực tiểu
min
v∈V
n
J(v)
Khi đó hiển nhiên các hệ số α
(n)
i
là nghiệm của hệ phương trình đại số

tuyến tính.
B(v
n
, e
k
) = F (e
k
), ∀k = 1, 2, , n
hay



B(e
1
, e
1
)α
(n)
1
+ B(e
2
, e
1
)α
(n)
2
+ + B(e
n
, e
1

)α
(n)
n
= F (e
1
)

B(e
1
, e
n
)α
(n)
1
+ B(e
2
, e
n
)α
(n)
2
+ + B(e
n
, e
n
)α
(n)
n
= F (e
n

)
(1.17)
Hệ này có nghiệm duy nhất vì det(B(e
i
, e
j
))
n×n
= 0.
Ta sẽ chứng tỏ rằng hệ này thu được từ điều kiện
B

u −
n

i=1
b
i
e
i
; u −
n

i=1
b
i
e
i

−→ min (1.18)

Thật vậy
B

u −
n

i=1
b
i
e
i
; u −
n

i=1
b
i
e
i

= B(u, u)
− 2
n

i=1
b
i
B(e
i
, u) +

n

i=1
n

j=1
b
i
b
j
B(e
i
, e
j
)
=
n

i=1
n

j=1
b
i
b
j
B(e
i
, e
j

) −2
n

i=1
b
i
F (e
i
) + B(u, u).
Để B −→ min ⇔
∂B
∂b
i
= 0 hay ta thu được (1.17). Hay (1.17) thu được
từ điều kiện (1.18).
Vì e
1
, e
2
, , e
n
, là cơ sở của V nên ∀ε > 0, ∃N(ε) sao cho ∀n > N, ∃b
(n)
i
sao cho
u −
n

i=1
b

(n)
i
e
i

V
< ε
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Do
γ  u −

α
(n)
i
e
i

2
≤ B

u −

α
(n)
i
e
i
; u −


α
(n)
i
e
i

(1.19)
≤ B

u −

b
(n)
i
e
i
; u −

b
(n)
i
e
i

≤ kε
2
(1.20)
=⇒ u −

α

(n)
i
e
i
 ≤

k
γ
.ε
Định lí 1.11. lim
n→∞
u−
n

i=1
α
(n)
i
e
i
 = 0 tức là dãy các nghiệm của bài toán
cực trị trong V
n
hội tụ đến nghiệm u là nghiệm yếu của bài toán (1.15).
Nhận xét 1.5.
1. Nếu hệ e
i
là B trực chuẩn tức là B(e
i
, e

j
) = δ
ij
thì hệ (1.17) suy ra
α
(n)
i
= F (e
i
)
Rõ ràng α
(n)
i
không phụ thuộc vào n do đó có thể kí hiệu đơn giản là
α
i
= F (e
i
)
2. Nếu tích vô hướng trong V được xác định bởi

u, v

V
= B(u, v)
thì nghiệm của bài toán (1.15) được cho bởi chuỗi Fourier
u(x) =
∞

i=1

α
i
e
i
(x)
trong đó {e
k
}
∞
1
là hệ trực chuẩn theo nghĩa tích vô hướng trong V.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt
(BAMs) đối với bài toán biên có
biên kì dị
2.1 Cơ sở của phương pháp
Xét bài toán sau









∆u = 0, trong Ω,
u = g

1
trên Γ
1
,
∂u
∂n
+ qu = g
2
, trên Γ
2
.
q > 0
(2.1)
Hình 2.1:
Đặt H
1
∗
(Ω) = {v : v, v
x
, v
y
∈ L
2
(Ω), v|
Γ
1
= g
1
}.
Trong phương pháp Galerkin, nghiệm yếu u ∈ H

1
∗
(Ω) thoả mãn phương
trình tích phân

Ω
u v ds +

Γ
2
quv dl =

Γ
2
g
2
v dl, ∀v ∈ H
1
0
(Ω), (2.2)
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên