Nghiên cứu về đường và mặt trong hình học fractal ứng dụng cài đặt chương trình tạo ảnh trên máy tính

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn ThS. Nguyễn Hiền Trinh vì sự
giúp đỡ và dìu dắt tận tình của cô trong suốt quá trình em thực hiện đồ án.
Em xin cảm ơn quý thầy cô bộ môn Khoa học máy tính – Khoa CNTT – Đại học
Thái Nguyên đã giảng dạy, trang bị cho em những kiến thức quý báu trong suốt những
năm học vừa qua.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bè bạn đã tạo điều kiện và luôn
động viên em hoàn thành đồ án này đúng yêu cầu và thời gian.
Mặc dù đã hết sức cố gắng để có kết quả tốt nhưng chắc chắn đề tài vẫn không
thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng
góp những ý kiến vô cùng quý báu của quý Thầy Cô, bạn bè để đề tài hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Huyền Trang

1


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan :
Những nội dung trong đồ án này là do em thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp
của cô giáo ThS. Nguyễn Hiền Trinh.
Mọi tham khảo dùng trong đồ án đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công
trình, thời gian, địa điểm công bố.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, em xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.
Sinh viên

Nguyễn Huyền Trang

2


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN..................................................................................................................1
LỜI CAM ĐOAN.............................................................................................................2
MỤC LỤC........................................................................................................................3
LỜI MỞ ĐẦU..................................................................................................................6
Chương 1..........................................................................................................................7
TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC FRACTAL....................................................................7
1.1. Sự ra đời và phát triển của lý thuyết hình học phân hình...............................7
1.1.1. Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình.............................................7
1.1.2. Sự phát triển của lý thuyết hình học phân hình.......................................9
1.2. Ứng dụng của hình học Fractal.....................................................................10
1.2.1. Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.......................................11
1.2.2. Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.......................................................11
1.2.3. Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.......................................12
1.3. Các kiến thức cơ sở của lý thuyết hình học Fractal......................................13
1.3.1. Một số khái niệm....................................................................................13
1.3.2. Số chiều Fractal......................................................................................13
Chương 2........................................................................................................................17
MỘT SỐ HỌ ĐƯỜNG CƠ BẢN VÀ TẬP FRACTAL PHỔ BIẾN...........................17
2.1. Họ đường Vonkock.......................................................................................17
2.1.1. Đường hoa tuyết Vonkock ─ Snowflake...............................................17
2.1.2. Đường Vonkock ─ Gosper....................................................................19
2.1.3. Đường Vonkock bậc hai 3–Đoạn..........................................................20
2.1.4. Đường Vonkock bậc hai 8–Đoạn..........................................................21
2.1.5. Generator phức tạp.................................................................................22
2.2. Họ đường Peano............................................................................................24

3


2.2.1. Đường Peano nguyên thủy.....................................................................24
2.2.2. Đường Peano cải tiến.............................................................................25
2.2.3. Tam giác Cesaro.....................................................................................26
2.2.4. Tam giác Cesaro cải tiến........................................................................27
2.2.5. Đường hoa tuyết Peano 7 – đoạn...........................................................28
2.3. Đường Sierpinski...........................................................................................29
2.4. Tập Mandelbrot..............................................................................................30
2.4.1. Giới thiệu chung.....................................................................................30
2.4.2. Công thức toán học................................................................................31
2.4.3. Thuật toán thể hiện tập Mandelbrot.......................................................31
Chương 3........................................................................................................................37
GIẢI THUẬT LẶP HỖ TRỢ TẠO ẢNH FRACTAL..................................................37
3.1. Các hệ hàm lặp IFS (Iterated Function System)...........................................37
3.2. Các phép biến đổi Affine trong không gian R2............................................41
3.2.1. Các phép biến đổi cơ bản quanh gốc tọa độ..........................................41
3.2.2. Các phép biến đổi với gốc là điểm bất kỳ.............................................43
3.2.3. Hệ IFS của các phép biến đổi Affine trong không gian R2..................46
3.3. Giải thuật lặp tuần tự.....................................................................................47
3.3.1. Ý tưởng của giải thuật............................................................................47
3.3.2. Giả mã của giải thuật lặp tuần tự...........................................................48
3.4. Giải thuật lặp ngẫu nhiên...............................................................................49
3.4.1. Ý tưởng của giải thuật............................................................................49
3.4.2. Giả mã của giải thuật lặp ngẫu nhiên....................................................50
Chương 4........................................................................................................................52
CHƯƠNG TRÌNH TẠO ẢNH FRACTAL TRÊN MÁY TÍNH..................................52
4.1. Cài đặt một số đường.....................................................................................52
4

4.1.1. Ý tưởng chính của ứng dụng..................................................................52
4.1.2. Thuật toán...............................................................................................52
4.1.3. Thực hiện cài đặt ứng dụng...................................................................55
4.1.4. Kết quả thực hiện...................................................................................71
4.2. Cài đặt mặt.....................................................................................................72
4.2.1. Ý tưởng chính của ứng dụng..................................................................72
4.2.2. Thuật toán...............................................................................................73
4.2.3. Thực hiện cài đặt ứng dụng...................................................................73
4.2.4. Kết quả thực hiện..................................................................................74
4.3. Ứng dụng tạo ảnh Fractal..............................................................................75
4.3.1. Ý tưởng chính của ứng dụng..................................................................75
4.3.2. Thuật toán...............................................................................................75
4.3.3. Thực hiện cài đặt ứng dụng...................................................................76
4.3.4. Kết quả thực hiện...................................................................................76
4.4. Đánh giá chung chương trình........................................................................77
4.4.1. Ưu điểm..................................................................................................77
4.4.2. Hạn chế...................................................................................................77
KẾT LUẬN....................................................................................................................78
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN....................................................................................79
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................80

5


LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bước lên một bậc
thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc thử nghiệm liên
ngành. Đề tài về Hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú

nghiên cứu. Vấn đề này đã cung cấp cho các nhà khoa học một môi trường phong phú
cho sự thám hiểm và mô hình hoá tính phức tạp của tự nhiên. Trong ngữ cảnh nào đó
Hình học phân hình là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả, mô hình hoá và phân tích các
dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên. Trong khi các phần tử của ngôn ngữ truyền
thống (Hình học Euclide) là các dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, mặt phẳng… thì
trong hình học phân hình đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng và
cấu trúc nhờ máy tính.
Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới cho
khoa học cơ bản và ứng dụng. Và em xin được đề cập đến vấn đề này trong đồ án tốt
nghiệp với nội dung: “Nghiên cứu về đường và mặt trong hình học Fractal. Ứng
dụng cài đặt chương trình tạo ảnh trên máy tính”. Nội dung đồ án gồm:
Chương 1: Trình bày tổng quan hình học phân hình.
Chương 2: Một số họ đường cơ bản và các tập Fractal phổ biến.
Chương 3: Các giải thuật lặp hỗ trợ tạo ảnh Fractal.
Chương 4: Cài đặt chương trình tạo ảnh Fractal trên máy tính.

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Huyền Trang

6


Chương 1
TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC FRACTAL
1.1. Sự ra đời và phát triển của lý thuyết hình học phân hình
1.1.1. Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình
Hình học phân hình hay Fractal là một thuật ngữ do nhà Toán học Mandelbrot
đưa ra khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có
đặc trưng về độ dài. Nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 20 này nói rằng: “Các đám mây

không phải là hình cầu, các ngọn núi không phải là hình nón”. Theo ông Fractal là chỉ
những đối tượng hình học có hình dáng ghồ ghề, không trơn nhẵn trong thiên nhiên.
Cụ thể hơn đó là những vật thể có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi nhất định,
có nghĩa là khi ta chia một vật thể fractal, với hình dáng ghồ ghề, gãy góc ra thành
những phần nhỏ thì nó vẫn có được đặc tính đối xứng trong một cấu trúc tưởng như
hỗn đoạn. Hình dáng các đám mây, đường đi của các tia chớp là những ví dụ mà ta dễ
nhìn thấy được.
Khái niệm về một Fractal: Cho đến giờ các nhà toán học không thể đưa ra khái
niệm chính xác. Nhưng ta có thể hiểu như sau: Một phân dạng (còn được gọi là hình
học phân hình hay fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên
mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống
như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn.
Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình là kết quả của nhiều thập kỷ nổ lực
giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là vật lý
và toán học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình được xây dựng dựa trên 2
vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế kỷ 20. Các vấn đề đó bao gồm:
+ Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên.
+ Mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Euclide cổ điển.
* Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên
Các công thức lặp có dạng:

Xn+1=f(Xn)

7


thường được sử dụng trong các ngành khoa học chính xác để mô tả các quá trình
lặp đi lặp lại có tính xác định. Các quá trình được xác định bởi công thức trên, trong
đó f thể hiện mối liên hệ phi tuyến giữa hai trạng thái nối tiếp nhau X n và Xn+1, được
quan tâm đặc biệt. Các khảo sát trong những thập niên gần đây đã phát hiện ra một số

sự khác lạ của các tiến trình lặp như vậy.
Khảo sát chi tiết đầu tiên được nhà khí tượng học Edward N. Lorenz tiến hành
vào năm 1961 khi nghiên cứu hệ toán học mô phỏng dự báo thời tiết. Về mặt lý
thuyết, hệ này cho ra các kết quả dự đoán chính xác trong một khoảng thời gian dài.
Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, khi bắt đầu tính toán lại dựa vào dữ liệu cho bởi hệ
tại một thời điểm tiếp sau đó không giống với các kết quả dự đoán ban đầu. Hơn nữa
sai số tính toán sẽ tăng lên nhanh chóng theo thời gian. Điều này dẫn đến kết luận là
nếu tiến trình dự đoán lại từ một thời điểm nào đó trong tiến trình dự báo, khoảng thời
gian để các kết quả dự báo tiếp theo vẫn còn chính xác sẽ bị thu hẹp lại tức là không
thể dự báo chính xác về thời tiết trong một khoảng thời gian khá lớn. Vấn đề được
Lorenz tìm thấy ở đây ngày nay được gọi là sự hiện diện của tính chất hỗn độn trong
các tiến trình lặp xác định.
* Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Euclide cổ điển
Vào các năm 1890 & 1891, trong khi tìm kiếm các đặc trưng bất biến của các
đối tượng hình học qua các phép biến đổi đồng phôi trong lý thuyết topo, các nhà toán
học Peano & Hilbert đã phát minh ra các đường cong có tính chất rất đặc biệt. Đó là
các đường cong không tự cắt theo một quy luật, chúng lấp đầy mọi miền hữu hạn của
mặt phẳng. Hình học Euclide cổ điển quan niệm các đường cong như vậy chỉ là các
đối tượng một chiều như các đường thẳng. Tuy nhiên trực quan cho thấy cách nhìn
như vậy về số chiều là rất gò bó. Do đó người ta bắt đầu nghĩ đến một sự phân lớp
mới, trong đó các đường có số chiều bằng 1 được đại diện bởi đường thẳng, các đối
tượng hai chiều được đại diện bởi mặt phẳng, còn các đường cong lấp đầy mặt phẳng
đại diện cho các đối tượng có số chiều giữa 1 và 2. Ý tưởng cách mạng này đã dẫn đến
việc hình thành và giải quyết bài toán số chiều hữu tỷ gây ra nhiều tranh luận toán học
trong các thập kỷ gần đây.
Năm 1904 nhà toán học Thụy Điển Helge Koch đã đưa ra một loại đường cong
khác với những đường cong của Peano và Hilbert. Đó là các đường Von Kock. Các
8

đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng nhưng có độ dài thay đổi vô hạn mặc
dù chúng được chứa trong một miền hữu hạn. Những đường cong như vậy có rất
nhiều trong tự nhiên, ví dụ như các đường bờ biển, đường biên của một bông hoa
tuyết, các đám mây, vv… Tính chất đặc trưng của cá đường cong này là tính đồng
dạng (biểu hiện bởi sự giống nhau giữa một phần rất nhỏ của đường cong được phóng
lớn với một phần khác lớn hơn của cùng đường cong đó). Đây là một tính chất quan
trọng trong việc hình thành nên các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên, nhưng vào
thời Von Koch lại được hiểu biết rất sơ lược.
Chỉ với sự giúp đỡ của máy tính điện tử, bản chất của tính đồng dạng mới được
nghiên cứu đầy đủ và chi tiết trong tác phẩm “Hình học phân hình trong tự nhiên” của
Benoit B. Mandelbrot xuất bản năm 1982. Trong các nghiên cứu của mình,
Mandelbrot đã phân rã các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên thành các thành phần
cơ bản gọi là fractal. Các fractal này chứa đựng các hình dáng tự đồng dạng với nhiều
kích thước khác nhau. Mandelbrot đã tạo nên những bức tranh fractal trừu tượng đầu
tiên và nhận thấy rằng đằng sau các đối tượng tự nhiên như các đám mây, các dãy núi,
các khu rừng, vv… là các cấu trúc toán học tương tự nhau. Các đối tượng này có
khuynh hướng hài hoà về màu sắc và cân đối về hình thể. Ngoài ra Mandelbrot cũng
thiết lập cách xác định số chiều và độ dài của các dạng fractal cơ sở. Với định nghĩa
về số chiều này, bài toán số chiều không nguyên đã được giải quyết một cách hoàn
chỉnh. Có thể nói công trình của Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý
thuyết hình học phân hình sau hơn nửa thế kỷ nghiên cứu liên tục.
1.1.2. Sự phát triển của lý thuyết hình học phân hình
Năm 1982, lý thuyết về hính học phân hình chính thức ra đời và đã phát triển
một cách nhanh chóng. Sau khi đặt nền móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot
cùng với các nhà toán học khác như A. Douady và J.Hubbard đã phát triển lý thuyết
về các mặt fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu
trúc fractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia. Ngoài ra các nghiên cứu cũng cố
gắng tìm kiếm mối liên hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối liên hệ giữa tập
Mandelbrot và tập Julia.

9


Vào các năm 1986, 1988, dựa trên các công trình của Mandelbrot (trong những
năm 1976, 1979, 1982) và Hutchinson (1981), Michael F.Barnsley và M.Begger đã
phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở lý thuyết về các hệ
hàm lặp IFS. Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine
cho phép tạo nên hình ảnh các đối tượng trong tự nhiên với sự giúp đỡ của máy tính.
Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các
đối tượng nhân tạo như một toà nhà, một cỗ máy nhưng lại không thích hợp cho việc
biểu diễn các đối tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần
có. Trong hình học Euclide, các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông,
… còn trong lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số
thuật toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên.
Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết, hình học phân hình còn được bổ
sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các khoa học
chính xác khác, ví dụ dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát triển lý thuyết biến đổi
phân hình áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy tính, là một lĩnh vực đòi
hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại. Ưu điểm của phương pháp nén
ảnh Fractal là: trong quá trình Fractal hóa, bạn sẽ nhận được bộ các chữ số rất nhỏ thể
hiện hình ảnh. Do đó hệ số nén của phương pháp là rất lớn, tuy thế chất lượng ảnh sau
khi nén được bảo đảm khá chính xác. Phương pháp rất hiệu quả với những ảnh có độ
phân giải cao. Phương pháp này đã được áp dụng không những trong nén dữ liệu mà
còn để thể hiện các mối quan hệ giữa các phần tử của các ánh xạ.
Hiện nay nhiều vấn đề, về lý thuyết phân hình vẫn đang được tiếp tục nghiên
cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các độ đo đa
phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm số
chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan đến việc áp
dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên.

1.2. Ứng dụng của hình học Fractal
+ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.
+ Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.
+ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.
10


1.2.1. Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính
Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây,
công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi, anmation video…
nhanh chóng đạt tới đỉnh cao. Công nghệ này đòi hỏi sự mô tả các hình ảnh của máy
PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và
công sức. Những vấn đề khó khăn đó hiện nay đã được giảm nhẹ nhờ các mô tả đơn
giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đối tượng tự nhiên. Với hình học phân
hình khoa học máy tính có trong tay một công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ.
Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học phân hình còn có mặt trong
các ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính. Các hệ này cho phép người sử dụng
tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các hiệu ứng vẽ rất tự nhiên hết
sức hoàn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter
của công ty Fractal Design. Hệ này cho phép xem các hình ảnh dưới dạng hình hoạ
véctơ cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các đối tượng. Các ảnh bitmap hiển thị
hết sức nhanh chóng, thích hợp cho các ứng mang tính tốc độ, trong khi các ảnh véctơ
mất nhiều thời gian hơn để trình bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ
lại) nhưng tốn rất ít vùng nhớ làm việc. Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại
đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ phần mềm
này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao.
1.2.2. Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh
Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của công nghệ xử lý hình ảnh
hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủ tính phong phú và sống động
trên máy tính. Vấn đề khó khăn trong lĩnh vực này chủ yếu do yêu cầu về không gian

lưu trữ thông tin vượt quá khả năng lưu trữ của các thiết bị thông thường. Một ví dụ
đơn giản: 1 ảnh có chất lượng gần như chụp cần vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, nên
để hiện ảnh đó trên màn hình mày tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768
cần khoảng 2.25Mb. Với các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạt cảnh
trong thời gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức là bằng sức chứa của một
đĩa CD-ROM. Như vậy khó có thể đưa công nghệ multimedia lên PC vì đòi hỏi một
cơ sở dữ liệu ảnh và âm thanh khổng lồ.
11


Để giải quyết vấn đề này, khoa học máy tính đã phải cải tiến vượt bậc cả về phần
cứng lẫn phần mềm dựa trên ý tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp. Tuy nhiên cho
đến gần đây, các phương pháp nén thông tin hình ảnh đều có 1 trong 2 yếu điểm sau:
+ Cho tỉ lệ nén không cao. (Các phương pháp nén không mất thông tin).
+ Cho tỉ lệ nén tương đối cao nhưng chất lượng ảnh nén quá kém so với ảnh ban
đầu. (Các phương pháp nén mất thông tin, ví dụ: chuẩn nén JPEG).
Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt một tỷ lệ nén hiệu quả (kích thước dữ
liệu nén giảm so với ban đầu ít nhất hàng trăm lần), phương pháp nén mất thông tin là
bắt buộc. Phương pháp nén ảnh phân hình được áp dụng gần đây bởi Iterated System
đáp ứng được yêu cầu về được một phương pháp nén kết hợp cả tính hiệu quả về tỷ lệ
nén lẫn chất lượng ảnh.
1.2.3. Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản
Có thể nói cùng với lý thuyết topo, hình học phân hình đã cung cấp cho khoa
học một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ, vật lý học và toán học thế kỷ
XX đã gặp phải những vấn đề với sự xuất hiện của tính hỗn độn trong nhiều quá trình
có tính quy luật của tự nhiên. Từ những vấn đề đó, trong những thập niên tiếp theo đã
hình thành một lý thuyết mới chuyên nghiên cứu về các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết
hỗn độn. Việc khảo sát các bài toán phi tuyến đòi hỏi rất nhiều công sức trong việc
tính toán và thể hiện các quan sát một cách trực quan, do đó sự phát triển của lý thuyết
này bị hạn chế rất nhiều.

Tuy nhiên gần đây với sự ra đời của lý thuyết fractal và sự hỗ trợ đắt lực của
máy tính, các nghiên cứu chi tiết về sự hỗn độn mới được đẩy mạnh. Vai trò của hình
học phân hình trong lĩnh vực này thể hiện một cách trực quan những sự thay đổi bất
thường của các tiến trình được khảo sát, qua đó tìm ra được các đặc trưng hoặc các
cấu trúc tương tự nhau trong các ngành khoa học khác nhau. Hình học phân hình được
áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết các phức chất trong hoá học, lý
thuyết tái định chuẩn và phương trình Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ
phương trình phi tuyến được giải dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp của Newton
trong giải tích số,… Các kết quả thu được giữ vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực
tương ứng.
12


1.3. Các kiến thức cơ sở của lý thuyết hình học Fractal
1.3.1. Một số khái niệm
- Initiator:
Hình khởi tạo hay đối tượng ban đầu để tạo hình Fractal được gọi là Initiator.
Một initiator có thể là một đoạn thẳng, một đa giác hay một đường cong (hình
tròn, ellip hay bezier). Trong tự nhiên, một initiator có thể là một đối tượng bất kỳ.
- Generator:
Một tập liên thông các đoạn thẳng (hoặc các hình đa giác hay các đối tượng…)
được sử dụng để thay thế Initiator nhằm tạo nên hình Fractal mong muốn được gọi là
một Generator.
- Mức (level):
Khi Initiator được thay thế bởi Generator, ta có “hình Fractal mức 1”. “Hình
Fractal mức 1” này trở thành tập hợp Initiator với tỷ lệ nhỏ hơn và lại được thay thế
bởi các Generator, ta được “hình Fractal mức 2”… Quá trình sinh hình Fractal lại
được tiếp tục... Như vậy, có thể hiểu Mức (hay Level) của hình Fractal là số lần lặp lại
việc thay thế Intiator bởi các Generator.
1.3.2. Số chiều Fractal

a. Số chiều Hausdorff của một tập hợp A⊂ R
Chiều Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo kích thước của phân dạng, thường
không phải là một số tự nhiên.
Cho trước các số thực dương s và ε. Gọi hs (A) là độ đo Hausdorff s-chiều của tập
A thì hs (A) được xác định bởi:
hs (A) = lim hsε (A)
ε→0
với:

13


trong đó:
diam (Ui) = sup [ d(x,y) : x,y ∈ Ui ], với d là metric Euclide trong không gian R n,
[U1, U2,… ] là một phủ mở của A và diam(Ui) < ε, ∀i.
Hausdorff đã chứng minh được sự tồn tại của một số DH(A) sao cho:

Giá trị DH(A) được gọi là số chiều Hausdorff của tập A.
Nói cách khác: DH(A) = inf {S : hs(A) = 0} = sub {s : hs(a) = ∞}
Trong trường hợp s = DH(A) thì hS(A) có thể là một số thực dương 0 hay ∞.
Định nghĩa này giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết hình học phân hình hiện
đại nhưng không có tính thực tiễn vì việc xác định số chiều theo định nghĩa này rất
phức tạp ngay cả với trường hợp tập A rất đơn giản. Do đó, xuất phát từ định nghĩa
này, Mandelbrot đã đưa ra khái niệm số chiều fractal tổng quát dễ xác định hơn với ba
dạng đặc biệt áp dụng cho từng loại đối tượng (tập A) cụ thể.
b. Số chiều tự đồng dạng: (số chiều Hausdorff-Bescovitch)
Cho trước một cấu trúc tự đồng dạng được chia thành N phần, hệ số thu nhỏ của
mỗi phần so với cấu trúc ban đầu là r. Ký hiệu DS là đại lượng xác định bởi:

Khi đó DS được gọi là số chiều tự đồng dạng của cấu trúc đó.

Ví dụ: Xét một hình vuông được chia thành 9 hình vuông nhỏ với tỷ lệ đồng
dạng là 1/3. Khi đó số chiều tự đồng dạng của hình vuông ban đầu được xác định bởi:

Xét một khối lập phương được chia thành 27 khối lập phương nhỏ hơn với tỷ lệ
đồng dạng 1/3. Có số chiều của tự đồng dạng của khối lập phương được xác định bởi:
14


Hai ví dụ trên cho thấy định nghĩa số chiều tự đồng dạng phù hợp với định nghĩa
thông thường của hình học Euclide.
c. Số chiều Compa:
Số chiều Compa được áp dụng cho các đường cong không phải là các đường
cong tự đồng dạng hoàn toàn (như các đường bờ biển, các con sông,…), nhưng có thể
sử dụng nhiều đơn vị khác nhau để xác định độ dài của chúng.
Xét một đường cong không tự đồng dạng. Biểu diễn số đo của đường cong trên
hệ toạ độ log / log với:
+ Trục hoành: thể hiện logarit của độ chính xác trong phép đo chiều dài đường
cong. Độ chính xác được đặc tả bởi 1/s, với s là đơn vị đo độ dài. Ở đây giá trị s
càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo càng lớn.
+ Trục tung: thể hiện logarit của độ dài u đo được ứng với một đơn vị đo s.
+ d: là hệ số góc của đường thẳng hồi qui dùng để xấp xỉ các giá trị đo u đo được
dựa trên phương pháp bình phương cực tiểu. Ta có quan hệ:
log u = d . log (1/s + b), b là hệ số tự do.
Khi đó số chiều compa DC được xác định bởi:
DC = 1 + d
Ví dụ: Xét đường cong 3/2 được xây dựng theo kỹ thuật initiator / generator chỉ
ra bởi hình vẽ sau:

15

Biểu diễn các đại lượng có liên quan trên hệ toạ độ log/log đã được trình bày ở
trên với chú ý sau bước tạo sinh thứ k, đường cong gồm 8k đoạn, mỗi đoạn có độ dài s
= 1 / 4k nên độ dài của đường cong sẽ là 8k.1/4k = 2k.
Khi đó giá trị trên trục hoành là log41 / 1 / 4k = k ứng với giá trị trên trục tung là:
log42k = k / 2. Do đó ta xác định được d = 0.5.
Vậy:

DC = 1 + 0.5 = 1.5

d. Số chiều Box-Counting:
Số chiều Box-Counting được áp dụng cho các đường cong fractal không thể xác
định số chiều theo 2 cách vừa trình bày. Cách tính số chiều này có thể áp dụng cho
mọi cấu trúc trong mặt phẳng và mở rộng cho cấu trúc trong không gian.
Xét một cấu trúc fractal bất kỳ. Lần lượt đặt cấu trúc này lên một dãy các lưới có
kích thước ô lưới s giảm liên tiếp theo tỉ lệ ½. Gọi N(s) là các ô lưới có kích thước s
có chứa một phần cấu trúc. Ta xây dựng hệ toạ độ log/log như sau:
+ Trục hoành biểu thị giá trị của đại lượng log2 (1/s).
+ Trục tung biểu thị giá trị của đại lượng log2 N((s)).
+ DB là hệ số góc của đường thẳng hồi qui đối với tập hữu hạn các điểm (s, N(s))
của hệ toạ độ.
Khi đó ta có:

DB được gọi là số chiều box-counting của cấu trúc fractal đã cho.

16


Chương 2
MỘT SỐ HỌ ĐƯỜNG CƠ BẢN VÀ TẬP FRACTAL PHỔ BIẾN

Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về các fractal được phát sinh từ các đoạn thẳng
với kỹ thuật đệ qui initiator / generator với kết quả là các hình tự đồng dạng hoàn
toàn. Đây chính là bước khởi đầu để tìm hiểu các lý thuyết fractal khác phức tạp hơn.

2.1. Họ đường Vonkock
Năm 1904, họ đường Vonkock được phát hiện bởi nhà toán học Thụy Điển
Helge von Koch. Các hình này có số chiều tự đồng dạng, số chiều fractal và số chiều
Hausdorff-Besicovitch bằng nhau. Số chiều được tính theo công thức sau:

Trong đó:

N: Là số đoạn thẳng.
R: Là số chiều dài của mỗi đoạn.

Bắt đầu bằng một initiator (một đoạn thẳng hay một đa giác). Mỗi cạnh của
initiator được thay thế bởi một generator, là tập liên thông của các đoạn thẳng tạo nên
bằng cách đi từ điểm đầu đến điểm cuối của đường thay thế (thông thường các điểm
của generator là một lưới vuông hay một lưới tạo bởi các tam giác đều). Sau đó mỗi
đoạn thẳng của hình mới được thay thế bởi phiên bản nhỏ hơn của generator, tạo lên
mức thấp hơn của đường. Quá trình tiếp tục cho đến khi đạt đến một mức xác định.
2.1.1. Đường hoa tuyết Vonkock ─ Snowflake
Đường hoa tuyết được xây dựng bởi nhà toán học Helge Von Kock vào năm
1904. Bắt đầu với initiator là một đoạn thẳng. Còn generator được phát sinh như sau:

Generator của đường Vonkock ─ Snowflake

17


VonKock là một đường cong toán học và là một trong những đường cong

Fractal được mô tả đầu tiên. Nó được dựa trên đường cong Koch, xuất hiện trong một
bài báo năm 1904 có tiêu đề "Trên một đường cong liên tục mà không có tiếp tuyến”.
Các đường cong Koch có chiều dài vô hạn vì sau mỗi mức, các đoạn thẳng lại
được thay thế bởi bốn đoạn đường thẳng nhỏ hơn có độ dài bằng 1/3 đoạn thẳng được
thay thế.
Ta chia đoạn thẳng thành ba phần bằng nhau. Sau đó thay thế một phần ba đoạn
giữa bằng tam giác đều và bỏ đi cạnh đáy của nó. Sau đó lặp lại quá trình này cho mỗi
đoạn thẳng mới. Nghĩa là chia đoạn thẳng mới thành ba phần bằng nhau và lặp lai các
bước như trên.
Ta thấy quá trình xây dựng là tự đồng dạng, nghĩa là mỗi phần trong 4 phần ở
mức thứ k là phiên bản nhỏ hơn 3 lần của toàn bộ đường cong ở mức thứ (k–1).
Như vậy mỗi đoạn thẳng của generator có chiều dài R = 1/3 (giả sử chiều dài
đoạn thẳng ban đầu là 1) và số đoạn thẳng của generator N = 4. Do vậy số chiều
fractal của đường hoa tuyết là:

Một số hình ảnh của đường:

Mức 2

Mức 3

18


2.1.2. Đường Vonkock ─ Gosper
Đường Vonkock ─ Gosper là một dạng khác của đường Von Kock được phát
hiện bởi W.Gosper. Trong đường mới này, initiator là một lục giác đều và generator
chứa ba đoạn nằm trên một lưới của các tam giác đều. Hình sau cho chúng ta thấy
generator bố trí trên lưới:

Generator của đường Vonkock ─ Gosper và mức đầu tiên của đường
Ta thấy đường này khác biệt so với đường hoa tuyết Vonkock ─ Snowflake ở
chỗ đoạn thẳng được thay thế không nằm trên bất kỳ các đường nào của lưới.
Để tính số chiều fractal của đường Gosper trước hết ta tính chiều dài mỗi đoạn
của generator.
Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1.
Đặt: AC = R => AE = 3AC = 3R
AB2 = AE2 + EB2 – 2AE.EB.Cos(600)
Ta có: AB = 1, AE = 3R, EB = AC = R

19


Vì N = 3 nên số chiều fractal của đường Gosper là:

Ngoài ra, đường Gosper có các mức khác nhau thì tương ứng với các hình dạng
khác nhau.
Một số hình ảnh của đường Gosper.

Mức 1

Mức 3

2.1.3. Đường Vonkock bậc hai 3–Đoạn
Một vài đường cong kế tiếp được gọi là bậc hai (quadric) vì initiator là một hình
vuông. Ta sẽ tạo ra các generator trên lưới các hình vuông. Đối với đường Von Kock
bậc hai 3 - đoạn, một generator của 3-đoạn sẽ được sử dụng.

Generator của đường Vonkock bậc hai 3–Đoạn
Để tính số chiều fractal của đường này trước hết ta tính số chiều của mỗi đoạn

của generator.
Giả sử chiều dài từ đầu mút của Generator đến đầu mút khác là 1 (AB = 1).
Ta có:
20


Đặt AC = R. Ta có: AB2 = AE2 + EB2

Mà AB = 1, AE = 2AC = 2R, EB = R => 1 = 4R2 + R2
EB2 = EA2 + AB2 – 2EA.AB.cosα

Vì N = 3 nên số chiều fractal là:

Một số hình ảnh của đường:

Mức 1

Mức 4

2.1.4. Đường Vonkock bậc hai 8–Đoạn
Tương tự như đường Vonkock bậc hai 3-đoạn, đường Vonkock bậc hai 8–Đoạn
sử dụng một lưới hình vuông và quay các góc đi 90 0. Đường cong này đều hơn một
chút so với đường cong trước bởi vì đoạn thẳng được thay thế sẽ rơi vào đường nằm
ngang ở giữa lưới.

Generator của đường Vonkock bậc hai 8–Đoạn
21


Giả sử chiều dài từ đầu nút của generator đến đầu mút khác là 1, thì chiều dài

mỗi đoạn thẳng của generator R = 1/4.
Ta có thể vẽ các generator khác nhau, điều cần quan tâm là làm sao để đường
cong không tự đè lên nhau và không tự giao nhau. Nếu muốn đường cong có số chiều
lớn nhất có thể có, thì ta cần tìm generator với N lớn nhất. Mandelbrot đã định giá trị
N lớn nhất có thể có là:
N max =

1
2R 2

N max =

1+ R2
2R 2

Với 1/R là số chẵn

Với 1/R là số lẻ.

Do vậy R = 1/4 nên Nmax = 8. Số chiều fractal là:

Ngoài ra, đường Von Kock 8-đoạn có các mức khác nhau thì tương ứng với các
hình dạng khác nhau.

Mức 1

Mức 5

2.1.5. Generator phức tạp
Đường Generator phức tạp được khám phá bởi Mandelbrot, cơ sở của đường này

là một lưới các tam giác đều.

22


Generator của đường Generator phức tạp
Nếu generator chứa các đoạn nối các điểm 0, 1, 2, 3, 4 và 11 thì nó sẽ đơn giản
hơn. Tuy nhiên mô hình nhỏ hơn của generator đơn giản này được chèn vào giữa điểm
4 và 9, sau đó hai đoạn thẳng bằng nhau được thêm vào để hoàn tất generator.
Do có hai độ dài khác nhau được sử dụng, ta sử dụng biểu thức sau để xác định
số chiều fractal:
∑ R.MD = 1

Ta có:
Trong đó:

M: Là số đoạn thẳng.
R: Là chiều dài của mỗi đoạn thẳng.
D: Là số chiều của mỗi fractal.
Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1, thì chiều dài
của các đoạn đều bằng nhau: R =1/3. Đối với các đoạn nhỏ hơn thì chiều dài là:

Thật vậy:
CD2 = CB2 + DB2 – 2.CB.DB.cos600

Ta có:
Mà:

CB = 1/3
DB = 2/3

1 4
1 2 1
+ − 2⋅ ⋅ ⋅
9 9
3 3 2
3
⇒ CD =
3
CD 2 =

23


Do đó, chiều dài mỗi đoạn của generator nhỏ là:

Vậy chúng ta có:

Một số hình ảnh của đường:

Mức 2

Mức 3

2.2. Họ đường Peano
Họ đường Peano được khám phá bởi Guiseppe Peano vào năm 1900. Các đường
trogn họ đều có số chiều fractal bằng 2 nên khi số mức tăng lên, chúng lấp đầy hoàn
toàn mặt phẳng. Điều này dẫn đến sự tự giao nhau tại nhiều điểm trong mặt phẳng.
2.2.1. Đường Peano nguyên thủy
Ở đây initiator rất đơn giản. Nó chỉ là một đoạn thẳng.

24


Generator của đường Peano nguyên thủy
Có thể thấy tất cả đều tự cắt, nên hầu như không thể xác định cách thức đường
Peano được vẽ, ngay cả các mũi tên được thêm vào trong hình vẽ. Nhìn vào hình vẽ ta
thấy generator được hình thành theo đường đi của các mũi tên
Như vậy generator chứa 9 đoạn thẳng (N = 9), chiều dài mỗi đoạn của generator
là R = 1/3 (Giả sử chiều dài đoạn thẳng ban đầu là 1). Do đó số chiều fractal là:

Một số hình ảnh của đường:

Mức 1

Mức 2

2.2.2. Đường Peano cải tiến
Nếu không có sự tự giao của generator đối với đường Peano thì việc đi theo vết
của nó và quan sát cách thức vẽ sẽ dễ dàng hơn. Vì thế, đường Peano cải tiến được
phát triển theo kiểu làm tròn các góc để tránh sự tự giao. Kết quả chúng ta được
generator như hình sau:

Generator của đường Peano cải tiến
Tuy nhiên, generator cập nhật này chỉ có thể sử dụng ở mức thấp nhất trước khi
thực vẽ đường cong. Nếu sử dụng nó ở mức cao hơn, bằng kỹ thuật đệ quy chúng ta
cố gắng thay thế generator đối với mỗi đường chéo được làm tròn ở một góc, cũng
25