Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình giải tích lớp 12, ban nâng cao

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong
dạy học phần ứng dụng đạo hàm
chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao
Practicing Mathematics for students in teaching of applying derivative,
Program of Calculus 12, Upgrade
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 115 tr. +

Lê Thị Huyền
Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán);
Mã số: 60 14 10
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2012
Abstract. Làm sáng tỏ khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán, sự hình thành kỹ năng, các
yêu cầu và biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán, đặc biệt là kỹ năng giải các dạng bài tập
ứng dụng đạo hàm. Đưa ra hệ thống các bài tập, đã được phân thành từng dạng bài, được
sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, có nhận xét, đánh giá sau mỗi bài giải. Bước đầu đề xuất
những định hướng và các biện pháp sư phạm phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp
dạy học hiện nay để hình thành và phát triển một số kỹ năng giải toán. Làm rõ tiềm năng
phát triển kỹ năng giải toán. Đưa ra kỹ năng cần thiết để giải một số loại tốn về giải
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm cực trị hàm số, chứng minh bất đẳng
thức…, đồng thời cung cấp những kỹ năng cần thiết để giải các bài toán về hàm số.
Keywords: Phương pháp dạy học; Tốn học; Giải tích; Lớp 12; Đạo hàm
Content.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy học đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta
hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương
pháp dạy học. Luật giáo dục ( 1998) đã chỉ rõ
"Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
cho học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn

luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn...".
Đạo hàm là một nội dung quan trọng của tốn học bậc THPT. Nó vừa là đối tượng, nhưng
hơn thế nó vừa là cơng cụ mạnh được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT.
1


Vận dụng đạo hàm để giải toán THPT là một nội dung trọng tâm của chương trình ơn thi Tốt
nghiệp THPT, luyện thi Đại học và bồi dưỡng HS giỏi. Việc sử dụng đạo hàm thế nào cho hợp lý trong
các vấn đề liên quan vẫn luôn gây ra nhiều khó khăn cho các em HS. Với mong muốn: làm sao để các em
học sinh THPT nói chung, các sinh viên Sư phạm Tốn nói riêng được trang bị đầy đủ các kiến thức
trong việc học tập nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm. Đặc biệt với mục đích đưa ra hệ thống bài tập được
phân thành từng dạng bài, nhằm đem lại thuận lợi cho HS, sinh viên trong quá trình học tập và nghiên
cứu về đạo hàm của hàm số. Từ những lý do trên tác giả đã lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao"
2. Lịch sử nghiên cứu
Đến nay có một số cơng trình nghiên cứu tốn học theo một số góc góc độ khác nhau, nhưng
chưa có cơng trình nào đề cập đến vấn đề này. Vì vậy tác giả tập trung đi sâu nghiên cứu về những
kỹ năng cơ bản và cần thiết trong chương Ứng dụng đạo hàm, chương trình Giải tích lớp 12.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán
Tạo ra hệ thống các bài toán ứng dụng đạo hàm theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ năng giải tốn
cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường phổ thông
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học ở trường THPT Thanh Hà- Hải Dương.
Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học các nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm
chương trình Giải tích lớp 12
5. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 12B, 12C, trường THPT Thanh Hà, Thanh Hà, Hải Dương
6. Vấn đề nghiên cứu
Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học “Ứng dụng đạo hàm” như thế

nào để mang lại hiệu quả cao?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán, vận dụng các
phương pháp đã đề xuất trong luận văn thì học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải các bài tốn “Ứng
dụng đào hàm”, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tác giả sử dụng chủ yếu 4 phương pháp nghiên cứu sau:
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận
+ Phương pháp điều tra, quan sát
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm
+ Phương pháp thống kê toán học
2


9. Dự kiến các luận cứ
Luận cứ lý thuyết
Luận cứ thực tiễn
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học phần ứng dụng đạo hàm
chương trình Giải tích lớp 12, Ban nâng cao
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
1.1.1.1. Khái niệm
Theo [24], “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng
lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công

nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định".
Theo [26], "Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt
được mục đích của mình, kỹ năng cịn có thể đặc trưng như tồn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là
khả năng làm việc có phương pháp".
Theo [14] "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực nào
đó vào thực tế".
Theo [25] "Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh
cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được".
Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm,
cách thức, phương pháp...) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ
thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là
kiến thức trong hành động.
1.1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng:
- Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ
năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách
thức đó.
3


- Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất
của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động.
1.1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện
tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu... Kỹ
năng chỉ được hình thành thơng qua q trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra.
1.1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
- Nội dung bài tốn : Nhiệm vụ đặt ra được trìu tượng hố hay bị che phủ bởi những yếu tố
phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Việc tạo ra tâm thế thuận

lợi trong học tập sẽ giúp học sinh dễ dàng trong việc hình thành kỹ năng.
- Kỹ năng khái qt nhìn đối tượng một cách tồn thể ở mức cao hay thấp.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
1.1.2.1. Khái niệm
Giải một bài tốn tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải tốn cịn
phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó,
biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau. Trong giải tốn, theo tơi quan niệm về
kỹ năng giải tốn của học sinh như sau: "Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và
kinh nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải
toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học"
1.1.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của mơn Tốn. Rèn
luyện kỹ năng tốn học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải
toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình
- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.
- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính tốn trong giờ học, đó là sự phát triển trí tuệ cho học
sinh qua mơn Tốn gắn bó với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn thận chính
xác, các thói quen tự kiểm tra,đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp.
1.1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kỹ năng giải tốn cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và
sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:
* Nhóm kỹ năng chung
4


* Nhóm kỹ năng thực hành
* Nhóm kỹ năng về tư duy

- Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:
- Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài tốn, tóm tắt nội dung bài toán, kết cấu lại
đề toán đã định hướng giải.
- Kỹ năng phân tích
- Kỹ năng mơ hình hố
- Kỹ năng sử dụng thông tin
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học đạo hàm ở trƣờng THPT
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở trường THPT
Việc rèn luyện tư duy lơ gíc cho học sinh khơng đầy đủ, GV ít khi chú ý đến việc dạy
Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề địi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa
những ý kiến trái ngược hoặc các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học
sinh đề xuất các giải pháp. Còn nhiều GV sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình, đàm thoại
chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học.
1.2.2. Thực trạng việc học đạo hàm ở trường THPT
Trong chương trình lớp 12, kiến thức hàm số được mở rộng, học sinh được tìm hiểu rõ hơn về
sự đồng biến nghịch biến của hàm số và lần đầu tiên HS được học về cực trị của hàm số, giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số, đường tiệm cận…, do đó học sinh tiếp xúc với những kiến thức mới
này sẽ không tránh khỏi lúng túng và mắc sai lầm. Hơn nữa các bài tập về ứng dụng đạo hàm để giải
các bài tốn rất phong phú địi hỏi HS có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đốn, kỹ năng tính tốn,
thậm chí nhiều bài tập địi hỏi học sinh có tư duy cao mới có thể làm được.
1.2.3. Thực trạng việc dạy đạo hàm ở trường THPT
Do dạng bài tập của phần đạo hàm và ứng dụng đạo hàm rất đa dạng và phong phú, GV phải
mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát thành một hệ thống bài tập phù hợp với trình độ nhận thức
của từng HS. Đối với những bài tốn quen thuộc thì cách hướng dẫn có phần đơn giản, nhưng gặp
dạng tốn khơng quen thuộc, GV phải mất nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn.
1.3. Dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm chƣơng trình Giải tích lớp 12
1.3.1. Mục đích, yêu cầu của đạo hàm và ứng dụng đạo hàm
Việc dạy đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT nhằm đạt các mục đích và yêu cầu sau:
+ Về kiến thức
Giúp học sinh nắm vững

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;
- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;
- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các cách tìm các giá trị đó;
5


+ Về phương pháp
GV cần phải tổ chức cho HS được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động, sáng tạo. Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác các phương pháp khác nhau, lựa
chọn các ưu điểm của phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học khám phá, phương pháp dạy học tự học… để giải các dạng
bài toán ứng dụng đạo hàm bằng con đường tổng hợp.
+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh.
Việc dạy học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm nhằm đạt được mục đích, yêu cầu rèn luyện kỹ
năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, rút ra các kết luận từ những định lý, quy tắc.
1.3.2. Những kỹ năng cơ bản thuộc nội dung
Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài toán cực trị
Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong các bài tốn về bất đẳng thức
1.4. Kết luận chƣơng 1
Mơn Tốn là mơn học có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí
tuệ, rèn luyện óc tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ.
Vấn đề khó khăn nhất học sinh khi đứng trước bài toán, đặc biệt những bài toán ứng dụng đạo
hàm là đường lối giải. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài tốn. Trên
cơ sở tìm hiểu khái niệm kỹ năng, đặc điểm kỹ năng, các yếu tố ảnh hưởng ảnh hưởng đến sự hình
thành kỹ năng, kỹ năng giải tốn cho thấy rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán là một trong những
biện pháp tích cực góp phần khắc phục khó khăn trong học tập của HS và nâng cao chất lượng dạy
học. Việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập ứng dụng đạo hàm như thế nào? Trong chương 2, chúng tơi
sẽ giải đáp những câu hỏi đó.
CHƢƠNG 2

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHẦN ỨNG
DỤNG ĐẠO HÀM CHƢƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12, BAN NÂNG CAO
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1. Khái niệm đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm xo thuộc khoảng đó. Khi đó giới hạn
hữu hạn (nếu có) của tỉ số

f(x) - f(x 0 )
khi x  xo được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm xo
x-x 0

6


f(x)-f(x 0 )
 f ' (x 0 )
x x 0
x-x 0

Kí hiệu lim

2.1.2. Định lý tồn tại đạo hàm
Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo TXĐ khi và chỉ khi tồn tại f’(xo+); f’(xo-) và f’(xo+)=
f’(xo-) = f’(xo).
2.1.3. Ý nghĩa hình học đạo hàm
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm
M(xo;f(xo) ) thì hệ số góc của tiếp tuyến đó chính bằng f’(xo).
Vậy tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có phương trình y = f’(xo)(x - xo) + yo.
2.1.4. Cực trị hàm số
*Định lý Fermat:

Nếu hàm f: (a,b)   đạt cực trị tại c  (a,b) và f khả vi tại c thì f'(c) = 0
* Hai tiêu chuẩn tìm cực trị
2.1.5. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D   )
a) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)  f(xo) với mọi x  D
thì số M = f(xo) được gọi là GTLN của hàm số f trên , kí hiệu là M =

max f ( x)
xD

b) Nếu tồn tại một điểm xo sao cho f(x)  f(xo) với mọi x  D
thì số m = f(xo) được gọi là GTNN của hàm số f trên , kí hiệu là m = min f ( x)
xD

2.2. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài tốn giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ
phƣơng trình
Khi định nghĩa phương trình, bất phương trình, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số. Khi giải
phương trình, bất phương trình, ta gặp phải một số bài khơng thể giải được bằng những phương pháp
thơng thường hoặc có những bài có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn. Nhưng nếu ta sử
dụng hàm số để giải những bài tập đó thì bài tốn sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào

7


cũng có thể sử dụng hàm số để giải. Ở đây, tôi xin đưa ra một số ứng dụng của hàm số trong việc giải
phương trình và bất phương trình, hệ phương trình.
2.2.1. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài tốn giải phương trình, bất phương trình thường gặp
- Với các phương trình và bất phương trình khơng chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về
tính đơn điệu của hàm số để giải.

- Với các phương trình và bất phương trình có chứa tham số, ta tìm cách cơ lập tham số về
một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)  m; hoặc f(x)  m ).
Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.
* Đối với phương trình, bất phương trình ta thường tiến hành theo các bước sau:
- Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’
- Lập bảng biến thiên của hàm số
- Dựa vào bảng biến thiên kết luận nghiệm phương trình.
Chú ý: Cho hàm số f(x) xác định trên D
1. f(x)  m  x  D  m 

min f ( x)

2. f(x)  m  x  D  m 

max f ( x)

xD

xD

3. f(x)  m có nghiệm x  D  m 

max f ( x)

4. f(x)  m có nghiệm x  D  m 

min f ( x)

xD

xD

5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu trên D và tồn tại u, v  D mà f(u) = f(v) thì u = v
2.2.2. Hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình
2.2.2.1. Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình
Bài 1: Tìm m để phương trình x3 - x2 + 18mx - 2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

x1, x2, x3 thoả mãn

x1 < 0 < x2 < x3
Nhận xét : Đây là phương trình bậc cao có chứa tham số, cái khó bài tốn này HS khơng nhẩm được
nghiệm của phương trình. Do đó từ phương trình HS cơ lập tham số, sau đó sử dụng tính đơn điệu
của hàm số để giải
Lời giải: Ta có

x3 - x2 + 18mx - 2m = 0

 2m(9x - 1) = - x3 + x2
Nếu x = 1/9 phương trình vơ nghiệm.
8


1
-x 3 +x 2
Nếu x   2m=
9
9x-1
X ét f(x)=

1 
9 

-x 3 +x 2
9x-1

D=R\  

 x=0
f'(x)=0   1
 x=
 3

-2x(3x-1) 2
f'(x)=
(9x-1) 2
Lập bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên => m < 0.
2.2.2.2. Ứng dụng đạo hàm trong việc giải bất phương trình
Bài 1: Giải bất phương trình:

x 2 -2x+3- x 2 -6x+11> 3-x - x-1 (1)

D =[1; 3]

Nhận xét: Thơng thường khi nhìn thấy bài tốn có chứa căn thức, HS thường nghĩ ngay đến phương
pháp làm biến căn thức bằng cách bình phưng hai vế, nhưng bài tốn rất phức tạp nếu trong đó có
chứa nhiều hơn ba biểu thức chứa căn. HS có thể tìm cách biến đổi đưa bài tốn về một hàm rồi sử

dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Lời giải: Trên D (1) 

x 2 -2x+3+ x-1> x 2 -6x+11+ 3-x

 (x-1)2 +2+ x-1> (3-x)2 +2+ 3-x
Xét hàm số f(t)= t+2+ t

t  [-2;+  )

Với t  (-2;+  )

f'(t)=

1
1
+
>0 Hàm số đồng biến t  (-2;+  )
2 t+2 2 t

 f(x-1)>f(3-x)  x-1>3-x  x>2
Vậy tập nghiệm: T = (2; 3]
9


2.2.2.3. Ứng dụng đạo hàm trong việc giải hệ phương trình.

 x+ x 2 +1=2010 y

Bài 1: Giải hệ: 

2
x
 y+ y +1=2010

Nhận xét: Đây là một bài tốn khơng những chứa căn thức mà cịn có cả hàm số mũ, nếu sử dụng
phưng pháp thông thường: phương pháp thế, cộng trừ đại số, bình phương hai vế … thì rất phức tạp.
Cũng tương tự bài 1 ở trên, đây là dạng tốn đối xứng biến, HS có thể tư duy cách giải quyết đưa về
sử dụng tính đơn điệu hàm số
Lời giải: Trừ vế với vế của 2 phương trình:

 x+ x 2 +1+2010x =y+ y2 +1+2010y
2

Xét f(t)=t+ t +1+2010

f'(t)=1+

t
t 2 +1

t

D=R

+2010t .ln2010  0 t

Hàm số f(t) đồng biến trên R.
f(x) = f(y)  x = y

 x+ x 2 +1=2010x

 ln(x+ x 2 +1)=xln2010
 x.ln2010-ln(x+ x 2 +1)=0



2

Xét g(x) = x.ln2010 - ln x+ x +1

g'(x)=ln2010-

1
x 2 +1



 0 x  R

Hàm số đồng biến trên R.
Ta có g(0) = 0

10


Hệ phương trình có nghiệm x = y = 0.
2.3. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài toán cực trị
2.3.1. Cực trị của hàm số chứa tham số
2.3.1.1. K iến thức cần nhớ
Để tìm cực trị hàm số ta thường áp dụng hai quy tắc sau:

Quy tắc 1:
+ Tính f’(x)
+ Tìm các điểm xi (i= 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc hàm số liên tục
nhưng khơng có đạo hàm.
+ Xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi
Quy tắc 2:
+ Tính f’(x)
+ Tìm các nghiệm xi (i =1,2,…) của phương trình f’(x) = 0.
+ Tìm f’’(x) và tính f’’(xi)
Nếu f’’(xi)< 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
Nếu f’’(xi)> 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi
2.3.1.2. Các dạng bài tập
Bài 1. Cho hàm số

y  x 3  3mx 2  4m2 (m tham số) có đồ thị (Cm).

Xác định m để (Cm) có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường y = x.
Nhận xét: Để giải quyết bài toán này trước hết cho HS nêu hai quy tắc tìm cực trị, sau đó từ đề bài
HS định hướng bài toán giải theo quy tắc nào cho phù hợp
Lời giải:

x  0
y'  3x 2  6mx  0  
.
 x  2m
11


Để hàm số có cực trị m  0




Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị: A(0;4m3) B(2m;0)  AB  (2m; 4m )
3

Gọi I là trung điểm AB, I(m;2m3).
Để AB đối xứng qua y = x thì AB vng góc với y = x và I thuộc đường thẳng y = x.

m  0

 2m  4m3  0
2m3  m

Vậy m  

2
2

2.3.2. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài tốn tìm GTLN và GTNN
2.3.2.1. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong bài tốn tìm GTLN và GTNN thường
* Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b) ta tiến hành theo các bước sau:
1. Tính y', giải phương trình y' = 0 sau đó xét dấu y'.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b).
3. Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = f(x).
* Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f = f(x) trên [a,b] ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tìm điểm tới hạn của hàm số trên [a,b]. Giả sử các điểm tới hạn đó là x1, x2,...xn.
2. Tính các giá trị f(x1), f(x2),...,f(xn), f(a), f(b).
3. Khi đó:

max  max(f (x1 ),(f (x 2 ),...,(f (x n ),(f (a),(f (b)
[a,b]
min  min(f (x1 ),(f (x 2 ),...,(f (x n ),(f (a),(f (b)
[a,b]
- Một số dạng bài khơng cho miền xác định thì tùy theo từng bài ta có thể biến đổi đưa về
bài tốn mới và xác định lại miền xác định mới
2.3.2.2. Hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm tìm GTLN và GTNN hàm số
12


Tìm GTLN và GTNN của hàm số ln là đề tài được nhiều GV và HS quan tâm. Đây là một nội
dung tương đối khó với HS bởi tính đa dạng và phức tạp của nó. Một bài tốn nếu vận dụng đúng phương
pháp sẽ cho kết quả đúng và lời giải hay. Ngược lại nếu không biết định hướng và giải quyết vấn đề bài tốn,
khơng những biến bài tốn phức tạp mà cịn khơng giải được. Một trong những cách giải tốn tìm GTLN,
GTNN của hàm số là sử dụng đạo hàm, nó sẽ giúp bài tốn đơn giản hơn và nhanh hơn
Để giải toán nhanh hơn, chúng ta chia các hàm số thành từng dạng cơ bản
a) Dạng bình phương hai vế
b) Dạng tổng khơng đổi
c) Dạng đưa về bậc hai
d) Dạng f(x) = (ax + b)m(cx + d)n
e) Dạng tìm GTLN và GTNN của biểu thức hai ẩn đối xứng
2.3.2.3. Ví dụ về trường hợp sử dụng đạo hàm không hiệu quả
2.4. Kỹ năng chứng ming bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức luôn là đề tài khó đối với HS bởi tính đa dạng và khơng có một
phương pháp chứng minh cụ thể. Một trong những công cụ khá tốt để chứng minh bất đẳng thức và
sáng tác ra các bài toán bất đẳng thức mới đó là sử dụng đạo hàm. Dùng đạo hàm HS có thể xét tính
đơn điệu của hàm số trên một miền nào đó, vì vậy chứng minh bất đẳng thức trở nên đơn giản hơn.
2.4.1. Một số bất đẳng thức cơ bản sử dụng đạo hàm
2.4.1.1. Bất đẳng thức luỹ thừa
Ta sẽ chứng minh những bài toán cơ bản sau để làm kết quả cho những bài tập phức tạp hơn

Bài toán 1. Với a,b là các số thực dương, chứng ming rằng

  1
a α +bα  a+b 

khi 

2
 2 
  0
α

α

a α +bα  a+b 

 khi 0  a  1
2
 2 
α
  1
a α +bα  a+b 

khi 

2
 2 
  0

Lời giải:

+) Với  <0 hoặc  >1, bất đẳng thức đã cho viết dưới dạng

13


α

α

 a   b 
1

 +
  2 
 a+b   a+b 
2
Đặt t=

α

a
 0  t  1 , ta thu được
a+b


1
f(t)=t +(1-t)  2  
2
α

α

Ta có: f'(t)=α.t

α-1

-α(1-t)α-1 =0  t=

1
2

Bảng xét dấu

t

0

f'(t)

1/2
-

1

0

+

f(t)


1
2 
2

Từ xét dấu ta có:


1
f(t)  f(1/2)=2  
2

  0
a α +bα  a+b 


 với 
2
 2 
  1
α

+ Với 0 < α <1, hoàn toàn chứng minh tương tự, ta chứng minh


1
f(t)=(t) +(1-t)  2  
2
α

Ta có f'(t)=α.t

α

α-1

1
-α(1-t)α-1 =0  t= .
2

14


Bảng xét dấu:

t

0

f'(t)

1/2
+

1

0



f(t)

1
2 
2

Từ bảng xét dấu ta có:

1
f(t)  f(1/2)=2  
2

α

α

a α +bα  a+b 


 với 0 < α < 1
2
 2 
+ Với α = 0 hoặc

  1 , hiển nhiên ta có dấu đẳng thức xảy ra.

Chúng ta tiếp tục bài toán 1 với 3 số thực dương a,b,c
2.4.1.2. Sử dụng bất đẳng thức luỹ thừa để chứng minh một số bất đẳng thức
2.4.1.3. Khảo sát hàm nhiều biến
Khi hướng dẫn HS chứng minh một bất dẳng thức có chứa nhiều biến số bằng phương pháp

đạo hàm, cần hướng dẫn HS nhận biết các trường hợp sau:
+ Các biến ràng buộc với nhau bởi một điều kiện nào đó
+ Biểu thức chứa biến là biểu thức đối xứng với các biến…
2.4.2. Bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bậc cao
Bài toán cơ bản: xét hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm đến cấp n và thoả mãn điều kiện sau:
i. f ( k ) (0)  0 với k  0,1, 2,...n  1
ii. f ( n ) ( x)  0 với x  0
Khi đó ta có f ( x)  0 với x  0
Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc cao để chứng minh bất đẳng thức như sau:
15


Bƣớc 1: Đạo hàm liên tiếp cho đến khi nhận được f
Bƣớc 2: Suy ra f

( n1)

(n)

( x)  0 khi x  0

( x) là hàm tăng khi x  0 và thu đuợc

f ( n1) ( x)  f ( n1) (0)  0
Bƣớc 3: Hoàn toàn tương tự, sau (n-1) bước ta thu được

f (1) ( x) là hàm tăng khi

x  0  f (1) ( x)  f (1) (0)  0 với x  0 , suy ra f ( x) là hàm tăng khi x  0 hay ta thu được
f ( x)  f (0)  0

2.4. 3. Bất đẳng thức hàm lồi
2.4.3.1. Khái niệm về hàm lồi, hàm lõm
Định nghĩa 1: Hàm số y  f ( x) được gọi là hàm lồi trên X nếu f ( x) xác định trên X và thoả mãn
điều kiện sau:

x1, x2  X ,  ,   0 :     1 thì
f ( x1   x2 )   f ( x1 )   f ( x2 )
Định nghĩa 2: Hàm số y  f ( x) được gọi là hàm lõm trên X nếu f ( x) xác định trên X và thoả mãn
điều kiện sau:
x1 , x2 , X ,  ,   0 :     1 thì
f ( x1   x2 )   f ( x1 )   f ( x2 )

2.4.3.2. Sử dụng hàm lồi, hàm lõm để chứng minh một số bất đẳng thức
2.4.4. Sử dụng tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức
Định lí 1 ( Bất đẳng thức tiếp tuyến): Cho hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm đến cấp
hai trên  a, b 
i, Nếu f ''( x)  0 x   a, b thì f ( x)  f ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )
'

x0   a, b

ii, Nếu f ''( x)  0 x   a, b thì f ( x)  f ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) x0   a, b
'

16


2.4.5. Bất đẳng thức BECNOULI
2.4.5.1. Giới thiệu, chứng minh Bất đẳng thức Becnoulli
+ Dạng nguyên thuỷ của bất đẳng thức

G/s a1, a2,...,an là các số thực cùng dấu và lớn hơn -1. Khi đó ta có:

(1  a1 )(1  a 2 )...(1  a n )  1  a1  a 2  ...  a n .
+ Dạng thông dụng:
1. Với mọi x > -1 và 0    1 ta có:
Hệ quả 1: Với mọi t > 0 và   0 ta có:

(1  x)  1  x

t   t  (1  )

2. Với mọi x > -1 và  (;0]  [1; ) ta có:

(1  x)  1  x
Hệ quả 2: Với mọi t > 0 và

 (;0]  [1; ) ta có:

t   t  (1  )
2.4.5.2. Sử dụng bất đẳng thức Becnouli để chứng minh một số bất đẳng thức.
2.5. Kết luận chƣơng 2
Mục đích và nội dung chương 2 là rèn luyện kỹ năng giải tốn cho HS phần ứng dụng đạo
hàm thơng qua hệ thống các bài tập, đã được phân thành từng dạng bài, được sắp xếp từ đơn giản đến
phức tạp.
Qua nghiên cứu và qua các tiết dạy thực tế tôi nhận thấy những biện pháp đã đề xuất không
những củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm mà quan trọng hơn là rèn luyện kỹ năng
giải tốn cho HS thơng qua hệ thống bài tập. Qua đó HS được trang bị về tri thức, phương pháp, rèn
luyện kỹ năng toán học, khai thác được vai trị trung tâm người học, nâng cao tính tích cực HS, làm
cho họ tham gia trực tiếp, chủ động và sáng tạo trong quá trình nhận thức

17


CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của việc rèn
luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học nội dung “Ứng dụng đạo hàm” chương trình Giải
tích lớp 12
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
Biên soạn các giáo án, hệ thống các bài tập về nhà và phiếu học tập của học sinh. Chọn lớp
dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm một số lớp đã chọn theo giáo án mẫu
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
3.2.2. Nội dung dạy thực nghiệm
Các tiết dạy thực nghiệm đối với lớp 12 trong phần “Ứng dụng đạo hàm”
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm
3.3.1. Phương pháp giảng dạy
Giáo viên dạy thực nghiệm đã sử dụng và phối hợp các phương pháp hiệu quả, linh hoạt, hợp lý,
bảo đảm được đầy đủ các vai trò của người tổ chức, điều khiển được các hoạt động nhận thức học sinh.
Việc sử dụng phối kết hợp các phương pháp dạy học có tác dụng rèn luyện thành thạo kỹ năng giải toán
và phát huy khả năng tự tìm hiểu kiến thức mới.
3.3.2. Khả năng lĩnh hội học sinh
Sau khi học xong chương đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, với khả năng tổ chức các hoạt động
của giáo viên cho học sinh trong các giờ học, sử dụng có hiệu quả các phương pháp dạy học phù hợp,
giáo viên đã tìm được sức lơi cuốn sự chú ý, tìm tịi của học sinh. Các em phấn khởi và tự tin hơn vì
tìm được bản chất ứng dụng đạo hàm trong giải toán, các em có thể làm được các bài tập địi hỏi phải
suy luận, những bài tập tổng hợp đánh giá.
3.3.3. Kết quả kiểm tra

3.4. Kết luận chƣơng 3
Kết quả đợt thực nghiệm sư phạm cho tôi thấy như sau:
Sử dụng đạo hàm HS dễ dàng giải quyết một số bài toán trong chương trình tốn phổ thơng. Với
phương pháp dạy học phù hợp, học sinh thực sự thu được kết quả, có tác dụng tốt trong việc lơi cuốn
học sinh vào các hoạt động học tập tự giác tích cực, độc lập và sáng tạo, giúp học sinh rèn luyện tư
duy và kỹ năng giải toán. Tạo điều kiện để học sinh lĩnh hội được kiến thức và sáng tạo nhiều bài
toán mới.
18


KẾT LUẬN
Quá trình nghiên cứu đề tài, tác giả thu được một số kết quả sau:
- Làm sáng tỏ khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải tốn, sự hình thành kỹ năng, các yêu cầu và
biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán, đặc biệt là kỹ năng giải các dạng bài tập ứng dụng đạo hàm
- Bước đầu đề xuất những định hướng và các biện pháp sư phạm phù hợp với định hướng đổi
mới phương pháp dạy học hiện nay để hình thành và phát triển một số kỹ năng, đồng thời đưa ra
những chú ý cần thiết để hướng dẫn thực hiện mỗi biện pháp.
- Làm rõ tiềm năng phát triển kỹ năng giải toán. Đưa ra kỹ năng cần thiết để giải một số loại
toán về giải phương trình, tìm cực trị hàm số, chứng minh bất đẳng thức…, đồng thời cung cấp
những kỹ năng cần thiết để giải các bài toán về hàm số.
- Những kết quả thu được qua quá trình thực nghiệm sư phạm cùng những biện pháp sư phạm
trong thực tiễn dạy học của bản thân, tác giả đã minh hoạ được tính khả thi và hiệu quả của những
biện pháp đề xuất. Qua tiết dạy thực nghiệm, học sinh được hoạt động, tư duy sáng tạo của mỗi cá
nhân được phát huy.
- Các kết quả luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong dạy
học phần hàm số, đặc biệt là dùng làm tài liệu ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi.

References.
1. Nguyễn Hữu Châu (1996), Các phương pháp dạy học tích cực. Tạp chí Khoa học Xã hội.
2. Nguyễn Hữu Châu (1995), Dạy giải quyết vấn đề trong mơn Tốn. Tạp chí Nghiên cứu Giáo

dục.
3. Nguyễn Hữu Châu (1997), Dạy học Toán nhằm nâng cao hoạt động nhận thức của học sinh. Tạp
chí Thơng tin Khoa học Giáo dục.
4. Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về Chương trình và Quá trình dạy học. Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
5. Nguyễn Hữu Châu (chủ biên), Vũ Quốc Chung, Vũ Thị Sơn (2005), Phương pháp, phương
tiện, kĩ thuật và hình thức tổ chức dạy học trong nhà trường. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
6. Nguyễn Hữu Châu, Đinh Quang Minh (2004), Giải các bài tốn phổ thơng theo quan điểm
Hàm. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
7. Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo tốn học ở trường phổ thơng. Nhà xuất bản
Giáo dục, Hà Nội.
8. Vũ Cao Đàm (2009), Giáo trình Phương pháp luận nghiên cứu khoa học. Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
9. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phƣơng Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm thị Bạch Ngọc,
Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2007), Bài tập Giải tích 12. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
19


10. Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2007), Phương pháp
giải tốn Đạo hàm và ứng dụng. Nhà xuất bản Hà Nội.
11. Lê Hồng Đức( chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2010), Phương pháp giải
tốn Hàm số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
12. Bùi Văn Huệ (2000), Giáo trình Tâm lý học. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
13. Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo Bất đẳng thức. Nhà xuất bản Tri Thức.
14. Hội đồng Quốc gia chỉ đạo biên soạn Từ điển bách khoa Việt Nam (2002), Từ điển Bách
khoa Việt Nam 2. Nhà xuất bản Từ điển Bách khoa.
15. Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Vũ Dƣơng Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn (dùng
cho các trường Đại học Sư phạm). Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
16. Phan Huy Khải (2005), Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Hàm số. Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.

17. Phan Thanh Long (chủ biên), Trần Quang Cấn, Nguyễn Văn Diện (2009), Lí luận giáo dục.
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
18. Nguyễn Thị Mỹ Lộc, Đinh Thi Kim Thoa, Trần Văn Tính (2009), Tâm lý học giáo dục. Nhà
xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
19. Nguyễn Vũ Lƣơng (2006), Các bài giảng về bất đẳng thức Cô si. Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội.
20. Bùi văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung cụ thể mơn Tốn. Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm.
21. Bùi văn Nghị, Vƣơng Dƣơng Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường
xuyên giáo viên trung học phổ thông. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
22. Trần Phƣơng (2004), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán. Nhà xuất bản Hà
Nội.
23. Trần Phƣơng, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán. Nhà
xuất bản Hà Nội.
24. Petrovsky AV (1982), Tâm lý lứa tuổi và tâm lý sư phạm, Tập 2. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà
Nội.
25. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
26. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch). Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
27. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên), Trần Phƣơng Dung, Nguyễn
Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2007), Giải tích 12 . Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
28. Nguyễn Thế Thạch ( chủ biên) (2008), Hướng dẫn thực hiện Chương trình sách giáo khoa lớp
12 mơn Tốn. Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
20


29. Trần Đình Thì (2008), Các dạng tốn và phương pháp giải Giải tích 12. Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.
30. Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2007), Bất đẳng thức: Suy luận và khám phá. Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.

21