chuyên đề toán: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phần I. lời nói đầu
Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực
hiện đối với học sinh bậc THCS.
Nội dung này đợc giới thiệu trong chơng trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt
của chơng trình. Vì nó đợc vận dụng rất nhiều ở các chơng sau, trong các phần: Rút gọn phân
thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phơng trình, bất phơng trình. Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học
sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức cha đợc đề
cập tới .
Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng,
nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết đ ợc nhiều
vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề Toán học khác có liên
quan, tìm đợc lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán. Nhng nhiều lúc việc phân tích đa
thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong tr ờng hợp các đa thức cần phân
tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp.
Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu h ớng dẫn đối
với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các
trờng THCS sau này.

Phần II. NộI DUNG
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích
của các đơn thức và đa thức có bậc nhỏ hơn.
Ví dụ:
a) x2 xy + x y =(x y)(x + 1).
b) x 5 + x4 + 1 = (x 2 + x + 1)(x 3 x + 1).
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phơng pháp khác nhau, nhng chúng
ta thờng sử dụng một số phơng pháp thông dụng nh sau:
- Đặt nhân tử chung.
- Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Nhóm các hạng tử.
- Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

- Thêm bớt cùng một hạng tử.

Trừ một số trờng hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bài toán nhất là những bài
toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp các phơng pháp trên một cách linh hoạt để
giải.
1. Phơng pháp đặt nhân tử chung
a) Phơng pháp :
+ Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức.
+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
+ Đa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Các hạng tử trong dấu ngoặc là thơng của phép
chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung.


b) Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) A = 5x 2y 10xy 2
Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có
A = 5x 2 y 10xy 2 = 5xy.x 5xy.2y
= 5xy(x - 2y).
2)
B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y)
Đổi dấu hạng tử 6y(7z 3y) = - 6y(3y 7z), ta có thừa số (3y 7z) chung :
B
= 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y)
= 2x(3y 7z) - 6y(3y - 7z)
= (3y 7z)( 2x 6y)
= (3y 7z).2(x 3y)
= 2(3y 7z)(x 3y).
Khai thác bài toán:
Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung , ta

có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
Q = (x + 2z)(3x 2 + 5x 2y) (7x 2 3x 2y)(2z + x)
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
P = 3a(b 2 2c) (a 4)(2c b 2)
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phơng pháp:
Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng
thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
1)
2)

nh sau:

2
2
1
1
1
1




2
D=x x+
= x 2.x. + ữ = x ữ
2 2

2
4

2

E = 9(x + 5) 2 (x + 7) 2
= [3(x + 5)] 2 (x + 7) 2
= [3(x+5) + x +7][3(x+5) (x+7)]
= (4x + 22)(2x + 8)
= 4(2x + 11)(x + 4)
Khai thác bài toán:
Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bài toán tơng tự

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
3) Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
a)Phơng pháp:

1 2
x 81y 2
25
N = x 6 y6 + (x 4 + x2 y2 + y4 )
M=


Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta có thể kết
hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích.
Lu ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau
b)Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

x2 xy + x y
* Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ t ta
có :
x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y)
= x(x y) + (x y)
=(x y)(x + 1).
* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ t, ta có :
x2 xy + x y = (x2 + x) (xy + y)
= x(x + 1) y(x + 1)
= (x + 1)(x y).
Khai thác bài toán:
Nếu chú ý đến phơng pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh
sau:
Bài toán : Phân tích đa thức E = 3x3 75x + 6x 2 150
4. Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
a) Phơng pháp:
Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức nên việc
phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử
để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
để phân tích tiếp.
b) Ví dụ: Phân tích: x2 6x + 8
Nhận xét:
Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ,
cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn
sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cách phù hợp:
Cách 1: Tách số hạng thứ hai
x2 6x + 8 = x2 2x 4x + 8
= x(x 2) 4( x 2)
= (x )(x 4).
Cách 2: Tách số hạng thứ 3

x2 - 6x + 8 = x2 6x + 9 1
= (x 3)2 1 = ( x 3 1)(x 3 + 1)
= (x 4)( x 2).
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau:
+ Tìm tích ac
+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
Ví dụ 2: 4x2 4x 3
Ta có tích: ac = 4.( 3) = 12
Phân tích : 12 = 1.12 = 1.( 12) = 2.6 = 3.4 = 3.( 4)


Chọn 2 thừa số có tổng là : 4 đó là 2 và (6)
4x2 4x 3 = 4x2 + 2x 6x 3
= 2x(2x + 1) 3(2x + 1)
= (2x + 1)(2x 3)
Khai thác bài toán:
Bằng phơng pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp),
ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán : Phân tích đa thức H = x 2 21x + 38
5. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi
dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích. Thông thờng
hay đa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt.
b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)
a3 + b3 + c3 3abc
Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 3abc = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 ac bc + c2 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab ac bc)
2)
x5 1
Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phơng pháp nhóm:
x5 1 = x 5 x + x 1
= (x5 x) + (x 1)
= x(x4 1) + ( x 1)
= x(x2 1)(x2 + 1) + (x - 1)
= x(x +1)(x 1)(x2 + 1) + ( x 1)
= (x 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1].
Khai thác bài toán:
Bằng phơng pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
M = x4 + 4y 4
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
N = x4 + x2 + 1
6. Phối hợp các ph ơng pháp.
a) Phơng pháp:
Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp, ta nên chú ý
chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau :
b) Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) 2x2 + 4x + 2 2y2
2) 2a2 12ab + 18b2
3) 5x3z 10x2z 5xz3 5xy2z + 5xz + 10xyz2 .
Giải:

1)
Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và tiếp tục
phân tích đa thức ở trong ngoặc:


2x2 + 4x + 2 2y2
= 2(x2 + 2x + 1 y2)
Đặt nhân tử chung
2
2
= 2 [(x + 2x + 1) y ]
Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức trong ngoặc.
= 2[(x + 1)2 y2]
Xuất hiện hằng đẳng thức
= 2(x + 1 y)(x + 1 + y)
Dùng hằng đẳng thức
Nh vậy thứ tự u tiên là: Đặt nhân tử chung
dùng hằng đẳng thức
nhóm
hạng tử.
Vậy 2x2 + 4x + 2 2y2 = 2(x + 1 y)(x + 1 + y).
2)
2a2 12ab + 18b2
Cách giải tơng tự câu a) :
2
2a 12ab + 18b2 = 2(a2 6ab + 9b2)
= 2(a 3b)2
3)
5x3z 10x2z 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2
= 5xz(x2 2x z2 y2 + 1 + 2yz)

= 5xz[ (x2 2x + 1) (y2 2yz + z2)]
= 5xz[(x 1)2 (y z)2]
= 5xz(x 1 y + z)(x 1 + y z).
Khai thác bài toán:
Bằng phơng pháp phối hợp các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta có
thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
I = 3n 2 12n + 27 3m 2
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
K = 3x3y 6x2y 3xy3 6axy2 3a2xy + 3xy
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
L = 7a 5 c + 14a 3 c 7ac 2 + 28c + 7ac 28 .

Phần III. KếT LUậN
Phân tích đa thức thành nhân tử chỉ là một trong những nội dung kiến thức mà học
sinh đợc học với thời lợng không nhiều trong chơng trình đại số 8 nhng nó lại đợc ứng
dụng rộng rãi và xuyên suốt chơng trình học tập của các em, học sinh thờng xuyên phải sử
dụng đến kỹ năng này trong việc xây dựng một số các nội dung kiến thức sau này trong
việc giải toán. Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh
hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích đa thức thành nhân tử. Qua
đó , giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác , năng lực nhận xét, phân tích
phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Trong đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến những đa thức một ẩn là chủ yếu. Các bài tập
đa ra trong đề tài mới dừng ở mức ví dụ minh hoạ, ch a phải là hệ thống bài tập vận dụng
đầy đủ các kiến thức đa ra.Ngoài ra có một số bài tập tổng hợp và bài tập nâng cao nhằm
vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải.