Đề Thi HSG TOÁN cấp huyện lớp 6 (20142015)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
2 5
1
2
a. A = + : 5 − .(−3)
3 6
18
2
b. B = 3.{5.[(5 + 23): 11] - 16} + 2015
1 
1 
1  
1


c. C = 1 +
÷1 +
÷1 +
÷...1 +
÷
 1.3  2.4  3.5   2014.2016 

Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
a. Cho biểu thức : B =

5
(n ∈ Z , n ≠ 3)
n−3

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .
Bài 4 (5,0 điểm)
·
Cho góc xBy
= 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C
( A ≠ B; C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ·ABD = 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
·
b. Tính số đo của DBC
.
·
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz
= 900. Tính số đo ·ABz .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7
1
2

b. Cho A = (7 2012

2015

94

− 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.

.............. Hết.............
Họ và tên thí sinh:............................................ SBD........................................
Giám thị 1:....................................................

Giám thị 2:..............................

HƯỚNG DẪN CHẤM THI


Bài

1
(4,5 đ)

HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MÔN : TOÁN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Nội dung cần đạt
2 5
1
2 1 1 2.2 + 1 − 1.3 2 1
2

= =
a. A= + : 5 − .(−3) = + − =
3 6
18
3 6 2
6
6 3
b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015
=3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012
1  1  
1
 1 
 22 32 42
20152
1
+
1
+
1
+
...
1
+
c. C= 
÷
÷
÷ 
÷ = . . ...
 1.3   2.4   3.5   2014.2016  1.3 2.4 3.5 2014.2016
=

(2.3.4...2015).(2.3.4...2015)
(1.2.3...2014).(3.4.5...2016)

=

2015.2 2015
=
2016 1008

0,5 đ
1,0 đ
0,5đ

0,5 đ

 x − 3 = 12

 x = 15

⇔
a. Biến đổi được : (x-3)2=144 = 122 = (−12) 2 ⇔ 
 x − 3 = −12
 x = −9

Vì x là số tự nhiên nên x= - 9 (loại). Vậy x = 15
b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.Ta có A = x1831
Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 M 9 ⇒ x1830 M 9
2
(4,0 đ)

Điểm
1,5 đ

⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 M 9 ⇔ x + 3 M 9, mà x là chữ số nên x = 6

0,5 đ
1.0 đ
0.5 đ
0,5 đ
0,5 đ

Vậy x = 6; y = 1

3
(4,5 đ)

0,5 đ
c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k ∈ N*) 0.25đ
Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3
0.25đ
Nếu p=3k+2 thì p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
0.25đ
Vậy p2-1 chia hết cho 3.
0.25đ
a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5
0,5 đ
=> n - 3 ∈ {-1;1;-5;5} => n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}

0,75 đ

Đối chiếu đ/k ta được n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}
b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 ⇔ y2 = 121 ⇒ y = 11 (là số nguyên tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11.
c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1)
Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nên : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có
31 chữ số .

0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


PHềNG GIO DC V O TO
4 HUYN HONG HO

(5,0 )

z

A THI
x HC SINH GII LP 6
NM HC 2014-2015
MễN THI: TON
0,5
Ngy thi: 18/03/2015
Thi gian: 120 phỳt ( Khụng k thi gian giao )
( thi ny cú 05 cõu, gm 01 trang)

D
B

C
y

5
(2,0 )

z,
a) Vỡ D thuc on thng AC nờn D nm gia A v C
=> AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
b) Chng minh tia BD nm gia hai tia BA v BC
ã
ta cú ng thc: ãABC = ãABD + DBC
0
0
0
ã
=> DBC
= ãABC ãABD = 55 30 = 25

c) Xột hai trng hp:
- Trng hp 1: Tia Bz v BD nm v hai phớa na mt phng cú b l
AB nờn tia BA nm gia hai tia Bz v BD
Tớnh c ãABz = 900 ãABD = 90 0 30 0 = 60 0
- Trng hp 2: Tia Bz, v BD nm v cựng na mt phng cú b l AB
nờn tia BD nm gia hai tia Bz v BA
Tớnh c ãABz , = 900 + ãABD = 90 0 + 30 0 = 120 0
a. Ta cú: abbc = ab ì ac ì 7 (1)
100. ab + bc = 7. ab . ac ab (7. ac - 100) = bc
bc
bc
7. ac - 100 =
Vỡ 0 <
< 10 nờn 0 < 7. ac - 100 < 10
ab
ab
100
110
< ac <
< 16 . Vy ac = 15
100 < 7. ac < 110 14 <
7
7
thay vo (1) c 1bb5 = 1b ì 15 ì 7 1005 + 110b = 1050 + 105.b
5b = 45 b =9
Vy a = 1; b = 9; c = 5
b) Vì 2012 ; 92 đều là bội của 4 nên 20122015 và 9294 cũng là bội của 4
20122015 = 4.m ( m N * ) ;9296 = 4.n ( n N * )

Khi đó 7 2012 392 = 7 4 m 34 n = ( 7 4 ) ( 34 ) = ( ...1) ( ...1) = ...0

tức là 7 2012 392 có tận cùng bằng 0 hay 7 2012 392 M10
Dễ thấy 7 2012 392 > 0 mà 7 2012 392 M10 suy ra
2015

2015

2015

A=

m

94

n

94

2015

94

2015

94

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

94

1 20122015 9294
0,25
(7
3 ) = 5.k; k N . Suy ra A l s t nhiờn chia ht cho 5.
2

Bi 1 (4,5 im) Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau:
2 5
1
2
a. A = + : 5 .(3)
3 6
18

b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015
1 
1 
1  
1


c. C = 1 +
÷1 +
÷1 +
÷...1 +
÷
 1.3  2.4  3.5   2014.2016 
Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
a. Cho biểu thức : B =

5
(n ∈ Z , n ≠ 3)
n−3

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .
Bài 4 (5,0 điểm)
·

Cho góc xBy
= 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C
( A ≠ B; C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ·ABD = 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
·
b. Tính số đo của DBC
.
·
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz
= 900. Tính số đo ·ABz .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7
1
2

b. Cho A = (7 2012

2015

94

− 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.

Người thẩm định 1:......................................... Người thẩm định
2.....................................
Người duyệt...................................................................