CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ỨNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1. ( a − b ) ≥ 0 ∀ a, b ∈ ¡ . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b
2

(1)

n

an + bn  a + b 
≥
2.
÷ ∀a, b > 0, n ∈ N . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b
2
 2 

(2)

Các trường hợp thường dùng:
2

a2 + b2  a + b 
≥
Dạng 1:
÷ ∀a, b > 0
2
 2 

(3)

3

a3 + b3  a + b 

≥
Dạng 2:
÷ ∀a, b > 0
2
 2 

(4)

n

an + bn + c n  a + b + c 
≥
3.
÷ ∀a, b, c > 0, n ∈ N . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b = c
3
3



(5)

Các trường hợp thường dùng:
2

a2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
Dạng 1:
÷ ∀a, b, c > 0
3
3




(6)

3

a3 + b3 + c3  a + b + c 
≥
Dạng 2 :
÷ ∀a, b, c > 0
3
3


2
2
2
4. a + b + c ≥ ab + bc + ca . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b = c

(7)
(8)
(9)

5. ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b = c
2

6. ( a + b + c ) ≤ 3 ( a2 + b 2 + c 2 ) . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b = c
2

(10)

7. Bất đẳng thức AM-GM:
Giả sử a1 , a2 ,...,an là các số thực không âm, khi đó:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1a2 ...an
n
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ a1 = a2 = ... = an

(11)

Các trường hợp thường dùng:
Dạng 1:

a+b
≥ ab ;
2

Dạng 2: a + b ≥ 2 ab ;
a+b

2

Dạng 3: 
÷ ≥ ab ;
 2 

Các hệ quả thường dùng:

a+b+c 3

≥ abc ;
3
a + b + c ≥ 3 3 abc ;
3

a+b+c

÷ ≥ abc ;
3



a+b+c+d 4
≥ abcd
4
a + b + c + d ≥ 4 4 abcd

(12)
(13)

4

a+b+c+d 

÷ ≥ abcd
4



(14)

1 1
4
1
11 1
+ ≥
⇔
≤  + ÷
a b a+b
a+b 4a b
1 1 1
9
Dạng 2: + + ≥
a b c a+b+c

Dạng 1:

(15)
(16)

8. Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARZ:
Giả sử a1 , a2 ,...,an ; b2 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý. Khi đó:

(ab +a b
1 1

a

2 2

(

)(

)

(17)

a b
=
x y

(18)

+ ... + an bn ) ≤ a12 + a22 + ... + an2 b12 + b22 + ... + bn2
2

a

a

n
1
2
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ b = b = ... = b
1
2
n
Các trường hợp thường dùng:

Dạng 1: ( ax + by ) ≤ ( a2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) . Dấu “ = “ xảy ra ⇔
2

Dạng 2: ( ax + by + cz ) ≤ ( a2 + b2 + c 2 ) ( x 2 + y 2 + z2 ) . Dấu “ = “ xảy ra ⇔
2

a b c
= =
x y z

(19)

Các hệ quả thường dùng:

( a + b) + ( x + y)
2

Dạng 1:

a2 + x 2 + b2 + y 2 ≥

Dạng 2:

a 2 + x 2 + b 2 + y 2 + c 2 + z2 ≥

2

. Dấu “ = “ xảy ra ⇔

( a + b + c) + ( x + y + z)
2

2

a b
=
x y

(20)

. Dấu “ = “ xảy ra ⇔

a b c
= =
x y z

(21)

a b
a + b)
Dạng 3: a + b ≥ (
, a, b ∈ ¡ ; x , y > 0 . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ = , x , y > 0
x y
x y
x+y
2

(22)

a b c
a + b + c)
Dạng 4: a + b + c ≥ (
, a, b, c ∈ ¡ ; x , y, z > 0 . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ = = , x , y, z > 0 (23)
x y z
x y z
x+y+z
2

9. Bất đẳng thức véctơ
r r rr
u . v ≥ u.v
(24),

r r r r
r r r r
u + v ≥ u+v
u
− v ≤ u+v
(25),
r r
Dấu “ = “ xảy ra trong (24), (25) ⇔ u , v cùng hướng;
rr
r r
Dấu “ = “ xảy ra trong (26) ⇔ v = 0 hoặc u, v ngược hướng
10. Bất đẳng thức đồng bậc:
a3 + b3 ≥ ab ( a + b ) , ∀a, b > 0
(27), Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b

(26)

a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c > 0 (28) , Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
Các em hãy học thuộc các bất đẳng thức cơ bản này và nên nhớ rằng trước khi sử dụng các BĐT: (2),(3),(4),
(5),(6),(7),(8),(9),(10,)(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23) cần phải chứng minh trước thì mới được sử dụng chúng.
Hãy tìm cho mình một cách chứng minh nhất quán, ngắn gọn các BĐT đó. Chúc các em thành công!.