Phương trình hàm một biến và tính ổn định

Header Page 1 of 145.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ NGUYỆT

PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014
Footer Page 1 of 145.


Header Page 2 of 145.
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến
Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào
ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 145.


Header Page 3 of 145.

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực
nghiên cứu của Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh khối
trung học chuyên toán nói chung và đối tượng học sinh năng khiếu
toán nói riêng. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và
thường xuất hiện trong các kỳ thi IMO, VMO, ... Các nhà toán học
tiếp cận phương trình hàm theo nhiều mục tiêu nghiên cứu khác
nhau. Và một trong những vấn đề đáng để nhiều nhà toán học quan
tâm trong những thập niên gần đây là sự ổn định của phương trình
hàm.
Lý thuyết phương trình hàm phát triển đến một thời điểm nào
đó thì các nhà toán học lại thắc mắc rằng “Có nhất thiết các luận
điểm của các định lý chỉ đúng với các giả thiết đã cho hay không?”.
Hay “Nếu thay đổi một ít giả thiết thì các nghiệm của nó có lệch quá
xa so với nghiệm ban đầu không?”. Và trong quá trình nghiên cứu lại
nảy sinh một vấn đề là “ Nếu thay một phương trình hàm bằng một
bất phương trình hàm thì các luận điểm, các định lý có còn xấp xỉ
đúng hay không? và nghiệm của chúng sẽ như thế nào?”. Đây là vấn
đề mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình

hàm.
Xuất phát từ những vấn đề mấu chốt này, tôi quyết định chọn
đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH”
để tìm hiểu và nghiên cứu.

Footer Page 3 of 145.


Header Page 4 of 145.

2

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu thế nào là tính ổn định
của một phương trình hàm một biến và khảo sát tính ổn định của một
số phương trình hàm một biến như phương trình hàm cộng tính,
phương trình hàm nhân tính và phương trình hàm Abel.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tính ổn định của một số
phương trình hàm một biến. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các
phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm nhân tính, phương
trình hàm Abel và phương trình hàm liên hợp.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học và các tài liệu của các tác giả
nghiên cứu liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm một
biến.
- Nghiên cứu các tài liệu thu thập được và phân tích, tổng hợp,
trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu.
5. Đóng góp của đề tài
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan

đến tính ổn định của phương trình hàm một biến nhằm xây dựng một
giáo trình đặc biệt dạy cho học sinh giỏi toán.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận
- Chương 1. Trình bày về phương trình hàm một biến với các
vấn đề như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen,
phương trình hàm D’Alembert, một số họ cơ bản của phương trình,

Footer Page 4 of 145.


Header Page 5 of 145.

3

các phương trình liên hợp, thuật toán Lévy cho phương trình Abel và
phương trình hàm và mạng các căn thức.
- Chương 2. Trình bày về tính ổn định của một số phương
trình hàm một biến như phương trình hàm cộng tính, phương trình
hàm nhân tính và phương trình hàm Abel.

Footer Page 5 of 145.


Header Page 6 of 145.

4
CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

1.1. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
1.1.1. Phương trình hàm Cauchy
Định nghĩa. Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm
có dạng
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
với mọi số thực x và y.
Hàm f thỏa mãn phương trình
f ( x + y) = f ( x ) + f ( y), " x,y Î ¡
được gọi là hàm cộng tính.
Bài toán 1.1. (Bài toán phương trình hàm Cauchy)
Cho hàm f : ¡ ® ¡ là hàm số liên tục trên
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

¡

và thỏa mãn
(1.1)

với mọi số thực x, y. Ta sẽ chỉ ra được tồn tại một số thực a
sao cho
f ( x) = ax, " x Î ¡ .
Nhận xét.
1. Trong bài toán trên, ta thấy chỉ cần giả thiết f liên tục tại một
điểm x0 Î ¡ cho trước là đủ. Khi đó hàm f(x) thỏa mãn (1.1) sẽ
liên tục trên ¡ .
Thật vậy, theo giả thiết thì

Footer Page 6 of 145.

Header Page 7 of 145.

5
lim f ( x) = f ( x0 ) .

x ® x0

Và với mỗi x1 Î ¡ ta đều có
f ( x) = f (x - x1 + x0 ) + f (x1 ) - f ( x0 ), "x Î ¡.

Từ đó suy ra:
lim f ( x) = lim [ f ( x - x1 + x0 ) + f ( x1 ) - f ( x0 )]

x ® x1

x ® x1

= f ( x0 ) + f ( x1 ) - f ( x0 ) = f ( x1 ).
tùy ý thuộc

¡.

2. Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay

¡

Điều này chứng tỏ f liên tục tại mọi điểm

x1

Hay f liên tục trên ¡ .
bằng [ a; + ¥ ) hoặc ( -¥; b] tùy ý.

Định lý 1.1. Cho hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn phương trình hàm
Cauchy

f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

với mọi số thực x và y. Khi đó tồn tại một số thực a sao cho
f (q) = aq
với mọi số hữu tỉ q.
Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số
hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ. Để làm được điều này nhanh chóng,
bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên
tục. Chú ý, định lý 1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục. Kết quả
sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này.

Footer Page 7 of 145.


Header Page 8 of 145.

6

Định lý 1.2. Giả sử rằng f : ¡ ® ¡ và g : ¡ ® ¡ là các hàm
liên tục sao cho f (q) = g (q) với mọi số hữu tỉ q. Khi đó
f ( x) = g ( x) với mọi số thực x.
Chứng minh.
Kết quả này bắt nguồn từ cơ sở lí luận rằng bất kỳ số thực nào
cũng có thể được xấp xỉ chặt chẽ một cách tùy ý bằng các số hữu tỉ.

Ví dụ, chúng ta có thể viết x với một sự khai triển số thập phân vô
hạn và cho

qi

là số hữu tỉ thu được bằng cách khai triển số thập

phân có kết thúc của x
x = lim qi
i ®¥

Định lý 1.3. Cho f : ¡ ® ¡ là một hàm liên tục thỏa mãn
phương trình hàm Cauchy
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
với mọi số thực x và y. Khi đó tồn tại một số thực a sao cho:
f ( x) = ax, "x Î ¡ .
Chứng minh.
Từ định lý 1.1, ta thấy rằng tồn tại một số thực a sao cho
f (q) = aq với mọi số hữu tỉ q. Nhưng f ( x) và g ( x) = ax là các
hàm liên tục. Do đó, từ định lý 1.2 ta suy ra f ( x) = g ( x) với mọi số
thực x. Tức là ta có f ( x) = ax với mọi số
thực x.

Footer Page 8 of 145.


Header Page 9 of 145.

7

1.1.2. Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy
Định lý 1.4. Giả sử f : ¡ ® ¡ thỏa mãn phương trình hàm
Cauchy
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

(1.5)

với mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên ¡ , nghĩa là
f ( x) £ f ( y ), " x £ y
Khi đó
f ( x) = ax, với a ³ 0, "x Î ¡ .
Hệ quả. Cho hàm f : ¡ ® ¡ xác định, có đạo hàm trên ¡ và
thỏa mãn điều kiện
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

(1.6)

với mọi số thực x, y. Khi đó f ( x) = ax, a Î ¡ tùy ý.
Định lý 1.5. Giả sử f : ¡ ® ¡ thỏa mãn đồng thời hai
phương trình
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

(1.7)

f ( x y ) = f ( x) f ( y )

(1.8)

với mọi số thực x, y. Khi đó

f ( x) = 0, "x

hoặc f ( x) = x, "x .
Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy sẽ được minh họa cụ
thể qua một số bài toán sau:
Bài toán 1.2. Xác định các hàm f liên tục trên ¡ \ {0} thỏa
mãn điều kiện:
f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), "x, y Î ¡ \{0}

Footer Page 9 of 145.

(1.10)


Header Page 10 of 145.

8

Bi toỏn 1.3. Xỏc nh cỏc hm f(x) liờn tc trờn

Ă

v tha

món iu kin
f ( x + y ) = f ( x). f ( y ), "x, y ẻ Ă

(1.12)

1.2. PHNG TRèNH HM JENSEN

Phng trỡnh hm Jensen l phng trỡnh hm cú dng
f ( x) + f ( y )
ổx+ yử
fỗ
, "x, y ẻ Ă
ữ=
2
ố 2 ứ

(1.13)

v c xột nh mt phiờn bn ca phng trỡnh hm Cauchy dựng
trung bỡnh. Mt ln na hm f luụn c gi thit l hm liờn tc.
n gin, ta gi s rng min xỏc nh ca hm f l ton b trc
s thc. Nghim ca phng trỡnh d dng thu c t kt qu ca
phn trc.
1.3. PHNG TRèNH HM DALEMBERT
Phng trỡnh hm DAlembert l phng trỡnh hm cú dng
f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x) f ( y ), "x, y ẻ Ă

(1.18)

nh lý 1.6: (nh lý nghim ca phng trỡnh hm
DAlembert). Gi s f : Ă đ Ă, liờn tc v tha món iu kin
f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x). f ( y ), "x, y ẻ Ă
Khi ú f l mt trong cỏc hm sau:
f ( x) = 0, "x ẻ Ă
f ( x) = 1, "x ẻ Ă
f ( x) = cos(ax), "x ẻ Ă
f ( x) = cosh(bx), "x ẻ Ă.

trong ú a, b l cỏc hng s thc khỏc 0.

Footer Page 10 of 145.


Header Page 11 of 145.

9

Bây giờ ta xét một bài toán ứng dụng định lý nghiệm của
phương trình hàm D’Alembert như sau
Bài toán 1.4. Cho a Î ¡ ( a ¹ 0), tìm các hàm f(x) liên tục
trên ¡ và thỏa mãn điều kiện
f ( x + y + a ) + f ( x - y + a ) = 2 f ( x). f ( y ), "x, y Î ¡

(1.26)

Bài toán 1.5: Cho a Î ¡ ( a ¹ 0), tìm các hàm f(x) liên tục
trên ¡ và thỏa mãn điều kiện:
f ( x - y + a) - f ( x + y + a) = 2 f ( x). f ( y ), "x, y Î ¡

(1.32)

Nhận xét. Từ cách giải và kết quả của bài toán 1.4 và bài toán
1.5 thì ta có các bài toán khi cho a các giá trị cụ thể khác nhau.
1.4. TUYẾN TÍNH HÓA
Đôi khi những bài toán phức tạp có thể được giải quyết một
cách khá đơn giản. Ví dụ, giả sử rằng chúng ta được yêu cầu tìm một
nghiệm của phương trình

f ( x 2 ) - f ( x) = 1, x > 1

(1.39)

Chúng ta có thể nhận thấy rằng ở phương trình này nếu f là
hàm tăng thì nó phải tăng rất chậm, chẳng hạn ta bình phương x lên
thì điều đó chỉ làm cho f tăng lên chút ít. Nó sẽ hấp dẫn hơn khi ta
thay đổi bài toán với một hàm tăng nhanh hơn. Đặt

F ( x) = f (a x ), (a > 0) . Tương đương với F (log a x) = f ( x). Sau
đó cho x > 0 ta có:
F (2 x) - F ( x) = f (a 2 x ) - f (a x )
= f éë(a x )2 ùû - f (a x )

Footer Page 11 of 145.


Header Page 12 of 145.

10
F (2 x) - F ( x) = 1, "x > 0

hay

(1.40)

Phương trình này nhắc ta tính chất của logarit. Hàm

F ( x) = log 2 x thỏa mãn phương trình (1.40) vì

f ( x) = F (log a x ) = log 2log a x

(1.41)

Xét phương trình (1.41) ta có
f ( x 2 ) - f ( x) = log 2log a x 2 - log 2log a x
= log 2 (2log a x) - log 2log a x
= log 2 2 + log 2log a x - log 2log a x = 1
Vậy phương trình (1.41) thỏa mãn phương trình (1.39) với mọi a
> 0.
Phương pháp riêng được biết đến ở đây là tuyến tính hóa. Nó
có thể được dùng để chuyển đổi một số phương trình phức tạp thành
một phương trình đơn giản hơn.
Trong ví dụ ở trên, tính chất phi tuyến tính là trên miền xác
định của hàm số. Tuy nhiên phương trình sau đây phi tuyến tính trên
miền giá trị của f.

f ( x + 1) = [ f ( x) ]

2

(1.42)

Chúng ta giả sử rằng f ( x) ¹ 0, " x . Chúng ta có thể đưa về
phương trình tuyến tính này bằng cách đặt F ( x) = log a f ( x), a > 0 .
Chú ý rằng nếu phương trình nghiệm đúng với mọi x thì f phải tuyệt
đối chặt chẽ. Sau đó phương trình trở thành F ( x + 1) = 2 F ( x) và ta
có thể dễ dàng tìm thấy một đáp án F ( x) = 2 x . Như vậy, chúng ta có
thể kết luận rằng một nghiệm của phương trình ban đầu là

Footer Page 12 of 145.


Header Page 13 of 145.

11
f ( x) = a 2

x

(1.43)

Nói chung, chúng ta tìm đến một phương trình tuyến tính bằng
cách thay thế một hàm f bằng một hàm F.

r [ F ( j ( x))] = f ( x)

(1.44)

trong đó các hàm r và j được chọn tùy vào sự tuyến tính đối
với từng phương trình cụ thể. Không may, một số phương trình hàm
không thể đơn giản hóa bởi kỹ thuật tuyến tính hóa. Tuy nhiên, nó
đánh giá xem xét một cách thận trọng để hoàn thành đưa về một
phương trình mà nó có thể đơn giản bởi các phép biến đổi.
Bài toán 1.6. Có tồn tại hay không các hàm f : ¡ ® ¡ và
g : ¡ ® ¡ sao cho:
f [ g ( x) ] = x 2 và g [ f ( x) ] = x 4

(1.45)

với mọi số thực x.
1.5. MỘT SỐ HỌ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN
Một trong những họ phương trình hàm một biến đơn giản nhất
f ( x) = f [ a( x)]

có dạng:

(1.57)

với mọi số thực x và a : ¡ ® ¡ là một hàm cho trước.
Nếu không có giả thiết rằng f là một hàm liên tục thì lời giải
đầy đủ sẽ dễ dàng và được viết như dưới đây. Trước hết, ta viết:

a1 ( x) = a( x) và a n +1 ( x) = a (a n ( x))

(1.58)

với n Î ¥* . Để thuận lợi, ta định nghĩa a 0 là hàm số xác định
bởi

Footer Page 13 of 145.


Header Page 14 of 145.

12

a0 ( x) = x .

(1.59)

Ta gọi dãy:

a( x ), a 2 ( x), a 2 ( x) ........
là chu trình của x. Áp dụng liên tiếp (1.57) n lần ta có

f ( x) = f éë a n ( x) ùû

(1.60)

Khi đó f là hàm hằng theo biến x.
Bài toán 1.7. (1996, Putnam): Cho a là một số thực bất kỳ.
Tìm (có chứng minh) tất cả các hàm liên tục f : ¡ ® ¡ sao cho
f ( x) = f ( x 2 + a )
với mọi số thực x.
Bài toán 1.8. Tìm các hàm thỏa mãn phương trình
2 f ( x ) + f ( x -1 ) = x, x ¹ 0

(1.61)

1.6. PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN HỢP VÀ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH HÀM LIÊN HỢP
1.6.1. Phương trình hàm liên hợp
Ta gọi phương trình hàm dạng
f [ a( x) ] =b [ f ( x) ] ,
trong đó a, b là các hàm đã cho trước, là phương trình hàm
liên hợp.
Với b( x) = s.x . Ta có phương trình hàm:
f [ a( x) ] = s. f ( x)

(1.63)

Phương trình (1.63) được gọi là phương trình hàm Schroder.

Footer Page 14 of 145.


Header Page 15 of 145.

13

Nếu f là một nghiệm của phương trình (1.63) và giả sử f có
một hàm ngược

-1
g = f -1 , thì g = f là nghiệm của phương trình

g ( sy ) = a [ g ( y ) ]

(1.64)

Phương trình (1.64) được gọi là phương trình Poincare.
Phương trình hàm dạng

f [ a( x) ] = f ( x) + a

(1.65)

trong đó a là hàm cho trước được gọi là phương trình hàm Abel.
Phương trình

f [ a ( x ) ] = [ f ( x) ] p

(1.66)

trong đó p ¹ 1 được gọi là phương trình BottCher. Với
phương trình này ta quan tâm tới lớp hàm không âm f(x).
Một dạng phương trình nữa được chú ý là phương trình giao
hoán. Phương trình giao hoán được xác định bởi:

f [a ( x) ] = a f ( x ) .

(1.67)

Tất cả các phương trình mà ta đã xét ở trên là các trường hợp
đặc biệt của một họ các phương trình được gọi là phương trình liên
hợp sau đây:
f [a ( x)] = b [ f ( x) ]

(1.68)

Trong đó a , b là các hàm cho trước. Rõ ràng khi a = b ,
chúng ta nhận được một phương trình giao hoán, khi b ( x) = s.x ta
nhận được phương trình Schroder ,v.v...

Footer Page 15 of 145.


Header Page 16 of 145.

14

1.6.2. Thuật toán Lévy cho phương trình Abel
Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của phương trình Abel khi

a = 1 , nghĩa là f [a( x)] = f ( x) + 1 . Chú ý rằng, nếu f(x) là một lời
giải bất kỳ cho phương trình Abel (1.65) thì f ( x ) + c (với c là hằng
số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình Abel. Nếu hàm a n ( x) là
một xấp xỉ nhân, người ta có thể biến đổi phương trình Abel về
phương trình S và tìm nghiệm như trong mục trước. Ngược lại người
ta có thể biến đổi hàm a n ( x) bằng cách dùng x ® x + a . Trong
trường hợp này đa số các công thức tường minh của phương trình
hàm có dạng phương trình hàm Abel. Giả sử $ x0 sao cho:

a n +1 ( x0 ) - a n ( x0 )
= 1, "x
n ®¥ a n +1 ( x ) - a n ( x )
lim

(1.69)

Thì nếu giới hạn:

a n ( x) - a n ( x0 )
n ®¥ a n +1 ( x ) - a n ( x )

f ( x) = lim

(1.70)

tồn tại, nó là một lời giải của phương trình Abel
f [a ( x)] = f ( x) + 1
1.6.3. Thuật toán Koenigs cho phương trình Schroder
Ta chú ý rằng nếu f(x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình
Schroder f [a ( x)] = s. f ( x) thì ta nhân nó với một hằng số bất kỳ
(tức là k . f ( x ), k Î ¡ ) cũng là lời giải cho phương trình Schroder.
Nếu dãy a n là một cấp số nhân thì ta có tìm thấy lời giải cho

Footer Page 16 of 145.


Header Page 17 of 145.

15

phương trình Schroder. Hàm a n ( x) được gọi là xấp xỉ hình học nếu
tồn tại một số sÎ (0; 1) sao cho
lim

n ®¥

a n ( x)
sn

(1.71)

tồn tại hữu hạn và khác 0. Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm

a n ( x) có độ biến đổi s trên miền xác định các giá trị x. Trong đó,
a n ( x) xấp xỉ hình học với độ biến đổi s độc lập với x, một nghiệm

của phương trình Schroder được cho bởi
f ( x) = lim
n ®¥

a n ( x)
.
sn

(1.72)

Với cách chọn đặc biệt của s mà nó có tính chất (1.71). Điều này là
dễ dàng kiểm tra bằng cách thế trực tiếp với phương trình Schroder.
Thật vậy
f [ a ( x)] = lim
n ®¥

a n [ a( x)]
sn

= s. lim
n ®¥

a n +1 ( x)
= s. f ( x)
s n +1

Phương pháp đặc biệt cho trong phương trình (1.72) đưa tới
một lời giải mà người ta thường gọi là thuật toán Koenigs.
1.6.4. Một thuật toán cho phương trình Bottcher
Nếu f(x) là một nghiệm bất kỳ của phương trình Bottcher

(1.66), thì [ f ( x) ] cũng là nghiệm với số mũ q bất kỳ. Phương trình
q

Bottcher có thể theo cách tự nhiên để đưa về một phương trình tuyến

Footer Page 17 of 145.


Header Page 18 of 145.

16

tính hóa khi hàm a n ( x ) được xấp xỉ như một hàm lũy thừa. Một
nghiệm của phương trình Bottcher có thể thu được nếu giới hạn
f ( x) = lim éëa n ( x) ùû
n ®¥

p -n

(1.73)

tồn tại.
1.6.5. Giải phương trình giao hoán
Dễ thấy rằng các hàm f n ( x) = a n (x) thỏa mãn phương trình
giao hoán
f [a ( x)] = a [ f ( x) ]
với n Î ¥ . Một trong những cách giải phương trình giao hoán là
thông qua một lời giải của phương trình Schroder, Abel hay Bottcher
tương ứng. Chẳng hạn, giả sử g thỏa mãn phương trình Schroder,
g [a ( x)] = s. g( x) , hơn nữa giả sử g là đơn ánh với hàm ngược g -1

khi đó với bất kỳ hằng số c, sao cho
f ( x) = g -1 [ c.g ] ( x)

(1.74)

thỏa mãn phương trình giao hoán. Điều này được suy ra dễ dàng
bằng cách dùng sự kiện

g -1

thỏa mãn phương trình Poincare. Ta có:

f [a ( x) ] = g -1 éëc.g (a ( x) ) ùû
= a éëg -1 ( c.g ( x) ) ùû
= a [ f ( x)]
Nếu g thỏa mãn phương trình Abel g [a ( x)] = g ( x) + a thì
với mỗi hằng số c, hàm f ( x) = g -1 [ g ( x) + c] thỏa mãn phương

Footer Page 18 of 145.


Header Page 19 of 145.

17

trình giao hoán. Cuối cùng, nếu g [ a ( x)] = [ g( x)]

{

Bottcher) thì hàm f ( x) = g -1 [ g ( x)]

c

}

p

(phương trình

thỏa mãn phương trình giao

hoán với mọi c.
1.7. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MẠNG CÁC CĂN THỨC
Lý thuyết mạng căn thức hay còn gọi là lý thuyết các căn lồng
nhau có quan hệ mật thiết với lý thuyết về đệ quy. Vì vậy sẽ chẳng
có gì ngạc nhiên khi thấy rằng một số bài toán về mạng các căn thức
được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương pháp của phương trình
hàm.
Định lý 1.7. Cho f ( x) thỏa mãn phương trình hàm

[ f ( x)]

2

= 1+ x f ( x +1)

(1.84)

x +1
£ f ( x) £ 2( x +1)

2

(1.85)

và thỏa mãn bất phương trình

với mọi x ³ 1 . Khi đó f ( x) = x +1 .

Footer Page 19 of 145.


Header Page 20 of 145.

18
CHƯƠNG 2

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN
2.1. ĐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
HÀM MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho phương trình hàm G ( f ) = 0 , với G là hàm
cho

trước,

f : Df ® ¡

có

miền

xác

định

là

D f và

G ( f ) : D 2f Ì ¡ 2 ® ¡ . Nếu với mỗi e > 0 cho trước tùy ý, tồn tại

d > 0 sao cho G ( f ) £ e, "x, y Î D f thì tồn tại duy nhất hàm
g : D f ® ¡ thỏa mãn G ( g ) = 0 và f ( x) - g ( x) £ d . Khi đó
hàm G ( f ) = 0 được gọi là ổn định.
Ví dụ: Giả sử hàm f thỏa mãn
æ x + y ö f ( x) + f( y )
fç
£e
÷2
è 2 ø
với e là một số dương bé tùy ý cho trước và với mọi
x, y Î ¡ . Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm cộng tính g: ¡ ® ¡ sao
cho
f ( x) - g ( x) - f (0) £ e, "x Î ¡
và phương trình hàm Jensen được gọi là ổn định.
2.2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỘNG
TÍNH
Định lý 2.1. (Định lý Hyers). Nếu hàm f : ¡ ® ¡ là một hàm
thực thỏa mãn

Footer Page 20 of 145.

Header Page 21 of 145.

19

f ( x + y ) - f ( x) - f ( y ) £ d, "x, y Î ¡
với d dương nào đó, thì tồn tại duy nhất một hàm cộng tính
A: ¡ ® ¡ sao cho
f ( x) - A( x) £ d, " xΡ.
Để chứng minh định lý này, ta phải chứng tỏ rằng:
¥

ì f (2n x) ü
(i). í
ý là một dãy Cauchy với mỗi giá trị cố định
n
î 2
þn =1
xΡ .

(ii). Nếu
A( x) = lim

n ®¥

f (2n x)
2n

thì A là một hàm cộng tính trên ¡ .

(iii). Hơn nữa, A thỏa mãn
A( x) - f ( x) £ d, "xÎ ¡.
(iv). A là duy nhất.
Định lý 2.2. (Định lý Hyers mở rộng). Nếu f : ¡ ® ¡ là một
hàm thực thỏa mãn

(

p

f ( x + y ) - f ( x) - f ( y ) £ d x + y

p

)

(2.12)

với d dương nào đó, p Î [ 0;1) và với mọi x, y Î ¡ thì tồn tại
duy nhất một hàm cộng tính A: ¡ ® ¡ sao cho:
f ( x) - A( x) £

Footer Page 21 of 145.

2d
p
x , "x Î ¡
2 - 2p

Header Page 22 of 145.

20

Chú ý:
1. Định lý 2.1 là hệ quả của định lý 2.2 trong trường hợp
p = 0.
2. Định lý 2.2 đúng với mọi p Î ¡ \ {1} .
Nếu p < 1 ta có A( x) = lim

n ®¥

f (2n x)
.
2n

æ x ö
Nếu p > 1 ta có A( x) = lim 2n f ç n ÷ .
n ®¥
è2 ø

3. Năm 1991, Gajda đã chỉ ra một ví dụ chứng tỏ rằng định lý
2.2 không đúng nếu p = 1 . Gajda đã xây dựng một ví dụ về một hàm
liên tục bị chặn g : ¡ ® ¡ thỏa mãn:
g ( x + y ) - g ( x) - g ( y ) £ x + y
với bất kỳ x, y Î ¡ , với
g ( x)
=¥.
x ®0
x

lim

Hàm g của Gajda tiến rất gần về 0.
Gajda đã xây dựng hàm g như sau. Cho một số q > 0 cố định,
g : ¡ ® ¡ được định nghĩa bởi:
¥

g ( x) = å 2- n f(2n x), "x Î ¡
n =0

trong đó f : ¡ ® ¡ là hàm cho bởi:

Footer Page 22 of 145.


Header Page 23 of 145.

21

ỡ1
,1 Ê x < Ơ
ù6 q
ù
ù1
f( x) = ớ qx , - 1 < x < 1
ù6
ù 1
ù- 6 q , - Ơ < x Ê -1
ợ

iu ny chng t nh lý 2.2 khụng cũn ỳng khi

p = 1.

nh lý 2.3: Tn ti mt hm liờn tc f : Ă đ Ă tha món
f ( x + y ) - f ( x) - f ( y ) Ê x + y
vi bt k x, y ẻ Ă , v vi lim

x đƠ

(2.24)

f ( x)
=Ơ.
x

Bi toỏn 2.1: ( Xột tớnh n nh ca phng trỡnh hm Jensen
ó a ra vớ d mc 2.1). Gi s hm f tha món
f ( x) + f ( y )
ổx+ yử
fỗ
Êe
ữ2
ố 2 ứ

(2.29)

vi e l s dng tựy ý cho trc v vi mi x, y ẻ Ă . Khi
ú tn ti duy nht mt hm cng tớnh A : Ă đ Ă sao cho
f ( x) - A( x) - f (0) < 4e, "x ẻ Ă

Bi toỏn 2.2. Tỡm cp hm f , g : Ă đ Ă tha món
f ( x + y ) = g ( x) + g ( y ), "x, y ẻ Ă

(2.32)

Bi toỏn 2.3. Gi s hm f , g : Ă đ Ă tha món
f ( x + y ) - g ( x) - g ( y ) Ê e

Footer Page 23 of 145.

(2.34)


Header Page 24 of 145.

22

với e là số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y Î ¡ . Khi đó tồn
tại duy nhất một hàm cộng tính A : ¡ ® ¡ sao cho

{

f ( x ) - A( x ) - f (0) £ 4 e
g ( x ) - A( x ) - g (0) £ 2 e

với mọi x, y Î ¡ .
2.3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM NHÂN
TÍNH.
Định nghĩa 2.2. Phương trình hàm có dạng
f ( xy ) = f ( x) f ( y ), "x, y Î ¡ \ {0}

(2.43)

được gọi là phương trình hàm nhân tính. Hàm f(x) liên tục
trên ¡ \{0} và thỏa mãn (2.43) được gọi là hàm nhân tính.
Bây giờ ta đi xét tính ổn định của phương trình (2.43).
Định lý 2.4: Giả sử d > 0, f : ¡ \{0} ® ¡ sao cho
f ( xy ) - f ( x) f ( y ) £ d, "x, y Î ¡ \ {0}

(2.44)

Khi đó, hoặc
f ( x) £

1 + 1 + 4d
= : e, "x Î ¡ \ {0}
2

(2.45)

hoặc f là hàm nhân tính với mọi x, y Î ¡ \ {0} .
Định lý 2.5. Giả sử j : ¡ ® ¡ là một hàm thực bất kỳ. Cho
f : ¡ ® ¡ là một hàm thỏa mãn
f ( xy ) - f ( x) f ( y ) £ j( x)

(2.47)

với mọi x, y Î ¡ . Khi đó, f là một hàm bị chặn hoặc f là một
hàm nhân tính.

Footer Page 24 of 145.


Header Page 25 of 145.

23

2.4. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM ABEL
Trong phần này, ta xét phương trình hàm Abel dưới dạng:
f ( x + y ) = g ( xy ) + h( x - y )

(2.52)

với f , g , h là các hàm thực và "x, y Î ¡ .
Định lý 2.6. Nếu hàm số f , g , h : ¡ ® ¡ thỏa mãn bất
phương trình hàm
f ( x + y ) - g ( xy ) - h( x - y ) £ e

(2.53)

với e ³ 0 nào đó và " x, y Î ¡ , thì tồn tại duy nhất một hàm
cộng tính A : ¡ ® ¡ sao cho:
æ x2 ö
f ( x) - A ç ÷ - f (0) £ 22e,
è 4ø
g ( x) - A( x) - f (0) + h(0) £ 21e,
æ x2 ö
h( x) - A ç - ÷ - h(0) £ 22e
è 4 ø
với mọi x Î ¡ .

Footer Page 25 of 145.