Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)

Khoa CNTT-Trường ĐHSG

CHƢƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này. Chúng ta
phân biệt các loại đồ thị khác nhau bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của
đồ thị.
Định nghĩa 1.1 Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập
các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh.
Định nghĩa 1.2 Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập
các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh
e1 và e2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
Định nghĩa 1.3 Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập
các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phải khác nhau) của V gọi
là cạnh. Cạnh e được gọi là khuyên nếu nó có dạng e = (u, u).
Định nghĩa 1.4 Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập
các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
Định nghĩa 1.5 Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập
các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e 1, e2
tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.
Trong các phần tiếp theo chủ yếu chúng ta sẽ làm việc với đơn đồ thị vô hướng và đơn
đồ thị có hướng. Vì vậy, để cho ngắn gọn, ta sẽ bỏ qua tính từ đơn khi nhắc đến
chúng.
2. CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN
Định nghĩa 2.1 Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu (u,v)
là cạnh của đồ thị G. Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với
hai đỉnh u và v, hoặc

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

1


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu
của cạnh (u, v).
Để có thể biết có bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, ta đưa vào định nghĩa sau
Định nghĩa 2.2 Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc với
nó và sẽ ký hiệu là deg(v).

( Hình 1-1)

Đồ thị vô hướng

Thí dụ 1-1: Xét đồ thị cho trong( hình 1-1), ta có
deg(a) =5, deg(b) = 1, deg(c) = 3, deg(f) = 1,deg(k)=2
deg(d) =41, deg(e) = 3, deg(g) =1, deg(s)=0
Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 được gọi là đỉnh treo. Trong ( Hình 1-1) trên
đỉnh s là đỉnh cô lập, các đỉnh b, g, f là các đỉnh treo. Bậc của đỉnh có tính chất sau:
Định lý 2.1. Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng với m cạnh. Khi đó tổng bậc của tất
cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh.
Ta có công thức :

 deg( v) = 2m=2 E
vV

Chứng minh : Rõ ràng mỗi cạnh e=(u,v) được tính một lần trong deg(u) và một lần
trongdeg(v). Từ đó suy ra tổng tất cả cac bậc của cac đỉnh bằng hai lần số cạnh .

Thí dụ 1-2 : Đồ thị với n đỉnh có bậc là 6 có bao nhiêu cạnh?
Giải: Theo định lý 1 ta có 2m = 6n. Từ đó suy ra tổng các cạnh của đồ thị là 3n.
Hệ quả 2.1.
Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa là đỉnh có bậc là số lẻ) là một số chẵn.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

2


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Chưng minh: Thật vậy, gọi O và U tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn
của đồ thị . ta có
2m=  deg( v) =  deg( v) +  deg( v) . Do deg(v) là chẵn với v là đỉnh trong U nên tổng
vV

vO

vU

 deg( v) là số chẵn . Từ đó suy ra tổng  deg( v) ( chính là tổng các đỉnh bậc lẻ) cũng

vU

vO

là một số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn
các số hạng . Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải là một số chẵn.
Định nghĩa 2.3 Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai đỉnh u và v

là kề nhau, và nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung này là đi ra
khỏi đỉnh u và vào đỉnh v. Đỉnh u(v) sẽ được gọi là đỉnh đầu (cuối) của cung (u,v).
Tương tự như khái niệm bậc, đối với đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc ra và
bán bậc vào của một đỉnh.
Định nghĩa 2.4 Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có hướng là
số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg+(v) (deg -(v))

( Hình 1-2) Đồ thị có hướng
Thí dụ 1-3
Xét đồ thị cho trong (Hình 1-2), Ta có
deg-(a)=2, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e) = 2, deg-(f) = 1
deg+(a)=2, deg+(b)=1, deg+(c)=3, deg+(d)=1, deg+(e)=2, deg+(f)=2.
Do mỗi cung (u, v) sẽ được tính một lần trong bán bậc vào của đỉnh v và một lần trong
bán bậc ra của đỉnh u nên ta có:

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

3


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Định lý 2.2
Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng. Khi đó
Tổng tất cả các bán bậc ra bằng tổng tất cả các bán bậc vào bằng số cung.

 deg
vV



(v) =  deg  (v) = E
vV

Đồ thị vô hướng thu được bằng cách bỏ qua hướng trên các cung được gọi là đồ thị vô
hướng tương ứng với đồ thị có hướng đã cho.
3. ĐƢỜNG ĐI. CHU TRÌNH. ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG
Định nghĩa 3.1 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên
dương, trên đồ thị vô hướng G = (V, E) là dãy x0, x1,…, xn-1, xn, trong đó u = x0 , v = xn
, (xi , xi+1)  E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh:
(x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn)
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh
đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu trình
được gọi là đơn (hay sơ cấp) nếu như không có cạnh nào bị lặp lại.
Thí dụ 1-4: Trên đồ thị vô hướng cho trong (Hình 1-1):Dãy b, a, d, f là đường đi
đơn độ dài 3. Còn dãy a,d,k,c,e,s không là đường đi, do (e,s) không phải là cạnh của
đồ thị. Dãy a,d,e,c,a là chu trình độ dài 4. Đường đi a, d, k, c, a, d có độ dài là 5 không
phải là đường đi đơn, do cạnh (a, d) có mặt trong nó 2 lần.
Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn toàn
tương tự như trong trường hợp đồ thị vô hướng, chỉ khác là ta có chú ý đến hướng trên
các cung.
Định nghĩa 3.2 Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó, n là số nguyên
dương, trên đồ thị có hướng G = (V, E) là dãy x0, x1,…, xn-1, xn
trong đó u = x0, v = xn, (xi, xi+1)  E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cung:

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

4

Khoa CNTT-Trường ĐHSG

(x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn)
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh
đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu trình
được gọi là đơn( hay sơ cấp) nếu như không có cung nào bị lặp lại.
Thí dụ 1-5 : Trên đồ thị có hướng cho trong (Hình 1-2) : a, c, d, e, f là đường đi đơn
độ dài 4. Còn b, e, c, f không là đường đi, do (c,f) không phải là cung của đồ thị. Dãy
a, c, d, e, f, a là chu trình độ dài 5. Đường đi a, c, d, e, f, d, ecó độ dài là 6 không phải
là đường đi đơn, do cung (d,e) có mặt trong nó 2 lần.
Định nghĩa 3.3 Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm được
đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Định nghĩa 3.4 a.Cho hai đồ thị G=<X,E> và G1=<X1, E1> . ta nói G1 là đồ thị con
của G nếu :
 X1 X, E1E
 Với mọi cạnh u=(i,j)E của G , nếu uE1( nghĩa là nếu u cũng là cạnh của G1)
Thì i,j X1.
b.Đồ thị bộ phận. Cho đồ thị G1=<X1,E1 > là đồ thị con của G =<X,E> . G1 gọi là bộ
phận của G nếu X1=X .
Trong trường hợp đồ thị là không liên thông, nó sẽ rã ra thành một số đồ thị con liên
thông đôi một không có đỉnh chung. Những đồ thị con liên thông như vậy ta sẽ gọi là
các thành phần liên thông của đồ thị.
Định nghĩa 3.5 Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh( đỉnh khớp) nếu việc loại bỏ v
cùng với các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của
đồ thị. Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần
liên thông của đồ thị.
Định nghĩa 3.6 Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông mạnh nếu luôn tìm
được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

5


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Định nghĩa 3.7 Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô
hướng tương ứng với nó là vô hướng liên thông.
4. MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT
4.1.Đồ thị đầy đủ. Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi Kn, là đơn đồ thị vô hướng mà
giữa hai đỉnh bất kỳ của nó luôn có cạnh nối.
Các đồ thị K3, K4, K5 cho trong hình dưới đây.

(Hình 1-3). đồ thị đầy đủ K3, K4, K5
Nhận xét: Đồ thị đầy đủ Kn có tất cả n(n-1)/2 cạnh, nó là đơn đồ thị có nhiều cạnh
nhất.
4.2. Đồ thị vòng : Đồ thị vòng Cn (n 3) gồm n đỉnh v1,v2,…,vn và các cạnh (v1,v2),
(v2,v3),…,(vn-1,vn),(vn,v1)

( Hình 1-4) . Mô tả đồ thị vòng C6

4.3. Đồ thị bánh xe.
Đồ thị Wn thu được từ Cn bằng cách bổ sung vào một đỉnh mới nối với tất cả các đỉnh
của Cn ( xem hình 1-5)

( Hình 1-5). Mô tả đồ thị bánh xe W3, W4, W5, W6

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

6


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

4.4. Đồ thị lập phƣơng.
Đồ thị lập phương n đỉnh Qn là đồ thị với các đỉnh biểu diễn 2n xâu nhị phân độ dài n .
Hai đỉnh của nó kề nhau nếu như hai xâu nhị phân tương ứng khác nhau 1 bit .

(Hình 1-6 ) cho Qn với n=1,2,3.
4.5.Đồ thị hai phía.
Đơn đồ thị G=(V,E) được gọi là hai phía nếu như tập đỉnh V của nó có thể phân hoạch
thành hai tập X và Y sao cho mỗi cạnh của đồ thị chỉ nối một đỉnh nào đó trong X với
một đỉnh nào đó trong Y. Khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu G=(X  Y, E) để chỉ đồ thị hai
phía với tập đỉnh X Y.
Định lý sau đây cho phép nhận biết một đơn đồ thị có phải là hai phía hay không.
Cho G=(V,E) là mộ đồ thị hai phía , vô hướng với hai tập X và Y định nghĩa
như trên . G được gọi là đồ thị hai phía đầy đủ nếu : G đơn và mọi cặp đỉnh (i,j) mà
iX, jY thì có đúng một cạnh của G nối i với j .
Nếu X = n và Y=m Thì G có mn cạnh . và khi đó ta gọi là K m,n

( Hình 1-6) Đồ thị hai phía đầy đủ

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

7


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

4.6. Đồ thị bù




Xét một đơn đồ thị G=(V,E) . Bù ( complement) của G là đơn đồ thị G =(V, E ) định
nghĩa bởi:


v,uV, vu E  vuE
4.7. Tập ổn định của đồ thị
4.7.1. Tập ổn định trong
a. Cho đồ thị G=(V,E) .Tập con A  V được gọi là tập ổn định trong của G nếu mỗi
cặp đỉnh thuộc A đều không kề nhau ( không có cạnh hoặc cung nối chúng )
Tập ổn định trong cực đại : Là tập ổn định trong không thể thêm đỉnh nào nữa . Số
phần tử của tập ổn định trong cực đại nhiều phần tử nhất là số ổn định trong . Kí hiệu
(G)
Nhận xét : Mọi tập con của ổn định trong cũng là tập ổn định trong .
b.Cách tìm tập ổn định trong
Duyệt đệ quy tìm các tổ hợp chập k của n ( đỉnh) . Với mỗi tổ hợp kiểm tra xem nó có
thỏa mãn định nghĩa là một tập ổn định trong hay không .
Cách giải trên còn cho biết số ổn định trong . Hạn chế : chỉ duyệt với số đỉnh nhỏ .
4.7.2. Tập ổn định ngoài
Tập đỉnh B thuộc đồ thị G(V,E) là tập ổn định ngoài nếu với mọi đỉnh xV\B đều có ít
nhất một cạnh ( nếu G vô hướng) hoặc cung ( nếu G có hướng) nối với đỉnh yB.
Tập ổn định ngoài cực tiểu là tập ổn định ngoài không thể bớt phần tử nó . Số phần tử
tập ổn định ngoài cựa tiểu ít nhất phần tử là số ổn định ngoài . Kí hiệu : (G).
Nhận xét : Mọi tập con của ổn định ngoài chứa tập ổn định ngoài cũng là tập ổn định
ngoài .

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

8


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

4.7.2.1. Cách tìm tập ổn định ngoài
Duyệt đệ quy tìm các tổ hợp chập k của n ( đỉnh) . Với mỗi tổ hợp kiểm tra xem nó có
thỏa mãn định nghĩa là một tập ổn định ngoài hay không .
Cách giải trên còn cho biết số ổn định ngoài . Hạn chế : chỉ duyệt với số đỉnh nhỏ
.Ngoài cách giải trên còn có thể tổ chức đồ thị ngoài hai phía để tìm tập ổn định ngoài
nhỏ nhất.
Thí dụ 1-6. Về tập ổn định trong/ngoài
Trên ( Hình 1-7) Ta có :
{1,4,7} là một trong các tập ổn định trong,
{ 1,2,8} là một trong các tập ổn định trong

(Hình1-7)

Cực đại , { 1,4,7,9} là một trong các tập ổn định
Trong cực đại có nhiều thành phần nhất . Số ổn định trong là 4 .
{ 1,2,8,3} là một trong các tập ổn định ngoài , { 1,2 8} Là một trong các tập ổn định
ngoài cựa tiểu, {5,8} là một Trong các tập ổn định ngoài cực tiểu nhưng có số phần tử
ít nhất .Số ổn định ngoài là 2.
4.7.3. Tập nhân của đồ thị .
Nhân của đồ thị là một tập một số đỉnh vừa là tập ổn định trong vừa là tập ổn định
ngoài .
4.8. Đẳng cấu ( đẳng hình ) của đồ thị

Về mặt trực quan hai đồ thị G1 và G2 được gọi là đẳng cấu với nhau , Ký hiệu là
G1G2 nếu có thể vẽ lại ( Bằng cách dời hình , dời cạnh ,..) sao cho hai đồ thị có hình
vẽ như nhau .
4.8.1. Đẳng cấu đồ thị vô hƣớng .
Cho hai đồ thị vô hướng G1=<X1,E1> và G2=< X2,E2> Hai đồ thị này được gọi là đẳng
cấu với nhau nếu tồn tại hai song ánh f1 và g1 sao cho:
 f1: X1X2 và g1: E1E2

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

9


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

 Nếu eE1 liên kết với cặp đỉnh (x,y)  X12 xét trong đồ thị G1 thì cạnh
f1(e) sẽ liên kết với cặp đỉnh ( f1(x),f1(y))  X22 xét trong đồ thị G2 ( Ta gọi điều này
là phép tương ứng cạnh)
4.8.2. Đẳng cấu đồ thị có hƣớng .
Cho hai đồ thị có hướng G1=<X1,E1> và G2=< X2,E2> Hai đồ thị này được gọi là đẳng
cấu với nhau nếu tồn tại hai song ánh f1 và g1 thỏa mãn điều kiện sau:
f1: X1X2 và g1: E1E2
 Nếu cung eE1 liên kết với cặp đỉnh (x,y) X12 xét trong đồ thị G1 thì
cung f1(e) sẽ liên kết với cặp đỉnh ( f1(x),g1(y)) X22 xét trong đồ thị G2 .
Thí dụ 1-7:

( Hình 1-8)
Hai đồ thị này đẳng cấu nhờ phép tương ứng đỉnh -cạnh dưới đây :
f1(1)=a,f1(2)=b,f1(3)=c, f1(4)=d
g1(u1)=e 1 , g1(u2)=e2 , g1(u3)=e3 g1(u4)= e4 , g1(u5) = e5 , g(u6)=e6

Hiển nhiên, nếu hai đồ thị đẳng hình với nhau thì chúng phải có :
-

Cùng số đỉnh

-

Cùng số đỉnh bậc k , k0,kZ

-

Cùng số cạnh ( cung)

-

Cùng số thành phần liên thông

Nếu hai đồ thị có ma trận liên kết ( theo thứ tự đỉnh nào đó ) bằng nhau thì đẳng hình
với nhau.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

10


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

4.9. ĐỒ THỊ PHẲNG.
4.9.1.Định nghĩa: Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt
phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của

các cạnh). Hình vẽ như thế gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị.
Một đồ thị có thể là phẳng ngay cả khi nó thường được vẽ với những cạnh cắt nhau,
nhưng ta có thể vẽ nó bằng cách khác không có các cạnh cắt nhau.
Thí dụ 1-8:
1) Một cây( cây là đồ thị liên thông và không có chu trình), một chu trình đơn là một
đồ thị phẳng.
2) K4 là đồ thị phẳng bởi vì có thể vẽ lại như hình bên không có đường cắt nhau

( Hình 1-9)
3) Trong ( Hình 1-10) Xét , đồ thị G như trong hình 1-10(a) dưới đây. Có thể biểu
diễn G một cách khác như trong hình 1-10(b) , trong đó bất kỳ hai cạnh nào cũng
không cắt nhau.

Hình 1-10(a)

Hình 1-10(b)
( Hình 1-10)

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

11


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

4.9.2. Định nghĩa: Cho G là một đồ thị phẳng. Mỗi phần mặt phẳng giới hạn bởi một
chu trình đơn không chứa bên trong nó một chu trình đơn khác, gọi là một miền (hữu
hạn) của đồ thị G. Chu trình giới hạn miền là biên của miền. Mỗi đồ thị phẳng liên
thông có một miền vô hạn duy nhất (là phần mặt phẳng bên ngoài tất cả các miền hữu
hạn). Số cạnh ít nhất tạo thành biên gọi là đai của G; trường hợp nếu G không có chu

trình thì đai chính là số cạnh của G.
Thí dụ 1-9 :
1) Một cây chỉ có một miền, đó là miền vô hạn.
2) Đồ thị phẳng ở (Hình 1-11) có 5 miền, M5
là miền vô hạn, miền M1 có biên abgfa, miền
M2 có biên là bcdhgb, … Chu trình đơn
abcdhgfa không giới hạn một miền vì chứa
bên trong nó chu trình đơn khác là abgfa.

(Hình 1-11)

4.9.3. Định lý (Euler, 1752): Nếu một đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh và d
miền thì ta có hệ thức:
n  p + d = 2.
Chứng minh: Cho G là đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, p cạnh và d miền.
Ta bỏ một số cạnh của G để được một cây khung của G. Mỗi lần ta bỏ một cạnh
(p giảm 1) thì số miền của G cũng giảm 1 (d giảm 1), còn số đỉnh của G không thay
đổi (n không đổi). Như vậy, giá trị của biểu thức n  p + d không thay đổi trong suốt
quá trình ta bỏ bớt cạnh của G để được một cây. Cây này có n đỉnh, do đó có n  1
cạnh và cây chỉ có một miền, vì vậy:
n  p + d = n  (n 1) + 1 = 2.
Hệ thức n  p + d = 2 thường gọi là “hệ thức Euler cho hình đa diện”, vì được
Euler chứng minh đầu tiên cho hình đa diện có n đỉnh, p cạnh và d mặt. Mỗi hình đa
diện có thể coi là một đồ thị phẳng. Chẳng hạn hình tứ diện ABCD và hình hộp
ABCDA’B’C’D’ có thể biểu diễn bằng các đồ thị ( Hình 1-12) dưới đây.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

12

Khoa CNTT-Trường ĐHSG

( Hình 1-12)
4.9.3.1 Hệ quả: Trong một đồ thị phẳng liên thông tuỳ ý, luôn tồn tại ít nhất một đỉnh
có bậc không vượt quá 5.
Chứng minh: Trong đồ thị phẳng mỗi miền được bao bằng ít nhất 3 cạnh. Mặt khác,
mỗi cạnh có thể nằm trên biên của tối đa hai miền, nên ta có 3d  2p.
Giả sử rằng trong đồ thị phẳng mà tất cả các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 6
thì do mỗi đỉnh của đồ thị phải là đầu mút của ít nhất 6 cạnh mà mỗi cạnh lại có hai
đầu mút nên ta có 6n  2p hay 3n  p. Từ đó suy ra 3d+3n  2p+p hay d+n  p, trái với
hệ thức Euler d+n=p+2.
4.10. ĐỒ THỊ KHÔNG PHẲNG.
4.10.1. Định lý: Đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 là một đồ thị không phẳng.
Chứng minh: Giả sử K3,3 là đồ thị phẳng. Khi đó ta có một đồ thị phẳng với 6 đỉnh
(n=6) và 9 cạnh (p=9), nên theo Định lý Euler đồ thị có số miền là d=pn+2=5.
Ở đây, mõi cạnh chung cho hai miền, mà mỗi miền có ít nhất 4 cạnh. Do đó
4d2p, tức là 4x529, vô lý.
Như vậy định lý này cho ta lời giải của bài toán “Ba nhà ba giếng”, nghĩa là
không thể thực hiện được việc làm các đường khác đến giếng sao cho các đường này
đôi một không giao nhau.
4.10.2. Định lý : Đồ thị đầy đủ K5 là một đồ thị không phẳng.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

13


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Chứng minh: Giả sử K5 là đồ thị phẳng. Khi đó ta có một đồ thị phẳng với 5 đỉnh
(n=5) và 10 cạnh (p=10), nên theo Định lý Euler đồ thị có số miền là d=pn+2=7.
Trong K5, mỗi miền có ít nhất 3cạnh, mỗi cạnh chung cho hai miền, vì vậy
3d2n, tức là 37210, vô lý.
Chú ý: Ta đã thấy K3,3 và K5 là không phẳng. Rõ ràng, một đồ thị là không phẳng nếu
nó chứa một trong hai đồ thị này như là đồ thị con. Hơn nữa, tất cả các đồ thị không
phẳng cần phải chứa đồ thị con nhận được từ K3,3 hoặc K5 bằng một số phép toán cho
phép nào đó.
Cho đồ thị G, có cạnh (u,v). Nếu ta xoá cạnh (u,v), rồi thêm đỉnh w cùng với
hai cạnh (u,w) và (w,v) thì ta nói rằng ta đã thêm đỉnh mới w (bậc 2) đặt trên cạnh
(u,v) của G.
Đồ thị G’ được gọi là đồng phôi với đồ thị G nếu G’ có được từ G bằng cách
thêm các đỉnh mới (bậc 2) đặt trên các cạnh của G.
Thí dụ 1-10

(Hình 1-13)

( Hình 1-13)
Trong ( Hình 1-13) Đồ thị G là đồng phôi với đồ thị G’.
Nhà toán học Ba Lan, Kuratowski, đã thiết lập định lý sau đây vào năm 1930.
Định lý này đã biểu thị đặc điểm của các đồ thị phẳng nhờ khái niệm đồ thị đồng phôi.
4.10.3.Định lý (Kuratowski): Đồ thị là không phẳng khi và chỉ khi nó chứa một đồ
thị con đồng phôi với K3,3 hoặc K5.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

14


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Thí dụ 1-11:

( Hình 1-14 )
Xét các đồ thị trong ( Hình 1-14), ta có đồ thị trong Hình 1 và Hình 2 là đồ thị phẳng.
Các đồ thị này có 6 đỉnh, nhưng không chứa đồ thị con K3,3 được vì có đỉnh bậc 2,
trong khi tất cả các đỉnh của K3,3 đều có bậc 3; cũng không thể chứa đồ thị con K5
được vì có những đỉnh bậc nhỏ hơn 4, trong khi tất cả các đỉnh của K5 đều có bậc 4.
Đồ thị trong Hình 3 là đồ thị không phẳng vì nếu xoá đỉnh b cùng các cạnh
(b,a), (b,c), (b,f) ta được đồ thị con là K5.
4.11. TÔ MÀU ĐỒ THỊ.
4.11.1. Tô màu bản đồ:
Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng. Trong một bản đồ, ta coi hai miền có
chung nhau một đường biên là hai miền kề nhau (hai miền chỉ có chung nhau một
điểm biên không được coi là kề nhau). Một bản đồ thường được tô màu, sao cho hai
miền kề nhau được tô hai màu khác nhau. Ta gọi một cách tô màu bản đồ như vậy là
một cách tô màu đúng.
Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau,
chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau. Tuy nhiên việc làm đó nói chung là
không hợp lý. Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống
nhau. Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô bản đồ. Một bài toán được
đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đúng một bản đồ.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

15


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Thí dụ 1-12: Bản đồ trong (Hình 1-15) có 6 miền,
nhưng chỉ cần có 3 màu (vàng, đỏ, xanh)
để tô đúng bản đồ này. Chẳng hạn, màu vàng
được tô cho M1 và M4, màu đỏ được tô cho M2
và M6, màu xanh được tô cho M3 và M5.

M3
M1

M2

M4

M5
M6

( Hìn 1-15 )
4.11.2. Tô màu đồ thị:
Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị, trong đó mỗi miền
của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh; các cạnh nối hai đỉnh, nếu các miền được
biểu diễn bằng hai đỉnh này là kề nhau. Đồ thị nhận được bằng cách này gọi là đồ thị
đối ngẫu của bản đồ đang xét. Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối
ngẫu phẳng. Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tương đương với bài toán tô màu
các đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kề nhau có cùng một màu,
mà ta gọi là tô màu đúng các đỉnh của đồ thị.
Số màu ít nhất cần dùng để tô màu đúng đồ thị G được gọi là sắc số của đồ thị
G và ký hiệu là χ(G).
Thí dụ 1-13:

( Hình 1-16)

Xét ( Hình 1-16). Ta thấy rằng 4 đỉnh b, d, g, e đôi một kề nhau nên phải được tô bằng
4 màu khác nhau. Do đó χ(G) ≥ 4. Ngoài ra, có thể dùng 4 màu đánh số 1, 2, 3, 4 để tô
màu G như sau:

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

16


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Như vậy χ(G) = 4.
4.11.3. Mệnh đề: Nếu đồ thị G chứa một đồ thị con đồng phôi với đồ thị đầy đủ K n thì
χ(G) ≥ n.
Chứng minh:
Gọi H là đồ thị con của G đồng phôi với Kn thì χ(H) ≥ n. Do đó χ(G) ≥ n.
4.11.4. Mệnh đề: Nếu đơn đồ thị G không chứa chu trình độ dài lẻ thì χ(G) =2.
Chứng minh: Không mất tính chất tổng quát có thể giả sử G liên thông. Cố định đỉnh
u của G và tô nó bằng màu 0 trong hai màu 0 và 1. Với mỗi đỉnh v của G, tồn tại một
đường đi từ u đến v, nếu đường này có độ dài chẵn thì tô màu 0 cho v, nếu đường này
có độ dài lẻ thì tô màu 1 cho v. Nếu có hai đường đi mang tính chẵn lẻ khác nhau cùng
nối u với v thì dễ thấy rằng G phải chứa ít nhất một chu trình độ dài lẻ. Điều mâu
thuẫn này cho biết hai màu 0 và 1 tô đúng đồ thị G.
4.11.5. Mệnh đề: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một đồ thị không chứa K3 và có
sắc số bằng n.
Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo n.
Trường hợp n=1 là hiển nhiên.
Giả sử ta có đồ thị Gn với kn đỉnh, không chứa K3 và có sắc số là n. Ta xây dựng
đồ thị Gn+1 gồm n bản sao của Gn và thêm knn đỉnh mới theo cách sau: mỗi bộ thứ tự
(v1, v2, …, vn), với vi thuộc bản sao Gn thứ i, sẽ tương ứng với một đỉnh mới, đỉnh mới

này được nối bằng n cạnh mới đến các đỉnh v1, v2, …, vn. Dễ thấy rằng Gn+1 không
chứa K3 và có sắc số là n+1.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

17


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

4.11.6. Định lý (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood): Mọi đồ thị phẳng đều có thể
tô đúng bằng 5 màu.
Chứng minh: Cho G là một đồ thị phẳng. Không mất tính chất tổng quát có thể xem G
là liên thông và có số đỉnh n ≥ 5. Ta chứng minh G được tô đúng bởi 5 màu bằng quy
nạp theo n. Trường hợp n=5 là hiển nhiên. Giả sử định lý đúng cho tất cả các đồ thị
phẳng có số đỉnh nhỏ hơn n. Xét G là đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh.
Theo mệnh đề 4.11.3, trong G tồn tại đỉnh a với deg(a) ≤ 5. Xoá đỉnh a và các
cạnh liên thuộc với nó, ta nhận được đồ thị phẳng G’ có n−1 đỉnh. Theo giả thiết quy
nạp, có thể tô đúng các đỉnh của G’ bằng 5 màu. Sau khi tô đúng G’ rồi, ta tìm cách tô
đỉnh a bằng một màu khác với màu của các đỉnh kề nó, nhưng vẫn là một trong 5 màu
đã dùng. Điều này luôn thực hiện được khi deg(a) < 5 hoặc khi deg(a)=5 nhưng 5 đỉnh
kề a đã được tô bằng 4 màu trở xuống.
Chỉ còn phải xét trường hợp deg(a)=5 mà 5 đỉnh kề a là b, c, d, e ,f đã được tô
bằng 5 màu rồi. Khi đó trong 5 đỉnh b, c, d, e ,f phải có 2 đỉnh không kề nhau, vì nếu 5
đỉnh đó đôi một kề nhau thì b c d e f là đồ thị đầy đủ K5 và đây là một đồ thị không
phẳng, do đó G không phẳng, trái với giả thiết. Giả sử b và d không kề nhau (Hình 1).

( Hình 1-17)
Xoá 2 đỉnh b và d và cho kề a những đỉnh trước đó kề b hoặc kề d mà không kề a
(Hình 2), ta được đồ thị mới G’’ có n−2 đỉnh. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể tô G’’

đúng bằng 5 màu. Sau khi các đỉnh của G’’ được tô đúng rồi (Hình 2), ta dựng lại 2

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

18


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

đỉnh b và d, rồi tô b và d bằng màu đã tô cho a (màu 1, Hình 3), còn a thì được tô lại
bằng màu khác với màu của b, c, d, e, f. Vì b và d không kề nhau đã được tô bằng
cùng màu 1, nên với 5 đỉnh này chỉ mới dùng hết nhiều lắm 4 màu.. Do đó G được tô
đúng bằng 5 màu.
4.11.7. Định lý (Định lý 4 màu của Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng đều có thể tô
đúng bằng 4 màu.
Định lý Bốn màu đầu tiên được đưa ra như một phỏng đoán vào năm 1850 bởi
một sinh viên người Anh tên là F. Guthrie và cuối cùng đã được hai nhà toán học Mỹ
là Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh vào năm 1976. Trước năm 1976
cũng đã có nhiều chứng minh sai, mà thông thường rất khó tìm thấy chỗ sai, đã được
công bố. Hơn thế nữa đã có nhiều cố gắng một cách vô ích để tìm phản thí dụ bằng
cách cố vẽ bản đồ cần hơn bốn màu để tô nó.
Có lẽ một trong những chứng minh sai nổi tiếng nhất trong toán học là chứng
minh sai “bài toán bốn màu” được công bố năm 1879 bởi luật sư, nhà toán học nghiệp
dư Luân Đôn tên là Alfred Kempe. Nhờ công bố lời giải của “bài toán bốn màu”,
Kempe được công nhận là hội viên Hội Khoa học Hoàng gia Anh. Các nhà toán học
chấp nhận cách chứng minh của ông ta cho tới 1890, khi Percy Heawood phát hiện ra
sai lầm trong chứng minh của Kempe. Mặt khác, dùng phương pháp của Kempe,
Heawood đã chứng minh được “bài toán năm màu” (tức là mọi bản đồ có thể tô đúng
bằng 5 màu).
Như vậy, Heawood mới giải được “bài toán năm màu”, còn “bài toán bốn màu”

vẫn còn đó và là một thách đố đối với các nhà toán học trong suốt gần một thế kỷ.
Việc tìm lời giải của “bài toán bốn màu” đã ảnh hưởng đến sự phát triển theo chiều
hướng khác nhau của lý thuyết đồ thị.
Mãi đến năm 1976, khai thác phương pháp của Kempe và nhờ công cụ máy tính
điện tử, Appel và Haken đã tìm ra lời giải của “bài toán bốn màu”. Chứng minh của họ
dựa trên sự phân tích từng trường hợp một cách cẩn thận nhờ máy tính. Họ đã chỉ ra
rằng nếu “bài toán bốn màu” là sai thì sẽ có một phản thí dụ thuộc một trong gần 2000
loại khác nhau và đã chỉ ra không có loại nào dẫn tới phản thí dụ cả. Trong chứng

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

19


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

minh của mình họ đã dùng hơn 1000 giờ chạy máy. Cách chứng minh này đã gây ra
nhiều cuộc tranh cãi vì máy tính đã đóng vai trò quan trọng biết bao. Chẳng hạn, liệu
có thể có sai lầm trong chương trình và điều đó dẫn tới kết quả sai không? Lý luận của
họ có thực sự là một chứng minh hay không, nếu nó phụ thuộc vào thông tin ra từ một
máy tính không đáng tin cậy?
4.11.8. Những ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị:
4.11.8.1. Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh
viên nào có hai môn thi cùng một lúc.
Có thể giải bài toán lập lịch thi bằng mô hình đồ thị, với các đỉnh là các môn
thi, có một cạnh nối hai đỉnh nếu có sinh viên phải thi cả hai môn được biểu diễn bằng
hai đỉnh này. Thời gian thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như
vậy việc lập lịch thi sẽ tương ứng với việc tô màu đồ thị này.
Chẳng hạn, có 7 môn thi cần xếp lịch. Giả sử các môn học đuợc đánh số từ 1 tới
7 và các cặp môn thi sau có chung sinh viên: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và

4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 6, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 6, 5 và 7, 6 và 7. Hình dưới
đây biểu diễn đồ thị tương ứng. Việc lập lịch thi chính là việc tô màu đồ thị này. Vì số
màu của đồ thị này là 4 nên cần có 4 đợt thi.

( Hình 1-18)

4.11.8.2. Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số 1 tới số 12 được phân chia cho
các đài truyền hình sao cho không có đài phát nào cách nhau không quá 240 km lại
dùng cùng một kênh. Có thể chia kênh truyền hình như thế nào bằng mô hình tô màu
đồ thị.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

20


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Ta xây dựng đồ thị bằng cách coi mỗi đài phát là một đỉnh. Hai đỉnh được nối
với nhau bằng một cạnh nếu chúng ở cách nhau không quá 240 km. Việc phân chia
kênh tương ứng với việc tô màu đồ thị, trong đó mỗi màu biểu thị một kênh.
4.11.8.3.Các thanh ghi chỉ số: Trong các bộ dịch hiệu quả cao việc thực hiện các
vòng lặp được tăng tốc khi các biến dùng thường xuyên được lưu tạm thời trong các
thanh ghi chỉ số của bộ xử lý trung tâm (CPU) mà không phải ở trong bộ nhớ thông
thường. Với một vòng lặp cho trước cần bao nhiêu thanh ghi chỉ số? Bài toán này có
thể giải bằng mô hình tô màu đồ thị. Để xây dựng mô hình ta coi mỗi đỉnh của đồ thị
là một biến trong vòng lặp. Giữa hai đỉnh có một cạnh nếu các biến biểu thị bằng các
đỉnh này phải được lưu trong các thanh ghi chỉ số tại cùng thời điểm khi thực hiện
vòng lặp. Như vậy số màu của đồ thị chính là số thanh ghi cần có vì những thanh ghi
khác nhau được phân cho các biến khi các đỉnh biểu thị các biến này là liền kề trong

đồ thị.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

21


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

Bài tập chƣơng 1
1-1. Vẽ đồ thị (nếu tồn tại)
a. Vẽ một đồ thị có 4 đỉnh với bậc các đỉnh là 3, 2, 1.
b. Vẽ các đồ thị mà mọi đỉnh của nó đều có bậc là lần lượt là k (1  k  5)
c. Vẽ các đồ thị mà mọi đỉnh của nó đều có bậc là 3 và có số đỉnh lần lượt
là:4,5,6,8.
d. Vẽ một đồ thị có 15 đỉnh và mỗi đỉnh của nó đều có bậc là 5.
1-2. a. Một đồ thị có 19 cạnh và mỗi đỉnh đều có bậc  3, hỏi đồ thị này có tối đa bao
nhiêu đỉnh ?
b. Cho một đồ thị vô hướng có n đỉnh. Hỏi đồ thị này có thể có tối đa bao nhiêu
cạnh. Trong trường hợp số cạnh là tối đa thì mỗi đỉnh sẽ có bậc là bao nhiêu ?
c. Cho một đồ thị vô hướng có n đỉnh và 2n cạnh. Chứng minh rằng trong đồ thị
này luôn tồn tại một đỉnh có bậc không nhỏ hơn 4.
d. Chứng minh rằng trong một đơn đồ thị vô hướng nếu không chứa chu trình
thì sẽ luôn tồn tại ít nhất là hai đỉnh treo.
1-3. a. Xét đồ thị vô hướng đơn có số đỉnh n > 2 . Chứng minh rằng đồ thị có ít nhất 2
đỉnh cùng bậc với nhau.
b.Cho 1 đồ thị G có chứa đúng 2 đỉnh bậc lẽ (các đỉnh khác nếu có phải bậc
chẵn) Chứng minh rằng 2 đỉnh này liên thông với nhau.
c.xét đồ thị vô hướng đơn có số đỉnh n > 2. Giả sử đồ thị không có đỉnh nào có
bậc < (n-1)/2. Chứng minh rằng đồ thị này liên thông

d.Chứng minh rằng một đơn đồ thị vô hướng là hai phía nếu và chỉ nếu số màu
của nó là 2.
1-4. Tìm đồ thị đơn mà mọi đỉnh của nó đều có bậc 3 và có :
a) 4 đỉnh.

b) 6 đỉnh

c) 5 đỉnh.

d) 8 đỉnh

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

22


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

1-5. Giả sử có 6 cuộc mitting A,B,C,D,E,F cần được tổ chức. Mỗi cuộc mitting được
tổ chức trong một buổi. Các cuộc mitting sau không được diễn ra đồng
thời:BEF, CEF, ABE, CD, AD. Hãy bố trí các cuộc mitting vào các buổi sao
cho số buổi diễn ra là ít nhất.
1-6. Tìm số đỉnh của G biết rằng G có :
a) 12 cạnh và mọi đỉnh đều có bậc 2
b) 15 cạnh , 3 đỉnh bậc 4 và các đỉnh còn lại bậc 3.
c) 6 cạnh và mọi đỉnh đều có bậc bằng nhau .
1-7. Cho một đơn đồ thị G có n đỉnh và k thành phần thì có tối đa là :
1
(n  k )(n  k  1) cạnh
2

1-8. Có thể có một nhóm 9 người trong đó mỗi người đều chỉ quen biết đúng 5 người
khác nhau trong nhóm hay không ?
1-9. Biết rằng mọi đỉnh của một đồ thị G đều có bậc bằng số lẻ p . Chứng minh rằng
số cạnh của G là một bội của p .
1-10. Hai đồ thị sau có đẳng cấu với nhau không ?

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

23


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

CHƢƠNG 2

BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY VI TÍNH
Để lưu trữ đồ thị và thực hiện các thuật toán khác nhau với đồ thị trên máy tính
cần phải tìm những cấu trúc dữ liệu thích hợp để mô tả đồ thị. Việc chọn cấu trúc dữ
liệu nào để biểu diễn đồ thị có tác động rất lớn đến hiệu quả của thuật toán. Vì vậy,
việc chọn lựa cấu trúc dữ liệu để biểu diễn đồ thị phụ thuộc vào từng tình huống cụ thể
(bài toán và thuật toán cụ thể). Trong mục này chúng ta sẽ xét một số phương pháp cơ
bản được sử dụng để biểu diễn đồ thị trên máy tính.
1. MA TRẬN KỀ, MA TRẬN TRỌNG SỐ
1.1. Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V,E), với tập đỉnh V={1, 2,. . . ,n}, tập cạnh E={e1,
e2,. . .,em} . Ta gọi ma trận kề của đồ thị G là ma trận.
A={ai,j : i,j=1, 2,. . . ,n}
Với các phần tử của A=(aij) được xác định theo qui tắc sau đây:
ai, j = 0, nếu (i,j)  E và
ai,j = 1 , nếu (i,j)  E, (i, j=1, 2,. . .,n.)

( Hình 2-1)

Thí dụ 2-1. Ma trận trận kề của đồ thị vô hướng (G) cho trong (Hình 2-1) là:

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

24


Khoa CNTT-Trường ĐHSG

a

b

c

d

E

f

g

k

s

A

0

1

1

1

1

0

1

0

0

B

1

0

0

0

0

0

0

0

0

C

1

0

0

0

1

0

0

1

0

D

1

0

0

0

1

1

0

1

0

E

1

0

1

1

0

0

0

0

0

F

0

0

0

1

0

0

0

0

0

G

1

0

0

0

0

0

0

0

0

K

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(Hình 2-2)

( Hình 2-1) Đồ thị vô hướng G và đồ thị có hướng G1
1.1.1.Các tính chất của ma trận kề:
1.1.1.1. Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng, tức là
a[i,j]=a[j,i], i,j=1,2,. . .,n.

Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị

25