Thiết kế trên máy tính Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng ngành kỹ thuật

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH

Nguyễn Quận (CB) – Trần Văn Thùy

Khoa Kỹ thuật – Công nghệ


TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
KHOA KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ
-------o0o--------

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH
Bậc: Đại học – Ngành: Công nghệ kỹ thuật cơ khí
Nguyễn Quận (Chủ biên) – Trần Văn Thùy


 i

MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................... i
LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................... v
Chương 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH ............................. 1
1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH .................................... 1
1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT ..................................................... 2
1.2.1 Khái niệm chung ................................................................................... 2
1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật .......................................... 3
1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) ........................................ 4

1.3.1 Tổng Quan ............................................................................................. 4
1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM) ........... 5
1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM ............................................................. 6
1.3.4 Ứng dụng của FEM ............................................................................. 13
1.3.5 Ưu điểm của FEM ............................................................................... 16
1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1........................................................................... 16
1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP .................................................................................... 16
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG .......................................... 17
2.1 GIỚI THIỆU .............................................................................................. 17
2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG ..................................................... 17
2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO .............. 18
2.4 LẮP GHÉP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO HỆ LÒ XO ............................. 24
2.4.1 Lắp ghép ma trận độ cứng bằng quan hệ lực-biến dạng, quan hệ tương
thích, và sự cân bằng lực nút ........................................................................ 24
2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất ........ 26
2.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN ..................................................................................... 27


 ii
2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất ................................................................... 28
2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất ........................................................ 29
2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................... 30
2.6.1 Ví dụ 1 ................................................................................................. 30
2.6.2 Ví dụ 2 ................................................................................................. 33
2.7 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 2 .................................................... 36
2.8 BÀI TẬP .................................................................................................... 37
Chương 3 BÀI TOÁN KHUNG GIÀN ............................................................... 39
3.1 GIỚI THIỆU .............................................................................................. 39
3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ THANH TRONG HỆ TỌA
ĐỘ CỤC BỘ .................................................................................................... 39

3.3 VÍ DỤ BÀI TOÁN THANH ...................................................................... 41
3.4 CHUYỂN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ 2 CHIỀU .............................. 43
3.5 MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TOÀN CỤC
OXY ................................................................................................................. 46
3.6 TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT PHẦN TỬ THANH TRONG MẶT PHẲNG
OXY ................................................................................................................. 51
3.7 CÁCH GIẢI GIÀN PHẲNG BẰNG FEM ................................................ 52
3.8 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ
THANH ............................................................................................................ 56
3.9 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ
THANH ............................................................................................................ 65
3.10 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 3 .................................................. 68
3.11 BÀI TẬP .................................................................................................. 69
Chương 4 BÀI TOÁN DẦM ............................................................................... 72
4.1 GIỚI THIỆU .............................................................................................. 72


 iii
4.2 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM ........................................ 72
4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử dầm theo lý thuyết Euler-Bernoulli ............ 74
4.2.2 Ma trận độ cứng theo lý thuyết Timoshenko ...................................... 80
4.3 VÍ DỤ LẮP GHÉP MA TRÂN ĐỘ CỨNG CỦA DẦM .......................... 81
4.4 GIẢI BÀI TOÁN DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG TRỰC
TIẾP ................................................................................................................. 83
4.5 NGOẠI LỰC PHÂN BỐ ........................................................................... 86
4.5.1 Phương pháp công tương đương (Work-equavalence method) .......... 87
4.5.2 Ví dụ về thay thế lực phân bố ............................................................. 87
4.5.3 Công thức tổng quát cho lực phân bố ................................................. 89
4.6 PHẦN TỬ DẦM VỚI KHỚP XOAY BÊN TRONG................................ 94
4.7 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP

THẾ NĂNG ..................................................................................................... 97
4.8 TÓM TẮT CÔNG THỨC ........................................................................ 100
4.9 BÀI TẬP .................................................................................................. 101
Chương 5 PHẦN MỀM RDM ........................................................................... 104
5.1 GIỚI THIỆU VỀ RDM ............................................................................ 104
5.2 MÔĐUN FLEXION................................................................................. 104
5.2.1 Một số qui ước .................................................................................. 104
5.2.2 Ứng Dụng .......................................................................................... 105
5.2.3 Các nguyên tác mô hình hóa ............................................................. 105
5.2.4 Thực đơn chính của RDM – FLEXION ........................................... 106
5.2.5 Ví dụ .................................................................................................. 111
5.3 MÔĐUN OSSATURES ........................................................................... 116
5.3.1 Giới thiệu........................................................................................... 116
5.3.2 Phân loại hệ thang ............................................................................. 116


 iv
5.3.3 Nguyên tắc mô hình hóa ................................................................... 117
5.3.4 Hệ tọa độ cục bộ ................................................................................ 119
5.3.5 Thực đơn chính của RDM - OSSATURES ...................................... 119
5.3.6 Ví dụ .................................................................................................. 128
5.4 MÔĐUN ELEMENTS FINIS .................................................................. 136
5.4.1 Ví dụ .................................................................................................. 136
5.5 TỔNG KẾT CƯƠNG 5 ........................................................................... 143
5.6 BÀI TẬP .................................................................................................. 143
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 144




v

LỜI NÓI ĐẦU
Trong thời đại hiện nay, với sự phát triển của khoa học máy tính, hầu hết
các vấn đề trong cuộc sống của chúng được giải quyết dưới sự trợ giúp của máy
tính. Trong đó, giải quyết những vấn đề cơ khí cũng không ngoại lệ. Điều này được
thể hiện rất rõ với sự hiện diện một số lượng lớn phần mềm hỗ trợ trong thiết kế,
tính toán, và chế tạo trong kỹ thuật. Ví dụ như: các phần mềm AutoCad, Inventor,
và Solid Edge… giúp chúng ta vẽ những bản vẽ kỹ thuật nhanh chóng và chính xác
trong thiết kế; các phần mềm Maltab, Ansys, Comsol, và Sap… giúp kĩ sư thiết kế
phân tích và tối ưu thiết kế của mình; và các phần mềm Pro Creo, Uni Graphic,
MasterCAM… hỗ trợ lập trình công nghệ gia công tự động và chính xác. Với sự trợ
giúp của máy tính trong thiết kế và tính toán trong cuộc sống nói chung và trong
ngành cơ khí chế tạo nói riêng, thời gian và chi phí thiết kế và sản xuất sản phẩm
liên quan giảm đáng kể, đồng thời chất lượng của chi tiết cũng được nâng cao.
Học phần “Thiết kế trên máy vi tính” là học phần khối kiến thức cơ sở, học
phần này trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về thiết kế và tính toán trên
máy vi tính.
Cụ thể, học phần sẽ giới thiệu về tổng quan về thiết kế trên máy vi tính,
phương pháp phần tữ hữu hạn: ưu điểm, phạm vi ứng dụng và cơ sở lý thuyết của
phương pháp phần tử hữu hạn. Sau đó, sinh viên sẽ được giới thiệu và hướng dẫn
sử dụng phầm mềm tính toán RDM để giải quyết một số bài toán trong ngành cơ
khí.
Quảng Ngãi, 12/2016
Nhóm biên soạn


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

1

Chương 1
TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH
NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG
Tổng quan về thiết kế và tính toán trên máy vi tính.
Khái niệm về thiết kế trên máy vi tính và tính toán trên máy vi tính.
Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn.
Các bước thực hiện trên phương pháp phần tử hữu hạn.
Giới thiệu ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn.
1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH
Thiết kế trên máy tính là một khoa học sử dụng máy tính để giải quyết một
số công việc trong quá trình tính toán, thiết kế sản phẩm. Cụ thể hơn, thiết kế trên
máy vi tính là việc sử dụng các thiết bị phần cứng như máy vi tính, máy in, máy
scan… và phần mềm thích hợp như: Ansys, Comsol, Maltab… trong thiết kế và
tính toán sản phẩm.
Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc và phổ biến của các máy tính và hệ
thống máy tính tốc độ cao, những bài toán từ đơn giản như: các phép cộng, trừ,
nhân, chia… đến các bài toán phức tạp như: dự báo thời tiết, tính toán dân số…,
đã có thể giải bởi những máy tính và hệ thống máy tính tốc độ cao này. Trong đó,
hầu hết những vấn đề (bài toán) trong ngành cơ khí được giải quyết bằng sự trở
giúp của máy tính trong thời đại hiện nay. Như một kết quả, cụm từ CA (Computer
Aided: Trợ giúp bằng máy tính) trở thành thuật ngữ quên thuộc trong lĩnh vực tin
học ứng dụng. Trong ngành cơ khí, cụm từ CA thường được biết đến với những
thuật ngữ sau:
CAD (Computer Aided Design): Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính.
CAM (Computer Aided Manufacturing): Sản xuất với sự trợ giúp của máy
tính.
CAE (Computer Aided Engineering): Phân tích kiểm tra với sự trợ giúp
của máy tính.
CAQ (Computer Aided Quality control): Giám sát chất lượng sản phẩm

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

2

CAPP (Computer Aided Process planning): Lập qui trình chế tạo.
Với sự trợ giúp của máy tính, qui trình sản xuất được cải tiến rõ rệt như:
cho phép rút ngắn qui trình thiết kế và chế tạo; có khả năng thích ứng linh hoạt với
sự thay đổi mẫu mã và chủng loại sản phẩm; cho phép thiết kế và chế tạo những
sản phẩm công nghiệp phức tạp nhất với tính năng tối ưu nhất…
CAD/CAM không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập
qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà còn là dữ liệu để điều khiển thiết bị
sản suất điều khiển số (CNC) như: các loại máy công cụ, máy gia công, người
máy/tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác. Dữ liệu từ quá trình CAD
là cơ sở để hoạch định sản xuất và điều khiển quá trình kiểm soát chất lượng sản
phẩm. CAD được biết đến với những phần mềm thiết kế thông dụng như:
AutoCAD, Solid Edge, Solid Work, Inventor…. Trong đó, các sinh viên ngành Kỹ
thuật cơ khí trường đại học Phạm Văn Đồng đã tiếp cận với phần mềm AutoCAD
thông qua môn học AutoCAD. Đối với CAM, những phần mềm thông dụng như:
MasterCAM, Emco, Pro Creo, SSCNC… cũng được giới thiệu cho sinh viên
ngành này thông qua môn học Công nghệ CAD/CAM/CNC.
Trong môn học này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách khái quát đến sinh
viên ngành Kỹ thuật cơ khí tại trường ĐH Phạm Văn Đồng về CAE, cơ sở lý thuyết
phần tử hữu hạn được sử dụng trong các phần mềm CAE. Từ đó, chúng tôi cũng
giới thiệu và hướng đẫn sinh viên phần mềm RDM để tính toán một số bài toán
thanh đầm trong cơ khí.
1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT
1.2.1 Khái niệm chung
Bài toán kỹ thuật là một mô hình toán học: khi xây dựng mô hình toán học

cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay hệ phương trình vi phân và được
ràng buộc bởi các điều kiện biên.
Trong một bài toán kỹ thuật có hai tập hợp các thông số ảnh hưởng đến hệ
thống: thứ nhất là thông số đặc trưng cho hệ thống, và thứ hai là thông số tác động
vào hệ thống.


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính
1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật
Bài toán cơ học vật rắn
Bài toán hệ thanh
Thông số đặc trưng:
+ Modun đàn hồi E.
+ Hệ số Poisson .
Thông số tác động:
+ Tải trọng P.

Bài toán hệ dầm
Thông số đặc trưng:
+ Modun đàn hồi E.
+ Hệ số Poisson .
+ Momen quán tính I.
Thông số tác động:
+ Tải phân bố q.
Bài toán trục
Thông số đặc trưng:
+ Modun đàn hồi trượt G.
+ Momen quán tính độc cực J.
Thông số tác động:
+ Momen xoắn Mx.

+ Momen uốn Mu.
Bài toán truyền nhiệt
Thông số đặc trưng:
+ Hệ số dẫn nhiệt K.
Thông số tác động:
+ Chênh lệch nhiệt độ t.

3


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

4

Bài toán cơ lưu chất
-Thông số đặc trưng:
+ Độ nhớt .
+ Độ nhám e.
Thông số tác động:
+ Chênh lệch áp suất p.
+ Vận tốc dòng v.
1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)
1.3.1 Tổng Quan
Trong thực tế, chúng ta thường gặp những bài toán yêu cầu xác định trường
giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong
một miền xác định. Việc giải quyết các bài toán thực tế thường được thực hiện
theo sơ đồ trong Hình 1.1.

Định luật vật lý
Nguyên lý năng lượng

Mô hình
Thực tế

Mô hình
Vật lý

Mô hình
Toán học

Kết quả

Phương pháp giải tích.
Phương pháp số

Hình 1.1 Sơ đồ nguyên lý tính toán

Từ sơ đồ này, chúng ta thấy rằng để giải một mô hình thực tế, chúng ta cần
phải xây dựng mô hình toán học thông qua mô hình vật lý của mô hình thực tế dựa
trên các định luật vật lý và những nguyên lý về năng lượng. Mô hình toán học
thường ở dạng các phương trình vi phân và tích phân. Để giải những mô hình toán
học này, hai phương pháp gồm phương pháp giải tích và phương pháp số được sử
dụng.


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

5

Phương pháp giải tích cho lời giải được thể hiện bởi những biểu thức
(phương trình) toán học. Vì vậy, phương pháp giải tích tạo ra những giá trị của

những đại lượng cần tìm chính xác tại bất kì vị trí nào trong miền tính toán. Tuy
nhiên, mô hình toán học của những vấn đề thực tế rất phức tạp do tính phức tạp
của miền tính toán, tải trọng, đặc tính vật liệu... Do vậy, phương pháp giải tích
không thể thực hiện trong những vấn đề này. Khi đó, chúng ta cần phải dựa vào
những phương pháp số. Nhược điểm của phương pháp số đó là kết quả không
chính xác (tồn tại sai số) và kết quả chỉ đạt được trên các điểm rời rác trong miền
tính toán. Tuy nhiên, nó có thể giải quyết được những vấn đề rất phức tạp tồn tại
trong thực tế. Do vậy, ngày nay phương pháp số được sử dụng rộng rãi để giải
quyết các vấn đề vật lý nói chung cũng như những vấn đề trong ngành kỹ thuật nói
riêng.
Một số phương pháp số được sử dụng rộng rãi như:
+ Phương pháp phần tử biên (finite boundary method).
+ Phương pháp sai phân hữu hạn (finite differential method).
+ Phương pháp thể tích hữu hạn (finite volume method).
+ Phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method).
1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM)
Trong những phương pháp số, FEM là công cụ số rất mạnh. Nó có thể giải
được hầu hết các bài toán trong kỹ thuật như: phân tích cấu trúc (structural
analysis), truyền nhiệt (heat transfer), cơ chất lỏng (fluid flow), truyền chất (mass
transport), thế năng điện từ (electromagnetic potential).
FEM tạo ra những giá trị xấp xỉ của những đại lượng cần tìm tại một số các
điểm rời rạc trong miền tính toán. Do vậy, trong quá trình mô hình hóa, một miền
tính toán được chia thành một hệ thống những miền nhỏ tương đương như Hình
1.2. Những miền nhỏ tương đương này được liên kết với nhau tại những điểm
chung của hai hay nhiều phần tử và/hoặc những đường biên và/hoặc những bề mặt.
Quá trình chia nhỏ này được gọi là “rời rạc hóa (discretization)” và những miền
nhỏ tương đượng gọi là “phần từ (element)”. Những điểm liên kết giữa các phần
từ gọi là “điểm nút (nodal points)” hay “nút (nodes)”.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

6

Hình 1.2 Rời rạc miền tính toán

Trong FEM, thay vì tìm lời giải trên toàn miền tính toán, chúng ta sẽ xây
dựng những phương trình cho mỗi phần tử và kết hợp những phương trình này lại
để đạt được lời giải của toàn miền tính toán.
Một cách ngắn gọn, lời giải của những vấn đề kết cấu là việc xác định những
chuyển vị tại mỗi nút và ứng suất bên trong mỗi phần tử dưới tác dụng của tải
trọng. Trong những vấn đề phi kết cấu, những đại lượng chưa biết tại các nút cần
tìm có thể là nhiệt độ (temperature), áp suất chất lỏng (fluid pressure), thông tượng
nhiệt (heat flux) hoặc lưu lượng (fluid flux).
Trong tài liệu này, lý thuyết về FEM đa phần được trích dẫn từ cuốn sách
“The first course in the Finite Element Method” của Dary [1]. Các bạn cũng có thể
tham khảo tài liệu về FEM của PGS. TS. Nguyễn Hoài Sơn [2, 3].
1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM
Trong phần này, chúng tôi xin trình này những bước tổng quát liên quan
đến lập công thức và lời giải của FEM trong những vấn đề kỹ thuật. Chúng tôi sử
dụng những bước này để phát triển lời giải của FEM cho những bài toán trong môn
học này gồm: bài toán lò xo, bài toán thanh kéo nén, và bài toán dầm.
Để dễ hiểu, chúng tôi sẽ sử dụng bài toán kết cấu để trình diễn những bước
trong FEM. Điển hình như vấn đề phân tích ứng suất trong kết cấu, người kỹ sư
cần xác định chuyển vị và ứng suất trong kết cấu ở trạng thái cân bằng khi chịu tải
trọng. Đối với nhiều cấu trúc, khó để xác định sự phân bố biến dạng bằng những
phương pháp truyền thống. Vì vậy, FEM là cần thiết được sử dụng trong trường
hợp này.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

7

Có hai cách tiếp cận liên quan đến FEM khi áp dụng cho những vấn đề cơ
kết cấu (structural mechanics problem). Cách tiếp cận thứ nhất, được gọi là phương
pháp lực (force method) hay phương pháp đàn hồi (flexibility method), sử dụng
lực bên trong như những đại lượng chưa biết của vấn đề. Để đạt được phương trình
chủ đạo (governing equations), phương trình cân bằng (equilibrium equations)
được sử dụng trước. Những phương trình cần thiết thêm vào được tìm ra bằng cách
xem xét những phương trình tương thích (coimpatibility equations). Kết quả là một
hệ phương trình cho việc xác định những phản lực và lực chưa biết.
Cách tiếp cận thứ hai, gọi là phương pháp chuyển vị (displacement method)
hay phương pháp độ cứng (stiffness method), giả sử chuyển vị ở các nút là những
đại lượng chưa biết của vấn đề. Trong cách tiếp cận này yêu cầu những phần tử
được liên kết tại những nút chung, dọc trên cạnh chung, hoặc nằm trên bề mặt
chung, phải được giữ liên kết này trước và sau khi biến dạng. Nói một cách khác,
điều kiện tương thích phải được thỏa mãn ngay từ đầu trong cách tiếp cận này. Sau
đó, phương trình chủ đạo được sử dụng để diễn tả trong những đại lượng chuyển
vị nút. Việc diễn tả này sử dụng phương trình cân bằng và một số qui luật liên quan
giữa lực và chuyển vị.
Hai cách tiếp cận này cho ra kết quả của những đại lượng chưa biết khác
nhau. Trong cách tiếp cận một, đại lượng chưa biết là lực bên trong kết cấu và
trong cách tiếp cận thứ hai đó là chuyển vị tại các nút phần tử. Nhiều nghiên cứu
đã chứng minh rằng, đối với mục đích tính toán, phương pháp chuyển vị mong đợi
nhiều hơn vì công thức của nó đơn giản trong hầu hết các vấn đề phân tích kết cấu.
Do đó, hầu hết các chương trình (phần mềm) như COMSOL, ANSYS,
ABACUS… đã xây dựng dựa trên phương pháp chuyển vị để giải những vấn đề
phân tích kết cấu. Vì vậy, trong tài liệu này, chúng tôi chỉ giới thiệu FEM theo
phương pháp chuyển vị.

Bên cạnh hai phương pháp trên, một phương pháp khác được sử dụng để
thiết lập công thức FEM cho cả những vấn đề cấu trúc và không cấu trúc. Đó là
phương pháp biến phân (variational method). Phương pháp này cũng sẽ được giới


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

8

thiệu một các ngắn gọn trong tài liệu này để giải quyết những bài toán lực mặt và
lực khối trong các vấn đề kết cấu cơ khí ở Chương 3.
Trong một cách tổng quát, FEM liên quan đến mô hình hóa kết cấu bằng
việc sử dụng những phần tử được liên kết bên trong với nhau, được gọi là phần tử
hữu hạn (finite element). Một hàm chuyển vị liên quan đến mỗi phần tử. Mỗi phần
tử được liên kết bên trong này liên kết trực tiếp hoặc gián tiếp đến những phần tử
khác thông qua những phân giới chung bao gồm những nút, đường biên, hoặc mặt
biên. Bằng cách sử dụng những đặc tính biến dạng-ứng suất đã biết đối với vật liệu
của kết cấu, chúng ta có thể xác định đặc tính của một nút trong mối quan hệ với
tính chất của phần tử trong cấu trúc. Hệ phương trình toàn cục mô tả đặc tính của
mỗi nút là kết quả trong một hệ phương trình đại số (set of algegraic equation). Hệ
phương trình đại số này thường được diễn tả trong dạng ma trận.
Từ những nội dụng trình bày ở trên, sau đây chúng tôi trình bày những bước
trong xây dựng công thức và giải quyết một vấn đề kết cấu bằng phương pháp phần
tử hữu hạn như sau:
Bước 1: Chọn phần tử và rời rạc miền tính toán
Bước này liên quan đến việc chia nhỏ miền tính toán thành một hệ phần tử
tương đương với số lượng hữu hạn. Loại phần tử phải được chọn sao cho hợp lý
cho từng vấn đề cụ thể. Tổng số phần tử được sử dụng và sự biến đổi của chúng
trong kích thước và loại phần tử là những vấn đề lớn trong trong phân tích kĩ thuật
bằng FEM. Phần tử phải đủ nhỏ để cho kết quả đủ chính xác và không quá lớn đủ

để giảm chi phí tính toán. Nói chúng, những phần tử nhỏ được sử dụng ở những vị
trí mà kết quả thay đổi nhanh, ví dụ như tại nơi hình học của miền tính toán thay
đổi, phần tử có kích thước lớn có thể sử dụng ở những vị trí mà kết quả thay đổi
ít.
Chọn loại phần tử sử dụng trong FEM phụ thuộc vào tính chất vật lý và phải
phù hợp với vấn đề đang xem xét. Những loại phần tử thông dụng được sử dụng
trong FEM được thể hiện ở Hình 1.3. Chúng bao gồm phần tử 1 chiều, 2 chiều, và
3 chiều với loại tuyến tính và loại bậc cao.


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

9

(a) Phần tử thanh 1 chiều: phần tử tuyến tính 2 nút (hình trái) và phần tử bậc cao 3 nút
(hình phải)

(b) Các loại phần tử hai chiều (thường sử dụng trong những vấn đề phân tích kết cấu 2
chiều: bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng): phần tử tam giác
(triangulars) và phần tử tứ giác (quadrilaterals)

(c) Phần tử ba chiều (thường sử dụng trong các bái toán phân tứ ứng suất không gian 3
chiều) gồm: Phần tử tứ diện (Tetrahedral), Phần tử lục diện đều (regular hexahedral), và
phần tử lục diện không đều (irregular hexahedral)

(d) Phần tử đối xứng trục được sử dụng trong những vấn đề đối xứng trục
Hình 1.3 Những loại phần tử khác nhau từ phần tử bậc thấp nhất với nút ở góc đến
những phần tử bậc cao với những nút ở góc và bên trong.

Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

 10

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị
Bước 2 liên quan đến chọn một hàm chuyển vị bên trong mỗi phần tử. Hàm
chuyển vị được định nghĩa bên trong phần tử sử dụng giá trị tại các nút của phần
tử. Đa thức tuyến tính, bậc 2, bậc 3 thường được sử dụng do chúng dễ cho việc xây
dựng công thức FEM. Ngoài ra, hàm lượng giác cũng có thể sử dụng. Đối với phần
tử 2 chiều, hàm chuyển vị là hàm của hệ tọa độ trong mặt phẳng của nó (thường là
mặt x-y). Những hàm này được mô tả trong những đại lượng chưa biết tại nút phần
tử. Hàm chuyển vị tổng quát giống nhau có thể được sử dụng lặp đi lặp lại cho mỗi
phần tử. FEM là một phương pháp mà trong phương pháp này, một đại lượng liên
tục, như là đại lượng chuyển vị trong miền tính toán, được xấp xỉ bởi một mô hình
rời rạc được kết hợp bởi một hệ các hàm liên tục từng đoạn (picewise-continuous
functions). Hệ hàm liên tục từng đoạn này được định nghĩa bên trong mỗi phần tử
hoặc một số hữu hạn phần tử.
Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng
Những quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng là cần thiết để
xây dựng phương trình cho mỗi phần tử. Trong trường hợp biến dạng 1 chiều,
chẳng hạn biến dạng trong hướng x, chúng ta có mối quan hệ ứng suất-chuyển vị
trong trường hợp biến dạng nhỏ như sau:
x 

du
dx

(1.1)

Hơn nữa, ứng suất liên quan đến biến dạng thông qua qui luật ứng suất-biến

dạng, hay gọi là qui luật cấu thành (constitutive law). Quan hệ ứng suất-biến dạng
đơn giản nhất là qui luật Hook được cho như sau:

 x  E x

(1.2)

trong đó, x là ứng suất trong hướng x và E là modul đàn hồi.
Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử (Element Stiffness Matrix) và
phương trình phần tử (Element Equation)
Việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây
dựng bằng nhiều cách khác nhau như:


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

 11

Phương pháp độ cứng trực tiếp (hay phương pháp cân bằng trực tiếp): trong
phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử liên quan giữa
lực nút và chuyển vị nút được thiết lập thông qua việc sử dụng những điều kiện
cân bằng cho một phần tử cơ bản. Phương pháp này rất phù hợp cho những phần
tử thanh 1 chiều. Phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết trong những chương
tiếp theo.
Phương pháp năng lượng hoặc công (Work and Engergy Methods): trong
phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây dựng
dựa trên nguyên lý công ảo (the principle of virtual work), nguyên lý cực tiểu hóa
năng lượng thế năng (the principl of minimum potential engergy), hay lý thuyết
Castigliano…
Phương pháp dư thừa trọng số (Methods of Weighted Residuals): những phương

pháp này rất hữu ích trong việc pháp triển những phương trình phần tử, đặc biệt,
thông dụng là phương pháp Galerkin. Điểm mạnh của phương pháp dư thừa trọng
số là cho phép FEM được ứng dụng trực tiếp đến bất kỳ phương trình vi phân nào.
Sử dụng một trong những phương pháp được liệt kê ở trên, phương trình
phần tử mô tả đặc tính của một phần tử có thể đạt được. Những phương trình này
được viết ở dạng ma trân như sau:
 f1   k11
 f  k
 2   21
 
...   ...
 f n   kn1

k12
k22
...
kn 2

... k1n   d1 
... k2 n  d 2 
 
... ...  ... 

... knn   d n 

(1.3)

Hoặc ghi trong dạng ma trận rút gọn:

 f    k d

(1.4)

trong đó, {f}tơ là véc tơ lực nút, [k] là ma trận độ cứng phần tử, và {d} là véc tơ
chuyển vị nút chưa biết hay còn gọi là bậc tự do chưa xác định (unknown degrees
of freedom). Ở đây, đối với một vấn đề cơ học kết cấu nào đó, véc tơ chuyển vị
bao gồm những đại lượng cần xác định như: chuyển vị, độ võng và góc xoay….
Bước 5: Lắp ghép ma trận phần tử thành ma trận toàn cục và đưa vào những
điều kiện biên.


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

 12

Trong bước này, những phương trình phần tử độc lập được tạo ra trong
Bước 4 được lắp ghép vào trong phương trình toàn cục tương đương. Việc lắp ghép
này thường được thực hiện dựa vào nguyên lý chồng chất hay còn gọi là nguyên
lý cộng dồn. Ma trận toàn cục sau khi được lắp ghép có dạng ma trận như sau:

F   Dd

(1.5)

trong đó, {F} là véc tơ lực toàn cục, [K] là ma trận độ cứng toàn cục (đối với hầu
hết các vấn đề, ma trận độ đứng toàn cục là ma trận vuông và đối xứng), và {d}cj
bây giờ là véc tơ chuyển vị chứa các giá trị chưa biết và đã biết trong kết cấu. Điều
này cho thấy rằng ở thời điểm này (thời điểm chưa đưa vào phương trình toàn cục
những điều kiện biên của vấn đề), ma trận [K] bị suy biến vì định thức của nó bằng
không. Để loại bỏ vấn đề suy biến này, chúng ta phải “khẩn cầu” những điều kiện

biên nào đó (hoặc những ràng buộc hoặc những liên kết ngoài). Khi đó, phải chú
ý rằng, việc “khẩn cầu” các điều kiện biên của kết cấu sẽ dẫn đến sử thay đổi trong
phương trình toàn cục (1.5). Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng những lực tải trọng
đã biết áp trên kết cấu cũng đã được đưa vào trong véc tơ tải toàn cục {F}.
Bước 6: Giải và tìm giá trị cho những bậc tự do chưa biết trong trong véc tơ
chuyển vị {d}
Hệ phương trình (1.5), đã hiệu chỉnh khi đưa các điều kiện biên vào, là một
hệ phương trình đại số có dạng như sau:
 F1   K11
F  K
 2   21
 
...   ...
 Fn   K n1

K12
K 22
...
Kn2

... K1n  d1 
... K 2 n  d 2 
 
... ...  ... 

... K nn  d n 

(1.6)

Ở đây, n là tổng số bậc tự do nút chưa biết. Hệ phương trình này có thể giải

bằng những phương pháp chính xác như: phương pháp lược bỏ (ví dụ như: phương
pháp Gauss) hoặc những phương pháp lặp (phương pháp gần đúng, ví dụ như:
phương pháp Gauss-Seidel, Phương pháp Newton-Raphson).
Bước 7: Xác định các đại lượng khác trong phần tử
Đối với vấn đề phân tích ứng suất của kết cấu, đại lượng quan trọng thứ hai
sau chuyển vị là ứng suất và biến dạng. Những đại lượng này trong phần tử có thể
đạt được bằng cách sử dụng những biểu thức mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

 13

ứng suất-biến dạng được định nghĩa trong Bước 3 và giá trị chuyển vị được xác
định trong Bước 6.
Bước 8: Điều tra kết quả
Mục tiêu trong phân tích kết cấu là xem xét, điều ra quá trình ứng xử của
kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. Vì vậy, dựa vào kết quả từ Bước 6 và Bước 7,
chúng ta có thể xác định được vị trí trong kết cấu nơi xuất hiện biến dạng và ứng
xuất lớn nhất. Việc xác định này là rất quan trọng để đưa ra những quyết định trong
phân tích và thiết kế.
Bên cạnh đó, những chương trình được xây dựng trên FEM sẽ thể hiện
những kết quả này ở dạng đồ họa trực quan. Việc này rất hữu ích cho chúng ta
trong việc điều ra và phân tích kết quả.
1.3.4 Ứng dụng của FEM
FEM có thể được sử dụng để phân tích cả những vấn đề cấu trúc và phi cấu
trúc.
Những lĩnh vực trong cơ kết cấu như:
 Phân tích ứng suất trên những vấn đề khung dầm như: cầu, khung
nhà cao tầng, các tòa tháp…

 Phân tích các hệ thanh như cột, khung, giàn
 Phân tích dao động
 Những vấn đề liên quan đến va đập như: phân tích tai nạn oto, các
vật thể va vào nhau…
Những vấn đề phi cấu trúc như:
 Truyền nhiệt như: chip điện tử, động cơ, cánh tản nhiệt…
 Cơ chất lỏng như: động lực học xe, chuyển động dòng chảy, sự tự
đối lưu…
 Phân bố trường điện từ như: anten, transistor….
Một số vấn đề kỹ thuật cơ sinh học cũng được giải quyết bằng FM như:
phân tích cột sống, hộp sọ, khớp hông, cấy ghép răng, xương hàm tim và mắt….
Một số mô hình phần tử sử dụng FEM được thể hiện trong Hình 4.


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

(a) Mô hình tháp bằng kết cấu khung

(b) Mô hình phần tử 2D ở đầu cuối của pistion thủy lực

 14


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

(c) Mô hình phần tử 3D của một cơ cấu cơ khí

(d) Mô hình phần tử 3D của xương khung chậu
Hình 1.4 Các mô hình tính toán bằng FEM

 15


Chương 1: Tổng quan về thiết kế trên máy vi tính

 16

1.3.5 Ưu điểm của FEM
Như đã đề cập trên, FEM được ứng dụng trong một số lượng lớn những vấn
đề cả cấu trúc và phi cấu trúc là do phương pháp này có một số ưu điểm như sau:
 Có thể mô hình dễ dàng những vấn đề có biên dạng phức tạp.
 Thực hiện những điều kiện tải trọng không khó khăn
 Mô hình được nhiều miền tính toán kết hợp nhiều loại vật liệu
khác nhau.
 Thay đổi kích thước phần tử dễ dàng
 Có thể ứng dụng cho những vấn đề phi tuyến do biến dạng lớn và
vật liệu phi tuyến.
1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu một cách khác quát về thiết kế
và tính toán trên máy vi tính bao gồm những khái niệm, sức mạnh và ưu điểm của
việc thiết kế, tính toán, và phân tích những vấn đề vật lý nhờ vào máy tính.
Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày sơ lượt về FEM. Phương pháp được
sử rộng rãi trong các phần mềm phân tích tính toán CAE. Chúng tôi cũng trình bày
8 bước cơ bản trong phân tích FEM. Hơn nữa, những ứng dụng và ưu điểm của
FEM cũng được trình bày trong chương này.
1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP
1. FEM là phương pháp gì? Dùng để làm gì?
2. Nghĩa của từ “rời rạc hóa” trong FEM?
3. Liệt kê và trình bày ngắn ngọn những bước (thực hiện) trong FEM?
4. Liệt kê những loại phần tử?

5. Bật tự do (degree of freedom) để chỉ cho cái gì trong phân tích kết cấu?
6. Chỉ ra một số lĩnh vực mà FEM được áp dụng
7. Liệt kê 4 ưu điểm của FEM?


Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng

 17

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG
NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG
Định nghĩa ma trận độ cứng.
Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử lo xo.
Trình bày cách lắp ghép ma trân độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng
toàn cục.
Mô tả và trình bày những loại khác nhau của điều kiện biên liên quan đến
hệ lò xo.
2.1 GIỚI THIỆU
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về
phương pháp độ cứng (stiffness method) trong xây dựng FEM. Bài toán lò xo tuyến
tính được đưa ra bởi vì tính đơn giản của nó để mô tả những khái niệm cơ bản này.
Chúng tôi bắt đầu với những định nghĩa chung của ma trận độ cứng và sau đó xem
xét việc xây dựng ma trận độ cứng cho phân tử lò xo biến dạng tuyến tính. Kế tiếp,
chúng tôi trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục cho một hệ lò xo sử
dụng những khái niệm cơ bản về cân bằng (equilibrium) và tương thích
(compability). Chúng tôi cũng trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục
từ các ma trận độ cứng phần tử lò xo dựa trên nguyên lý chồng chất.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách áp đặt các điều kiện biên cho cả điều
kiện biên thuần nhất (homogeneous) và điều kiện biên không thuần nhất

(nonhomogeneous). Lời giải bao gồm chuyển vị nút và phản lực cũng được thể
hiện trong chương này.
2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG
Hiểu biết về ma trận độ cứng là cần thiết cho việc hiểu về phương pháp độ
cứng. Ma trận độ cứng được định nghĩa như sau: đối với một phần tử, ma trận độ
cứng [k] là một ma trận để:

 f    k d

(2.1)


Chương 2: Phương pháp ma trận độ cứng

 18

trong đó, [k] liên kết véc tơ chuyển vị nút {d} với véc tơ tải {f} của một phần tử, ví
dụ như lò xo trong Hình 2.1a

Hình 2.1 Phần từ một lò xo (a), hệ ba lò xo (b)

Đối với một môi trường liên tục hoặc môi trường kết cấu bao gồm một
chuỗi các phần tử, như hệ lò xo trong Hình 2.1b, ma trận độ cứng [K] liên kết véc
tơ chuyển vị trong hệ tọa độ toàn cục (x, y, z) với véc tơ tải trọng toàn cục {F}
trong toàn miền tính toán để:

F   K d

(2.2)

khi đó, [K] là ma trận độ cứng của toàn hệ lò xo.
2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng ma trận độ cứng cho một lò xo tuyến tính một
chiều bằng phương pháp cân bằng trực tiếp (direct equilibrium approach). Một lò
xo thỏa mãn định luật Hook và kháng lực chỉ trong một chiều của lò xo thì được
cho là phần tử lò xo tuyến tính một chiều.

Hình 2.2 Phần từ lo xo tuyến tính với những qui ước lực và chuyển vị dương.

Xem xét một phần tử lò xo như Hình 2.2. Những điểm tham chiếu 1 và 2
được đặt ở hai điểm cuối của lò xo. Những điểm tham chiếu này được gọi là nút
của phần tử lò xo. Lực nút cục bộ f1x và f2x của lò xo nằm trong hệ tọa độ cục bộ x.
Chuyển vị nút cục bộ của lò xo là u1 và u2. Những chuyển vị nút này được gọi là