Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n của dãy số nguyễn chiến

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO PHẦN DÃY SỐ
XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ n TRONG DÃY SỐ

Nguyễn Chiến 0973.514.674

u1  2018
Câu 1. Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 21 trong dãy
2
2
un1  un  n  2018; n  1
số có giá trị gần nhất là
A. 201.

B. 207.

C. 213.

D. 219.

u  2
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số
un1  un  2n  3, n  1
có giá trị là
A. 4060226.

B. 4064257.

Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: un 

C. 4060229.

D. 4064260.

1
1
1
1
. Số hạng thứ


 ... 
1.3 3.5 5.7
 2n  1 2n  1

100 trong dãy số có giá trị là
A.

1
.
39999

Câu 4. Cho dãy số  un 

B.

100
.
201

C.

50
.
201

D.

50
.
67

u1  1.2.3

xác định bởi: u2  2.3.4
u  n n  1 n  2
  
 n

Đặt Sn  a1  a2  ...  an . Giá trị của S30 là
A. 28184.

B. 245520.

C. 215760.

D. 278256.


u1  1


un
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 50 trong dãy
un1  1   3n  2  u ; n  1
n


số có giá trị là
A.

1
.
3775

B.

1
.
3926

C.

1
.
3625

D.

1

.
3774

u  1
Câu 6. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số có
u

u

7;
n

1
n
 n 1
giá trị là
A. 2024

B. 2025.

C. 14114.

D. 14113.


u  2
Câu 7. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá
un  5un1  6; n  2

trị là
C. 10936.

B. 10937,5.

A. 2187,5.

D. 2186.

u0  2

Câu 8. Cho dãy số xác định bởi: u1  5
. Số hạng thứ 15 trong dãy số
u  5u  6u ; n  2
n 1
n 2
 n

có giá trị là
A. 4733113.

B. 4799353.

C. 14381675.

D. 14381673

Câu 9. Cho dãy số xác định bởi:

un 

1
2 1 2



1
3 2 2 3



1
4 3 3 4

 ... 

 n  1

1
n  n n1

.

Số hạng thứ 99 trong dãy số có giá trị là
A.

9
.
10

B.

10
.
9

C. 1.

u  1

Cho dãy số xác định bởi:  1
3

un1  un  n

Câu 10.

D. 2.
n  1. Số hạng thứ 32 trong

dãy số có giá trị là
A. 246016.

B. 246017.

C. 216226.

D. 216225.

u  5

Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy
u

u

3
n

2.
n
 n 1

Câu 11.

số có giá trị là
A. 6089330.

B. 6089335.

C. 6095376.

D. 6095381.


u  1
Cho dãy số xác định bởi:  1
.
n
u


u

3
n

1

2.5
;
n

1

n
 n 1

Câu 12.

Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là
A. 4882683.

B. 4882683.

C. 4882687,5.

D. 4882687,5.

u1  8


Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 15 trong dãy số có
1
un1  un ; n  1

2

Câu 13.
giá trị là
A.

1
.
212

B.

1
.
215

C.

1
.
211

D.

1

.
216


Câu 14.

u1  1

Cho dãy số xác định bởi: u2  2
. Số hạng thứ 5525
u  2u  u  1; n  2
n
n 1
 n1

trong dãy số có giá trị là
A. 55252  5523.

Câu 15.

B. 55252  5524

C.



1
55252  5523
2



D.





1
55252  5524 .
2

u1  1

Cho dãy số xác định bởi: 
un ; n  1 . Số hạng thứ 100 trong dãy
un1  1  u
n


số có giá trị là
A. 100.
Câu 16.

B.

1
.
100

C. 99

D.

1
.
99

u  1
Cho dãy số xác định bởi:  1
.
un1  2un  5, n  1

Số hạng thứ 2018 trong dãy số có giá trị là
A. 3.22017  5.
Câu 17.

B. 3.22017  1.

C. 3.22018  5.

D. 3.22018  1.

u  2
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 5000 trong
un1  un  2n  1, n  1

dãy số có giá trị là
A. 50002  3.5000  1.

B. 50002  1.

C. 50002  2.5000  1.

D. 50002  2.5000.

Câu 18.


u  5
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 7
2
u

9
u

8
n

14
n

1;
n

1


n
 n 1

trong dãy số có giá trị là
A. 4517185.

B. 501868.

C. 4517180.

D. 501863.


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO PHẦN DÃY SỐ
XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ n TRONG DÃY SỐ

Nguyễn Chiến 0973.514.674

u1  2018
Câu 1. Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 21 trong dãy
2
2
un1  un  n  2018; n  1
số có giá trị gần nhất là
A. 201.

B. 207.

C. 213.

D. 219.

Lời giải
Ta có un1  un2  n2  2018  un21  un2  n2  2018; n  1

u12  2018
u22  u12  12  2018

u32  u22  22  2018
u42  u32  32  2018
…

…

un2  un21   n  1  2018
2

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

un2  12  22  32  ...   n  1  2018n
2

Mà

12  22  32  ...  n2 

12  22  32  ...   n  1 
2

un2 

n  n  1 2n  1
6

 n  1 n  2n  1
6

 n  1 n  2n  1  2018n  1 n
6

 un 

6



 2n

2

 3n  12109





1
6n 2n2  3n  12109  u21  8 707  213  Đáp án C.
6

u  2
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số
un1  un  2n  3, n  1
có giá trị là
A. 4060226.

B. 4064257.

C. 4060229.
Lời giải

D. 4064260.


u1  2

Ta có :

u2  u1  2.1  3
u3  u2  2.2  3

…

…

un  un1  2  n  1  3

Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được:

un  2  2 1  2  ...   n  1  3  n  1
 un  2   n  1 n  3  n  1  n2  4n  5

 u2017  2017 2  4.2017  5  4060226  Đáp án A.
Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: un 

1
1
1
1
. Số hạng thứ


 ... 
1.3 3.5 5.7
 2n  1 2n  1

100 trong dãy số có giá trị là
A.

1
.
39999

B.

100
.
201

C.

50
.
201

Lời giải

k 

*

ta có

1  2 k  1   2 k  1 1  1
1 
 .
 

 2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1 
1

Khi k  1 

1
1 1 1 
   
1.3 2  1 3 

Khi k  2 

1
1 1 1
   
3.5 2  3 5 

Khi k  3 

1
1 1 1
   
5.7 2  5 7 

…

…

Khi k  n 

1

 2n  1 2n  1



1 1
1 



2  2n  1 2n  1 

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

un 

100
1
1 
n
 u100 
1
 un 
 Đáp án B.


2  2n  1 
2n  1
201
30

Cách khác: Sử dụng máy tính:

1

100

  2X  1 2X  1  201
1

D.

50
.
67


Câu 4. Cho dãy số  un 

u1  1.2.3

xác định bởi: u2  2.3.4
u  n n  1 n  2
  
 n

Đặt Sn  a1  a2  ...  an . Giá trị của S30 là
A. 28184.

B. 245520.

C. 215760.

D. 278256.

Lời giải
S1  a1  1.2.3
S2  a1  a2  1.2.3  2.3.4  2.3.5
S3  a1  a2  a3  2.3.5  3.4.5  3.5.6

1
1
1
 S1  .1.2.3.4 , S2  .2.3.4.5 , S3  .3.4.5.6
4
4
4

1
Nhận thấy quy luật nên giả sử Sk  .k.  k  1 k  2  k  3  , k  3 (giả thiết quy nạp)
4
1
Ta sẽ chứng minh Sk 1  .  k  1 k  2  k  3  k  4 
4
Thật vậy, theo đề bài  Sk 1  Sk  ak 1  Sk   k  1 k  2  k  3 

1
Theo giả thiết quy nạp  Sk 1  .k  k  1 k  2  k  3    k  1 k  2  k  3 
4
 Sk 1 

1
 k  1 k  2  k  3 k  4 
4

1
Theo nguyên tắc quy nạp suy ra Sn  .n  n  1 n  2  n  3   S30  245520  Đáp án B.
4
30

Sử dụng máy tính:

 X  X  1 X  2   245520
1


u1  1

un
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 50 trong dãy
u

;
n

1
n

1

1   3n  2  un


số có giá trị là


A.

1

.
3775

B.

1
.
3926

C.

1
.
3625

D.

1
.
3774

Lời giải
Ta có un1 

un
1
1

  3n  2; n  1
un1 un

1   3n  2  un
1
1
u1
1
1
  3.1  2
u2 u1
1
1
  3.2  2
u3 u2
1
1
  3.3  2
u4 u3
…

…

1
1

 3  n  1  2
un un1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

 n  1 n  2 n  1  3n2  n  2
1
1

 1  3 1  2  ...   n  1  2  n  1 
 1 3
 
un
un
2
2
 un 

2
1
 Đáp án D.
 u50 
3774
3n  n  2
2

u  1
Câu 6. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy số có
un1  un  7; n  1
giá trị là
A. 2024

B. 2025.

C. 14114.

D. 14113.

Lời giải
Ta có:

u2  u1  7  1  7  8  7.2  6.

u3  u2  7  8  7  15  7.3  6.
u4  u3  7  15  7  22  7.4  6.
u5  u4  7  22  7  7.5  6.

Nhận thấy quy luật nên giả sử un  7 n  6
Vậy  1 đúng với n  1.

1 Với n  1 , ta có: u

1

 7.1  6  1 (đúng).






Giả sử  1 đúng với n  k k  N  . Có nghĩa là ta có: uk  7 k  6.
Ta phải chứng minh  1 đúng với n  k  1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:
uk 1  7  k  1  6.

Từ hệ thức xác định dãy số  un  và giả thiết quy nạp ta có:
uk 1  uk  7   7 k  6   7  7  k  1  6 (đúng).
un  7n  6  u2017  14113  Đáp án D.

u  2
Câu 7. Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá
u

5
u

6;
n

2
n 1
 n
trị là
A. 2187,5.

C. 10936.

B. 10937,5.

D. 2186.

Lời giải
Ta xét un  a  5  un1  a   un  5un1  4a
Kết hợp với đề bài  4a  6  a 
Vậy un  5un1  6  un 
Đặt vn  un 

3
2

3

3
 5  un1  
2
2


3
3 7
 v1  u1   và vn  5vn1
2
2 2

Suy ra dãy số  vn  là cấp số nhân có v1 

7
, công bội q  5
2

7
3 7
3
 vn  v1 .qn1  vn  .5n1  un  vn   .5n1   u6  10936  Đáp án C.
2
2 2
2

u0  2

Câu 8. Cho dãy số xác định bởi: u1  5
. Số hạng thứ 15 trong dãy số
u  5u  6u ; n  2
n 1
n 2
 n

có giá trị là
A. 4733113.

B. 4799353.

C. 14381675.

D. 14381673

Lời giải
Xét un  a1x1n  a2 x2n với x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2  5x  6  0

x1  2, x2  3  un  a1 2n  a2 3n


Với: n=0

u0  a1  a2  2

Với: n=1

u1  2a1  3a2  5

a1  1
 un  2n  3n  u15  14381675  Đáp án C.
Ta được a  1
 2
Câu 9. Cho dãy số xác định bởi:

un 

1
2 1 2



1
3 2 2 3



1
4 3 3 4

 ... 

 n  1

1
n  n n1

.

Số hạng thứ 99 trong dãy số có giá trị là
A.

k 



*

9
.
10

B.

ta có

 k  1

1



 k  1

k  k k 1

Khi k  1 
Khi k  2 
Khi k  3 

10
.
9

C. 1.

1
k  k k 1

1

k k 1

k 1  k





k 1  k
k k 1

k 1

1

1 1
 
2 2 1
2

1
3 2 2 3
1
4 3 3 4



1



1

2
3



1



1

3

4

…
Khi k  n 



1

1



k



D. 2.

 n  1

…

1
n n n1



1
n

1



n1

Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

un  1 
Câu 10.

1
n1

 un 

n1 1
n1

 u99 

9
 Đáp án A.
10

u  1

Cho dãy số xác định bởi:  1
3


un1  un  n

n  1. Số hạng thứ 32 trong

dãy số có giá trị là
A. 246016.

B. 246017.

C. 216226.
Lời giải

Ta có: un1  un  n3  un1  un  n3 .

D. 216225.


u1  1

u2  u1  13

u3  u2  23
u4  u3  33
..............

un1  un2   n  2 
un  un1   n  1

3

3

Cộng từng vế của n đẳng thức trên:

u1  u2  u1  u3  u2  ...  un1  un2  un  un1  1  13  23  33  ...   n  2    n  1
3

3

 un  1  13  23  33  ...   n  2    n  1 .
3

3

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 1  2  3  ...   n  1
3

Vậy un  1 

Câu 11.

n2  n  1

2

4

3

3

3

 n  1


2

.n2

4

322.312
 u32  1 
 246017  Đáp án B.
4

u  5
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 2017 trong dãy
un1  un  3n  2.

số có giá trị là
A. 6089330.

B. 6089335.
Lời giải

Ta có: un1  un  3n  2  un1  un  3n  2.

u1  5.

u2  u1  3.1  2.
u3  u2  3.2  2.
u4  u3  3.3  2.
............

un1  un2  3  n  2   2.
un  un1  3  n  1  2.

C. 6095376.

D. 6095381.


Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được:
un  5  3 1  2  3  ...   n  1  2  n  1 .

 un  5 

 un  5 

3  n  1 .n
2

 2  n  1  5 

 n  1 3n  4   u

Câu 12.

2017

2

3  n  1 .n  4  n  1
2

 6095381  Đáp án D.


u  1
Cho dãy số xác định bởi:  1
.
n

un1  un  3n  1  2.5 ; n  1

Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là
A. 4882683.

C. 4882687,5.

B. 4882683.

D. 4882687,5.

Lời giải
Ta có
u1  1

u2  u1  3.1  1  2.51

u3  u2  3.2  1  2.52
...

...

un  un1  3.  n  1  1  2.5n1

Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra

un  1  3 1  2  3  ...   n  1   n  1  2 51  52  53  ...  5n1 
Trong đó 1  2  3  ...   n  1 

 n  1 n
2

Và tổng A  51  52  ...  5n1 là tổng n  1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ
nhất a1  5 , công bội q  5
1  q n 1
1  5 n 1
5 5n
 A  Sn1  a1
 A  5.
 
1 q
4
4 4

un  2  n  3

un 



 n  1 n  2  5  5

 4

2



 1
2
n
  3n  5n  9  5
4 2
n





1
3n2  5n  9  5n  u10  4882683  Đáp án A.
2

u1  8

Cho dãy số xác định bởi: 
. Số hạng thứ 15 trong dãy số có
1
u

u
;
n

1
 n 1

2 n

Câu 13.
giá trị là
A.

1
.
212

B.

1
.
215

C.

1
.
211

D.

1
.
216

Lời giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số nhân có u1  8 và công

1
1
bội q  nên số hạng tổng quát là un  u1 .q n1  un  8.  
2
2

 u15  2 4 15 

Câu 14.

n 1

 2 4 n

1

 Đáp án C.
211

u1  1

Cho dãy số xác định bởi: u2  2
. Số hạng thứ 5525
u  2u  u  1; n  2
n
n 1
 n1

trong dãy số có giá trị là
A. 55252  5523.

B. 55252  5524

C.

Lời giải
Ta có
u1  1
u2  2
u3  2u2  u1  1

u4  2u3  u2  1

...

...

un  2un1  un2  1

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u1  un  un1  2  n  1
 un  un1  n (*)

Từ đề bài và (*) ta lại suy ra



1
55252  5523
2



D.





1
55252  5524 .
2


u1  1
u2  u1  1

u3  u2  2
u4  u3  3

…

…

un  un1  n  1

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được

un  1  1  2  3  ...   n  1  1 
un 





 n  1 n  1
2

2



n

2

n 2





1 2
1
n  n  2  u5525  55252  5523  Đáp án C.
2
2

Câu 15.

u1  1

Cho dãy số xác định bởi: 
un ; n  1 . Số hạng thứ 100 trong dãy
u

n

1

1  un


số có giá trị là
A. 100.

B.

1
.
100

C. 99

D.

1
.
99

Lời giải
Ta có:

u
u
1
1
u2  1 
 . u3  2 
1  u2
1  u1 1  1 2

u
u4  3 
1  u3

1
2

1
 .
1 3
1
2

1
3

1
u4
1
1
 . u5 
 4  .
1 4
1 5
1  u4
1
1
3
4

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un 

1
, n  1. 

n

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức  
Đã có:   đúng với n  1
Giả sử   đúng khi n  k. Nghĩa là ta có: uk 

1
k

Ta chứng minh   đúng khi n  k  1. Nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1 

1
.
k 1


Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:

uk 1

u
 k 
1  uk

1
k

1
1
 k 

.
1 k 1 k 1
1
k
k

Vậy :   đúng khi n  k  1 ,suy ra   đúng với mọi số nguyên dương n.

un 

1
1
, n  1  u100 
 Đáp án B.
n
100

Câu 16.

u  1
Cho dãy số xác định bởi:  1
.
un1  2un  5, n  1

Số hạng thứ 2018 trong dãy số có giá trị là
A. 3.22017  5.

B. 3.22017  1.

C. 3.22018  5.

D. 3.22018  1.

Lời giải


5
Theo đề bài un1  2un  5  un1  2 un  
2

Ta tìm số a thỏa mãn un1  a  2 un  a  un1  2un  a
Mà un1  2un  5 nên ta phải có a  5
Đặt vn  un  5  v1  u1  5  6 và vn1  2vn

  vn  là cấp số nhân có công bội q  2

 vn  v1 .qn1  6.2n1  3.2n  un  vn  5  3.2n  5
Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3.2n  5  u2018  3.22018  5  Đáp án C.
Câu 17.

u  2
Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 5000 trong
u

u

2
n


1,
n

1
n
 n 1

dãy số có giá trị là
A. 50002  3.5000  1.

B. 50002  1.

C. 50002  2.5000  1.

D. 50002  2.5000.

Ta có :
u1  2

u2  u1  2.1  1
u3  u2  2.2  1
u4  u3  2.3  1

…

…


un  un1  2.  n  1  1

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được





un  2  2 1  2  ...   n  1  n  1

 n  1 n

Mà 1  2  ...   n  1 

2

 un  n  1   n  1 n  n2  1

Số hạng thứ 5000 trong dãy số có giá trị là u500  50002  1  Đáp án B.

Câu 18.

u  5

Cho dãy số xác định bởi:  1
. Số hạng thứ 7
2
u

9
u


8
n

14
n

1;
n

1

n
 n 1

trong dãy số có giá trị là
A. 4517185.

B. 501868.

C. 4517180.

D. 501863.

Lời giải
Từ đề bài suy ra f  n  8n2  14n  1 là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức
g  n  an2  bn  c sao cho un1  g  n  1  9 un  g  n 

 un1  a  n  1  b  n  1  c  9 un  an2  bn  c 
2

 un1  9un  8an2   8b  2a  n  8c  b  a

Mà un1  9un  8n2  14n  1 nên ta phải có
8an2   8b  2a  n  8c  b  a  8n2  14n  1

8 a  8

8an   8b  2a  n  8c  b  a  8n  14n  1  8b  2a  14
8 c  b  a  1

2

 a  1; b  2; c 

2

1
1
suy ra g  n   n2  2n 
2
2

Do đó  un1   n  1  2  n  1 
2

Đặt vn  un  n2  2n 

1

1

 9 un  n2  2n  
2
2


1
7 17
và vn1  9vn
 v1  u1  
2
2 2


Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1 
 vn  v1 .qn1  vn 

vn  un  n2  2n 
un 

17
, công bội q  9
2

17 n1 17 2 n2
mà
.9  .3
2
2

1


1  17
1
 un  vn   n2  2n    .32 n2  n2  2n 
2
2 2
2


17 2 n2
1
.3
 n2  2n   u7  4517185  Đáp án A.
2
2