Các tập hợp số Giáo trình dành cho sinh viên ngành Tiểu học

TR

NG

I H C PH M V N

KHOA S

PH M T

NHIÊN

NG

BÀI GI NG

CÁC T P H P S

QU NG NGÃI – 2014


TR

NG

I H C PH M V N

KHOA S

PH M T

NHIÊN

NG

BÀI GI NG

CÁC T P H P S

Ng

i so n: Lê V n Thu n

QU NG NGÃI – 2014


L I NÓI

U

Hi n nay có nhi u giáo trình, tài li u tham kh o vi t v lí thuy t các t p h p s . Tuy
nhiên, ch a có giáo trình chính th c vi t v các t p h p s dành cho sinh viên ngành giáo
d c ti u h c; h n n a v i ph

ng th c đào t o theo h th ng tín ch hi n nay có nh ng

đ c thù riêng, đòi h i th i gian sinh viên t h c và nghiên c u nhi u h n.
Chúng tôi biên so n bài gi ng “các t p h p s ” trên c s đ c
các tài li u và s p x p m t cách có h th ng, nh m giúp ng
và nghiên c u.

ây là m t h c ph n trong ch

ng chi ti t, tham kh o

i h c có th d dàng t h c

ng trình đào t o giáo viên ti u h c có

trình đ cao đ ng.
Bài gi ng này có th i l

Vì th i l
ki n th c, ng

ng 30 ti t trên l p, 2 tín ch và n i dung g m 3 ch

Ch

ng 1: C u trúc đ i s .

Ch

ng 2: S t nhiên.

Ch

ng 3: T p s h u t và t p s th c.

ng:

ng ch g m 2 tín ch nên bài gi ng không th khai thác sâu h t đ

cm ts

i h c có th tham kh o thêm h c ph n này trong [1] , [2], [3] và [4].

L n đ u tiên bài gi ng đ

c biên so n v i ph

ng th c đào t o theo h th ng tín ch ;

ch c ch n không tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh. Chúng tôi r t mong nh n đ
ki n đóng góp c a b n đ c.
Chúng tôi xin chân thành c m n.

Tháng 5 n m 2014
Lê V n Thu n

1

cý


Ch

ng 1
C U TRÚC

IS

M C TIÊU
Ki n th c:
- Giúp sinh viên n m v ng c u trúc c b n v : n a nhóm, nhóm, vành và tr
- Hình thành cho sinh viên nh ng ý t

ng.

ng đ ti p c n v i toán h c hi n đ i và nh n

th c sâu s c v c u trúc đ i s c a các t p h p s

b c Ti u h c.

K n ng:
- Ki m tra m t “phép toán” hai ngôi trên m t t p h p.
- Ki m tra m t t p h p v i các phép toán là: n a nhóm, nhóm, con nhóm, vành và
tr

ng.

Thái đ :
- Sinh viên n m v ng các khái ni m c b n v c u trúc đ i s c a các t p h p.
- Sinh viên có liên h th c t v i ch

ng trình môn toán b c Ti u h c.

1.1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI
1.1.1. Khái ni m
Cho X là m t t p khác r ng. M t phép toán hai ngôi trên t p X là m t ánh x

T :XX  X

(a; b)  aTb .

Ph n t aTb  X đ

c g i là cái h p thành hay còn đ

c g i là k t qu c a phép toán T

th c hi n trên hai ph n t a và b.
Nh v y m t phép toán hai ngôi T trên t p X là m t quy t c đ t t

ng ng m i c p ph n

t (a; b) thu c X  X m t ph n t xác đ nh duy nh t aTb thu c X.
Ví d 1.1:
1) Phép c ng thông th

ng các s là phép toán hai ngôi trên các t p:  các s t nhiên,

t p  các s nguyên, t p  các s h u t và t p  các s th c.
2) Phép nhân thông th

ng các s là phép toán hai ngôi trên t p  các s t nhiên…

3) Cho t p * các s t nhiên khác 0. Ánh x :
2

*: *  *  *
( a; b )  a * b  a b

là m t phép toán hai ngôi trên t p các s t nhiên khác 0, còn đ

c g i là phép nâng lên

l y th a.
4) Cho t p  các s nguyên, phép tr là m t phép toán hai ngôi trên  , vì quy t c sau
là m t ánh x :  :     
(a; b)  a  b .

Tuy nhiên, phép tr không ph i là phép toán hai ngôi trên t p h p các s t nhiên  . Vì
ta có 2 và 4 thu c  nh ng 2  4   .
5) Cho X là m t t p h p b t kì và P(X) là t p các t p con c a X. Các phép toán: h p,
giao và hi u c a hai t p h p đ u là nh ng phép toán hai ngôi trên t p P(X). T c ta có các
ánh x sau:
Phép toán h p:  : P( X )  P( X )  P( X )
( A; B)



A B

Phép toán giao:  : P( X )  P( X )  P( X )
( A; B)  A  B

Phép toán hi u: \ : P( X )  P( X )  P( X )
( A; B)

 A\ B

6) Cho t p h p X và Hom(X, X) là t p h p các ánh x t X vào chính nó. Phép l y h p
thành hai ánh x là m t phép toán hai ngôi trên t p Hom(X, X).
Th t v y, vì v i hai ánh x f và g b t kì t X đ n X. Nên ta có ánh x :
Hom( X , X )  Hom( X , X )  Hom( X , X )
( f ; g)



fg

7) Cho t p X  0,1, 2 , ta có phép toán hai ngôi xác đ nh trên X nh sau:
T :XX  X

(a; b)  r

trong đó r là d c a phép chia a + b cho 3.
Có th mô t phép toán T trong b ng sau:
3


T

0

1

2

0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

1.1.2. Các tính ch t c a phép toán hai ngôi
nh ngh a 1.1. Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X. Ta nói r ng phép toán T có
tính ch t giao hoán n u và ch n u v i m i a, b thu c X thì aTb = bTa.
- Ta d nh n th y các phép toán hai ngôi trong các ví d 1), 2), 5), 7) trong Ví d 1.1.
là nh ng phép toán có tính ch t giao hoán.
- Các phép toán hai ngôi trong các ví d 3), 4) không có tính ch t giao hoán, ví d 6)

không có tính ch t giao hoán n u t p X có nhi u h n m t ph n t .
nh ngh a 1.2. Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X. Ta nói r ng phép toán T có
tính ch t k t h p n u và ch n u v i m i a, b, c thu c X thì (aTb)Tc = aT(bTc).
Ta d nh n th y các phép toán hai ngôi trong các ví d 1), 2), 5), 6), 7) trong ví d 1.1.
là nh ng phép toán có tính ch t k t h p.
Các phép toán hai ngôi trong các ví d 3), 4) trong ví d 1.1. là nh ng phép toán có tính
ch t k t h p.
1.1.3. Nh ng ph n t đ c bi t
nh ngh a 1.3. Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X. Ph n t e  X đ

c g i là

ph n t trung l p đ i v i phép toán T n u và ch n u v i m i a thu c X thì eTa = aTe = a.
nh lí 1.1. N u t p X có ph n t trung l p đ i v i phép toán T thì ph n t trung l p đó
là duy nh t.
Ví d 1.2:
1) S 0 là ph n t trung l p đ i v i phép c ng thông th
đ i v i các phép c ng thông th

ng các s nguyên, s h u t và s th c).

2) S 1 là ph n t trung l p đ i v i phép nhân thông th
đ i v i các phép c ng thông th

ng các s t nhiên (c ng nh
ng các s t nhiên (c ng nh

ng các s nguyên, s h u t và s th c).

3) T p  là ph n t trung l p đ i v i phép l y h p các t p h p trên t p P(X)

4


4) T p X là ph n t trung l p đ i v i phép toán giao các t p h p trên t p P(X)
5) Ánh x đ ng nh t id x : X  X ; x  x .
là ph n t trung l p đ i v i phép h p thành các ánh x trên t p Hom(X, X)
nh ngh a 1.4. Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T và e là ph n t trung l p
c a X đ i v i phép toán T; a  X . Ph n t b  X đ

c g i là ph n t đ i x ng c a a đ i

v i phép toán T n u bTa = aTb = e.
nh lí 1.2. Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T có tính ch t k t h p, có ph n
t trung l p e. N u b và b ' là hai ph n t đ i x ng c a a thì b ' = b.
+)

i v i phép c ng các s t nhiên ch có s 0 có ph n t đ i x ng và ph n t đ i

x ng c a 0 là 0.
+) M t cách t ng quát: N u e X là ph n t trung l p đ i v i phép toán T thì e là
ph n t đ i x ng c a chính nó.
+)

i v i phép c ng các s nguyên, m i ph n t a   có ph n t đ i x ng là a   .

+)

i v i phép nhân các s h u t thì m i ph n t q   , q khác 0 đ u có ph n t đ i

x ng là

+)

1
 .
q

i v i phép nhân ánh x trong t p Hom(X, X), m i song ánh f : X  X đ u có

ph n t đ i x ng là f 1 : X  X (ánh x ng

c c a f).

Chú ý: Trong th c t , hai phép toán hai ngôi th

ng g p là phép c ng (+) và phép nhân

(x).
i v i phép c ng : Gi s + là m t phép toán hai ngôi trên t p X thì cái h p thành a

+bđ

c g i là t ng c a a và b. Ph n t trung l p (n u có) đ

kí hi u là 0. N u phép c ng có tính ch t k t h p và ph n t
b thì khi đó b đ
-

a  X có ph n t đ i x ng là

c g i là ph n t đ i c a a và kí hi u là –a.

i v i phép nhân : Gi s  là m t phép toán hai ngôi trên t p X thì cái h p thành a

x b (còn đ
đ

c xác đ nh duy nh t và đ

c g i là ph n t kh ng và

c vi t là ab ho c a.b) đ

c g i là tích c a a và b. Ph n t trung l p (n u có)

c g i là ph n t đ n v và kí hi u là e (ho c 1 n u không có s nh m l n v i các s ).

N u phép nhân có tính ch t k t h p và ph n t a  X có ph n t đ i x ng là b thì khi đó
bđ

c xác đ nh duy nh t và đ

c g i là ph n t ngh ch đ o c a a và kí hi u là b  a 1 .
5


1.1.4. Phép toán c m sinh
nh ngh a 1.5. Cho T là m t phép toán hai ngôi trên X và A là m t t p con khác r ng
c a X. A đ

c g i là t p con n đ nh đ i v i phép toán T n u v i m i a, b thu c A thì cái

h p thành aTb thu c A. T c là: a, b  A  aTb  A .
Ví d 1.3:
1) T p h p các s t nhiên ch n là t p con n đ nh c a t p các s t nhiên đ i v i phép
toán c ng.
2) T p h p các s t nhiên  là t p con n đ nh c a t p các s nguyên  đ i v i phép
c ng và phép nhân. Nh ng nó không n đ nh đ i v i phép tr ..
3) T p h p các s nguyên mà là b i c a s nguyên m cho tr

c là t p con n đ nh c a

t p các s nguyên đ i v i phép c ng và phép nhân.
4) T p các s nguyên l là t p con n đ nh đ i v i phép nhân các s nguyên; nh ng nó
không n đ nh đ i v i phép c ng các s nguyên.
5) T p S(X) các song ánh t t p X đ n t p X là t p con n đ nh c a Hom(X, X) đ i v i
phép nhân ánh x .
nh ngh a 1.6. Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T và A là m t t p con n
đ nh c a X đ i v i phép toán T. Khi đó ánh x :
T : X  X  X c m sinh ánh x : T : A  A  A .

(a; b)  aTb

là phép toán hai ngôi trên A và đ

(a; b)  aTb .

c g i là phép toán c m sinh c a phép toán T trên t p

h p A.
Ví d 1.4:

1) Phép c ng các s t nhiên ch n là phép toán c m sinh c a phép c ng các s t
nhiên.
2) Phép c ng các s nguyên mà là b i c a m t s nguyên m cho tr

c là phép toán

c m sinh c a phép c ng các s nguyên.
3) Cho S(X) là t p các song ánh t X đ n X; phép h p thành các song ánh trên t p
S(X) là phép toán c m sinh c a phép h p thành các ánh x trên Hom(X, X).

6


1.2. N A NHÓM VÀ NHÓM
1.2.1. N a nhóm
nh ngh a 1.7. Ta g i là n a nhóm m t t p khác r ng X cùng v i phép toán hai ngôi T
trên X có tính ch t k t h p. N u trong n a nhóm X có ph n t trung l p đ i v i phép
toán T thì X đ
nhóm X đ

c g i là m t v nhóm. N u phép toán T có tính ch t giao hoán thì n a

c g i là n a nhóm giao hoán.

Nh v y, m t n a nhóm là m t c u trúc đ i s bao g m m t t p h p trên đó có m t phép
toán hai ngôi th a mãn tiên đ : a, b, c  X , (aTb)Tc  aT (bTc) .
ch m t n a nhóm ta vi t (X, T) trong đó X là t p n n, T là kí hi u c a phép toán
hai ngôi. Trong nhi u tr

ng h p, n u không s nh m l n ta có th vi t X thay cho (X,

T).
Ví d 1.5:
1) T p h p các s t nhiên  v i phép c ng thông th
ph n t trung l p là 0. Và nó đ

ng là m t v nhóm giao hoán,

c g i là v nhóm c ng các s t nhiên.

2) V nhóm c ng các s nguyên (  , +) trong đó  là t p các s nguyên, + là phép c ng
thông th

ng các s . ó là m t v nhóm giao hoán.

3) V nhóm nhân các s t nhiên (  , .).
4) V nhóm nhân các s nguyên (  , .).
5) Hom(X, X) t p các ánh x t X đ n chính nó cùng v i phép h p thành các ánh x là
m t v nhóm (n u X có nhi u h n m t ph n t thì v nhóm này không giao hoán).
1.2.2. Nhóm
nh ngh a 1.8. Ta g i là nhóm m t t p h p X cùng v i phép toán hai ngôi T th a mãn
các tiên đ sau:
(i) (X, T) là m t n a nhóm, t c là a, b, c  X , (aTb)Tc  aT (bTc) .
(ii) Trong X t n t i ph n t trung l p e đ i v i phép toán T, t c là e  X sao cho
eTa  aTe  a v i m i a  X .

(iii) M i ph n t x thu c X đ u có ph n t đ i x ng, ngh a là t n t i x ,  X sao cho
x ,Tx  xTx,  e .

7

N u phép toán T có tính ch t giao hoán thì nhóm X đ

c g i là m t nhóm giao hoán

hay nhóm Aben.
N u X là t p h u h n, có n ph n t thì X đ
h p vô h n thì X đ

c g i là nhóm có c p n. N u X là m t t p

c g i là nhóm có c p vô h n.

Nh n xét: M i nhóm X là m t v nhóm mà m i ph n t thu c X đ u có ph n t đ i x ng
trong X.
Ví d 1.6:
1) T p các s nguiyên  v i phép c ng là m t nhóm Aben.
2) T p các s h u t  v i phép c ng là m t nhóm Aben.
3) T p * các s h u t khác 0 v i phép nhân là m t nhóm Aben.
4) T p S(X) t t c các song ánh t X đ n X là m t nhóm v i phép nhân ánh x .
Tính ch t1.1: Cho X là m t nhóm v i phép toán là phép nhân, khi đó ta có:
1) Vì m t nhóm là m t v nhóm nên nó có đ y đ các tính ch t c a m t v nhóm.
2) a, b, c  X , ab  ac  b  c (lu t gi n
và a, b, c  X , ba  ca  b  c (lu t gi n
3) V i m i a, b thu c X, các ph

c bên trái)

c bên ph i).

ng trình ax  b và ya  b có nghi m duy nh t trong

X.
nh lí 1.3. Cho X là m t n a nhóm nhân. X là m t nhóm khi và ch khi v i m i a, b
thu c X các ph

ng trình ax  b và ya  b có nghi m duy nh t trong X.

1.2.3. Nhóm con
nh ngh a 1.9. Cho X là m t nhóm. A là m t t p con c a X n đ nh đ i v i phép toán
trong X. N u A cùng v i phép toán c m sinh là m t nhóm thì A đ

c g i là nhóm con

c a X.
Chú ý: N u e là ph n t trung l p c a X và A là nhóm con c a X thì e  A c ng là ph n
t trung l p c a A.
nh lí 1.4. Cho A là m t t p con c a nhóm X. Khi đó ba tính ch t sau đây là t
đ

ng v i nhau:
(i) A là nhóm con c a X.

8

ng


(ii) Ph n t trung l p e  A và v i m i a, b thu c A, ta có ab  A và a 1  A .

(iii) Ph n t trung l p e  A và v i m i a, b thu c A, ta có ab1  A .
Ví d 1.7:
1) M i nhóm c ng các s nguyên  là m t nhóm con c a nhóm c ng các s h u t
.

2) Tâp các s nguyên ch n 2  là m t nhóm con c a nhóm c ng các s nguyên  .
3) Tâp các s nguyên là b i c a s nguyên m là m t nhóm con c a nhóm c ng các s
nguyên  ..
4) T p A  1,1 là m t nhóm con c a nhóm nhân các s h u t khác 0.
5) V i m i nhóm X b t kì đ u có hai nhóm con đó là X và e , trong đó e là ph n t
trung l p c a X.
1.3. VÀNH VÀ TR
1.3.1.

NG

nh ngh a vành và tr

ng

nh ngh a 1.10. Ta g i là vành m t t p h p X cùng v i hai phép toán c ng và nhân
th a mãn các tiên đ sau:
1. (X, +) là m t nhóm Aben.
2. (X, .) là m t n a nhóm.
3. Có lu t phân ph i hai bên c a phép nhân đ i v i phép c ng, t c là v i m i
a, b, c  X . Ta có: a(b  c)  ab  ac;(b  c )a  ba  ca.

- N u phép nhân có tính ch t giao hoán thì X đ

c g i là vành giao hoán.

- N u trong X có ph n t trung l p đ i v i phép nhân thì X đ

c g i là vành có đ n

v.
Ví d 1.8:
1) T p h p các s nguyên  cùng v i phép c ng và nhân thông th

ng là m t vành

giao hoán có đ n v .
2) T p các s h u t  cùng v i phép c ng và nhân thông th
hoán có đ n v

9

ng là m t vành giao


3) T p X  0,1, 2,3 cùng v i hai phép toán c ng và nhân cho trong b ng sau là m t
vành giao hoán có đ n v .
+

0

1

2

3

x

0

1

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

1

2

3

0

1

0

1

2

3

2

2

3

0

1

2

0

2

0

2

3

3

0

1

2

3

0

3

2

1

Tính ch t 1.2:
Cho X là m t vành. Theo đ nh ngh a (X, +) là m t nhóm Aben nên nó có đ y đ các
tính ch t c a m t nhóm c ng giao hoán. C th là:
1) Ph n t không c a nhóm X là duy nh t. Ta kí hi u nó là 0 và c ng g i là ph n t
không c a vành X.
2) M i ph n t a thu c X có m t ph n t đ i duy nh t là – a.
3) V i m i a thu c X, ph

ng trình x + a = b (và a + y = b) có nghi m duy nh t là b –

a
Ngoài ra, trong vành X còn có các tính ch t sau:
4) V i m i a thu c X, a0 = 0a = 0.
5) V i m i a, b, c thu c X ta có: a(b  c )  ab  ac .
6) V i m i a, b thu c X ta có: (a)b  a (b)  ab;(a)(b)  ab.
nh ngh a 1.11. Cho X là m t vành giao hoán, ph n t a  X đ

c g i là

cc a0n u

a  0 và t n t i b  X , b  0 sao cho ab = 0.

nh lí 1.5. Cho X là m t vành giao hoán. Các kh ng đ nh sau đây là t
nhau:
(i) a, b  X , ab  0  a  0 ho c b  0 .
(ii) X không có

c c a 0.

(iii) a, b, c  X (a  0 và ab  ac )  b  c.
1.3.2. Mi n nguyên
10

ng đ

ng v i


nh ngh a 1.12. M t vành giao hoán, có đ n v khác 0 và th a mãn m t trong ba đi u
ki n t

ng đ

ng trong đ nh lí 1.5 đ

c g i là m t mi n nguyên.

Ví d 1.9:
1) Vành các s nguyên  là m t mi n nguyên.
2) Vành X trong ví d 1.8 không ph i là mi n nguyên.
1.3.4. Tr

ng

nh ngh a 1.13. M t vành giao hoán, có đ n v khác 0 và trong đó m i ph n t khác
không đ u có ngh ch đ o đ

c g i là m t tr

ng.

Nh n xét: Cho X là m t vành giao hoán, có đ n v khác 0. X là m t tr

ng khi và ch khi

t p X * các ph n t khác 0 c a X l p thành m t nhóm Aben. Nhóm này đ
nhân các ph n t khác không c a tr

c g i là nhóm

ng X.

Ví d 1.10:
1) Vành các s h u t  , vành các s th c  là nh ng tr
2) Tâp X  0,1, 2 v i hai phép toán sau là m t tr

ng.

+

0

1

2

x

0

1

2

0

0

1

2

0

0

0

0

1

1

2

0

1

0

1

2

2

2

0

1

2

0

2

1

3) Vành s nguyên  không ph i là m t tr
nh lí 1.6. M i tr
Bài t p ch

ng.

ng.

ng đ u là mi n nguyên.

ng 1

1.1. Phép toán hai ngôi
1. Cho  là t p các s t nhiên,  là t p các s nguyên,  là t p các s h u t ,  là
t p các s h u t d

ng.

a) Phép toán nào trong b n phép tính: c ng, tr , nhân, chia là phép toán hai ngôi
trên m i t p k trên.

11


b) Trong tr

ng h p là phép toán hai ngôi, hãy cho bi t tính ch t và các ph n t đ c

bi t c a các phép toán đó.
2. Cho t p h p X  0,1, 2 . Phép toán  đ

c cho b i b ng sau:



0

1

2

0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

Hãy cho bi t các tính ch t c a phép toán  và ch ra các ph n t đ c bi t c a nó.
3. Cho t p h p Y  a, b, c . Phép toán * đ

c cho b i b ng sau:

*

a

b

c

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

Hãy cho bi t các tính ch t c a phép toán * và ch ra các ph n t đ c bi t c a nó.
4. Cho * là t p các s t nhiên khác 0, phép toán T đ

c xác đ nh nh sau:

T : *  *  *
( a; b )  a b .

Phép toán T có tính ch t giao hoán, k t h p không? Trong * có ph n t trung l p
không?
5. Ch ng t r ng các quy t c cho t

ng ng sau đây là nh ng phép toán hai ngôi. Hãy

ch ra các tính ch t c a các phép tính đó:
a) x * y  x  y  xy v i m i x, y thu c 
b) m  n  m  2n v i m i m, n thu c 
c) a  b  a  b  ab v i m i a, b thu c  \ 1 .
6. Cho A là t p các s nguyên ch n, B là t p các s nguyên l . Các t p nào trên hai t p
trên n đ nh đ i v i phép toán sau:
12

a) Phép c ng các s nguyên.
b) Phép nhân các s nguyên.
7. Các t p sau đây, t p nào n đ nh đ i v i phép c ng các phân s :
a
b

a) B   ; a, b  , a là s l , b  0 .
a a
là phân s th p phân
b b

b) C   ;

.

1.2. N a nhóm và nhóm
1. Cho X là t p các s nguyên chia h t cho 5.
a) Ch ng minh r ng X là m t v nhóm v i phép c ng thông th

ng các s .

b) Ch ng minh r ng X là m t n a nhóm nh ng không ph i là môt v nhóm v i
phép nhân thông th

ng các s .

2. Cho * là t p các s t

nhiên khác 0. Ta đ nh ngh a m  n  m  n  1 v i m i

m, n  *

a) Tìm: 2  1 ;

45 ;

55.

b) Ch ng minh r ng * là m t v nhóm giao hoán v i phép toán  .
3. Gi s X là m t t p h p tùy ý. Xét phép toán hai ngôi:
*: X 2  X
( x; y )  x * y  x

Ch ng minh X là m t n a nhóm v i phép toán hai ngôi trên. N a nhóm đó có giao hoán,
có đ n v không?
4. Ch ng minh các t p h p sau v i phép toán thông th

ng l p thành m t nhóm:

a) T p h p các s th c có d ng a  b 3, a, b   v i phép c ng
b) T p h p các s th c có d ng a  b 3, a, b  , a 2  b 2  0 v i phép nhân.
5. Cho t p h p A  0,1, 2 . Ch ng minh r ng A là m t nhóm Aben v i phép toán 
cho trong b ng sau:

13




0

1

2

0

0

1

2

1

1

2

0

2

2

0

1

6. Ch ng minh r ng t p h p các s nguyên  là m t nhóm Aben v i phép toán sau:

a  b  a  b  1 , v i m i a, b thu c  .

7. Cho X là m t nhóm v i đ n v là e. Ch ng minh r ng n u x 2  e v i m i x  X thì
X là m t nhóm Aben.
8. Gi s

a và b là hai ph n t

c a m t nhóm X sao cho ab = ba. Ch ng minh

(ab) n  a n b n v i m i s t nhiên n > 1.

N u a và b là hai ph n t sao cho (ab) 2  a 2b 2 thì ta có suy ra ab = ba đ
1.3. Vành và tr

c không?

ng

1. G i X và Y là t p các s nguyên chia h t cho 3 và 5. Ch ng minh r ng X và Y cùng
v i hai phép toán c ng và nhân thông th

ng đ u là nh ng vành giao hoán. Các vành này

có đ n v không?
t C100  a   : a ch n, a  1} và B100  a   : a  100 . Các t p C100 và B100 cùng

2.

v i phép c ng và phép nhân thông th

ng có l p thành m t vành không? Gi i thích t i

sao?
3. Cho (, , ) là m t vành, v i a, b   ta đ nh ngh a: a  a  ab  ba . Ch ng minh
r ng phép toán x th a mãn tính ch t sau:
a) a  a  0.
b) a  b  (b)  a.
c) [(a  b)  c ]  [(b  c )  a]  [(c  a )  b]  0 .
4. Ch ng minh r ng n u vành X th a mãn a 2  0 v i m i a   thì ab  ba v i m i
a, b  .

5. Cho k là m t s nguyên l n h n 1. Ch ng minh r ng ( k , , ) là m t vành giao
hoán có đ n v , trong đó  k và các phép toán ,  đ
14

c cho b i quy t c sau:






 k  0,1,..., k  1 và a  b  c v i c là d c a phép chia a + b cho k; a  b  d v i d là d

c a phép chia ab cho k.
6. Ch ng minh r ng ( k , , ) v i k  2 là m t tr

ng khi và ch khi k là m t s

nguyên t .





7. Cho X  a  b 2 a, b   . Ch ng minh r ng X cùng v i phép c ng và phép nhân
thông th

ng là m t tr

ng.

15


Ch

ng 2
S

T

NHIÊN

M C TIÊU
Ki n th c: Trang b cho ng
-T ph pt

ng đ

i h c nh ng ki n th c v :

ng và b n s c a t p h p.

- Xây d ng t p các s t nhiên b ng lí thuy t t p h p.
- Xây d ng các phép toán c ng và nhân trên t p các s t nhiên b ng phép toán trên các
b ns .
- Xây d ng quan h th t trên t p các s t nhiên.
- Nguyên lí quy n p và ph

ng pháp ch ng minh quy n p.

- Bi u di n s t nhiên và các d u hi u chia h t.
K n ng:
- Gi i toán trong t p các s t nhiên.
- V n d ng vào vi c gi ng d y toán

các l p b c Ti u h c.

Thái đ :
y là ph n mang tính lí thuy t và liên quan nhi u n i dung môn toán
do đó ng
ng

i h c c n thoát kh i nh ng gì đã đ

i h c c n th y đ

c bi t v các s thông th

b c Ti u h c,
ng.

ng th i

c ý ngh a c a vi c xây d ng t p s t nhiên, trên c s giúp cho

h gi ng d y t t h n môn toán b c Ti u h c.
2.1. B N S

C AT PH P

2.1.1. T p h p t

ng đ

ng

nh ngh a 2.1. Cho hai t p h p A và B. Ta nói r ng A t
A  B , n u t n t i m t song ánh t t p h p A đ n t p h p B.

Ví d 2.1:
1) Cho A  a, b, c ; B   ,  ,   . Khi đó A  B vì có song ánh
f : A  B, a   ; b   ; c   .

2) Cho tam giác ABC. T p h p các đi m c a c nh
AB t

ng đ

ng v i t p các đi m c a c nh AC.

16

ng đ

ng v i B, kí hi u


A
Th t v y:
t [AB] là t p các đi m c a c nh AB;

x

[AC] là t p các đi m c a c nh AC.
Ta có song ánh f :[ AB]  [ AC ]

x'

C

B

xác đ nh b i f(A) = A; f(B) = C và n u x  [ AB]
mà x  A, x  B thì f ( x )  x ' , trong đó x '  [ AC ] mà xx ' // BC.
Tính ch t 2.1:
1) V i m i t p h p A ánh x đ ng nh t id A : A  A là m t song ánh, nên ta có A  A
2) Cho hai t p h p A và B, n u A  B t c là có m t song ánh f : A  B . Khi đó ánh x

ng

c f 1 : B  A c ng là m t song ánh nên suy ra B  A .
3) Cho ba t p h p A, B, C, n u A  B và B  C , t c là có các song ánh f : A  B và

g : B  C . Khi đó gf : A  C c ng là m t song ánh, suy ra A  C .

V y quan h  có ba tính ch t ph n x , đ i x ng và b c c u. Do tính ch t đ i x ng c a
quan h  nên, n u A  B (ho c B  A ) thì ta c ng nói hai t p h p A và B t

ng đ

ng

nhau..
2.1.2.

nh lí Cantor

V i hai t p h p A và B b t kì, bao gi c ng x y ra m t trong hai tr

ng h p sau:

1) Có m t đ n ánh t t p A đ n t p B.
2) Có m t đ n ánh t t p B đ n t p A.
N u c hai tr

ng h p trên cùng x y ra thì có m t song ánh t t p h p A đ n t p h p B.

Nh n xét: Cho hai t p h p A và B. N u có m t đ n ánh f t t p A đ n t p B thì có m t

song ánh t A đ n f(A) và khi đó A t
ng

c l i, n u A t

ng đ

ng đ

ng v i f(A) là m t b ph n c a B. Và

ng v i m t b ph n B ' c a B thì có m t song ánh g : A  B '

và g có th kéo dài thành m t đ n ánh g ' t A đ n B.
g' : A  B
a  g ' (a ) .

17


Vì v y, đ nh lí Cantor còn có th phát bi u cách khác là:
Cho hai t p h p A và B b t kì, bao gi c ng x y ra m t trong hai tr
1) A t

ng đ

ng v i m t t p con c a B.

2) B t

ng đ

ng v i m t t p con c a A.

N u c hai tr

ng h p trên cùng x y ra thì A t

ng đ

ng h p sau:

ng v i B.

2.1.3. T p h p h u h n, t p h p vô h n
nh ngh a 2.2. T p h p A đ

c g i là t p h p h u h n n u A không t

ng đ

ng v i

b t kì t p con th c s nào c a A.
M t t p không ph i là t p h p h u h n đ
h pAđ

c g i là t p h p vô h n. Nói cách khác, t p

c g i là t p h p vô h n nêu có m t t p con th c s c a A mà t

ng đ

ng v i

A.
Ví d 2.2:
1) T p r ng  là m t t p h p h u h n, vì  không có m t t p con th c s nào.
2) T p  x là m t t p h u h n, vì  x ch có m t t p con th c s là t p r ng  , mà 
không t

ng đ

ng v i  x .

3) T p các đi m trên đo n AB ( A  B) là m t t p vô h n. Th t v y, g i C là trung đi m
c a AB khi đó [ AC ]  [ AB] và [ AC ]  [ AB] , đ ng th i có th ch ra r ng [ AC ]  [ AB] .
nh lí 2.1.
-T ph pt

ng đ

ng v i t p h u h n là m t t p h u h n.

- T p con c a m t t p h p h u h n là m t t p h u h n.
2.1.2. B n s
2.1.2.1. Khái ni m v b n s
m r ng khái ni m “s ” ph n t c a m t t p h p h u h n. Cantor đã đ a ra khái
ni m b n s c a m t t p h p đ đ t tr ng cho “s l

ng” các ph n t c a t p h p.

M i t p h p có m t b n s . B n s c a t p h p A kí hi u A ho c cardA; hai t p h p có
b n s b ng nhau khi và ch khi chúng t

ng đ

là b ng nhau, A  B khi và ch khi A và B t
ánh t t p A đ n t p B).
18

ng nhau (b n s c a hai t p h p A và B
ng đ

ng v i nhau, ngh a là có m t song


Ví d 2.3:
1)    x .
2)  x, y   x, y, z .
2.1.2.2. Quan h th t gi a các b n s
Gi s a và b là hai b n s . Khi đó, t n t i các t p h p A và B sao cho a  A và b  B .
nh ngh a 2.3. B n s a đ

c g i là bé h n hay b ng b n s b, kí hi u là a  b , n u và

ch n u t n t i m t đ n ánh f t A đ n B.
i u này ngh a là A t

ng đ

ng v i m t t p con c a B.

Tính ch t 2.2: Quan h  có các tính ch t sau:
1) V i m i b n s a, a  a .
2) V i m i b n s a, b, c n u a  b và b  c thì a  c (do h p thành c a hai đ n ánh là
m t đ n ánh).
3) V i hai b n s a và b khi đó ho c a  b ho c b  a . N u đ ng th i có a  b và b  a
thì a = b.
Nh v y, quan h  gi a các b n s có các tính ch t ph n x , ph n đ i x ng và b c c u.
2.1.2.3. Phép c ng các b n s
nh lí 2.2. Cho A, A' , B, B ' là nh ng t p h p sao cho A  A' , B  B ' , A  B   và
A'  B '   khi đó A  B  A'  B ' .

nh lí 2.3. N u a và b là hai b n s thì t n t i hai t p A và B sao cho a  A , b  B mà
A B  .

nh ngh a 2.4. Cho a và b là hai b n s , a  A và b  B sao cho A  B   . Khi đó
A B đ

c g i là t ng c a hai b n s a và b, kí hi u a + b.

Nh v y a  b  A  B , phép toán này đ

c g i là phép c ng.

Tinh ch t 2.3: Phép c ng các b n s có các tính ch t sau:
- Giao hoán: V i m i b n s a và b ta có a + b = b + a, (đi u này đ
giao hoán c a phép h p các t p h p).

19

c suy t tính ch t


- K t h p: V i m i b n s a, b và c ta có (a + b) + c = a + (b + c), (đi u này đ

c suy

t tính ch t kêt h p c a phép h p các t p h p).
- V i m i b n s a ta có a + 0 = a, (đi u này đ

c suy ra t tính ch t là v i m i t p h p

A, ta có A    A ).
- V i m i b n s a và b, n u a + b = 0 thì a = b = 0, (đi u này đ

c suy ra t tính ch t:

N u hai t p h p A và B mà A  B   thì A   và B   ).
nh lí 2.4. Gi s a và b là hai b n s . Khi đó, a  b n u và ch n u t n t i b n s c
sao cho a + c = b.
nh lí 2.5. V i hai b n s a và b, a + 1 = b + 1 khi và ch khi a = b.
2.1.2.4. Phép nhân các b n s
nh lí 2.6. Cho A, A' , B và B ' là nh ng t p h p sao cho A  A' và B  B ' . Khi đó
A  B  A'  B ' .

nh ngh a 2.5. Cho a và b là nh ng b n s , a  A , b  B . B n s c a tích
đ

-các A  B

c g i là tích c a hai b n s a và b, kí hi u là a.b hay ab. Nh v y: ab  A  B .

Phép toán trên đ

c g i là phép nhân các b n s .

Tính ch t 2.4:
D a vào tính ch t c a

-các c a các t p h p, ta có các tính ch t sau đây c a phép nhân

các b n s :
- Tính ch t giao hoán: v i m i b n s a và b ta có ab = ba.
- Tính ch t k t h p: v i m i b n s a, b và c ta có (ab)c = a(bc).
- V i m i b n s a ta có: 0a = 0; a0 = 0 và 1a = a; a1 = a.
- V i m i b n s a và b n u ab = 0 thì a = 0 ho c b = 0.
- Phép nhân phân ph i đ i v i phép c ng: v i m i b n s a, b và c ta có:
a(b + c) = ab + ac.
(b + c)a = ba + ca.
2.2. S

T

NHIÊN

2.2.1. T p các s t nhiên
2.2.1.1. S t nhiên

20


B ns c am tt ph uh nđ

c g i là m t s t nhiên hay còn g i là m t b n s h u

h n.
T p t t c các s t nhiên ta kí hi u là  .
Ví d 2.4:
1) 0 là m t s t nhiên vì 0   ,  là t p h u h n.
2) 1 là m t s t nhiên vì 1   x ,  x là t p h u h n.
Nh n xét: a là m t s t nhiên khi và ch khi a  a  1 .
2.2.1.2. S t nhiên k sau
nh lí 2.7. N u a là m t s t nhiên thì a + 1 c ng là m t s t nhiên.
nh ngh a 2.6. V i m i s t nhiên a, s t nhiên a + 1 đ
c a a (ta còn nói a là s k tr
nh lí 2.8. . Ánh x

c g i là s t nhiên k sau

c a + 1).

f :   * ( *   \ 0 ), a  a  1 , là m t sonh ánh t

 đ n * .

H qu :
-. M i s t nhiên a đ u có duy nh t m t s k sau. Hai s khác nhau có nh ng s k sau
khác nhau. S 0 không k sau c a b t kì s nào.

- T p  các s t nhiên là m t t p h p vô h n.
2.2.2. Phép c ng và phép nhân các s t nhiên
2.2.2.1. Phép c ng các s t nhiên
nh lí 2.9. T ng c a hai s t nhiên là m t s t nhiên.
H qu : T p  các s t nhiên cùng v i phép c ng là m t v nhóm giao hoán.
nh lí 2.10. Phép c ng các s t nhiên th a mãn lu t gi n

c, t c là v i m i s t

nhiên a, b và c n u a + b = a + c thì b = c.
2.2.2.2. Phép nhân các s t nhiên
nh lí 2.11. Tích c a hai s t nhiên là m t s t nhiên.
Nh n xét: Do phép nhân các b n s có tính ch t giao hoán, k t h p và m i b n s a ta có
a.1 = 1 nên t p các s t nhiên v i phép nhân là m t v nhóm giao hoán.
Ngoài ra v nhóm này còn có các tính ch t sau:
+) a  , a0  0  0a .
21


+) a, b  , ab  0  a  0 ho c b  0 .
+) a, b, c  , a(b  c )  ab  ac;(b  c)a  ba  ca.
2.2.3. Quan h th t trong 
Trong t p h p  các s t nhiên, quan h th t  đ

c xác đ nh nh sau:

Cho a, b thu c  , a  b  c   sao cho a + c = b. n u a  b và a  b thì ta nói r ng a
nghiêm ng t bé h n b và kí hi u a  b .
Tính ch t 2.5:
1) V i m i s t nhiên a, 0  a .

2) V i m i s t nhiên a, a  a .
Hai tính ch t trên đ

c suy ra t đ ng th c a = 0 + a.

3) Quan h  có tính ch t b c c u, ngh a là n u a, b, c là ba s t nhiên sao cho a  b
và b  c thì a  c .
4) Quan h  có tính ch t đ i x ng, ngh a là n u a  b và b  a thì a = b.
5) V i m i a, b thu c  ho c a  b ho c b  a .
nh lí 2.12. M i t p con khác r ng c a  đ u có s bé nh t. T c là (, ) là m t t p
s p th t t t nh t.
nh ngh a 2.7. Cho A là m t t p con khác r ng c a t p  . Ta nói r ng A b ch n trên
b i s t nhiên c n u a  A, a  c.
nh lí 2.13. M i t p con khác r ng, b ch n trên c a  đ u có s l n nh t.
2.2.3.2. Phép tr các s t nhiên
nh ngh a 2.8. Cho hai s t nhiên a và b, a  b .Khi đó t n t i s t nhiên c sao cho a
+ c = b. S c đ

c g i là hi u c a a và b, kí hi u là c = b – a.

Phép toán trên đây đ

c g i là phép tr các s t nhiên.

Chú ý r ng hi u b – a ch th c hi n đ
nh lí 2.14. Gi s

c khi a  b .

a, b, c   sao cho a  b . Khi đó c(b  a )  cb  ca. (Tính ch t phân

ph i c a phép nhân đ i v i phép tr ).
nh lí 2.15. Có lu t gi n

c c a phép nhân đ i v i các s t nhiên khác 0. Ngh a là

n u a, b, c là ba s t nhiên, a  0 sao cho ab = ac thì b = c.
2.3. LÍ THUY T CHIA H T TRÊN T P CÁC S
22

T

NHIÊN


2.3.1. Phép chia h t và phép chia có d
2.3.1.1. Phép chia h t
Cho hai s t nhiên a và b, ta nói r ng a chia h t b (hay b chia h t cho a) n u t n t i s
t nhiên c sao cho ac = b.
Kí hi u a b (đ c là a chia h t b, hay a là

c c a b), ho c b  a (đ c là b chia h t cho a,

hay b là b i c a a).
2.3.1.2. Tính ch t:
1) a  * thì a 0; a a và 1 a .
2) a, b, c  * , a b và a c  a (b  c ) .
3) a, b, c  .a  0 , a b  a bc .
4) a, b, c   , a  0 , a b và b c  a c .
nh lí v phép chia có d

2.3.1.3.

Cho hai s t nhiên a và b, b  0 . Khi đó, t n t i duy nh t hai s t nhiên q và r sao
cho a  bq  r v i 0  r  b .
2.3.2.

c chung l n nh t

2.3.2.1. Khái ni m
S t nhiên d đ

c g i là

c chung c a các s t nhiên a và b n u d là

c c a a và

c a b.
V i m i s t nhiên a, kí hi u
a  0 thì

(a) là t p các

c c a a. Ta luôn có 1 (a) và n u

(a) là m t t p h p h u h n.

Cho hai s t nhiên a và b khác 0. Khi đó t p các

c chung c a a và b là

(a)  (b)   và b ch n trên b i a và b, t p này có s l n nh t.
S l n nh t trong t p các
b, kí hi u là

c chung c a a và b đ

c g i là

CLN(a, b).

Ví d 2.5:
CLN(6, 21) = 3;
2.3.2.2. Cách tìm

CLN(12, 7) = 1.

c chung l n nh t: (Thu t toán clit)

23

c chung l n nh t c a a và